专题 14.8 全等三角形几何模型探究——一线三等角（模型梳理 + 题型精析+同步练习））- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024）

专题 14.7 全等三角形几何模型探究——一线三等角 目录 一.知识点梳理与题型分类精析 1 【知识回顾】 1 【初识模型】 1 知识点（一）“一线三直角”基础模型应用 2 【题型1】“一线三直角”基础应用 2 知识点（二）同侧“一线三直角模型” 5 【题型2】同侧“一线三直角模型” 5 知识点（三）异侧“一线三直角模型” 8 【题型3】异侧“一线三直角模型” 9 知识点（四）构造“一线三直角模型” 12 【题型4】构造“一线三直角模型” 12 知识点（五）同侧“一线三等角模型” 16 【题型5】同侧“一线三等角模型” 16 知识点（六）异侧“一线三等角模型” 20 【题型6】异侧“一线三等角模型” 20 【题型7】“一线三等角模型”综合培优 24 二. 同步练习 33 【基础巩固（16题）】 33 【能力提升（10题）】 50 一.知识点梳理与题型分类精析 【知识回顾】 1.三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 2.余角性质：同角或等角的余角相等；补角的性质：同角或等角的补角相等. 【初识模型】 如图1，，，过点作,过点作于点.这样在直线上就产生了，我们称之为“一线三直角”。 继续研究，我们会发现， ， 在和中 （AAS） 图1 进一步研究，我们会发现，型图是重要的几何模型之一，在证明全等三角形及以后相似三角形中，有着重要的应用。这一节我们就来深入研究型图（一线三等角）这一专题. 知识点（一）“一线三直角”基础模型应用 如图2，在直线上，，，则. 图2 【题型1】“一线三直角”基础应用 【例题1】（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由题意得，，由余角性质得，进而可得，即得，，再根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）把三个正方形按如图位置摆放，其中两个小正方形的面积分别为，，则大正方形的面积 ． 【答案】35 【分析】本题考查了勾股定理的运用，全等三角形的判定和性质，证得是解决问题的关键． 根据题意，可以证得，得到，再根据勾股定理，即可得出答案． 解：如图所示： 三个四边形均为正方形， ，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 即． 故答案为：35． 【变式2】（24-25七年级下·山东·期末）数学兴趣小组计划用一根米的标杆测量旗杆的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为米，此时测得，然后前后移动标杆（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．21米 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 解：∵， ， ， ， 在和中 ， ， 米， 答：该旗杆的高度是米， 故选：A． 小结：“一线三直角”图形的基本特征：（1）有三个相关联的直角；（2）有两条相等的边。解题的基本思路：利用两个角与同角或等有的和（差）相等，从而得到这两个角相等，再结合边相等证明三角形全等. 知识点（二）同侧“一线三直角模型” 如图3，在直线上，，，则.得到了所以：，连接，得到. 图3 图4 【题型2】同侧“一线三直角模型” 【例题2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）4． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，同角的余角相等． （1）利用同角的余角相等求出，，根据证即可； （2）推出，求出，把代入求出即可． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴. ∴； （2）解：∵， 由（1）得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·广西·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点B在直线l上，过A作于D，过C作于E．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】证△ADB≌△BEC即可． 解：证明：∵， ， ∴∠ADB=∠BEC=90°， ∴∠BAD+∠ABD=90°，∠BCE+∠CBE=90°， ∵， ∴∠ABD+∠CBE=90°， ∴∠BAD=∠CBE， ∴∠BCE+∠BAD=90°，故②正确； ∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠BEC=90°， ∴△ADB≌△BEC， ∴，AD=BE，故①正确； DE=DB+BE=CE+AD，故③正确； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知：如图①，，，点C是上一点，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若，，求四边形的面积． 【答案】（1），理由见分析；（2），理由见分析；（3）9． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （3）由题意可得，由全等三角形的性质可得，由此即可得解． 解：（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 知识点（三）异侧“一线三直角模型” 如图5，在直线上，，，则.得到了所以：. 图5 【题型3】异侧“一线三直角模型” 【例题3】（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、分别作、，垂足为、，求证：． 【答案】见分析 【分析】要证，考虑通过证明三角形全等，得到对应边相等，再利用线段间的和差关系推导．观察图形，可尝试证明 ，进而得出、与的关系．本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（等 ）及利用全等得到对应边相等，再结合线段和差关系推导结论是解题的关键． 解：证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ． 【变式1】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上，，，，，轴于点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，，，是过点的一条直线，且于，于． （1）当直线处于如图的位置时，证明：． （2）猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）或或，理由见分析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键． （1）先证明，进而可依据 “”判定和全等； （2）由得出，，分三种情况可得出，，的数量关系． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， （2）解：或或，理由如下： 如图①，由（1）知：， ∴，， ∴， ∴； 如图②，同（1）可证（）， ∴，， ∴． 如图③，同（1）可证（）， ∴，， ∴． 综上所述：、、的数量关系是：或或． 知识点（四）构造“一线三直角模型” 如图5，图6，当在一条直线过等腰直角三角形直角顶点时，过锐角三角形顶点作直线垂线，从而构造同侧和异侧“一线三等模型”的目标 图5 图6 【题型4】构造“一线三直角模型” 【例题4】（25-26八年级上·全国·单元测试）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线上，转轴B到地面的距离，在来人坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，，此时测得点A到铅垂线的距离，当船头从A处摆动到处时发现船头处在最高位置处，此时，．求点到地面的距离 ． 【答案】/5米 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，先过点作于点F，再证明，可得，再由可得答案． 解：过点作于点F， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 过点作于点，证明和全等得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 解：过点作于点，如图所示： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为：． 故答案为：． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，是无动力游乐场内一个小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴中心B到地面的距离为．在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离为，点A到地面的距离为；当从A处摆动到处时，有． （1）求到的距离； （2）求到地面的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）作，垂足为，证明，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 解：（1）解：如图2，作，垂足为． ， ； 在中，； 又， ， ； 在和中， ， ； ， 且， ； ， ， 即到的距离是． （2）解：由（1）知：， ， 作，垂足为． ， ， ， 即到地面的距离是． 知识点（五）同侧“一线三等角模型” 如下图在一条直线，且或或时，得到，其中图7是同侧一线三锐角相等，图8是同侧一线三钝角相等。 证明：是一个外角 即 在和中 图7 图8 【题型5】同侧“一线三等角模型” 【例题5】（2021九年级·浙江·专题练习）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    （1）当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】（1）；；小；（2）当时，；（3）可以；的度数为或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 解：（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质． 先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 解：， ， ． 在和中， ， ，． ， ． 【变式2】（23-24九年级上·辽宁·期中）（1）如图①，在中，，直线m经过点直线直线m，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件改为在中，三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）成立，证明见分析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，证明，则，； （2）证明过程同理（1）． 解：（1）证明：直线直线m， ． ， ． ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：成立．证明如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． 知识点（六）异侧“一线三等角模型” 如下图在一条直线，且或或时，得到，其中图9是异侧一线三锐角相等，图10是异侧一线三钝角相等。证明两三角形全等与知识点五完全相同. 图9 图10 【题型6】异侧“一线三等角模型” 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是经过顶点C的一条直线，，点E，F是直线上两点，且．若直线经过的内部，且点E，F在射线上，请解决下面两个问题： （1）如图1，若，问，成立吗？说明理由． （2）如图2，将（1）中的已知条件改成，，问仍成立吗？说明理由． 【答案】（1）成立，理由见分析；（2）成立，理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质； （1）由判定，由全等三角形的性质得，，即可得证； （2）由判定，由全等三角形的性质得，，即可得证． 解：（1）解：成立，理由如下： ， ， ， ， ， （）， ，， ． （2）解：成立，理由如下： ， ， ， ， ． ， ， ， （）， ，， ． 【变式1】（2025·云南保山·模拟预测）在中，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为24，计算与的面积之和． 【答案】8 解：本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的面积求法等知识点，掌握等高三角形面积的关系成为解题的关键． 先证明得到与的面积之和等于与的面积和，根据与等高且底边比为得出与面积比为，进而求得的面积即可． 【分析】解：∵，，， ， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴的面积的面积， ∴与的面积之和与的面积之和， ∵的面积为24，， ∴的面积， ∴与的面积之和的面积． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）． 特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：； 归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：； 拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）5 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点的综合应用，判断出两三角形全等是解本题的关键． （1）根据图②，求出，根据证两三角形全等即可； （2）根据图③，运用三角形外角性质求出，根据证两三角形全等即可； （3）根据图④，由的面积为15，可求出的面积为5 ，根据，得出与的面积之和等于的面积，据此即可得出答案． 解：（1）证明：如图②，∵， ， ， ， 在和中，， ． （2）证明：如图③， ， ， ， ，   在和中， ， ． （3）如图④，∵的面积为， ∴的面积， 由（2）可得， 即：， ， 即与的面积之和等于的面积5 ， 故答案为：5． 【题型7】“一线三等角模型”综合培优 【例题7】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①；②问题①中结论仍然成立，理由见分析；（2）G是的中点，理由见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 【变式1】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，，，点为直线上一动点，连接，作且．（位于的上方） （1）在线段上时， 如图，过点作交于点，求证：，并写出和的数量关系； 如图，连接交于点，若，求证：点为中点； （2）连接与直线交于点，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）证明见分析，；证明见分析；（2）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过全等三角形的对应边相等，可得结论； 过点作交于点，根据（）中结论可得，即可证明，可得，根据，推出，，即可解题； （）过作于点，根据全等三角形的性质得到，进行求解. 解：（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，且， ∴； 证明: 如图，过点作交于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为的中点； （2）解：如图中，过作于点，，， 由（）（）知：，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中、，满足（，，，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正半轴上， 交y轴负半轴于点D． （1）如图1，若，直接写出点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点A 的坐标为 ． （2）如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接，，交于点F．求证： ； （3）在（2）的条件下，若A 点到x轴、y轴的距离相等，求证： ． 【答案】（1），，；（2）证明见分析；（3）证明见分析 【分析】（1）由非负数的性质求解，，如图1，过点作轴于点，证明，可得，，再进一步可得答案； （2）如图中，证明即可得到结论； （3）如图3中，过点作于点，过点作于点．证明，，，设，而，，可得，,,，进一步利用面积公式解答即可. 解：（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，， 如图1，过点作轴于点． ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， . （2）证明：如图中， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， . （3）证明：如图3中，过点作于点，过点作于点． ， ，， ， 在和中， ， ， ， 同法可证，， ， 在和中， ， ， ，， 设，而，， ∵，， ，,, ∴， ∴， ∴， ∵A 点到x轴、y轴的距离相等， ∴， ∴. 【点拨】本题考查的是坐标与图形，非负数的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线．若，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由垂线的定义得到，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，则可证明，得到，则． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2019·山东临沂·一模）如图，，，，，垂足分别是点D，E，，，则的长是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，余角的性质，解题关键是证明三角形全等．先根据等角的余角相等得出，再证明，然后利用全等三角形的性质并结合已知数据即可求得结果． 解：， ， ， ， ． 在和中， ， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，在中，，，为边上一点，连接，于点，交的延长线于点．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据已知证明，可得，进而根据，即可求解． 解：∵在中，，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，，垂足分别为．若，则的长（    ） A．2 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．根据条件可以得出，进而得出，就可以得出，即可求解． 解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故选：B． 5．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，若点的坐标为，则点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质（），解题关键是掌握全等三角形的判定与性质（）． 先根据证明，再根据全等三角形的性质得到，，再根据点的坐标为，求出点的坐标． 解：如图，过点作轴于点P，过点B作于点Q， 则 ∵， ∴， ∴， 又， ， 又， ， ，， ∵点的坐标为， ∴，， ， 故选：D． 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 解：在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，过点向第一象限作且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．过点作轴于点，根据，得，由此依据“”判定和全等得，，进而得，据此即可得出点的坐标． 解：过点作轴于点，如图所示： ， 点的坐标是，点的坐标是， ，， 在中，， ，且， ， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标是． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·期中）如图，操场上有两根旗杆相距，小强同学从点沿走向，一定时间后他到达点，此时他测得和的夹角为，且，已知旗杆的高为，小强同学行走的速度为． （1）另一旗杆的高度为 m； （2）小强从M点到达A点还需要的时间是 s． 【答案】 9 【分析】（1）首先通过证明，可得，，然后可求出的长，进而可得长； （2）利用路程除以速度可得时间． 此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定，掌握全等三角形的判定定理：、、、、． 解：如图： 和的夹角为， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）． 答：小强从点到达点还需要18秒． 故答案为：（1）9；（2）18． 9．（23-24八年级下·重庆丰都·期末）如图，正方形的顶点在直线上，直线于点，连接．若＝，则（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质， 过点作于，易证，可得，即可求出面积． 解：过点作于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）直线经过的顶点，．、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 （填“”，“”或“”号）； ②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是 ．    【答案】 = 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算、三角形的外角性质等知识．①求出，，根据证，推出，即可得出结果；②求出，由证，推出，即可得出结果． 解：①，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； ②与应满足， 在中，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，． 11．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，中，，点为线段上一点，连接，过点作于点，在的延长线上存在一点，使若，，则 ． 【答案】 【分析】过点作于，先证得为等腰直角三角形，则，，再证和全等得，，则，，然后证和全等得，从而得，然后可得出答案． 此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积是解决问题的关键． 解：过点作于，如下图所示： 在中，，， ， ， ， ， ， ， 即， 为等腰直角三角形， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，分别以和为边作和，，，连接，延长交于F．若，求的值 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 过点E作交延长线于点G，首先证明出，得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 解：如图所示，过点E作交延长线于点G ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，平角的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）利用三角形的内角和和平角的定义得出，，然后利用全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）利用全等三角形的性质即可得出结论． 解：（1）证明：∵，，且， ∴， 又， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∴． 14．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，点O是直线l上一点，点A，B位于直线l的两侧，且，，分别过A，B两点作于点C，于点D．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，解题的关键是∶ （1）根据余角的性质可得出，然后根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，然后代入即可得证． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， （2）证明∵， ∴，， ∴． 15．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，C，E，F分别是直线上的三点，且，请提出对三条线段之间数量关系的合理猜想，并说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】本题考查平角，三角形的内角和，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 由题意推出，再证，继而得答案． 解：．理由： ，， ，， ． 在和中， ． ，． ． 16．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，请猜想之间有何数量关系？并证明你的猜想． 【答案】（1）见详解；（2），理由见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）首先证明，利用“”证明即可；由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）首先证明，利用“”证明，进而可得，即可证明结论． 解：（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：，证明如下： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 【能力提升（10题）】 一、单选题 1．（23-24八年级下·河南·期中）如图，直线上有三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知，则面积为的正方形的边长为（　　）． A． B．2 C．3 D．12 【答案】B 【分析】观察图形根据勾股定理的几何意义，边的平方就是以该边为边的正方形的面积，通过证明三角形全等，从而由求出的值，再计算的算术平方根即可． 解：如图所示， 由题意可知，AC=EC，， ， ∴． 在和中，， ∴， ∴BC=DE． ∵， 即，． 在中，， ∴，， 即面积为的正方形的边长为． 故选：B． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并理解边的平方就是以该边为边的正方形的面积是解题的关键． 2．（2025·贵州毕节·三模）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等． 解：A、如图所示，∵， ∴，故A不符合题意； B、如图所示，∵， ∴，故B不符合题意； C、如图所示，∵，， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 二、填空题 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，秋千垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至处，点A距离地面高度，与的水平距离．推动秋千从至处，此时恰好，点C距离的水平距离，则点C距离地面的高度为 m． 【答案】1.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键． 过点A作于M，过点C作于N，证明即可求解． 解：如图， 过点A作于M，过点C作于N， 由题意得，， 则， ∴，， 同理可得：， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1.5． 三、解答题 4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． （1）如图1，若直线经过的内部，且E、F在射线上，，，则 ； （填“”、“”或“”） （2）如图2，若，请添加一个关于与关系的条件，使（1）中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立； （3）如图3，若直线经过的外部，若，则、、三条线段有何数量关系，并予以证明． 【答案】（1）=，=；（2）添加的条件为，理由见分析；（3）．理由见分析 【分析】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）证明即可得到，，故． （2）证明和（1）类似，根据即可得到，，故． （3）求出，，根据证，推出，即可． 解：（1）解：在图1中，， ，， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为，． （2）在图2中，添加的条件为， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ． （3）． 理由是：如图3中， ，， 又，， ， ， 在和中， ， ，， ， ． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E． （1）求证：； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3），证明见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出； （2）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出，由全等三角形的性质即可得解； （3）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出，由全等三角形的性质即可得解． 解：（1）证明：， ， ， ， ， ， ，， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ，， ∴， ，， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ，， ． 6．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）（1）如图①，等腰直角三角形中，，，点A，B分别在坐标轴上，若点C的横坐标为2，直接写出点B的坐标________． （2）如图②，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为边在第一、第二象限作等腰直角三角形，等腰直角三角形，连接交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．    【答案】（1）；（2）的长度不发生改变，是定值为3． 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键． （1）作，易证，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题； （2）作轴，易证和，可得和，即可求得，即可解题． 解：（1）如图1，作于D．    ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴B点坐标， 故答案为：； （2）PB的长度不发生改变，是定值为3． 理由：如图2，作轴于G，则．    ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴，． ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）（1）观察理解：如图①，中，，，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，，，垂足分别为D，E，试说明：． （2）理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______； （3）类比探究：如图③，中，，，过点A作于点A，，连接，求的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2）50；（3） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先证明，，进而可依据“”判定； （2）同（1）证明，，得出，，，，再根据三角形的面积公式分别求出，，，，再求出，进而可求出直角梯形的面积为80，由此即可得出图中实线所围成的图形的面积S； （3）过点作于点H，先证明，进而依据“”判定得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 解：（1）证明：，，垂足分别为D，E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ； （2）同（1）证明：，， ，，，， ，，，， ， ，，， ， 四边形是直角梯形， ， 图中实线所围成的图形的面积 ， 故答案为：50； （3）过点作于点H，如图所示： ， 中，，， ， ， 于点A，， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为： 8．（24-25七年级下·陕西西安·期末）问题提出 （1）如图①，，，，，则______． 问题解决 （2）已知：如图②，中，，，D为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且，连接交直线于M，若，请求出的值． 【答案】（1）6；（2）或． 【分析】此题主要考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． （1）先证明，进而依据“”判定和全等得，再根据即可得出的长； （2）根据，设，则，则，依题意有以下两种情况：①当点在边上时，过点作于点，证明和全等得，再证明和全等得，进而得，再由三角形的面积公式及得；②点在的延长线上时，过点作于点，同①证明和全等，和全等得，进而得，再由三角形的面积公式及得，综上所述即可得出答案． 解：（1）∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 6 ； （2）， 设，则， ， 依题意有以下两种情况：①当点在边上时，过点作于点，如图2所示： ， 在中，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②点在的延长线上时，过点作于点， 如图3所示： 同（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：的值为或． 9．（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 【答案】（1），理由见分析；（2）6；（3）133 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，即可得解； （2）证明，得出，，即可得解； （3）过点作于，过点作交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，，，，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴；    （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 10．（24-25七年级下·上海·阶段练习）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； （2）组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论成立，理由见分析；（3）证明见分析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 解：（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 14.7 全等三角形几何模型探究——一线三等角 目录 一.知识点梳理与题型分类精析 1 【知识回顾】 1 【初识模型】 1 知识点（一）“一线三直角”基础模型应用 2 【题型1】“一线三直角”基础应用 2 知识点（二）同侧“一线三直角模型” 3 【题型2】同侧“一线三直角模型” 3 知识点（三）异侧“一线三直角模型” 4 【题型3】异侧“一线三直角模型” 5 知识点（四）构造“一线三直角模型” 5 【题型4】构造“一线三直角模型” 6 知识点（五）同侧“一线三等角模型” 7 【题型5】同侧“一线三等角模型” 7 知识点（六）异侧“一线三等角模型” 8 【题型6】异侧“一线三等角模型” 8 【题型7】“一线三等角模型”综合培优 10 二. 同步练习​ 11 【基础巩固（16题）】 11 【能力提升（10题）】 16 一.知识点梳理与题型分类精析 【知识回顾】 1.三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 2.余角性质：同角或等角的余角相等；补角的性质：同角或等角的补角相等. 【初识模型】 如图1，，，过点作,过点作于点.这样在直线上就产生了，我们称之为“一线三直角”。 继续研究，我们会发现， ， 在和中 （AAS） 图1 进一步研究，我们会发现，型图是重要的几何模型之一，在证明全等三角形及以后相似三角形中，有着重要的应用。这一节我们就来深入研究型图（一线三等角）这一专题. 知识点（一）“一线三直角”基础模型应用 如图2，在直线上，，，则. 图2 【题型1】“一线三直角”基础应用 【例题1】（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），则两堵木墙之间的距离为 ． 【变式1】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）把三个正方形按如图位置摆放，其中两个小正方形的面积分别为，，则大正方形的面积 ． 【变式2】（24-25七年级下·山东·期末）数学兴趣小组计划用一根米的标杆测量旗杆的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为米，此时测得，然后前后移动标杆（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．21米 小结：“一线三直角”图形的基本特征：（1）有三个相关联的直角；（2）有两条相等的边。解题的基本思路：利用两个角与同角或等有的和（差）相等，从而得到这两个角相等，再结合边相等证明三角形全等. 知识点（二）同侧“一线三直角模型” 如图3，在直线上，，，则.得到了所以：，连接，得到. 图3 图4 【题型2】同侧“一线三直角模型” 【例题2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． （1）求证：；（2）若，，求的长． 【变式1】（23-24八年级上·广西·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点B在直线l上，过A作于D，过C作于E．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知：如图①，，，点C是上一点，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若，，求四边形的面积． 知识点（三）异侧“一线三直角模型” 如图5，在直线上，，，则.得到了所以：. 图5 【题型3】异侧“一线三直角模型” 【例题3】（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、分别作、，垂足为、，求证：． 【变式1】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上，，，，，轴于点，则点的坐标是 ． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，，，是过点的一条直线，且于，于． （1）当直线处于如图的位置时，证明：． （2）猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 知识点（四）构造“一线三直角模型” 如图5，图6，当在一条直线过等腰直角三角形直角顶点时，过锐角三角形顶点作直线垂线，从而构造同侧和异侧“一线三等模型”的目标 图5 图6 【题型4】构造“一线三直角模型” 【例题4】（25-26八年级上·全国·单元测试）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线上，转轴B到地面的距离，在来人坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，，此时测得点A到铅垂线的距离，当船头从A处摆动到处时发现船头处在最高位置处，此时，．求点到地面的距离 ． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，是无动力游乐场内一个小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴中心B到地面的距离为．在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离为，点A到地面的距离为；当从A处摆动到处时，有． （1）求到的距离； （2）求到地面的距离． 知识点（五）同侧“一线三等角模型” 如下图在一条直线，且或或时，得到，其中图7是同侧一线三锐角相等，图8是同侧一线三钝角相等。 证明：是一个外角 即 在和中 图7 图8 【题型5】同侧“一线三等角模型” 【例题5】（2021九年级·浙江·专题练习）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    （1）当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【变式2】（23-24九年级上·辽宁·期中）（1）如图①，在中，，直线m经过点直线直线m，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件改为在中，三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 知识点（六）异侧“一线三等角模型” 如下图在一条直线，且或或时，得到，其中图9是异侧一线三锐角相等，图10是异侧一线三钝角相等。证明两三角形全等与知识点五完全相同. 图9 图10 【题型6】异侧“一线三等角模型” 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是经过顶点C的一条直线，，点E，F是直线上两点，且．若直线经过的内部，且点E，F在射线上，请解决下面两个问题： （1）如图1，若，问，成立吗？说明理由． （2）如图2，将（1）中的已知条件改成，，问仍成立吗？说明理由． 【变式1】（2025·云南保山·模拟预测）在中，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为24，计算与的面积之和． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）． 特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：； 归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：； 拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ． 【题型7】“一线三等角模型”综合培优 【例题7】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，，，点为直线上一动点，连接，作且．（位于的上方） （1）在线段上时， 如图，过点作交于点，求证：，并写出和的数量关系； 如图，连接交于点，若，求证：点为中点； （2）连接与直线交于点，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示） 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中、，满足（，，，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正半轴上， 交y轴负半轴于点D． （1）如图1，若，直接写出点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点A 的坐标为 ． （2）如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接，，交于点F．求证： ； （3）在（2）的条件下，若A 点到x轴、y轴的距离相等，求证： ． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线．若，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2019·山东临沂·一模）如图，，，，，垂足分别是点D，E，，，则的长是（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，在中，，，为边上一点，连接，于点，交的延长线于点．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，，垂足分别为．若，则的长（    ） A．2 B．5 C．8 D．10 5．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，若点的坐标为，则点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，过点向第一象限作且，则点的坐标是 ． 8．（24-25八年级上·全国·期中）如图，操场上有两根旗杆相距，小强同学从点沿走向，一定时间后他到达点，此时他测得和的夹角为，且，已知旗杆的高为，小强同学行走的速度为． （1）另一旗杆的高度为 m； （2）小强从M点到达A点还需要的时间是 s． 9．（23-24八年级下·重庆丰都·期末）如图，正方形的顶点在直线上，直线于点，连接．若＝，则（阴影部分）的面积为 ． 10．（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）直线经过的顶点，．、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 （填“”，“”或“”号）； ②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是 ．    11．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，中，，点为线段上一点，连接，过点作于点，在的延长线上存在一点，使若，，则 ． 12．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，分别以和为边作和，，，连接，延长交于F．若，求的值 ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，．求证： （1）； （2）． 14．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，点O是直线l上一点，点A，B位于直线l的两侧，且，，分别过A，B两点作于点C，于点D．求证： （1）；（2）． 15．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，C，E，F分别是直线上的三点，且，请提出对三条线段之间数量关系的合理猜想，并说明理由． 16．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，请猜想之间有何数量关系？并证明你的猜想． 【能力提升（10题）】 一、单选题 1．（23-24八年级下·河南·期中）如图，直线上有三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知，则面积为的正方形的边长为（　　）． A． B．2 C．3 D．12 2．（2025·贵州毕节·三模）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，秋千垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至处，点A距离地面高度，与的水平距离．推动秋千从至处，此时恰好，点C距离的水平距离，则点C距离地面的高度为 m． 三、解答题 4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． （1）如图1，若直线经过的内部，且E、F在射线上，，，则 ； （填“”、“”或“”） （2）如图2，若，请添加一个关于与关系的条件，使（1）中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立； （3）如图3，若直线经过的外部，若，则、、三条线段有何数量关系，并予以证明． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E． （1）求证：； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 6．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）（1）如图①，等腰直角三角形中，，，点A，B分别在坐标轴上，若点C的横坐标为2，直接写出点B的坐标________． （2）如图②，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为边在第一、第二象限作等腰直角三角形，等腰直角三角形，连接交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．    7．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）（1）观察理解：如图①，中，，，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，，，垂足分别为D，E，试说明：． （2）理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______； （3）类比探究：如图③，中，，，过点A作于点A，，连接，求的面积． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期末）问题提出 （1）如图①，，，，，则______． 问题解决 （2）已知：如图②，中，，，D为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且，连接交直线于M，若，请求出的值． 9．（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 10．（24-25七年级下·上海·阶段练习）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； （2）组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$