集合的概念讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五讲：集合的概念及其表示 知识储备 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物． 3．元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作 (2)不属于：如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作 温馨提示：(1)符号“”“”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言，只有“”与“”这两种结果． (2)∈和具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． 4．常用的数集及其记法 题型一：元素与集合的概念 例1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)本班的高个子同学组成集合．(　　) (2)联合国常任理事国组成集合．(　　) (3)由1,2,2,4,1组成的集合有五个元素．(　　) (4)由组成的集合与由组成的集合是同一个集合．(　　) 例2：判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？ (1)接近于2019的数； (2)大于2019的数； (3)育才中学高一(1)班视力较好的同学； (4)方程在实数范围内的解； (5)函数图象上的点． 例3：(1)下列关系中，正确的有(　　) ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)集合A中的元素满足，，则集合A中的元素为________． 例4：（1）已知集合A含有两个元素和，若，则实数的值为________． （2）已知集合A含有两个元素和，若，则实数的值为________． （3）已知集合A含有两个元素和，则实数的值为________． 题型二：集合的表示 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等． (2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． (3)不能出现未被说明的字母． 例5：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为．(　　) (2)集合中的元素是1和2.(　　) (3)集合与集合表示同一个集合．(　　) (4)集合可用列举法表示．(　　) 例6：用列举法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)不大于10的非负偶数集； (3)一次函数与图象的交点组成的集合． 例7：用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合； (4)不等式的解集． 例8：(1)若集合中只有一个元素，则的值为(　　) A．1 B．4 C．0 D．0或1 （2）若集合中有两个元素，求a的取值范围． (3）已知，若“”，则k的取值范围是________． （4)已知，若“”，求k的取值范围． 课后基础练习 1．若方程的解构成的集合中只有一个元素，则为(　　) A．4 B．2 C．0 D．0或4 2．已知集合A含有三个元素，且当，有，则为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 3．由实数所组成的集合最多含有的元素个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列集合中，不同于另外三个集合的是(　　) A． B． C． D． 5．方程组的解集是(　　) A． B． C． D． 6．设集合，，若，则实数＝________. 7．设，则集合＝________. 8．由组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数满足的条件是________． 9．若集合A中含有三个元素且，则实数的值为________． 课后提升练习 10．已知集合P中元素x满足：，且，又集合P中恰有三个元素，则整数＝________. 11．若集合A中有三个元素1，，；集合B中有三个元素0，，.若集合A与集合B相等，则的值为______． 12．集合A中共有3个元素，集合B中也共有3个元素9，，现知且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数的值？若能，则求出的值，若不能，则说明理由． 13．定义，若，，则中元素的个数是(　　) A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 14．已知集合，集合，则B＝________. 15．设集合． (1)当时，试求出集合A； (2)为何值时，集合A中只有一个元素； (3)为何值时，集合A中有两个元素． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五讲：集合的概念及其表示 知识储备 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物． 3．元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作 (2)不属于：如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作 温馨提示：(1)符号“”“”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言，只有“”与“”这两种结果． (2)∈和具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． 4．常用的数集及其记法 题型一：元素与集合的概念 例1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)本班的高个子同学组成集合．(　　) (2)联合国常任理事国组成集合．(　　) (3)由1,2,2,4,1组成的集合有五个元素．(　　) (4)由组成的集合与由组成的集合是同一个集合．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 例2：判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？ (1)接近于2019的数； (2)大于2019的数； (3)育才中学高一(1)班视力较好的同学； (4)方程在实数范围内的解； (5)函数图象上的点． [解]　(1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合． 例3：(1)下列关系中，正确的有(　　) ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)集合A中的元素满足，，则集合A中的元素为________． [解析]　(1)是实数；是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－|＝，是无理数．故①②③正确，选C． (2)当x＝0时，＝2；当x＝1时，＝3； 当x＝2时，＝6；当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2. [答案]　(1)C　(2)0,1,2 例4：（1）已知集合A含有两个元素和，若，则实数的值为________． （2）已知集合A含有两个元素和，若，则实数的值为________． （3）已知集合A含有两个元素和，则实数的值为________． 解析：（1）　若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1； 若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1. 综上所述a＝－1. (2)若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性； 若a2＝2，则a＝或a＝－，符合元素的互异性．所以a的取值为2，，－. (3)根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1. 题型二：集合的表示 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等． (2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． (3)不能出现未被说明的字母． 例5：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为．(　　) (2)集合中的元素是1和2.(　　) (3)集合与集合表示同一个集合．(　　) (4)集合可用列举法表示．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 例6：用列举法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)不大于10的非负偶数集； (3)一次函数与图象的交点组成的集合． [解]　(1)方程x(x－1)2＝0的实数根为0,1，故其实数根组成的集合为{0,1}． (2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}． (3)由，解得 故一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合为{(1,1)}． 例7：用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合； (4)不等式的解集． [解]　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}． (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}． (3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． (4)不等式可化简为x<2，所以不等式3x－2<4的解集为{x|x<2}． 例8：(1)若集合中只有一个元素，则的值为(　　) A．1 B．4 C．0 D．0或1 （2）若集合中有两个元素，求a的取值范围． (3）已知，若“”，则k的取值范围是________． （4)已知，若“”，求k的取值范围． [解析]　(1)①当a＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}； ②当a≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程ax2－8x＋16＝0有两个相等实根， 则Δ＝64－64a＝0，即a＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}． 综上所述，实数a的值为0或1.故选D． (2)由题意可知方程ax2－8x＋16＝0有两个不等实根． ∴解得a<1，且a≠0. (3)∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1. (4)∵－2∉A，∴－2k＋2≤0，得k≥1. 课后基础练习 1．若方程的解构成的集合中只有一个元素，则为(　　) A．4 B．2 C．0 D．0或4 [解析]　当a＝0时，方程变为1＝0不成立，故a＝0不成立；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0， a＝4，故选A． 2．已知集合A含有三个元素，且当，有，则为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 [解析]　若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A．故选B． 3．由实数所组成的集合最多含有的元素个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素．故选B． 4．下列集合中，不同于另外三个集合的是(　　) A． B． C． D． [解析]　{x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B. 5．方程组的解集是(　　) A． B． C． D． [解析]　解方程组得故解集为{(5，－4)}，选D. 6．设集合，，若，则实数＝________. [解析]　由集合相等的概念得解得a＝1. 7．设，则集合＝________. [解析]　由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4， 则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}． 8．由组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数满足的条件是________． [解析]　由元素的互异性，得即a≠±2，且a≠1. 9．若集合A中含有三个元素且，则实数的值为________． [解析]　①若a－3＝－3，则a＝0，此时A中元素为－3，－1，－4，满足题意． ②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A中元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性． ③若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A中元素为－2,1，－3，满足题意；当a＝－1时，由②知不合题意．综上可知：a＝0或a＝1. 课后提升练习 10．已知集合P中元素x满足：，且，又集合P中恰有三个元素，则整数＝________. [解析]　∵x∈N, 2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴整数a为6. 11．若集合A中有三个元素1，，；集合B中有三个元素0，，.若集合A与集合B相等，则的值为______． [解析]　由题意可知a＋b＝0且a≠0，∴a＝－b，∴＝－1.∴a＝－1，b＝1，故b－a＝2. 12．集合A中共有3个元素，集合B中也共有3个元素9，，现知且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数的值？若能，则求出的值，若不能，则说明理由． [解]　∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9， 若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去． 若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9； B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去． 当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意． 综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3. 13．定义，若，，则中元素的个数是(　　) A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 [解析]　若a＝0，则ab＝0；若a＝1，则ab＝1,2,3；若a＝2，则ab＝2,4,6.故PQ＝{0,1,2,3,4,6}，共6个元素． 14．已知集合，集合，则B＝________. [解析]　∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1； 当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.[答案]　{0,1} 15．设集合． (1)当时，试求出集合A； (2)为何值时，集合A中只有一个元素； (3)为何值时，集合A中有两个元素． [解]　集合A是方程x2＋ax＋1＝0的解构成的集合． (1)当a＝2时，x2＋2x＋1＝0，即(x＋1)2＝0，x＝－1，所以A＝{－1}． (2)A中只有一个元素，即方程x2＋ax＋1＝0有两个相等实根，由Δ＝a2－4＝0，得a＝±2. 所以a＝±2时，集合A中只有一个元素． (3)A中有两个元素，即方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实根，由Δ＝a2－4>0，得a<－2或a>2.所以a<－2或a>2时，集合A中有两个元素． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$