精品解析：广西南宁市第四十七中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025年秋季学期九年级数学学科开学评估试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1、答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　) A. m＝1，n＝5 B. m＝﹣1，n＝5 C. m＝2，n＝5 D. m＝﹣2，n＝3 8. 已知二次函数的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 9. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 12. 关于抛物线，下列说法：①开口向下；②与坐标轴有3个交点；③一定过点；④顶点一定不在第二象限；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 14. 某校竞选学生会干部，分笔试和演讲两个环节进行测试，每项测试总分均为100分，最后按4：6比例计算平均成绩．小明笔试成绩80分，演讲成绩90分，则小明的平均成绩为_____． 15. 若将抛物线y=（x﹣2）2+3向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的一般式是_____． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为 ___________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 19. 学校组织八、九年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分分）．已知八、九年级各有人．现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 八年级：，，，，，，，，， 九年级：，，，，，，，，， 整理如表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______；同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义． 20. 【活动回顾】本册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式：的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______． 【拓展延伸】 （1）如图3，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求点，的坐标； ②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______． 21. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在网络平台上对一款成本价为每件40元的商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件商品的售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）若每件售价定为x元，求日销售量y； （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，则每件售价应定为多少元？ （3）小明的线下实体商店也销售同款商品，为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行降价销售，为了日利润达到最大值，则该商品每件售价应定为多少元？ 22. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标． （2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差． （3）若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期九年级数学学科开学评估试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1、答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A 2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了最简二次根式，满足：①被开方数不含分数或小数；②被开方数不含有开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，据此逐一判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 解：、被开方数，含开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 故选：． 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形两对角相等，得出． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：A． 4. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2）进行判断即可. 【详解】A. 方程中，未知数的次数为1，属于一元一次方程，不符合条件； B. 方程中，未知数的次数为3，属于一元三次方程，不符合条件； C. 方程中，未知数的最高次数为2，且为整式方程，符合一元二次方程的定义； D. 方程中含有分式，属于分式方程，不符合整式方程的条件； 故选C. 5. 直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：直线，，， 直线的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；②其对称轴为直线；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于．根据解析式直接判断即可选择． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，与y轴交点为（位于x轴上方），对称轴为直线（即为y轴）， ∴只有A选项符合题意． 故选A． 7. 方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　) A. m＝1，n＝5 B. m＝﹣1，n＝5 C. m＝2，n＝5 D. m＝﹣2，n＝3 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程中的常数项移到等号的右边，再在方程的两边同时加1，再进行配方，即可得出答案． 【详解】x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， （x+1）2＝5， ∴方程x2+2x﹣4＝0配方成（x+m）2＝n的形式后，m＝1，n＝5， 故选A． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法的步骤是本题的关键，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴的交点横坐标是，根据抛物线的对称性可得图象与x轴正半轴交点M的横坐标是． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴的交点横坐标是， 图象与x轴正半轴交点M的横坐标是． 故选：C． 9. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据根的判别式计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故选：A． 10. 深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设下载量的日平均增长率为．根据首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】解：设下载量的日平均增长率为． 根据题意，得， 故选：C． 11. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 12. 关于抛物线，下列说法：①开口向下；②与坐标轴有3个交点；③一定过点；④顶点一定不在第二象限；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据判断开口方向，根据根的判别式判断交点个数，令求出函数值，判断是否经过点，再求出顶点坐标，判断所在象限． 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟知每个象限中点的坐标特征． 【详解】解：在中， ，故开口向上，故①错误； ∵， ∴当时，抛物线与x轴有一个交点， 当时，抛物线与x轴有两个交点， 由于抛物线与y轴有一个交点，故与坐标轴有2个交点，或3个交点，故②错误； 令，则，故一定过点，故③正确； ∵， 当时，， ∴顶点一定不在第二象限，故④正确； ∴正确的有③④， 故选C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 14. 某校竞选学生会干部，分笔试和演讲两个环节进行测试，每项测试总分均为100分，最后按4：6比例计算平均成绩．小明笔试成绩80分，演讲成绩90分，则小明的平均成绩为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数是解题的关键；因此此题可根据加权平均数的算法进行求解即可． 【详解】解：由题意可知小明的最终平均成绩为 故答案为：． 15. 若将抛物线y=（x﹣2）2+3向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的一般式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】所以根据“左加右减，上加下减”的规律． 【详解】因为抛物线y=（x﹣2）2+3向右平移2个单位,得： 再向上平移3个单位得： 故所得抛物线的表达式为 故答案为 【点睛】考查二次函数的平移，掌握二次函数图象平移的规律是解题的关键. 16. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，先求出直线的解析式，再求出点的坐标，再求出直线的解析式，从而求出点、的坐标，以此类推可得点、的坐标，根据点的坐标之间的变化规律求出点的坐标． 【详解】解：设直线的解析式为， 点的坐标为， 则有， 直线的解析式为， 轴，且交抛物线于点， 点的纵坐标为， ， 解得：， 点的坐标为， 点的坐标为， 交抛物线于点， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 解方程得：，， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标为， 可得：直线的解析式为， 解方程， 可得：，， 的坐标是， ， 依此规律可得：的坐标为，的坐标为，的坐标为 故答案为： ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数混合运算，求算术平方根，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方、算术平方根、绝对值，再根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）根据因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 即或， 解得，． 18. 如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证得是等腰三角形，再推导出是等腰三角形，进而得到，； （2）证得四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直得到平行四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：， ， 平分， ， ， 是等腰三角形， ， ， 也是等腰三角形， ， ； 【小问2详解】 证明：，， 四边形是平行四边形； 是等腰三角形，平分， ； 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，涉及平行线性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、菱形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的几个判定方法． 19. 学校组织八、九年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分分）．已知八、九年级各有人．现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 八年级：，，，，，，，，， 九年级：，，，，，，，，， 整理如表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______；同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义． 【答案】（1），，八 （2）该校这两个年纪测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为人 （3）从中位数考虑，八年级中位数 分和九年级中位数分分别反映了两个年级抽取学生成绩的中间水平，九年级成绩的中间水平较好，所以九年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了统计知识的应用，包括中位数、众数的计算、用样本估计总体以及通过统计量比较数据的总体水平．熟练掌握统计知识的应用是解题的关键． （1）先将八年级成绩从小到大排列，由于数据个数为偶数，根据中位数定义，取中间两个数的平均值，从而计算出；通过观察九年级成绩中各分数出现的次数，找出出现次数最多的分数，即为众数； （2）先确定抽取的样本中八、九年级成绩达到“优秀”（不低于分）的人数，再根据用样本估计总体的思想，分别计算出两个年纪优秀学生的大约人数，最后将两者相加得到总人数； （3）从中位数或众数的定义出发，结合本题中八、九年级的成绩数据，解释它们在反应数据特征方面的意义，如中位数反应中间水平，众数反映出现次数最多的数的情况． 【小问1详解】 解：把八年级名学生的测试成绩排好顺序为：，，，，，，，，，，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为； 九年级名学生的测试成绩中分的最多有3人，所以众数； 由于八年级的中位数，同学的成绩是分，，说明同学的成绩位于八年级中等偏上水平； 故答案为：，，八． 【小问2详解】 解：（人）， 答：该校这两个年纪测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为人． 【小问3详解】 解：我认为九年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好， 理由：从中位数考虑，八年级中位数 分和九年级中位数分分别反映了两个年级抽取学生成绩的中间水平，九年级成绩的中间水平较好，所以九年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好． 从众数考虑，八年级众数分和九年级众数分分别反映了两个年级抽取学生中得分人数相对较多的成绩，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好．（答案不唯一） 20. 【活动回顾】本册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式：的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______． 【拓展延伸】 （1）如图3，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求点，的坐标； ②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______． 【答案】（1）；（2），，；（3）①，；② 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键． （1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标即可； ②通过观察图象求解即可． 【详解】解：（1）∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是， 故答案为：； （2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为； ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴方程的解为； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解是， 故答案为：，，； （3）①联立方程组， 解得， ∴， 当时，由得， ∴； ②由的图象可知，当时，， 当时，， ∴关于x的不等式组的解集为， 故答案为：． 21. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在网络平台上对一款成本价为每件40元的商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件商品的售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）若每件售价定为x元，求日销售量y； （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，则每件售价应定为多少元？ （3）小明的线下实体商店也销售同款商品，为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行降价销售，为了日利润达到最大值，则该商品每件售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）每件售价应定为50元 （3）该商品每件售价应定为55元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，二次函数的实际应用． （1）根据每件商品的售价每降低1元，日销售量增加2件，求出日销售量y即可； （2）根据日利润不变，列出一元二次方程进行求解即可； （3）设日利润为，根据总利润等于单件利润乘以日销量，列出二次函数，根据二次函数的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：， ∵要尽快销售完该款商品， ∴； 答：每件售价应定为50元； 【小问3详解】 设日利润为，则：， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴该商品每件售价应定为55元． 22. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8 【解析】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1），， ， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图，    ， ， ， ∴的最小值是； （3）构造于，如图所示：    设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 23. 如图，在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标． （2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差． （3）若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再运用配方法求得出顶点M的坐标即可； （2）先根据该二次函数的性质求得其在上的最大值和最小值，然后作差即可解答； （3）先求出直线的表达式为，设点（且），则点．然后分点在点的下方和上方两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵点是拋物线上的点， ∴解得： ∴抛物线的表达式为． ∵， ∴拋物线顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵抛物线顶点的坐标为， ∴当时，随的增大而减小． ∴当时，在处，取得最大值； 在处，取得最小值． ∴当时，二次函数的最大值与最小值的差为． 【小问3详解】 解：设直线的表达式为， ∵点， 解得： 直线的表达式为， 设点（且），则点． 当点在点的下方，即时，， ∴时，线段的长随的增大而增大； 当点在点的上方时，， ∴当时，线段的长随的增大而增大． 综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $