精品解析：吉林省长春市力旺实验初级中学2025--2026学年八年级上学期开学考试数学试题

长春力旺实验中学 2025-2026学年度上学期八年级数学假期验收试题 满分：100分 时间：60分钟 一、选择题 1. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确，符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，故D选项错误，不符合题意； 故选A． 2. 《九章算术》中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．大意是：有几个人一起去买一件物品，若每人出8钱，则多了3钱；若每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，该物品价值多少钱．设有x人，物品价值y钱，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找等量关系列方程即可求解． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 3. “动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由图可知，2个正边形的一个内角的度数加上一个正方形的内角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：由题可知2个正边形的一个内角加上一个正方形的内角，和为， ∴正边形的一个内角的度数为， ∴正边形的一个外角的度数为， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查正多边形的外角和，以及镶嵌问题．正确的识图，求出正边形的一个外角的度数是解题的关键． 4. 如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是( ) A. 甲 B. 乙 C. 甲或乙 D. 甲或乙均不可以 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为． ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即 ∴ ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙． 故选：B． 5. 如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图垂直平分线及三角形的周长，熟练掌握中垂线的尺规作图方法和中垂线性质是解决问题的关键． 根据题中尺规作图可知是线段的垂直平分线，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线， 是线段的垂直平分线， ， ， 故选：B 6. 若关于的不等式组的解集为，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 故， 故选：C． 二、填空题 7. 若方程与的解相同，则a的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查同解方程，先求出的解，然后将解代入，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 把代入，得，解得：； 故答案为：． 8. 不等式组的最大整数解是________． 【答案】3 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后求出最大整数解即可． 【详解】解：由，得：； 由，得：， ∴不等式组的解集为：； ∴最大整数解是3； 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了求不等式组的解集及其最大整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 9. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据平移的性质、梯形的面积公式计算是解决问题的关键． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， 由平移可知，， ． 10. 如图，，，，，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．根据证明得，，进而可求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在中，．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设，由等边对等角和三角形内角和定理可得，进而得到，再由三角形外角的性质可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是______． 【答案】##68度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，则可得和的大小，据此建立等式，化简求解即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程、解二元一次方程组，熟练掌握方程和方程组的解法是解题关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （2）方程组中的第一个方程的两边同乘以4，减去第二个方程消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程，解方程可得的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘以20去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【小问2详解】 解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 14. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，不等式①②的解集在数轴上表示如图： 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集以及在数轴上表示其解集的相关知识，学生应在理解的基础上记住解不等式（组）的步骤求出解集，并通过数轴表示解集的公共部分，本题运用了数形结合的思想． 分别解每个不等式，再取不等式的解集的公共部分可得不等式组的解集，并把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以原不等式组的解集为． 15. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，点O、也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）平移，使点A移动到点位置，画出平移后的； （2）画出绕点O顺时针旋转得到的； （3）画出关于点O对称的． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】本题考查了平移作图、旋转作图、画中心对称图形，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）根据点可得平移方式是先向右平移3个网格，再向上平移1个网格，再据此画出点，顺次连接点即可得； （2）根据旋转的性质画出点，再顺次连接即可得； （3）先根据中心对称的性质画出点，再顺次连接即可得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． ． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． ． 【小问3详解】 解：如图，即为所求． ． 16. 如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证： 【答案】 证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】由于与是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到． 【详解】略 17. 如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的． 例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的． （1）下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）； ①，②，③ （2）已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围． 【答案】（1）②③ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义解答，即可求解； （2）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组，即可求解； 【小问1详解】 解：，解得：， ∴不等式的所有整数解为大于等于2的全体整数， ①，解得：，其所有整数解为大于等于5的全体整数，不符合题意； ②，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意； ③，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意； 故答案为：②③ 【小问2详解】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴其所有整数解为， ， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组与是“整数同解”的， ∴不等式组的所有整数解为， ∴， 解得： 18. 如图，在中，，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，交延长线于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接AD，过点C作，交延长线于点M，垂足为点F，连接交于点N，猜想和的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质以及已知条件证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质和判定可得平分、，则，进而得到垂直平分可得，进而得到，再根据角的和差可得，然后根据全等三角形的性质以及等量代换可得，最后根据等角对等边即可证明． 【小问1详解】 证明：， ， ， 绕点C顺时针旋转得到线段， ，， 在中，， ， ． 【小问2详解】 解：，证明如下： ，， ∴，， 垂直平分， ， ， ，即， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 19. 如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）当点P在边上运动时，______（用含t的代数式表示）； （2）当点P与点Q重合时，求t的值； （3）当时，求t的值； （4）若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解； （3）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； 【小问1详解】 解：当时，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，不重合， 当重合时，， ； 【小问3详解】 解：当时，或， 解得，或， 【小问4详解】 解：当点在上时，连接，如图甲所示， ， ， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，如图乙所示， ， ， ， 解得； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春力旺实验中学 2025-2026学年度上学期八年级数学假期验收试题 满分：100分 时间：60分钟 一、选择题 1. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 《九章算术》中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．大意是：有几个人一起去买一件物品，若每人出8钱，则多了3钱；若每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，该物品价值多少钱．设有x人，物品价值y钱，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 3. “动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是( ) A. 甲 B. 乙 C. 甲或乙 D. 甲或乙均不可以 5. 如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式组的解集为，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题 7. 若方程与的解相同，则a的值是______． 8. 不等式组的最大整数解是________． 9. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为________． 10. 如图，，，，，则______°． 11. 如图，在中，．若，则的度数为______． 12. 如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是______． 三、解答题 13. 解方程： （1） （2） 14. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 15. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，点O、也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）平移，使点A移动到点位置，画出平移后的； （2）画出绕点O顺时针旋转得到的； （3）画出关于点O对称的． 16. 如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证： 17. 如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的． 例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的． （1）下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）； ①，②，③ （2）已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围． 18. 如图，在中，，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，交延长线于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接AD，过点C作，交延长线于点M，垂足为点F，连接交于点N，猜想和的数量关系，并加以证明． 19. 如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）当点P在边上运动时，______（用含t的代数式表示）； （2）当点P与点Q重合时，求t的值； （3）当时，求t的值； （4）若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $