精品解析：山东省济南市钱学森高级中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025-2026年第一学期济南市钱学森高级中学高二开学考 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题．（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数除法化简即可. 【详解】. 故选：A 2. 某羽毛球俱乐部有队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样可得出关于的等式，解之即可. 【详解】根据分层抽样可得，解得． 故选：D． 3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据基底的定义依次判断各项对应向量是否能作为基底即可. 【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合. 故选：D 4. 如图，在正方体中，二面角的大小为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面，可知，同时，可知二面角的平面角为，即可得结果. 【详解】由题可知： 在正方体中，平面 由平面，所以，又 所以二面角的平面角为， 因为，则 故选：B 【点睛】本题考查二面角的平面角的大小，关键在于找到该二面角的平面角，考查观察能力以及概念的理解，属基础题. 5. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”，则事件与事件的关系为（ ） A. 相互独立 B. 互斥 C. 互为对立 D. 相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据是否相等判断独立性，由互斥、对立及相等事件的定义判断B、C、D. 【详解】由题意，，且，即， 而事件可以同时发生，故它们不互斥，更不相等； 由于“第一枚出现偶数点”， “第二枚出现点数超过3”，则不是对立事件； 综上，A正确，B、C、D错误. 故选：A 6. 已知是两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件定义判断可得答案. 【详解】若，则存在，使得，又，所以，可得， 故“”是“”的充分条件； 若，且，则可能在平面内，得不到， 故“”不是“”的必要条件． 综上，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 7. 在中，内角、、所对的边为、、，若，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理可求得的值. 【详解】由余弦定理可得，可得. 由正弦定理可得. 故选：A. 8. 如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（ ） A. B. 2dm C. 3dm D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合圆锥体积公式，利用液体的体积相等可求答案. 【详解】因为圆锥的底面半径为2dm，母线长为，所以高为， 当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的， 所以液面的半径为1，此时液体的体积为， 当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥， 设圆锥的底面半径为，高为，则有，即， .此时液体的体积为， 由，得，所以. 故选：D. 二、多选题．（共3小题，每题6分，选全得满分，选对部分得部分分，选错得0分，共18分） 9. 下列四个命题为真命题的是（ ） A. 已知非零向量，，，若，，则 B. 若四边形中有，则与共线 C. 已知，，，可以作为平面向量的一组基底 D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量共线定理，基底的定义，以及投影向量公式，即可判断选项. 【详解】A. 已知非零向量，，，根据平行向量的传递性可知，若，，则，故A正确； B. 由向量共线定理可知，若四边形中有，则与共线，故B正确； C.因为，所以，所以，不可以作为平面向量的一组基底，故C错误； D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为，故D错误. 故选：AB 10. 已知古典概型的样本空间及事件和事件，满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别计算出，再结合古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】由题意， 所以，，. 故选：BCD. 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若，的平分线交于点，，则的最小值为9 【答案】BD 【解析】 【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项，由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D项，根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】选项A，因为，即， 所以有 整理可得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确. 选项C，如图，若有两解，则， 所以，则b的取值范围是，故C错误． 选项D，的平分线交于点，， 由，由角平分线性质和三角形面积公式， 得，即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故D正确. 故选：BD 三、填空题．（共3小题，每题5分，共15分） 12. 若向量在单位向量上的投影向量为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合投影向量的概念以及平面向量数量积的概念求值即可. 【详解】由题意：， 所以. 故答案为： 13. 已知复数z满足，则的最小值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】由复数的几何意义及给定等式的特点，是复平面内的一条线段，求出线段上的点与点(1，0)距离最小值得解. 【详解】由复数几何意义知，在复平面内，与分别表示复数z对应点M到定点A(0，3)与B(-2，0)的距离， 而，于是有，动点M在线段AB上，如图： 表示定点C(1，0)到动点M的距离，是锐角三角形， 点C到线段AB上动点M的距离最小值即是AB边上的高CD， ，由， 所以的最小值是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：是两个复数，的几何意义是：复平面内，表示复数对应点与表示复数对应点的两点间距离. 14. 如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________米.（保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】中，利用正弦定理求出，在中，，代入求值即可. 【详解】因为， 在中，， 由正弦定理得，即，解得， 在中，， 即纪念碑高为米. 故答案为：. 四、解答题．（共5小题，共77分） 15. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求； （2）若，且与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示求得，进而得到，再利用向量的模长公式即可得解； （2）利用向量线性运算的坐标表示得到与，再利用向量垂直的坐标表示列式即可得解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，，， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以，， 又与垂直，所以， 即，则. 16. 在中，内角、、所对的边分别是，，，且． （1）求； （2）已知，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的正弦定理和三角恒等变换即可求出， （2）根据三角函数的正弦定理和余弦定理求出,在由三角形面积公式得出结果. 【小问1详解】 方法1：， 由正弦定理： 可得；而 ，故； 又， ，， 且， ， ，. 方法2： ， 由正弦定理：， 可得；即； 其中， ，即； ， ，. 【小问2详解】 方法1：由正弦定理： ， 由余弦定理：， 故； 解得 由（1）可知， ， . 方法2：， ，， 得， ， ，， ，即， 等边三角形， . 17. 垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措. 住建部于6月28日拟定了包括我市在内的46个重点试点城市，要求这些城市在2020年底基本建成垃圾分类处理系统，为此，我市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中 的值，并估计测试的平均成绩; （2）学校要求对不及格 (60 分以下)的同学进行补考，现按分层抽样的方法在 的同学抽取 5 名，再从这 5 名同学中抽取 2 人，求这 2 人中至少有一人需要补考的概率. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可求出及平均值； （2）由分层抽样抽出样本编号，列出所有基本事件，根据古典概型求解. 【小问1详解】 由题意得:， 解得， 平均成绩为: . 【小问2详解】 由题意知抽取的5人中， (不及格) 有两人，记为；有 3 人，记为. 随机试验的所有可能结果有：共 10 个， 其中至少有 1 人需要补考的结果有：共 7 个. 所以所求概率为. 18. 如图，在三棱柱中，平面． （1）证明：平面平面； （2）设，求四棱锥的高． 【答案】（1）证明：因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面； (2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为. 因为平面，平面, 所以,, 又因为，为公共边， 所以与全等，所以. 设，则， 所以为中点，, 又因为,所以, 即，解得， 所以， 所以四棱锥的高为． 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是内一点，且，，，E，F，G为垂足，记，，． （1）若，，，，AP的延长线交BC于点D，求AD； （2）若，，，求及PB； （3）证明：，当且仅当且时，等号成立． 【答案】（1） （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，得为角的角平分线，由即可求解； （2）由，利用正弦定理得，利用三角恒等变换得，利用二倍角的余弦公式得，进而得，在中，利用余弦定理解得，进而求得； （3）先证，即，同理，，最后利用基本不等式即可得证. 【小问1详解】 因为，所以为角的角平分线， 因为，所以， 因为， 所以， 解得； 【小问2详解】 因为，， 所以，， 因为，所以， 可得， 即， 即，因为， 所以， 可得，所以， 在中，， 所以； 【小问3详解】 因为 ， 所以， 当且仅当时，等号成立，- 同理，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当且时，等号成立．- 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年第一学期济南市钱学森高级中学高二开学考 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题．（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知复数（ ） A. B. C. D. 2. 某羽毛球俱乐部有队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，在正方体中，二面角的大小为 A. B. C. D. 5. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”，则事件与事件的关系为（ ） A. 相互独立 B. 互斥 C. 互为对立 D. 相等 6. 已知是两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 在中，内角、、所对的边为、、，若，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（ ） A. B. 2dm C. 3dm D. 二、多选题．（共3小题，每题6分，选全得满分，选对部分得部分分，选错得0分，共18分） 9. 下列四个命题为真命题的是（ ） A. 已知非零向量，，，若，，则 B. 若四边形中有，则与共线 C. 已知，，，可以作为平面向量的一组基底 D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 10. 已知古典概型的样本空间及事件和事件，满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若，的平分线交于点，，则的最小值为9 三、填空题．（共3小题，每题5分，共15分） 12. 若向量在单位向量上的投影向量为，则______. 13. 已知复数z满足，则的最小值是__________ 14. 如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________米.（保留根号） 四、解答题．（共5小题，共77分） 15. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求； （2）若，且与垂直，求实数的值. 16. 在中，内角、、所对的边分别是，，，且． （1）求； （2）已知，，求的面积. 17. 垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措. 住建部于6月28日拟定了包括我市在内的46个重点试点城市，要求这些城市在2020年底基本建成垃圾分类处理系统，为此，我市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中 的值，并估计测试的平均成绩; （2）学校要求对不及格 (60 分以下)的同学进行补考，现按分层抽样的方法在 的同学抽取 5 名，再从这 5 名同学中抽取 2 人，求这 2 人中至少有一人需要补考的概率. 18. 如图，在三棱柱中，平面． （1）证明：平面平面； （2）设，求四棱锥的高． 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是内一点，且，，，E，F，G为垂足，记，，． （1）若，，，，AP的延长线交BC于点D，求AD； （2）若，，，求及PB； （3）证明：，当且仅当且时，等号成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $