专题 1.6 全等三角形几何模型（模型梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 1.6 全等三角形几何模型 目录 一.几何模型梳理 1 【知识点1】几何模型的理解 1 【知识点2】全等三角形几何模型梳理 1 二. 几何题型分类精析 3 【题型1】共顶点等角模型 3 【题型2】共线段等边模型 4 【题型3】平行8字模型与斜8字模型 5 【题型4】一线三直角模型 5 【题型5】一线三等角模型 6 【题型6】手拉手模型 7 【题型7】倍长中线模型 8 【题型8】截长补短模型 8 【题型9】半角模型 9 【题型10】一线三直角和一线一等角综合模型 10 三．同步练习 11 1. 基础夯实 11 2. 能力提升 15 一.几何模型梳理 【知识点1】几何模型的理解 （1）定义：是基于几何图形的结构特征、位置关系及数量关系，经过抽象提炼后形成的标准化模式.（2）作用：它是将复杂几何问题转化为固定框架的重要工具，能帮助学生快速识别图形本质，调用对应定理或方法解决问题，具有可推广的解题思路与规律作用。 【知识点2】全等三角形几何模型梳理 名称 基本图形 条件 结论 共顶点等角 共线段等边模型 平行8字与斜8字模型 一线三直角 一线三等角 手拉手 、是等边三角形 倍长中线 是中线，延长至，使，连接. 截长法 已知：在中，，. 在上截取连接. （1）； （2）是等腰三角形 （3） 补短法 已知：在中，，. 在延长线上截取连接. （1） （2）是等腰三角形； （3） 半角 , 二. 几何题型分类精析 【题型1】共顶点等角模型 【例题1】 （24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，，，，试说明． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，点C，D，E，F共线．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【变式2】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在与中，若，，下列条件不能使这两个三角形全等的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】共线段等边模型 【例题2】 （2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在和中，点在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图．点在同一条直线上，补充下列一个条件后．不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 【题型3】平行8字模型与斜8字模型 【例题3】 （24-25八年级上·北京顺义·期中）如图，点在外部，点在边上，交于．若，．请在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程． 【变式1】（24-25八年级上·广东云浮·期末）如图，相交于点F，，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，点A在上，C、D为上方两点，连接，，，，则的度数为 ． 【题型4】一线三直角模型 【例题4】 （24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 【变式2】（2025九年级下·内蒙古·专题练习）如图，，，的延长线交于点F，若，，则的长为 ． 【题型5】一线三等角模型 【例题5】 （24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，、、三点在直线上，，求证：． 证明：______ 即____________ 又 ____________ （请继续完成证明过程） 【变式1】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）如图，在中，点D和点E分别是和上一点，，，．若，则 【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为 ． 【题型6】手拉手模型 【例题6】 （24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． （1）如图1，求证：； （2）若，则 ； （3）如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：；；平分；．其中正确结论是 （填序号）    【变式2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在和中，，，，AC，BD交于点M．现有以下结论：①；②．下列判断中，正确的是（    ） A．结论①对，结论②错 B．结论①错，结论②对 C．结论①②都对 D．结论①②都错 【题型7】倍长中线模型 【例题7】 （24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知，中，，，是边中线，则的取值范围是 【变式2】（22-23八年级上·北京西城·期中）如图，，，，，点M为的中点，， ． 【题型8】截长补短模型 【例题8】 （24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的角平分线，交于点，若，则的值为 ． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，且，则 （用含α的代数式表示）． 【题型9】半角模型 【例题9】 （24-25八年级上·山东德州·期中）如图，四边形中，，，．若E，F分别在，上，且时，小王的探究方法是：延长至，使，连接，先证明 ；再证明，他得出的线段，，之间的关系是 ． 【变式1】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【变式2】．如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上． （1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？ （2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长． 【题型10】一线三直角和一线一等角综合模型 【例题10】 （24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，D、A、E三点均在直线上，且． （1）如图1，若，，，则线段的长为 ； （2）如图2，判断、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若将“”变为“”，其他条件不变，且，，则线段的长为 ． 【变式1】（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为 ．      【变式2】（21-22七年级下·河南郑州·期末）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ； （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 三．同步练习​ 1. 基础夯实 一、单选题 1．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，在四边形中，，连接，．若是边上一动点，则的长不可能是（　　） A． B．3 C． D．4 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，，欲证，需补充的条件是（） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·上海·阶段练习）在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏苏州·二模）如图，，平分．以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，则A，B两点间的距离为 米． 8．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 9．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．    10．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，，，，，则 ． 11．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，线段交于点，垂足分别为D，E，且．若，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在等腰中，，点D在边上，且，点E、F在线段上，满足，若，则 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，D是上一点，E是外一点，，，．求证：． 14．（2025·浙江·模拟预测）小甬按如图方式测量旗杆高度，将处的绳子笔直拉至地面处，使，间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在处放置一块直角三角板，使直角顶点落在处，边与绳子重合，随后小甬后退至处直立，使眼睛与点，在同一直线上．小甬认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． 15．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，C，E，F分别是直线上的三点，且，请提出对三条线段之间数量关系的合理猜想，并说明理由． 16．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，，，求证： 2. 能力提升 一、单选题 1．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，若，，，则m的值是（     ）    A．15 B．16 C．18 D．20 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏银川·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若是上一点，过点作的平行线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（20-21八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 5．（17-18七年级下·重庆·期中）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 6．（23-24八年级上·重庆永川·期中）在中，，则的中线取值范围是 ． 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知点在直线外，按以下步骤作图：①在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点，连接；②以点为圆心，以的长为半径作弧；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点，作直线．若，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，D是上一点，连接，过点A作，且，连接交于点F，若，则的长度为 ． 9．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，则的长是 ． 三、解答题 10．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，，，，且，则为多少度？ 11．（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： （2）如图②，在四边形中，若，，E、F分别是边上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 12．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.6 全等三角形几何模型 目录 一.几何模型梳理 1 【知识点1】几何模型的理解 1 【知识点2】全等三角形几何模型梳理 1 二. 几何题型分类精析 3 【题型1】共顶点等角模型 3 【题型2】共线段等边模型 5 【题型3】平行8字模型与斜8字模型 7 【题型4】一线三直角模型 10 【题型5】一线三等角模型 14 【题型6】手拉手模型 16 【题型7】倍长中线模型 20 【题型8】截长补短模型 23 【题型9】半角模型 27 【题型10】一线三直角和一线一等角综合模型 32 三．同步练习 36 1. 基础夯实 36 2. 能力提升 49 一.几何模型梳理 【知识点1】几何模型的理解 （1）定义：是基于几何图形的结构特征、位置关系及数量关系，经过抽象提炼后形成的标准化模式.（2）作用：它是将复杂几何问题转化为固定框架的重要工具，能帮助学生快速识别图形本质，调用对应定理或方法解决问题，具有可推广的解题思路与规律作用。 【知识点2】全等三角形几何模型梳理 名称 基本图形 条件 结论 共顶点等角 共线段等边模型 平行8字与斜8字模型 一线三直角 一线三等角 手拉手 、是等边三角形 倍长中线 是中线，延长至，使，连接. 截长法 已知：在中，，. 在上截取连接. （1）； （2）是等腰三角形 （3） 补短法 已知：在中，，. 在延长线上截取连接. （1） （2）是等腰三角形； （3） 半角 , 二. 几何题型分类精析 【题型1】共顶点等角模型 【例题1】 （24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，，，，试说明． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．先由，得出，再证明，最后根据全等三角形的性质即可求解． 解：证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，点C，D，E，F共线．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明． 利用证明，利用全等三角形的性质和三角形内角和定理，逐个判定即可求解． 解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，无条件能证明是等边三角形，即不能证明，故④错误， ∴①、②、③正确，④错误． 故答案为：①②③． 【变式2】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在与中，若，，下列条件不能使这两个三角形全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等．根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可. 解：A、添加条件，结合条件，，可以利用证明这两个三角形全等，不符合题意； B、添加条件，结合条件，，可以利用证明这两个三角形全等，不符合题意； C、添加条件，结合条件，，不可以利用证明这两个三角形全等，符合题意； D、添加条件，可得：，结合条件，，可以利用证明这两个三角形全等，不符合题意； 故选：C． 【题型2】共线段等边模型 【例题2】 （2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在和中，点在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段的和差计算，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意证明，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据，得出，代入数据，即可求解． 解：（1）证明：∵ ∴，即 又∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的判定和性质，根据全等三角形的判定定理判断是解题的关键． 根据题中的条件推理出全等三角形的判定依据，即可求解； 解：， ， 在和中， ， ； 则的依据是； 故选：D 【变式2】（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图．点在同一条直线上，补充下列一个条件后．不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 解：、，，由能判定与全等，该选项不合题意； 、∵， ∴， ∵，由能判定与全等，该选项不合题意； 、∵， ∴， 即， ∵，由能判定与全等，该选项不合题意； 、，，由两边及一边的对角相等不能判定与全等，该选项符合题意； 故选：． 【题型3】平行8字模型与斜8字模型 【例题3】 （24-25八年级上·北京顺义·期中）如图，点在外部，点在边上，交于．若，．请在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，先利用等式的性质可得，再利用对顶角相等以及三角形内角和定理可得，然后利用证明，即可解答． 解：． 证明如下：， ．即． （对顶角相等），， ．即． 在和中， ． 【变式1】（24-25八年级上·广东云浮·期末）如图，相交于点F，，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由证明，根据全等三角形的性质求出，由平行线的性质得，则，然后由三角形外角性质即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，点A在上，C、D为上方两点，连接，，，，则的度数为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，证明全等三角形是解题的关键．证明，则，再结合对顶角和三角形的内角和定理即可求解． 解：如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：30． 【题型4】一线三直角模型 【例题4】 （24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）4． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，同角的余角相等． （1）利用同角的余角相等求出，，根据证即可； （2）推出，求出，把代入求出即可． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴. （2）解：∵， 由（1）得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．分两种情况讨论，当为线段上时，作于点，证明，求得，，，再证明，求得，即可求解的长；当为线段上时，同理求解即可． 解：当为线段上时，作于点， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 当为线段上时，作交延长线于点， 同理， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为3或7． 故答案为：3或7． 【变式2】（2025九年级下·内蒙古·专题练习）如图，，，的延长线交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点A作交的延长线于点H，证明，得到，再证明，得到，则． 解：过点A作交的延长线于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【题型5】一线三等角模型 【例题5】 （24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，、、三点在直线上，，求证：． 证明：______ 即____________ 又 ____________ （请继续完成证明过程） 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据三角形外角的性质得出，证明，得出，，然后证明结果即可． 解：证明：， 即， 又， ， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）如图，在中，点D和点E分别是和上一点，，，．若，则 【答案】/96度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 解：在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据三角形外角的性质结合题意可证，得出．根据可求出，，最后根据，求解即可． 解：∵，，，， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：9． 【题型6】手拉手模型 【例题6】 （24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． （1）如图1，求证：； （2）若，则 ； （3）如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 【答案】（1）见详解；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质等； （1）由可判定，即可得证； （2）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； （3）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； 掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 解：（1）证明：， ， ， 在和中 ， （）； （2）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：；；平分；．其中正确结论是 （填序号）    【答案】 【分析】作于，于，设交于，证明，即可判断；由全等三角形的性质与三角形内角和定理即可判断；根据等面积法可判断；假设平分成立，则，利用角度关系即可判断． 解：如图，作于，于，设交于，    由题意得：，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，故正确； ∵， ∴， ∴，故正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分， ∴，故正确， 若平分成立，则， ∵， ∴， ∴， 由题意知，不一定等于， ∴不一定平分，故错误， 即正确的有个，， 故答案为：． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 【变式2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在和中，，，，AC，BD交于点M．现有以下结论：①；②．下列判断中，正确的是（    ） A．结论①对，结论②错 B．结论①错，结论②对 C．结论①②都对 D．结论①②都错 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟记对应性质和判定定理是解题的关键． 根据已知条件可知三角形的全等，根据全等三角形的性质可知边相等，再根据三角形的内角和即可求出角的大小． 解：， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，， ，， ，故②错误； 故选：A． 【题型7】倍长中线模型 【例题7】 （24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论． 解：证明：延长至点，使，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知，中，，，是边中线，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中线． 延长到E，使，连接，根据可证，得，再由三角形的三边关系即可得出结论． 解：如图，延长到E，使，连接， 则有， 是边上的中线， ， ，， ， ， 在中，由三角形三边关系得， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（22-23八年级上·北京西城·期中）如图，，，，，点M为的中点，， ． 【答案】6 【分析】延长至N，使，连接，证明，推出，，求出，再证明即可． 解：证明：延长AM至N，使，连接， ∵点M为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力，延长至N，使，再证即可，这就是“倍长中线”，实质是“补短法”． 【题型8】截长补短模型 【例题8】 （24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 解：证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的角平分线，交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，与角平分线有关的三角形内角和问题，由三角形内角和定理和角平分线的定义求出，则；由角平分线的性质可得点O到三边的距离相等，设点O到三边的距离为h，则可得；作的角平分线交于T，设，证明得到，则，同理可得． 解：∵， ∴， ∵的角平分线，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵的角平分线，交于点， ∴点O到三边的距离相等， 设点O到三边的距离为h， ∴； 如图所示，作的角平分线交于T， 设， ∴， 由角平分线的定义可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 故答案为：． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，且，则 （用含α的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，补角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形的是解题的关键. 延长到点G，使，连接，证明，得，，再利用证明，得，从而解决问题． 解：如图，延长到点G，使，连接， ，， ， 又，， ∴， ，， 若， 则， ， ， ， 故答案为：． 【题型9】半角模型 【例题9】 （24-25八年级上·山东德州·期中）如图，四边形中，，，．若E，F分别在，上，且时，小王的探究方法是：延长至，使，连接，先证明 ；再证明，他得出的线段，，之间的关系是 ． 【答案】，． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，运用截长补短的思想，通过截取一条线段等于已知线段构造全等三角形是解题的关键．如图求证，于是 ，，进一步可证，求证，于是，所以． 解：如图，在和中， ∴ ∴， 四边形中， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 在与中 ∴ ∴ 而 ∴． 故答案为：，． 【变式1】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．连接，可证明，得到，故① 正确；由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断，②错误；延长到点G，使，连接，先证明得，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 解：如图所示，连接， ∵于点于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故选C. 【变式2】．如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上． （1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？ （2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长． 【答案】（1）全等，理由详见分析；（2）5 【分析】（1）由题意易得∠ABG＝90°＝∠D，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得△GAE≌△FAE，GB＝DF，进而问题可求解． 解：（1）全等．理由如下 ∵∠D＝∠ABE＝90°， ∴∠ABG＝90°＝∠D， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△GAB≌△FAD（ASA）； （2）∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠BAE＝45°， ∵△GAB≌△FAD， ∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF， ∴∠GAB+∠BAE＝45°， ∴∠GAE＝45°， ∴∠GAE＝∠EAF， 在△GAE和△FAE中， ， ∴△GAE≌△FAE（SAS） ∴EF＝GE ∵△GAB≌△FAD， ∴GB＝DF， ∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝2+3＝5． 【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【题型10】一线三直角和一线一等角综合模型 【例题10】 （24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，D、A、E三点均在直线上，且． （1）如图1，若，，，则线段的长为 ； （2）如图2，判断、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若将“”变为“”，其他条件不变，且，，则线段的长为 ． 【答案】（1）9；（2），理由见分析；（3）3 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，据此即可求解； （2）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，可得答案； （3）利用邻补角的定义得，再利用三角形的外角性质可得到，再利用证明，得，可得答案． 解：（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为 ．      【答案】10 【分析】先证明，再证明，即可作答． 解：， 又， ， ，， ， ，， ，， ， 故答案为：10． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【变式2】（21-22七年级下·河南郑州·期末）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ； （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见分析；（3）4 【分析】本题考查了图形变换问题，全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算，正确理解图形变换问题中各小题间的内在联系是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定证明，得到，，由此即得答案； （2）同（1）的思路证明，同样得到，得到，，由此即得答案； （3）根据（1）（2）的解题思路，同样可证明，所以，根据，可知，由此即可进一步求得答案． 解：（1），理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； 故答案为： ． （2）仍然成立，理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； （3），， ， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为4． 三．同步练习​ 1. 基础夯实 一、单选题 1．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知判定全等三角形的依据．根据题意得，，当添加条件时，可利用判定；当添加 时，结合，，不能判定；当添加条件时，结合，，可利用判定；当添加条件时，可利用判定． 解：∵， ∴， ∵ ∴ 当添加条件时， 在和中， ， ∴， 因此添加选项A中的条件时可以判定，选项A不符合题意； ∵，， 因此当添加 时，不能判定， 因此添加选项B中的条件时无法判定，选项B符合题意； 当添加条件时， 在和中， ， ∴， 因此添加选项C中的条件时可以判定，选项C不符合题意； 当添加条件时， 则 在和中， ， ∴， 因此添加选项D中的条件时可以判定，选项D不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，在四边形中，，连接，．若是边上一动点，则的长不可能是（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点D作交于点H，根据角平分线的性质得出，即可得出结论． 解：如图，过点D作交于点H，    ， ， 又，，，， ， 是的角平分线， 又， ， 又， ， 又∵点P是直线上一点， ∴当点P在上运动时，点P运动到与点H重合时最短，其长度为的长，即的长最小值为3， ， 的长不可能是， 故选：A． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，，欲证，需补充的条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 本题可根据三角形全等的判定定理，结合已知条件分析补充条件，逐项判断即可． 解：解:A．，结合，，是“”，不能判定全等，故本选项不符合题意； B．，结合，，是“”，不能判定全等，故本选项不符合题意； C．，则，即，结合，，用“”可判定，故本选项符合题意； D．，这是同一个角，无法补充有效条件判定全等，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·上海·阶段练习）在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长至，使得，即得，可证，得到，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，延长至，使得， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴长度可以是， 故选：． 5．（2025·江苏苏州·二模）如图，，平分．以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据平行线的性质、角平分线的定义，对每个选项逐一进行分析判断．本题主要考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、角平分线的定义以及三角形的性质（等角对等边、三边关系）．解题的关键在于熟练运用这些性质，通过角与角之间的等量代换，以及边与边关系的推导，对每个选项进行准确判断． 解：选项A： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴，该选项成立． 选项B： 仅由，平分，无法得出． 例如，当时，，，的度数取决于的形状，不一定等于 ，该选项不一定成立． 选项C： ∵， ∴，又平分，即， ∴． 在中，等角对等边， ∴，该选项成立． 选项D： 在中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边， ∵（已证）， ∴，即，也就是，该选项成立． 故选：B． 6．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是三角形的外角的性质、全等三角形的判定等知识点，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可． 解：A．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； B．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； C．如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意； D．如图: 同理可得：，而， 但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意． 故选：D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，则A，B两点间的距离为 米． 【答案】15 【分析】本题考查全等三角形的应用，证明得到即可解答． 解：由题意，，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵的长是15米， ∴A，B两点间的距离为15米． 故答案为：15． 8．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【答案】4.1 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算即可，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 解：，，， ， ， ∵， ， ∵， ， ，， ， 故答案为：4.1． 9．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．    【答案】/100度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理的运用，利用条件判定是解题的关键．由条件可证明，再结合外角的性质可求得，再利用三角形内角和定理即可求得． 解：在和中， ， ， ． ， ， ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练根据题意找出全等三角形是解题的关键．先利用，得出，再证明，得出，再利用三角形内角和定理求出，即可求解． 解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，线段交于点，垂足分别为D，E，且．若，则的长为 ． 【答案】3.2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明得，从而可求出的长． 解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴, 故答案为：3.2 12．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在等腰中，，点D在边上，且，点E、F在线段上，满足，若，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，根据得出与的面积相等，可得，即可得出答案． 解：∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题 13．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，D是上一点，E是外一点，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意可得，根据全等三角形的判定可证明，根据全等三角形的性质即可证明． 解：证明：∵， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 14．（2025·浙江·模拟预测）小甬按如图方式测量旗杆高度，将处的绳子笔直拉至地面处，使，间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在处放置一块直角三角板，使直角顶点落在处，边与绳子重合，随后小甬后退至处直立，使眼睛与点，在同一直线上．小甬认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． 【答案】认同，理由见分析 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用．证，根据全等三角形的性质即可得出结论． 解：认同． 理由：，， ， ， ， ， ， 又， ， ． 15．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，C，E，F分别是直线上的三点，且，请提出对三条线段之间数量关系的合理猜想，并说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】本题考查平角，三角形的内角和，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 由题意推出，再证，继而得答案． 解：．理由： ，， ，， ． 在和中， ． ，． ． 16．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，，，求证： 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由垂线的定义得到，则可证明，再利用即可证明． 解：证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 2. 能力提升 一、单选题 1．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，若，，，则m的值是（     ）    A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由平行线的性质可得，进而根据“”推出，根据全等三角形的性质得到，进而求出，再由计算即可得到答案． 解：，， ， 又， ， ， ，即， ，， ∴， ， ． 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，利用证明，得，再利用三角形三边关系可得答案． 解：延长至点，使，则，   为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴，即， ∴． 故选：B． 3．（2025·宁夏银川·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若是上一点，过点作的平行线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线，平行线以及的三角形内角和定理及外角的性质，熟练掌握相关的角平分线性质是求解本题的关键．依据尺规作图可得是的角平分线，进而可得，根据平行线的性质，即可得到，再根据三角形的内角和定理及外角的性质，即可得到的度数． 解：以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧， 是的角平分线， ， ， 过点作的平行线交于点， ， ， ， 故选：D． 4．（20-21八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 解：，，于，于， ， ， 又，， ． ，， ． 故选：C． 【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键． 5．（17-18七年级下·重庆·期中）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用垂直的定义得到，则，于是可对①进行判断；利用“”可证明，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到，则根据三角形内角和和对顶角相等得到，于是可对③进行判断． 解：，， ，， ， 即，所以①正确； 在和中， ， ，所以②正确； ， ∵∠AFD=∠MFB， ， ，所以③正确． 故选：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 二、填空题 6．（23-24八年级上·重庆永川·期中）在中，，则的中线取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边不等关系，证明三角形全等是解题的关键．延长到F，使，连接，则易证明，有；利用三角形三边不等关系得，由此即可求得中线取值范围． 解：如图，延长到F，使，连接， 则； ∵为的中线， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由三角形三边不等关系得， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知点在直线外，按以下步骤作图：①在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点，连接；②以点为圆心，以的长为半径作弧；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点，作直线．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键；由作图可得：，，可证明，得到对应角相等，再根据平行线的判定，即可求解． 解：连接，由作图可得：，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴ 故答案为：． 8．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，D是上一点，连接，过点A作，且，连接交于点F，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图：过E作于G，则，先证明，可得、，再证明可得，然后根据线段的和差即可解答． 解：如图：过E作于G，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，则的长是 ． 【答案】9 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是证明三角形全等． 证明，根据全等三角形的性质即可求解． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 三、解答题 10．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，，，，且，则为多少度？ 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是充分利用角的和差的转化关系进行求解．先证明，进而得到角的关系，再由的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案． 解：， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 11．（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： （2）如图②，在四边形中，若，，E、F分别是边上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，理由见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点G，使，连接，可证明，则可证明，得到，，再证明，进而证明，则，据此可得结论； （2）延长到点G，使，连接，可证明，再同（1）证明即可． 解：（1）如图所示，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ， ． （2）如图所示，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ∴， ，． ， ， ，即， 又， ， ， ， ． 12．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 【答案】（1）；（2）②④；（3）见分析；（4） 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 解：（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， ∴正确选项的序号是：②④； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4），， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$