精品解析：30届世界奥林匹克数学竞赛中国区八年级复赛试卷

第30届WMO融合创新讨论大会（复测） 八年级 须知： 1．测评期间，不得使用计算工具或手机． 2．选择题共10小题，共40分；填空题共6小题，共30分；解答题共5题，共50分；共120分． 3．请将答案写在答题卡上．测评结束时，本卷、答题卡及草稿纸会被收回． 4．若计算结果是分数，请化至最简． （满分120分，时间90分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 若（且），则，已知，那么a、b、c三者之间的关系正确的有（ ）个 ①；②；③；④ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据幂的运算法则进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ； ①，故此结论错误； ②，故此结论正确； ③， ，故此结论正确； ④ ，故此结论正确； ∴正确的有：②③④． 故答案为：D． 2. 若，其中A、B、C均为常数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键，先将进行通分，得到，再根据，得到，从而求得，代入即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 3. 如图，点A的坐标是，像这样横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．若在x轴正半轴上有整点（n为正整数），则内部（不包括边界）的整点个数m的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，新定义，点的规律．先理解整点的定义，再研究当时，整点为共三个点，当时，点B的横坐标的值是4；当点B的横坐标为8时，即时，整点个数，当点B的横坐标为12时，即时，整点个数，故当点B的横坐标为（n为正整数）时，，即可作答． 【详解】解：如图： ∵点A的坐标是，像这样横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．且在x轴正半轴上有整点（n为正整数）， ∴当时，则点B在点时，内部（不包括边界）的整点为共三个点， ∴当点B的横坐标的4时，； 当点B的横坐标为8时， 即时，内部（不包括边界）的整点个数， 当点B的横坐标为12时， 即时，内部（不包括边界）的整点个数， ∴当点B的横坐标为（n为正整数）时，； 故选：B 4. 化简，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，完全平方公式等知识，根据二次根式的混合运算和完全平方公式逐步化简即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 5. 博士最近有一个新爱好——密码编译，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，和常数分别对应下列字母或汉字：脑、动、W、M、开、筋、O、爱，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 动脑筋 B. 爱动脑筋M C. W爱动脑筋 D. 爱开动脑筋 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式，平方差公式将式子因式分解，再根据题中的密码编译可得到密码信息是：爱开动脑筋，从而得到答案． 【详解】解： ∵对应的密码是开，对应的密码是动，对应的密码是脑，对应的密码是筋，而3是常数，它对应的密码是爱， ∴合起来的密码信息可能是：爱开动脑筋， 故选：D． 6. 一块凸多边形的菜地，刘爷爷用一条直线将其划分成两块，其中一块三角形的地种黄瓜，另一块地种西红柿，若种西红柿的地的内角和是，则原来菜地的边有（ ）条 A. 7 B. 8 C. 9 D. 以上都对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，以及直线划分凸多边形的相关知识，解决本题的关键是分析直线划分凸多边形的不同情况． 先根据多边形内角和求出种西红柿的地的边数，再根据直线划分多边形的情况来确定原菜地的边数即可． 【详解】解：设切下一个三角形后多边形的边数x， 由题意得，， 解得， ∴种西红柿的地的边数为八边形， ∵一条直线将凸边形菜地划分为一块三角形和八边形， 当直线与凸多边形的两个顶点相连时，则原凸多边形菜地的边数为条， 当直线经过凸多边形的一个顶点和一条边时，则原凸多边形菜地的边数为8， 当直线与凸多边形的两条边相交时，则原凸多边形菜地的边数条． ∴原来菜地的边有7条或8条或9条． 故选：D． 7. 小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题、解一元二次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，再代入一元二次方程，利用直接开平方法解方程即可得． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴， 解得， ∴一元二次方程可化为， 解得， 故选：A． 8. 《西游记》中孙悟空的法宝如意金箍棒可以随心所欲地变大变小、变长变短．一天，孙悟空将金箍棒取出变长到，猪八戒说：“嘿，这棒子若再伸长就能正好分成x根长的小段和y根长的小段了．”沙僧说：“嗯，这棒子若再缩短就能正好分成根长的小段和根长的小段了．”则a可能是（ ） A. 25 B. 26 C. 27 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得，解得，，再根据x、y都是整数，得到或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题可得：， ∴， 得：， ∴，， ∵x、y都是整数， ∴或， ∴或， 故选：C． 9. 如图，过点A作的一条内角平分线，交于点D，且，交于点E，且，若，则图中两个阴影三角形的面积最大相差（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是角平分线有关计算，等腰三角形的判定和性质，三角形面积公式，掌握其性质定理是解决此题的关键． 延长、交于点H．设交于点O，证明，得，得，证明，得，可得，得，得当时，的面积最大，为． 【详解】延长、交于点H．设交于点O． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故选：A． 10. 如图，在中，，取的内心记为点O，分别作交于点M，交于点N，且．则下列说法：①；②四边形的面积为面积的2倍；③当时，的周长有最小值；④过点M、N，且以点O为圆心的圆是的外接圆．则下列说法不正确的是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，连接，过点O作于点D，E，根据点O为的内心，可判断④，证明，得到，求得，当作点N关于的对称点，连接，此时，但是，，可判断①，得到四边形的面积，则四边形的面积是定值，根据的形状不固定，则三角形的面积也不固定，可判断②，过点O作于点F，先求出的周长，则当最小时，即当时，的周长取得最小值，可判断③，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点D，E， 点O为的内心，即为三角形内切圆圆心，故④符合题意； ∴是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 当取点N关于的对称点，连接，此时，但是，，所以①的判断不一定正确，故①符合题意 ， ∴四边形的面积， 点D的位置固定， ∴四边形的面积是定值， ， 的形状不固定，三角形的面积也不固定，故②符合题意； 如图，过点O作于点F， ， ， ， 的周长， 当最小时，即当时，的周长取得最小值， 此时，， ， ， 是等边三角形， ， ∴当时，的周长有最小值，故③不符合题意， 故选：D． 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，根据条件式，利用完全平方公式变形求出的值，的值，将所求代数式利用平方差公式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴； 故答案为：． 12. 的解是______________． 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，先对原方程进行化简整理，再解分式方程，最后要验根． 【详解】 化简得 则， 解得． 检验：当时，故是增根， ∴原方程无解， 故答案为：原方程无解． 13. 如图，在平面直角坐标系中有一个的正方形网格，每个格点的横、纵坐标均为整数，已知点，作直线并向右平移k个单位，要使分布在平移后的直线两侧的格点数相同，则k的值是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，正确理解题意是解题的关键． 先由待定系数法求出直线的表达式，再由一次函数图象平移的规律求出直线的表达式，再求出其与轴交点即可． 【详解】 如图所示，设直线为，则 由点，可得， 又平移后的直线两侧的格点数相同， 平移后的直线过点、， 设直线的解析式为，则 由，可得， 解得， ∴直线的解析式为， 令， 则， 即直线与x轴的交点是，其与原点的距离是1． ∴k的值为1． 故答案为：1． 14. 长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长度为_______． 【答案】16或17##17或16 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的运用，将四根木棍中的任意两根连接成一根，判断与另外两根能否构成三角形，即可求解． 【详解】解：由题意得：5，6，，，不能组成三角形； ，11，16，，能组成三角形，最长边长度为16； 5，，16，，能组成三角形，最长边长度为17； 6，11，，，不能组成三角形； 6，16，，，能组成三角形，最长边长度为16； 5，11，，，不能组成三角形； 得到的三角形的最长边的长度为16或17． 故答案为：16或17． 15. 如图，小泉设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成黄色，然后缠绕红色油纸．已知圆筒高，其圆筒底面周长为，如果在表面缠绕油纸4圈，最短需裁剪油纸_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，解题的关键是将圆柱的侧面展开成矩形，把曲面问题转化为平面几何中的直角三角形问题来求解． 将圆筒侧面展开为矩形，把缠绕油纸的问题转化为求直角三角形斜边长度，再乘以圈数得到油纸最短长度． 【详解】解：如图，将圆筒展开后成为一个矩形，整个油纸也随之分成相等4段只需求出长即可， 在中， ，， ， ， ∴最短需裁剪油纸． 故答案为：2． 16. 如图，点D在点A、C两点之间运动（不与点A、C重合），，．若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，过点C作于G，先求出，，再证明得出，进而可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：过点C作于G，如图： ， ∵， ∴，， 设，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（共5小题，共50分） 17. 对于实数a、b，定义一种新运算“☆”为：． （1）若，求的值； （2）若，且解集中恰有5个整数解，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据新运算对条件式进行变形，然后解二元一次方程组即可； （2）由新运算得到的范围，根据整数解进行筛选即可． 【小问1详解】 解：若，则 ，整理得， 解得， 则； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ， 则， ∵解集中恰有5个整数解， ∴， ∴， 解得：． 18. 在平面上作，再在点B的对面取点D，使，且四边形为凸四边形，连．若，那么、、三边能否组成直角三角形？为什么？ 【答案】 解：、、三边能组成直角三角形． 理由如下：以为边作等边，连接、．如图所示． ， ， ①， ， ∴ ， ， 是等边三角形， ∴， ， 又∵在和中，，， ， ， ， 由①式，可得． 、、三边能组成直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 以为边作等边，连接、，可知，根据得到，证明是等边三角形，进而证明，等量代换得到，即可证明、、三边能组成直角三角形． 【详解】略 19. 为庆祝建党100周年，某银行发行了A、B两种纪念币，已知4枚A型纪念币和3枚B型纪念币面值共需80元，5枚A型纪念币和6枚B型纪念币共需145元． （1）求每枚A、B两种型号的纪念币面值各多少元？ （2）若欧欧准备用至少800元的金额购买两种纪念币共50枚，求B型纪念币最少要采购多少枚？ （3）在（2）的条件下，若欧欧最多要购买B型纪念币39枚，则共有几种购买方案，请罗列出来哪种方案花费最少？ 【答案】（1）A种面值为5元，B种面值为20元； （2）37； （3）3种，A型13枚B型37枚． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，方案设计与优化，正确列出二元一次方程组并根据限制条件列出一元一次不等式是解决本题的关键． （1）通过设未知数，根据两种纪念币不同数量组合的面值关系构建方程组求解即可； （2）依据购买金额的限制条件列出不等式求解即可； （3）在给定B型纪念币数量范围的条件下，找出所有可能得购买方案，并通过计算各方案的费用，确定最划算的方案即可． 【小问1详解】 解：设每枚A种型号的纪念币面值为x元，每枚B种型号的纪念币面值为y元， 由题意得：，解得：， 答：每枚A种型号的纪念币面值为5元，每枚B种型号的纪念币面值为20元； 【小问2详解】 解：设B型纪念币能采购m枚，则A型纪念币能采购枚， 由题意得：， 解得：， 因为m为整数，所以m最少是37． 答：B型纪念币最少要采购37枚； 【小问3详解】 解：由题意得：， m为正整数， ∴m为37或38或39， ∴共有3种购买方案： ①B型纪念币能采购37枚，A型纪念币能采购13枚，费用为：（元） ②B型纪念币能采购38枚，A型纪念币能采购12枚，费用为：（元） ③B型纪念币能采购39枚，A型纪念币能采购11枚，费用为：（元） ， ∴花费最少的购买方案为：A型纪念币能采购13枚，B型纪念币能采购37枚． 20. 如图，圆O的半径是，，若点P三等分弧，求线段的长． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，角所对直角边等于斜边一半，勾股定理等知识，先得出点C是半圆弧的中点，得，由勾股定理求出，再分和两种情况，运用勾股定理可求出结论． 【详解】解：， ∴点C是半圆弧的中点， ， ∵是的直径， ∴， ， 的半径为， ， 又， ， 当时，如图， ， ，且， ∴， 在中，， ∴ ， ， 当时， 如图2，过点E作于点H， ∵， ， ∴， 在中，， ∴， （负值舍去）， ， ， ， ∴， ， ， ， 综上所述：或． 21. 如图，在直角坐标系中，点，，，，且a、b满足． （1）直接写出A、B、C、D四点的坐标； （2）当时，求证：； （3）当时，在坐标轴上是否存在点M，使得是等腰三角形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 证明：由（1）可得四边形是正方形． 如图1，在的延长线上找一点F，使，连接， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）存在；或或或或或． 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系下点的坐标，完全平方公式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理解三角形．需熟练掌握全等三角形的判定定理，对于等腰三角形中的腰进行分类讨论是解决本题的关键． （1）将整理为完全平方式，求出a与b的值即可求解坐标； （2）由边角边的方法证明和全等，由此可得，再由边角边的方法证明和全等，由此可证； （3）根据等腰三角形的性质，分类讨论腰，即，，三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：， 整理得， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：有3种情况共6个点： ①当时，如图2， 中，， ， ； ②当时，如图3， ， ， 在中，， ， ； ③当时，如图4， ， ， 综上，点M的坐标为：或或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30届WMO融合创新讨论大会（复测） 八年级 须知： 1．测评期间，不得使用计算工具或手机． 2．选择题共10小题，共40分；填空题共6小题，共30分；解答题共5题，共50分；共120分． 3．请将答案写在答题卡上．测评结束时，本卷、答题卡及草稿纸会被收回． 4．若计算结果是分数，请化至最简． （满分120分，时间90分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 若（且），则，已知，那么a、b、c三者之间的关系正确的有（ ）个 ①；②；③；④ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 若，其中A、B、C均为常数，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A的坐标是，像这样横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．若在x轴正半轴上有整点（n为正整数），则内部（不包括边界）的整点个数m的值是（ ） A. B. C. D. 4. 化简，结果是（ ） A. B. C. D. 5. 博士最近有一个新爱好——密码编译，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，和常数分别对应下列字母或汉字：脑、动、W、M、开、筋、O、爱，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 动脑筋 B. 爱动脑筋M C. W爱动脑筋 D. 爱开动脑筋 6. 一块凸多边形的菜地，刘爷爷用一条直线将其划分成两块，其中一块三角形的地种黄瓜，另一块地种西红柿，若种西红柿的地的内角和是，则原来菜地的边有（ ）条 A. 7 B. 8 C. 9 D. 以上都对 7. 小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 8. 《西游记》中孙悟空的法宝如意金箍棒可以随心所欲地变大变小、变长变短．一天，孙悟空将金箍棒取出变长到，猪八戒说：“嘿，这棒子若再伸长就能正好分成x根长的小段和y根长的小段了．”沙僧说：“嗯，这棒子若再缩短就能正好分成根长的小段和根长的小段了．”则a可能是（ ） A. 25 B. 26 C. 27 D. 31 9. 如图，过点A作的一条内角平分线，交于点D，且，交于点E，且，若，则图中两个阴影三角形的面积最大相差（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，取的内心记为点O，分别作交于点M，交于点N，且．则下列说法：①；②四边形的面积为面积的2倍；③当时，的周长有最小值；④过点M、N，且以点O为圆心的圆是的外接圆．则下列说法不正确的是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ①②④ 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 已知，则_______． 12. 的解是______________． 13. 如图，在平面直角坐标系中有一个的正方形网格，每个格点的横、纵坐标均为整数，已知点，作直线并向右平移k个单位，要使分布在平移后的直线两侧的格点数相同，则k的值是_______． 14. 长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长度为_______． 15. 如图，小泉设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成黄色，然后缠绕红色油纸．已知圆筒高，其圆筒底面周长为，如果在表面缠绕油纸4圈，最短需裁剪油纸_______． 16. 如图，点D在点A、C两点之间运动（不与点A、C重合），，．若，，则_______． 三、解答题（共5小题，共50分） 17. 对于实数a、b，定义一种新运算“☆”为：． （1）若，求的值； （2）若，且解集中恰有5个整数解，求m的取值范围． 18. 在平面上作，再在点B的对面取点D，使，且四边形为凸四边形，连．若，那么、、三边能否组成直角三角形？为什么？ 19. 为庆祝建党100周年，某银行发行了A、B两种纪念币，已知4枚A型纪念币和3枚B型纪念币面值共需80元，5枚A型纪念币和6枚B型纪念币共需145元． （1）求每枚A、B两种型号的纪念币面值各多少元？ （2）若欧欧准备用至少800元的金额购买两种纪念币共50枚，求B型纪念币最少要采购多少枚？ （3）在（2）的条件下，若欧欧最多要购买B型纪念币39枚，则共有几种购买方案，请罗列出来哪种方案花费最少？ 20. 如图，圆O的半径是，，若点P三等分弧，求线段的长． 21. 如图，在直角坐标系中，点，，，，且a、b满足． （1）直接写出A、B、C、D四点的坐标； （2）当时，求证：； （3）当时，在坐标轴上是否存在点M，使得是等腰三角形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $