第一讲 集合的概念（讲义）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的概念，系统梳理元素与集合的定义、相等条件，元素的确定性、互异性、无序性，元素与集合的属于/不属于关系及常用数集符号，集合的列举法、描述法、图示法，构建递进式学习支架。 资料以9大题型为核心，通过例题与变式训练深化理解，如题型1判断集合确定性培养抽象能力，题型3利用互异性求参数发展推理能力，题型9新定义问题激发创新意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第一讲 集合的概念 【题型1 对集合概念的理解】 【题型2 判断是否为同一集合】 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 【题型4 判断元素与集合的关系】 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【题型6 集合中的元素个数问题】 【题型7 列举法表示集合】 【题型8 描述法表示集合】 【题型9 集合元素中的新定义问题】 知识点1 集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【题型1 对集合概念的理解】 【例1】下列元素所组成的总体，能表示集合的是（ 　） A．高一年级打篮球好的学生 B．高一年级比较难的学科 C．高一年级所有男生 D．高一年级写字好的学生 【变式1-1】下列各组对象能组成集合的是（　 　） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【变式1-2】下列各组对象能组成集合的是（ 　） ①我校高一年级所有聪明的学生； ②所有的平行四边形； ③所有不小于3的正整数； ④的所有近似值 A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】下列各组集合中，表示同一集合的是（　 　） A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{3，2}，N＝{2，3} C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1} D．M＝{（3，2）}，N＝{3，2} 【变式2-1】下列集合中表示同一集合的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】下列关于集合相等的说法正确的有（     ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2-3】下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 【例3】（多选）若集合A＝{a2+2a，3a+2，8}，则实数a的取值可以是（　　） A．2 B．3 C．﹣4 D．5 【变式3-1】集合{2a，a2}中实数a的取值范围是（ ） A．{a|a＝0，或a＝2} B．{a|a＝0，且a＝2} C．{a|a≠0，或a≠2} D．{a|a≠0，且a≠2} 【变式3-2】若，则a的值为（  ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式3-3】若，则x的可能值为（     ） A．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2 知识点2 元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】给出下列关系：①|﹣2|∉N*；②0∉Z；③；④；⑤1.21∈Q．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】已知2∈{0，a﹣1，a+1}，则实数a的值是（　　） A．3 B．1 C．0 D．3或1 【变式5-1】已知集合，若，则（   ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【变式5-2】已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【题型6 集合中的元素个数问题】 【例6】已知集合A＝{x|ax2+3x+1＝0，x∈R}． （1）A中只有一个元素，求a的取值范围； （2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 【变式6-1】已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（  ） A． B． C．或 D．不确定 【变式6-2】已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【变式6-3】集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求： (1)A中至少有几个元素？ (2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？ (3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素. 知识点3 集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 列举法表示集合】 【例7】已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【变式7-3】用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【题型8 描述法表示集合】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【变式8-1】第一象限的点组成的集合可以表示为（ 　） A．{（x，y）|xy＞0} B．{（x，y）|xy≥0} C．{（x，y）|x＞0且y＞0} D．{（x，y）|x＞0或y＞0} 【变式8-2】集合“正偶数的全体”，用描述法表示，正确的为（　 　） A．{x|x＝2n，n∈N*} B．{x|x＝2n﹣1，n∈N*} C．{x|x＝2n，n∈Z} D．{x|x＝2n+1，n∈Z} 【变式8-3】试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 【变式8-4】用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【题型9 集合元素中的新定义问题】 【例9】定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-1】定义集合运算，若，，则所有元素之和为（ ） A．48 B．54 C．42 D．36 【变式9-2】已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，定义集合A、B之间的运算，A*B＝{x|x∈A且x∉B}，则集合A*B等于（ 　） A．{1，2，3} B．{2，4} C．{1，3} D．{2} 【课后练习】 1.下列各组对象能构成集合的是（　 　） A．所有游泳高手 B．2024年高考数学难题 C．某校所有高个子的男生 D．小于π的正整数 2.给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合；②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；③高科技产品构成一个集合；④所有不大于的自然数构成一个集合；⑤，，，组成的集合含有个元素．其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 3.（多选）给出下列说法，其中正确的有（　 　） A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 4.下列关系中，正确的是（　 　） A．﹣2∈N+ B．π∈Q C．0∈N D． 5.已知集合，则用列举法表示A＝（ 　） A．{﹣2，0，1，2，4} B．{﹣2，0，2，4} C．{0，2，4} D．{2，4} 6.用描述法表示函数y＝3x+1图象上的所有点的是（　 　） A．{x|y＝3x+1} B．{y|y＝3x+1} C．{（x，y）|y＝3x+1} D．{y＝3x+1} 7.（多选）下列用描述法表示的集合，正确的是（　 　） A．奇数集可以表示为{x∈Z|x＝2k+1，k∈Z} B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x|x＜10} C．{x|x＞2}表示大于2的全体实数 D．不等式x2﹣1＞0的解集表示为{x|x2﹣1＞0} 8.已知集合A＝{m+2，2m2+m}，若3∈A，则m的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．﹣1或 9.（多选）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A是U的子集，当x∈A时，x﹣1∉A且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（　　） A．若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素 B．若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素 C．若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个 D．若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个 10.数集{1，a，a2﹣a}中的元素a不能取的值是 　　 ． 11. 由单词“deepseek''中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素共有　　 个． 12.设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意a、b∈P，都有a+b、a﹣b、ab∈P，且若b≠0，则，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．则下列说法正确的是　　 （写出所有正确说法的序号）． （1）数域必含有0，1两个数 （2）整数集是数域 （3）若有理数集Q⊆M，则数集M一定是数域 （4）数域中有无限多个元素 13.已知集合A是由a﹣2，2a2+5a，12三个元素组成的，且﹣3∈A，求a． 14．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a+b，0}，求a2016+b2017的值． 15.用描述法表示下列集合： （1）所有被3整除的整数组成的集合； （2）不等式2x﹣3＞5的解集； （3）方程x2+x+1＝0的所有实数解组成的集合； （4）抛物线y＝﹣x2+3x﹣6上所有点组成的集合； （5）集合{1，3，5，7，9}． 16.设实数集S是满足下面两个条件的集合： ①1∉S，②若a∈S，则∈S （1）求证：若a∈S，则1∈S； （2）若2∈S，则在S中必含有其他的两个数，试求出这两个数； （3）求证：集合S中至少有三个不同的元素． 17.已知集合A＝{x|x＝mn，m∈Z，n∈Z}，集合B满足B＝{x|x∈A且∈A}． （1）判断2，0，7+4中的哪些元素属于B； （2）证明：若x∈B，y∈B，则xy∈B； （3）证明：若x＝mn∈B，则m2﹣3n2＝1． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲 集合的概念 【题型1 对集合概念的理解】 【题型2 判断是否为同一集合】 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 【题型4 判断元素与集合的关系】 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【题型6 集合中的元素个数问题】 【题型7 列举法表示集合】 【题型8 描述法表示集合】 【题型9 集合元素中的新定义问题】 知识点1 集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【题型1 对集合概念的理解】 【例1】下列元素所组成的总体，能表示集合的是（　C　） A．高一年级打篮球好的学生 B．高一年级比较难的学科 C．高一年级所有男生 D．高一年级写字好的学生 【解析】 高一年级打篮球好的学生标准不明确，不能形成集合，A错误；高一年级比较难的学科，标准不明确，对象不确定，不能形成集合，B错误；高一年级所有男生，对象明确可知，是确定的，能形成集合，C正确；高一年级写字好的学生，对象不确定，不能形成集合，D错误． 【变式1-1】下列各组对象能组成集合的是（　C　） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【解析】 “羽毛球打得好”，“幽默的学生”，“学生感兴趣的学科”，都没有一个判断标准，对象不确定，不能组成集合，故A错误，B错误，D错误；对于C：2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确． 【变式1-2】下列各组对象能组成集合的是（　C　） ①我校高一年级所有聪明的学生； ②所有的平行四边形； ③所有不小于3的正整数； ④的所有近似值 A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【解析】 ①聪明的学生不具有确定性，不能组成集合；②所有的平行四边形可以明确定义，可以组成集合；③所有不小于3的正整数可以明确定义，可以组成集合；④的近似值，因为没有明确精确度，违背了集合中元素的确定性，不能组成集合。 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】下列各组集合中，表示同一集合的是（　B　） A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{3，2}，N＝{2，3} C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1} D．M＝{（3，2）}，N＝{3，2} 【解析】 根据集合的定义，依次分析选项可得：对于A：M、N都是点集，（2，3）与（3，2）是不同的点，则M、N是不同的集合，故不符合；对于B：M、N都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，符合要求；对于C：M是点集，表示直线x+y＝1上所有的点，而N是数集，表示函数x+y＝1的值域，则M、N是不同的集合，故不符合；对于D：M是点集，N是数集，表示1，2两个数，则M、N是不同的集合，故不符合。 【变式2-1】下列集合中表示同一集合的是（  D  ） A．， B．， C．， D．， 【解析】对于A：两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；对于B：M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；对于C：M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误；对于D：，，故M、N为同一集合，故D正确. 【变式2-2】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（   C ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】 因为，所以①正确；因为，，所以②不正确；因为，，故③正确；，故④错误. 【变式2-3】下列各组中的、表示同一集合的个数是（  B  ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 【解析】 在①中，是数集，是点集，二者不是同一集合，故①错误；在②中，，表示的不是同一个点，故②错误；在③中，，，二者表示同一集合，故③正确；在④中，表示数集，表示点集，故④错误. 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 【例3】（多选）若集合A＝{a2+2a，3a+2，8}，则实数a的取值可以是（　BD　） A．2 B．3 C．﹣4 D．5 【解析】 由元素的互异性可得，，解得a≠﹣4，a≠2，a≠﹣1，观察四个选项可知，BD符合． 【变式3-1】集合{2a，a2}中实数a的取值范围是（　D　） A．{a|a＝0，或a＝2} B．{a|a＝0，且a＝2} C．{a|a≠0，或a≠2} D．{a|a≠0，且a≠2} 【解析】 由题意可知，2a≠a2，解得a≠0且a≠2，故所求a的取值范围为{a|a≠0，且a≠2}． 【变式3-2】若，则a的值为（   A  ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】 因为，所以，或，或，当时，得，此时集合为，不合题意，舍去，当时，得，此时集合为，当时，得无解，综上，. 【变式3-3】若，则x的可能值为（  C  ） A．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2 【解析】 因为，当时，，不满足元素的互异性，当时，，满足互异性，当时，即或（舍）时，，满足互异性，所以或2. 知识点2 元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（   B ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 对于①，为实数，而表示实数集，所以，即①正确；对于②，2为整数，而表示整数集合，所以，即②正确；对于③，为正自然数，而表示正自然数集，所以，所以③错误；对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，即④错误. 【变式4-1】给出下列关系：①|﹣2|∉N*；②0∉Z；③；④；⑤1.21∈Q．其中正确的个数是（　B　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 因为N*，Z，Q，R分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集；对于①，|﹣2|＝2是正整数，即|﹣2|∈N*，故①错误；对于②，0是整数，即0∈Z，故②错误；对于③，是无理数，所以Q，故③错误；对于④，是实数，所以，故④正确；对于⑤，1.21是有理数，所以1.21∈Q，故⑤正确． 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】已知2∈{0，a﹣1，a+1}，则实数a的值是（　A　） A．3 B．1 C．0 D．3或1 【解析】 因为2∈{0，a﹣1，a+1}，所以a﹣1＝2或a+1＝2，解得a＝3或a＝1，当a＝3时，集合为{0，2，4}，符合题意，当a＝1时，不满足元素的互异性，舍去，所以实数a的值是3． 【变式5-1】已知集合，若，则（  C  ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【解析】 因为，，当时，则，此时，不符题意；当时，解得或（舍去），若，则，符合题意，综上所述，. 【变式5-2】已知集合，若，则a的值可能为（  D  ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【解析】 由题意若，解得或，若，解得，当时，满足题意，当时，违背了集合中元素间的互异性，当时，满足题意，综上所述，a的值可能为，8. 【题型6 集合中的元素个数问题】 【例6】已知集合A＝{x|ax2+3x+1＝0，x∈R}． （1）A中只有一个元素，求a的取值范围； （2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 【解析】 （1）当a＝0时，A＝{x|3x+1＝0}＝{}，符合条件；当a≠0时，方程ax2+3x+1＝0为一元二次方程，要使A中只有一个元素，则方程ax2+3x+1＝0只有一个实数解，所以Δ＝9﹣4a＝0⇒a．所以，a的值为0或． （2）若A中至多只有一个元素，则A中只有一个元素，或A＝∅．由（1）知：若A中只有一个元素，a的值为0或；若A＝∅，则方程ax2+2x+1＝0无实数解，所以Δ＝9﹣4a＜0⇒a．所以，a或a＝0． 【变式6-1】已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（  C  ） A． B． C．或 D．不确定 【解析】 因为集合中至多有一个元素，则：①当时，只有一个元素，符合题意；②当时，方程有两个相等的实数根或没有实数根，于是，即，解得，所以实数a应满足或． 【变式6-2】已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【解析】 （1）当时，原方程变为，此时，符合题意；当时，原方程为一元二次方程，故当，即时，原方程的解为，符合题意．综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素．当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或．当中没有元素时，，且，即．综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且，所以且，故实数的取值范围是且． 【变式6-3】集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求： (1)A中至少有几个元素？ (2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？ (3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素. 【解析】（1）因为，由①知，，而，则，而，则，所以集合A中至少有3个元素. （2）因为，由①知，，而，则，而，则，所以集合A中至少含有的元素是. （3）令，由①知，，而，则，而，则，所以集合A中至少含有的其它元素是. 知识点3 集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 列举法表示集合】 【例7】已知集合，则用列举法表示（  C  ） A． B． C． D． 【解析】 由得，，即，又，∴，故 . 【变式7-1】集合用列举法表示为（  B  ） A． B． C． D． 【解析】 由题意可得：集合. 【变式7-2】用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【解析】 （1）不大于10的非负偶数有，所以； （2）小于8的质数有，所以； （3）方程的实数根为，所以． （4）由，得，所以一次函数与图象的交点为，所以． 【变式7-3】用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【解析】 （1）方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此可以用列举法表示为． （3）函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因此可以用列举法表示为． 【题型8 描述法表示集合】 【例8】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【解析】 （1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 【变式8-1】第一象限的点组成的集合可以表示为（　C　） A．{（x，y）|xy＞0} B．{（x，y）|xy≥0} C．{（x，y）|x＞0且y＞0} D．{（x，y）|x＞0或y＞0} 【解析】 第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，即x＞0且y＞0，所以第一象限的点组成的集合可以表示为{（x，y）|x＞0且y＞0}． 【变式8-2】集合“正偶数的全体”，用描述法表示，正确的为（　A　） A．{x|x＝2n，n∈N*} B．{x|x＝2n﹣1，n∈N*} C．{x|x＝2n，n∈Z} D．{x|x＝2n+1，n∈Z} 【解析】 正偶数的全体为x＝2n，n∈N*，故集合“正偶数的全体”可描述为{x|x＝2n，n∈N*}． 【变式8-3】试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 【解析】 （1）设方程的实数根为，并且满足条件，用描述法表示为. （2）设大于10且小于20的整数为x，它满足条件，且，故用描述法表示为. （3）二次函数图象上的所有的点用描述法表示为. 【变式8-4】用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【解析】 （1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为． （3）要使有意义．则．解得且．∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 【题型9 集合元素中的新定义问题】 【例9】定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（  C  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 因为，当时，，当时，， 当时，，当时，，所以，故中的元素个数为3. 【变式9-1】定义集合运算，若，，则所有元素之和为（ D ） A．48 B．54 C．42 D．36 【解析】 当时，.当时，.当时，.当时，.当时，.当时，.所以.再求元素之和： 【变式9-2】已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，定义集合A、B之间的运算，A*B＝{x|x∈A且x∉B}，则集合A*B等于（　C　） A．{1，2，3} B．{2，4} C．{1，3} D．{2} 【解析】 由题意知，A*B＝{x|x∈A且x∉B}，当A＝{1，2，3}，B＝{2，4}时，A*B＝{1，3}． 【课后练习】 1.下列各组对象能构成集合的是（　D　） A．所有游泳高手 B．2024年高考数学难题 C．某校所有高个子的男生 D．小于π的正整数 【解析】 所有游泳高手，不具有确定性，不能构成集合，A不正确；2024年高考数学难题，不具有确定性，不能构成集合，B不正确；某校所有高个子的男生，不具有确定性，不能构成集合，C不正确；小于π的正整数，具有确定性，能构成集合，D正确． 2.给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合；②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；③高科技产品构成一个集合；④所有不大于的自然数构成一个集合；⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（ D  ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【解析】 对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误；对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确；对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误；对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确；对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误 3.（多选）给出下列说法，其中正确的有（　AC　） A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 【解析】 对于A：中国的所有直辖市，元素具备确定性，可以构成集合，A正确；对于B：较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误；对于C：正偶数的全体，元素具备确定性，可以构成集合，C正确；对于D：大于2023且小于2030的所有整数，元素具备确定性能构成集合，D错误． 4.下列关系中，正确的是（　C　） A．﹣2∈N+ B．π∈Q C．0∈N D． 【解析】 因为﹣2不是正整数，所以﹣2∉N+，故选A错误；因为π是无理数，所以π∉Q，故B错误；因为0是自然数，所以0∈N，故C正确；因为不是整数，所以，故D错误． 5.已知集合，则用列举法表示A＝（　B　） A．{﹣2，0，1，2，4} B．{﹣2，0，2，4} C．{0，2，4} D．{2，4} 【解析】 因为集合，由题意可得x﹣1可为±1、±3，即x可为0，2，﹣2，4，即A＝{﹣2，0，2，4}． 6.用描述法表示函数y＝3x+1图象上的所有点的是（　C　） A．{x|y＝3x+1} B．{y|y＝3x+1} C．{（x，y）|y＝3x+1} D．{y＝3x+1} 【解析】 根据集合描述法定义可得函数y＝3x+1图象上的所有点的集合是{（x，y）|y＝3x+1} 7.（多选）下列用描述法表示的集合，正确的是（　ACD　） A．奇数集可以表示为{x∈Z|x＝2k+1，k∈Z} B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x|x＜10} C．{x|x＞2}表示大于2的全体实数 D．不等式x2﹣1＞0的解集表示为{x|x2﹣1＞0} 【解析】 对于A：奇数集可以表示为{x∈Z|x＝2k+1，k∈Z}，故A正确；对于B：“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x∈Z|x＜10}，故B错误；对于C：{x|x＞2}表示大于2的全体实数，故C正确；对于D：不等式x2﹣1＞0的解集表示为{x|x2﹣1＞0}，故D正确． 8.已知集合A＝{m+2，2m2+m}，若3∈A，则m的值为（　B　） A．1 B． C．1或 D．﹣1或 【解析】 ∵3∈A，∴m+2＝3时，m＝1，此时不满足集合元素的互异性，即m≠1；2m2+m＝3时，解得m或1（舍去），即m． 9.（多选）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A是U的子集，当x∈A时，x﹣1∉A且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（　ABD　） A．若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素 B．若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素 C．若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个 D．若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个 【解析】 对于A：由题意，孤立元素不相邻，集合U中最多同时找出3个孤立元素，故A正确；对于B：若A中只有1个元素，则必为孤立元素，故B正确；对于C：易知这样的集合A有{0，2}，{0，3}，{0，4}，{0，5}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，4}，{2，5}，{3，5}共10个，故C项错误；对于D：不含“孤立元素”且包含有4个元素的集合有{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个，故D正确． 10.数集{1，a，a2﹣a}中的元素a不能取的值是 　　 ．0，1，2， 【解析】 由集合中的元素满足互异性可知，解得a≠1且且a≠2且a≠0． 11.由单词“deepseek''中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素共有　　 个．5 【解析】 由元素的确定性、互异性和无序性可知，集合A＝{d，e，p，s，k}，所以集合A中的元素共有5个． 12.设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意a、b∈P，都有a+b、a﹣b、ab∈P，且若b≠0，则，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．则下列说法正确的是　　 （写出所有正确说法的序号）．（1）（4） （1）数域必含有0，1两个数 （2）整数集是数域 （3）若有理数集Q⊆M，则数集M一定是数域 （4）数域中有无限多个元素 【解析】 对于（1），由题意得，任取a，b∈P，b≠0，令a＝b，则a﹣b＝0∈P，1∈P，∴数域必含有0，1两个数，故（1）正确；对于（2），令a＝1，b＝2，则a，b∈Z，但，故（2）错误；对于（3），令M＝Q∪{}，取a＝1，b，a+b＝1∉M，故（3）错误；对于（4），∵数域必含0，1两个数，由加法封闭性得可生成1+1＝2，1+2＝3，……，再由除法封闭性可生成，2，……，等，会生成无穷多个元素，∴数域中有无限多个元素，故（4）正确． 13.已知集合A是由a﹣2，2a2+5a，12三个元素组成的，且﹣3∈A，求a． 【解析】 ∵﹣3∈A；∴a﹣2＝﹣3，或2a2+5a＝﹣3；∴；∵a＝﹣1时，A＝{﹣3，﹣3，12}，不满足集合元素的互异性；而a时，；∴． 14．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a+b，0}，求a2016+b2017的值． 【解析】 由，可得a≠0，a≠1（否则不满足集合中元素的互异性）．因为含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a+b，0}，所以或解得或 经检验a＝﹣1，b＝0满足题意．所有a2016+b2017＝（﹣1）2016＝1． 15.用描述法表示下列集合： （1）所有被3整除的整数组成的集合； （2）不等式2x﹣3＞5的解集； （3）方程x2+x+1＝0的所有实数解组成的集合； （4）抛物线y＝﹣x2+3x﹣6上所有点组成的集合； （5）集合{1，3，5，7，9}． 【解析】 （1）所有被3整除的整数组成的集合为{x|x＝3k，k∈Z}； （2）不等式2x﹣3＞5的解集为{x|x＞4，x∈R}； （3）方程x2+x+1＝0的所有实数解组成的集合为{x|x2+x+1＝0，x∈R}； （4）抛物线y＝﹣x2+3x﹣6上所有点组成的集合为{（x，y）|y＝﹣x2+3x﹣6}； （5）集合{1，3，5，7，9}为{x|x＝2n﹣1，1≤n≤5且n∈N*}． 16.设实数集S是满足下面两个条件的集合： ①1∉S，②若a∈S，则∈S （1）求证：若a∈S，则1∈S； （2）若2∈S，则在S中必含有其他的两个数，试求出这两个数； （3）求证：集合S中至少有三个不同的元素． 【解析】 （1）证明：若a∈S，则∈S ∴∈S，∴1∈S； （2）若2∈S，则1∈S，则∈S，所以另外两个数是﹣1和． （3）证明：由（1）得：1∈S；令1a，即a2﹣a+1＝0，此时判别式Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程无解，同理1也无解，故集合S中至少有三个不同的元素：a，1，． 17.已知集合A＝{x|x＝mn，m∈Z，n∈Z}，集合B满足B＝{x|x∈A且∈A}． （1）判断2，0，7+4中的哪些元素属于B； （2）证明：若x∈B，y∈B，则xy∈B； （3）证明：若x＝mn∈B，则m2﹣3n2＝1． 【解析】 （1）因为，所以；因为，所以；因为0没有倒数，所以0∉B；因为，所以；综上可得，； （2）证明：若x∈A，y∈A，则xy∈A；设，，S，t，p，q为整数，所以，由于sp+3tq，sq+tp 都是整数，所以xy∈A，当x∈B，y∈B时，，，所以，所以 xy∈B； （3）证明：因为，所以，所以都是整数，所以为整数，所以m2﹣3n2＝±1，假如m2﹣3n2＝﹣1，则m2+1＝3n2，则m2+1应为3的倍数，设k为整数，若 m＝3k，则m2+1＝9k2+1不是3的倍数；若 m＝3k+1，则m2+1＝9k2+6k+2＝3（3k2+2k）+2不是3的倍数；若 m＝3k+2，则m2+1＝9k2+12k+5＝3（3k2+4k+1）+2不是3的倍数；所以m2﹣3n2≠﹣1即m2﹣3n2＝1． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $