专题1.1平面及其基本性质重难点题型专训（6个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第三册）

专题1.1平面及其基本性质重难点题型专训 （6个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 平面的概念及其表示 题型二 空间位置关系的画法 题型三 平面分空间的区域数量 题型四 平面的基本性质及辨析 题型五 点(线)确定的平面数量问题 题型六 空间中的点(线)共面问题 题型七 空间中的点共线问题 题型八 空间中的线共点问题 题型九 由平面的基本性质作截面图形 题型十 平面的基本性质的有关计算 题型十一 空间图形的平面直观图的画法 拓展训练一 平面的性质及其应用 拓展训练二 空间中的点线面相关问题 拓展训练三 空间、平面相关画法问题 知识点一：平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象． 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分． 【即时训练】 1．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、线、面位置关系的表示方法进行判断即可. 【详解】因为点在直线上可表示为，故A错误； 直线在平面内，可表示为，故C正确； 因为，，所以，故B错误； 直线不在平面内，可表示为，故D错误. 故选：C 2．（23-24高二·上海·课堂例题）用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 【答案】 ，    【分析】略 【详解】略 知识点二：平面的画法 在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面． （1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的 2倍； 当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面． 【即时训练】 1．（23-24高一·全国·课后作业）下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照画法原则进行判断即可. 【详解】对于A，图中没有画出平面与平面的交线，故A不正确； 对B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故 B，C不正确； 对D，符合画法原则，故D正确， 故选：D 2.（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 知识点三：平面的表示 为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． 【即时训练】 1．（24-25高一下·福建龙岩·期末）用符号语言表述“若直线在平面内，则直线上的一点必在平面内”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用点与线、线与面、点与面的关系的集合表示，逐项判断. 【详解】由直线在平面内，得；由点在直线上，得；由点在平面内，得， 选项A正确，选项BCD都错. 故选：A 2．（24-25高二上·上海·期中）用符号表示“平面与相交于直线” ． 【答案】 【分析】由点、线、面位置关系的符号表示即可得解. 【详解】“平面与相交于直线”的符号表示， 故答案为：. 知识点四：点、直线、平面之间位置关系 【即时训练】 1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和该直线外一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两条直线确定一个平面 【答案】B 【分析】由平面的基本性质即可判断答案. 【详解】不共线的三点确定一个平面，A错误； 易知B正确； 空间四边形无法确定一个平面，C错误； 两条相交直线或平行直线确定一个平面，D错误. 故选：B. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）三条直线两两平行可以确定 个平面． 【答案】1或3 【分析】需要注意三条平行线的位置关系，若这三条直线在同一个平面上，则可以确定一个平面，若这三条直线像三棱柱的三条侧棱，则可以确定3个平面，得到结果． 【详解】解：三条直线两两平行， 若这三条直线在同一个平面上，则可以确定1个平面， 若这三条直线像三棱柱的三条侧棱，则可以确定3个平面， 综上所述可以确定一个或三个平面， 故答案为：1或3． 知识点五：平面的三个公理及推论 1.公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图： 符号语言表述： 用途：证明“点在面内”、“线在面内”. 2.公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图， 符号语言表述：三点不共线有且只有一个平面，使． 用途：证明“两平面重合”、“多点共面”、“点线共面”. 3.公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图： 符号语言表述：． 用途：证明“多点共线”、“多线共点”. 如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线． 4.推论 推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 【即时训练】 1．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解. 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 2．（2023高二·全国·专题练习）如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论： ①A、M、O三点共线；         ②A、M、O、不共面： ③A、M、C、O共面；         ④B、、O、M共面， 其中正确的序号为 ． 【答案】①③ 【分析】由公理1判断①，由公理2判断②和③，用反证法判断④ 【详解】连接，因为是的中点，所以， 平面与平面有公共点A与，则平面平面， 对于①，平面，则平面，因为平面，则，即A，M，O三点共线，所以①正确， 对于②③，由①知A，M，O三点共线，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以②错误，③正确； 对于④，连接，则都在平面上，若平面，则直线平面，所以平面，显然平面，所以④错误， 故答案为：①③ 知识点六：空间图形的平面直观图的画法 我们知道 ， 立体几何的研究对象是空间图形 ． 要将空间图形在一个平面上体现出来 ， 就需要在平面内画出具有立体感的空间图形的直观图 ． 为了把空间图形画得既富有立体感 ， 又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 ， 我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图 ． 下面 ， 我们通过两个例子来体会用斜二测画法画空间图形直观图的方法与步骤 ． 【即时训练】 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用斜二测画法作出直观图，可得结果. 【详解】作出正方形的斜二测直观图如下图所示（单位：）：    故选：C. 2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的性质依次判断即可. 【详解】斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，故A不符合题意； 斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行，故B不符合题意； 用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行，故C不符合题意； 斜二测画法中，直观图和原图的面积不一定相等，故D符合题意． 故选：D． 【经典例题一 平面的概念及其表示】 【例1】（22-23高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平面的有关概念进行分析，从而确定正确答案. 【详解】两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面，①②正确. 在同一直线上的三个点不能确定一个平面，③错误. 直线和直线上一点不能确定一个平面，④错误. 所以正确的个数为个. 故选：B 【例2】（2023高二·浙江台州·阶段练习）用符号语言表示下列语句,并画出图形. 三个平面交于一点, 且平面与平面交于PA, 平面与平面交于,平面与平面交于 【答案】答案见解析 【分析】由题意将自然语言转化为符号语言，并画出图形即可. 【详解】符号语言为:，，，. 其对应的图形如图所示： 1．（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据点线面的关系结合元素和集合、集合与集合的关系直接写出即可. 【详解】因为直线和平面都是由点形成的， 所以根据元素与集合的关系知，点A在平面内表示为，点A不在直线l上表示为， 根据集合与集合的关系知，直线l在平面内可表示为. 故选：B 2．（23-24高二上·浙江温州·阶段练习）若点N在直线a上，直线a又在平面α内，则点N，直线a与平面α之间的关系可记作（ ） A．N∈a∈α B．N∈a⊆α C．N⊆a⊆α D．N⊆a∈α 【答案】B 【详解】∵点N在直线a上，直线a又在平面α内， ∴点N，直线a与平面α之间的关系可记作： N∈a⊆α． 故选：B． 3．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）用符号表示“点在平面内，直线在平面内”为 ． 【答案】 【详解】分析：直接利用空间点、线、面的关系，写出结果即可. 详解：由题意“点在平面内，直线在平面内”的符号表示为“”， 故答案为“”. 点睛：本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系的符号表示，属于基础题. 4．（24-25高二·上海·课堂例题）若三角形的两个顶点在平面α上，若三角形的内心也在平面α上，则三角形的第三个顶点是否也在平面α上？ 【答案】三角形的第三个顶点也在平面α上 【分析】根据三角形的内心不在边上，结合不共线的三点确定一个平面即可判断． 【详解】三角形的第三个顶点也在平面α上． 因为三角形的两个顶点在平面α上，且内心也在α上， 因为三角形的内心必不在边上， 即有不共线的三点在α上， 则三角形所在平面与α重合． 【经典例题二 空间位置关系的画法】 【例1】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）将单位正方体放置在水平桌面上（一面与桌面完全接触），沿其一条棱翻动一次后，使得正方体的另一面与桌面完全接触，称一次翻转．如图，正方体的顶点，经任意翻转三次后，点与其终结位置的直线距离不可能为(      ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用排除法，考虑选项A，C，D成立的情况，即可判断B不可能. 【详解】第一次向前翻，第二次向左翻，第三次向后翻，点A在原位置，此时距离为0，故A正确； 第一次向后翻，第二次向右翻，第三次向前翻，点与其终结位置的直线距离为2，C正确； 第一次向右翻，第二次向右翻，第三次向右翻，点与其终结位置的直线距离为4，D正确 故选： 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据已知点、线、面的位置关系，利用适当的符号表示即可． 【详解】（1）因为，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线， 符号表示为：、，，，则. 图形表示如下：    （2）因为两条相交直线和都在平面内， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    （3）直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）一个西瓜切3刀，最多能切出 块． 【答案】8 【分析】利用平面的基本性质和位置关系可知，按照竖着切两刀，横着切一刀的方式得到的块数最多. 【详解】根据题意可知，把切的每一刀看成一个平面， 利用平面的基本性质和位置关系可知，先竖着沿两个不重合的平面切两刀到底，再横着沿平面切一刀贯通，如下图所示：    这样可实现块数的倍增，此时得到的块数最多，为8块. 故答案为：8 2．（23-24高二·上海·课堂例题）画三个平面，使其中的两个平面互相平行，而第三个平面与这两个平面都相交． 【答案】答案见解析 【分析】用平行四边形代表平面，先画两互相平行的平行四边形，再画第三个平行四边形与这两个平行四边形均相交即可. 【详解】如图，是三个不同的平面，为不同的直线， 其中∥，    3．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，画出与、、所确定的平面的交点，并说明理由．    【答案】答案见解析 【分析】根据线面相交的定义，即可作出. 【详解】如图，，平面，    所以平面. 4．（23-24高一·全国·课前预习）用符号语言表示下列语句，并画出图形： (1)三个平面相交于一点P，且平面与平面相交于，平面与平面相交于，平面与平面相交于； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】根据点线面的关系，将文字语言转化为符号语言和图形语言． 【详解】（1）符号语言表示：, 图形表示：如图 ； （2）符号语言表示：平面平面，平面平面，图形表示：如图 【经典例题三 平面分空间的区域数量】 【例1】（24-25高一下·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析，即可得解. 【详解】      先研究直线分一个平面： 1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分， 3条直线分一个平面为7部分，这个， 4条直线分一个平面为11部分，这个， 5条直线分一个平面为16部分，这个， 由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域， 当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域， 所以4个平面最多可将空间分成个区域， 当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域， 所以5个平面最多可将空间分成个区域， 故选：B 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 【答案】3个平面可将空间分成4、6、7、8部分 【分析】通过画图即可得答案. 【详解】当3个平面互相平行时，可将空间分为4个部分，如图， 当3个平面交于一条直线或第三个平面分别交两个平行平面时，可将空间分为6个部分，如图， 当3个平面两两相交且交线互相平行时，可将空间分为7个部分，如图， 当3个平面如上图所示的两两相交时，可将空间分为8部分，如图， 因此3个平面可将空间分为4、6、7、8个部分. 1．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据空间中平面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意； 对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意； 对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意； 对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意. 故选：C 2．（23-24高一·全国·课后作业）若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是 A．三个平面共线； B．有两个平面平行且都与第三个平面相交； C．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交； D．三个平面两两相交． 【答案】C 【详解】三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交时，三个平面把空间分成6个部分， 故选：C． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有 条． 【答案】3 【分析】画出把空间分成7部分时的三个平面，可知它们的交线情况，从而解决问题． 【详解】解：根据题意，三个平面把空间分成7部分， 此时三个平面两两相交， 且有三条平行的交线． 故答案为：3． 4．（24-25高二·上海·课堂例题）（1）三个平面可以把空间分成 个部分． （2）将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值 ． 【答案】 4，6，7，8 12 【分析】（1）通过分析三个平面不同的位置关系可确定结果； （2）利用（1）求出值即可. 【详解】（1）当三个平面无交线，即三个平面平行时，可以把空间分为4个部分； 当三个平面经过同一条直线或三个平面有两条交线（一个平面与两个平行平面相交）时，可以把空间分为6个部分； 当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分； 当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分， 所以三个平面可以把空间分成4，6，7，8部分. （2）将一个苹果切3刀可得块数最多与最少问题，相当于三个平面把空间分成的部分数最多与最少问题， 由（1）知，，所以. 故答案为：4，6，7，8；12 【经典例题四 平面的基本性质及辨析】 【例1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）下列条件中，能够确定一个平面的是（    ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 【答案】C 【分析】两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；两条相交直线能确定一个平面，可判断C；若点在直线上，则不能确定一个平面，可判断D. 【详解】对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面，A错误； 对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，B错误； 对于C，两条相交直线能确定一个平面，故C正确； 对于D，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故D错误. 故选：C. 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，P为棱的中点． (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线； (2)画出平面与平面ABCD的交线． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）平面PAC与平面ABCD的交线为AC； （2）延长交于点E，连接CE，则CE为平面与平面ABCD的交线. 【详解】（1）平面PAC与平面ABCD的交线为AC，如图（1）. （2）延长交于点E，连接CE， 则CE为平面与平面ABCD的交线，如图（2）. 1．（24-25高一下·河南南阳·期末）检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实判断即可. 【详解】对于A，当地面不平整时，每条桌腿和地面之间都无缝隙，也不能说明4条腿的下端在同一平面内，A不是； 对于B，最多能说明桌面是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，B不是； 对于C，只能检查每条腿的下端是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，C不是； 对于D，两根细线相交，可得两根细线所在直线确定一个平面， 两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内，能说明4条腿的下端在同一平面内，D是. 故选：D 2．（24-25高一下·新疆哈密·期中）下列命题正确的是（ ） A．三个点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．两条直线可以确定一个平面 D．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质求解. 【详解】三个不共线的点可以确定一个平面，A错误； 一条直线和直线外一点可以确定一个平面，B错误； 两条异面直线不能确定平面，C错误. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体，D正确. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海静安·期中）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是 ． 【答案】直线 【分析】根据已知得R、C既在平面上又在平面上，从而得答案． 【详解】根据题意，因为直线AB与直线l相交于点R，， 又平面与平面相交于直线l，所以平面β， 又点C在平面上，所以平面β， 因为平面γ，R点在直线AB上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线． 故答案为：直线． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，若，A，，，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面，的交线. 【答案】作图见解析 【分析】利用平面的性质即可得解. 【详解】A，，是平面ABC与的交线， 延长BA交l于D，则平面ABC， 因为，所以，又， 是平面ABC与的交线，则对应的图示如图， . 【经典例题五 点(线)确定的平面数量问题】 【例1】（22-23高二下·河北石家庄·期末）空间中过直线外一点与该直线平行的平面有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】D 【分析】根据过直线外一点可作一条直线与已知直线平行，而过这条直线的平面有无数个，即可得出答案. 【详解】因为过直线外一点可作一条直线与已知直线平行， 而过所作直线的平面与已知直线平行，则有无数个平面， 所以过直线外一点和这条直线平行的平面有无数个， 故选：D. 【例2】（23-24高二上·江西宜春·期中）已知平面α∥β，α内有3个点，β内也有3个点，这6个点任意3点不共线，任意4点不共面，试问这6个点能确定多少个平面？ 【答案】20 【分析】根据题意可得，这6个点中任意三点均可确定一个平面，再将所有可能的情况列举求解即可 【详解】由题意，设内的三点为，内的三点为，根据题意可得，6个点中任意三点均可确定一个平面，故一共可由共20个不同的平面 1．（24-25高二上·山东东营·开学考试）不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据平面的基本定理求解． 【详解】四点中任意三个点都不共线时，确定的平面的个数最多， 结合三棱锥的结构特征可知，确定个平面. 故选：B． 2．（2024高一下·全国·专题练习）下列命题是真命题的是（    ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当三个点共线时，可作无数个平面，所以A是假命题； 对于B中，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面， 如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，所以B是假命题． 对于C中，当三条直线可能交于同一点，可能确定三个平面；当三条直线有三个不同的交点，可以确定一个平面，所以C是假命题； 对于D中，两两平行的三条直线，根据推理（3）可以确定一个或三个平面，所以D正确； 故选：D. 3．（24-25高二·上海·课堂例题）从同一点出发的四条射线能确定个平面，则所有可能的取值是 ． 【答案】1，3，4，6 【分析】按共点的4条射线共面情况，分类讨论即可得解. 【详解】4条射线在空间的位置关系有：任何3条都不共面，仅有3条共面，有2条射线反向共线，4条共面，共三种情况， 当4条射线中任何3条都不共面时，如四棱锥的四条侧棱，可以确定6个平面； 当4条射线中仅只3条共面时，可以确定4个平面； 当4条射线中有2条射线反向共线时，可以确定3个平面； 当4条射线共面时，可以确定1个平面， 所以所有可能的取值是1，3，4，6. 故答案为：1，3，4，6 4．（23-24高二·全国·课后作业）分别过空间一点、两点、三点、四点可以确定多少个平面？ 【答案】过空间一点、两点均可确定无数个平面，过空间三点可确定一个或无数个平面，过空间四点可确定一个或四个或无数个平面． 【分析】过空间一点，两点直接下结论，三点和四点分情况说明即可. 【详解】过空间一点、两点均可确定无数个平面； 过空间三点时，若三点共线，则可确定无数个平面，若三点不共线，可确定一个平面； 过空间四点时，若四点共线，则可确定无数个平面， 若任意不共线的三个点所确定的平面过第四个点，此时，这四个点只能确定一个平面， 若任意不共线的三个点所确定的平面不过第四个点，此时，这四个点能确定四个平面. 【经典例题六 空间中的点(线)共面问题】 【例1】（25-26高二·上海·假期作业）下列命题错误的是（　　） A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 【答案】D 【分析】根据基本事实二、三逐项判断即可. 【详解】由基本事实二知直线及直线外一点，确定一个平面，故A正确； 由基本事实三知两条平行直线，确定一个平面，故B正确； 由基本事实三知两条相交直线，确定一个平面，故C正确； 三条相交直线两两相交，确定一个或三个平面，故D错误． 故选：D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】通过证明即可证明，，，四点共面. 【详解】连接， 在长方体中， ∵∴四边形是平行四边形， ∴， 又因为，分别为棱，的中点，所以， 所以， 所以，，，四点共面. 1．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由中点构成的中位线和几何体的特征先判断是否平行，再判断是否在同一个平面内． 【详解】第一个图，如图：   分别是棱的中点，由正方体性质知，，则四个点共面； 第二个图，如图：   为棱的中点，由正方体的性质可知六点共面，记作， 因为，所以，所以与异面直线，即四个点不共面； 第三个图，如图：    因和分别是相邻侧面的中位线，所以，， 所以，即四个点共面； 第四个图，如图：    因为平面，所以平面，所以与异面直线， 即四个点不共面． 故选：C 2．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中有三点共线，则此四点必共面 C．若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 D．空间四边形中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形为正方形 【答案】B 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解A，B，C，根据线线平行及垂直判定四边形形状判断D. 【详解】对A，四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故A错误， 对于B，若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；B正确， 对于C，若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，C错误， 对于D，空间四边形中，，E，F，分别为，的中点，G，H分别为，的中点，所以，所以， 同理，所以，则四边形为长方形，不能得出正方形，D选项错误； 故选：B 3．（24-25高一下·全国·课后作业）与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过 的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B， 基本事实2 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ，，且， 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条 ，且 ，且 【答案】 不在一条直线上 两个点 过该点的公共直线 【分析】略 【详解】略 4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体 中，分别是棱的中点.求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，利用平行关系可得四点共面，四点共面，再根据过不共线的三点的平面具有唯一性，即可证明. 【详解】如图， 取的中点，连接， 因为分别是棱的中点， 所以，，所以，四点共面， 又，，所以，四点共面， 又因为过不共线的三点的平面具有唯一性， 则平面与平面重合，故四点共面. 【经典例题七 空间中的点共线问题】 【例1】（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（   ） A．点G在AC上 B． C． D．直线EB，GD交于点B 【答案】D 【分析】由平面的基本性质可得出平面平面，即可得解. 【详解】因为DF与EG相交， 所以平面平面, 所以直线EB，GD交于点B，故D正确. 而由题意，可为上任意一点，故ABC错误. 故选：D 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【分析】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线. 【详解】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 1．（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【分析】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【详解】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 2．（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】推导出，，从而，由此能证明E，F，G，H四点共面；，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为P，证明P点在直线上． 【详解】如图所示，     E，F分别为AB，AD的中点，∴，， 分别在，CD上，且，∴，， ∴，则E，F，G，H四点共面，说法①正确； ∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误； 若直线与直线交于点P，则由，平面，得平面， 同理平面，又平面平面， ∴则P，A，C三点共线，说法③正确； 说法中正确的有2 个. 故选：C 3．（22-23高三·全国·对口高考）如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是 ．    【答案】、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线 【分析】确定、、平面，、、平面，得到结论. 【详解】O是中点，则O是中点，故平面， 与截面交于P，故，故平面，又平面， 故、、平面，又、、平面， 故、、在平面和平面的交线上. 故答案为：、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线. 4．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 【答案】证明见解析 【分析】根据平面的性质分析可知点P，Q，R均在平面ABC与平面的交线上，即可得结果. 【详解】由，可知点， 且平面ABC，可知点平面ABC，又， 所以点P在平面ABC与平面的交线上， 同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上， 所以P，Q，R三点共线． 【经典例题八 空间中的线共点问题】 【例1】（22-23高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【答案】B 【分析】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可． 【详解】因为，，且， 所以，所以且， 因为，分别为，的中点，所以且， 所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰， 所以，交于一点，设交点为，则，， 又因为平面，且平面， 所以平面，且平面， 又平面平面， 所以， 所以点是直线，，的公共点， 故直线、、相交于一点．    故选：B 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【分析】先设两腰EG，FH的延长线相交于一点，再应用平面的基本性质证明三条线交于一点. 【详解】四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 1．（22-23高三·全国·对口高考）已知为长方体，对角线与平面相交于点，则为的（    ）    A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】B 【分析】依题意连接交于点，连接，连接、，，连接，根据线面、面面关系判断即可. 【详解】如图连接交于点，连接，连接、，，连接， 由为长方体，所以为的中点，为的中点， 则、为的中线， 平面平面，对角线与平面相交于点，则， 平面平面，对角线与平面相交于点，则， 所以为与的交点， 所以为的重心.    故选：B 2．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【答案】B 【分析】作出辅助线，得到，P，B，Q四点共面，即平面，又平面，所以；作出辅助线，得到平面，平面，故，同理D正确. 【详解】连接，，如图， 因为P，Q分别是棱，的中点， 由勾股定理得， 所以四边形是菱形， 所以，P，B，Q四点共面，即平面. 又平面，所以，故A结论正确，B结论错误. 如图，延长与的延长线交于点F，延长与的延长线交于点E. 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 同理，故C，D正确. 故选：B 3．（23-24高一下·湖南·阶段练习）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线 上． 【答案】BD 【分析】根据题意，直线分别为平面、平面内的直线，所以直线的交点一定在平面与平面的交线上，故得解. 【详解】由题意，且， 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面， 因此，直线与的公共点在平面与平面的交线上， 因为平面平面， 所以点直线． 故答案为：BD. 4．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    【答案】证明见解析 【分析】通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. 【详解】平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上.    【经典例题九 由平面的基本性质作截面图形】 【例1】（24-25高一下·河南安阳·期末）如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，取的中点为，可得截面为梯形，然后求最长边即可. 【详解】如图，延长交于点，则， 即为的一个三等分点， 连接，取的中点为，连接，则， 所以四点共面，故梯形即为截面图形， 显然为最长边，长度为． 故选：B. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度； 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，连接交于点，再利用相似三角形求解即可. 【详解】由正三棱柱中，， 又因为点分别为棱的中点，可得， 如图所示，延长交的延长线于点， 连接交于点，则四边形为所求截面， 过点作的平行线交于， 因为，所以， 又 所以，所以，则. 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形. 【详解】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D 2．（23-24高一下·河南三门峡·期末）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到五边形即为平面截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相似得到各边长，相加得到截面周长. 【详解】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点， 连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面， 其中分别是的中点，故， ，故，由勾股定理得， ， 同理可得， 又，故， 故平面截该四棱柱所得截面的周长为. 故选：A 3．（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为 . 【答案】/ 【分析】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 4．（2024高三·全国·专题练习）在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面； 【答案】作图见解析 【分析】过点作的平行线即可. 【详解】取的中点为，连接，易证， 则四边形即为所求截面，如图阴影部分， 【经典例题十 平面的基本性质的有关计算】 【例1】（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则. 故选：C 【例2】（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）如图所示：平面， 与底面的交点必在侧面与底面的交线上， 过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上）， 与平面的交线是（在线段上）． （2）由（1）可知：， 在Rt中，由勾股定理得． 1．（2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值. 【详解】    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. 2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，是平面内一定点，是平面外一定点，且，直线与平面所成角为，设平面内动点到点的距离相等，则线段的长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到动点的轨迹是线段的中垂面与平面的交线，取的中点，结合，即可求解. 【详解】如图所示，因为点到点的距离相等， 可得动点的轨迹是线段的中垂面与平面的交线， 又因为，直线与平面所成角为， 取的中点，可得，则线段的最小值为. 故选：A.    3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-中，E，F分别是，的中点，平面AEF与线段交于点G，则= . 【答案】/ 【分析】根据面面相交的性质，结合平行线的性质进行求解即可. 【详解】延长交于点，连接交一点，该点为点G， 因为F是的中点，，所以是的中点， 因为E是的中点，所以， 因此有， 于是有， 故答案为： 4．（22-23高一下·重庆北碚·阶段练习）如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．    (1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；    (2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据两平面相交，只有一条交线，以及确定平面的依据，即可作出不同的截面图形； （2）首先根据确定平面的依据，作出截面，方法一，根据作图的过程，可以选择减法求截面的面积，方法二，根据截面为等腰梯形，根据梯形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）截面可以分别为三角形，四边形，五边形，六边形, 如图，取上一点，连结，即为截面三角形；    如图，取线段上，靠近点处的一点，延长， 连结，，连结，则四边形为截面四边形；和    取上靠近点的四等分点，连结并延长，交于点， 连结并延长，交于点，连结并延长，交于点， 连结并延长，交于点，连结，如图五边形为截面五边形.    如图，延长，交的延长线交于点，取上靠近点的三等分点， 连结，并延长，交于点，连结，交于点，六边形为截面六边形.    （2）如图：连接PQ所在直线交DC延长线于X，交的延长线于Z； 连接直线MX交BC于R，交DA延长线于Y； 连接YZ分别交，于S，T．则六边形PQRMST即为截面． ∵P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C），∴，，， 可得，，，， 又，，所以，，，， 又，M为AB的中点，，，所以YDZ为等腰直角三角形， 所以，，，，， ∴为等腰三角形，等边上的高为， ， 所以    方法二：可证明PQRM与PTSM是全等的等腰梯形，，，，所以等腰梯形PQRM的高为，所以． 【经典例题十一 空间图形的平面直观图的画法】 【例1】（25-26高二上·广西贵港·开学考试）如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出平行四边形的面积，再根据直接求解. 【详解】因为四边形是平行四边形，且，， 所以平行四边形面积 根据直观图与原图面积关系， 所以. 故选： 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习）我们可以把长方体看成底面沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？ 【答案】答案见详解 【详解】先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体的直观图. 1．（24-25高一下·山东济南·期末）用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为10，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图画出原图，得到，，求得，进而得到的长. 【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，可由直观图画出原图， 因为，可得，所以，即， 则，所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·陕西榆林·期末）已知正方形ABCD的边长为，按照斜二测画法作出它的直观图，直观图面积为，则正方形ABCD的面积为（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】B 【分析】画出图形，过点作轴于点，由斜二测画法计算可得. 【详解】 利用斜二测画法得到直观图，则， 过点作轴于点，则， 所以平行四边形的面积为，解得，正方形ABCD的面积为16. 故选：B. 3．（24-25高二上·浙江·开学考试）如图，的斜二测画法直观图为等腰直角三角形，且斜边，则在原平面图形中，点到的距离为 ． 【答案】2 【分析】由斜二测画法进行求解即可． 【详解】在直观图中，等腰直角三角形，且斜边， 得，， 在原平面图形中，如图所示： 则， 则在原平面图形中，点到的距离为2. 故答案为：2 4．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积.    【答案】 【分析】利用斜二测画法性质还原出原图形即可得出原图形面积. 【详解】根据斜二测画法可知正方形的对角线长为， 画出原图形如下图所示：    原图为两直角边分别为的直角三角形组成的平行四边形， 所以原来图形的面积为. 【拓展训练一 平面的性质及其应用】 【例1】（23-24高三·北京·强基计划）与正四面体的4个顶点的距离都相等的平面个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．前三个答案都不对 【答案】D 【分析】按平面两侧正四面体的顶点数分类计算后可得正确的选项. 【详解】按平面两侧正四面体的顶点数分类． 情形一  一侧有1个顶点，另外一侧有3个顶点．此时四个顶点对应的中截面符合要求，共4个． 情形二  两侧各有2个顶点，此时两组对棱的四个中点构成的平行四边形所在的平面符合要求，共3个． 综上所述，符合题意的平面共有7个． 故选：D 【例2】（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)作图见解析，理由见解析， (2)证明见解析. 【分析】（1）根据平面确定定理证明即可. （2）根据等腰梯形的证明方法证明即可. 【详解】（1） 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. （2）连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 1．（24-25高三下·北京·开学考试）长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把问题转化成点到直线上的点的距离垂线段最短解决. 【详解】如图： 根据题意，截面是边长为的正方形，为的中点. 点在上，在线段上取点，使得. 根据正方形的对称性，则，所以， 表示点沿着折线到直线的距离. 取的中点，则，根据垂线段最短可得：. 所以的最小值为. 故选：A 2．（22-23高一下·黑龙江大庆·期末）在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先作出截面，再根据几何关系求边长，即可求解周长. 【详解】如图1，延长与交于点，连结，与交于点， 连结，则四边形为所求截面， 其中，，    如图2，，所以，即，    如图1，若，则，所以， 即点是的中点， 所以， 中，， 所以， 所以四边形的周长为. 故选：B 3．（23-24高一·全国·课后作业）有以下三个命题： ①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点； ②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示； ③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交. 其中真命题的序号是 . 【答案】①③ 【分析】根据直线与平面的位置关系及平面的基本性质判断①③，由线面关系的表示方式判断②. 【详解】若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，①正确； 直线l在平面α内用符号“”表示，即，②错误； 由且a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，③正确. 故答案为：①③ 4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    【答案】答案见解析 【分析】利用两个平面相交必有且只有一条交线的基本事实作图即得. 【详解】所作截面如图1所示.    作法：延长交于点，连接交于，连接， 延长交于点，连接交于，连接， 则截面是五边形. 理由如下：不妨设截面为，由作法知，,因交于点，则, 因交于，,则，又平面, 故即平面与四棱锥的侧面的交线， 同理可得即平面与四棱锥的侧面的交线, 于是，即平面分别与四棱锥的侧面，的交线, 故可得，截面是五边形. 【拓展训练二 空间中的点线面相关问题】 【例1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，证明三个交点共线． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，分和不在同一平面内与在一个平面内讨论，结合三棱锥的结构特征，即可证明. 【详解】证明：如图1，先考虑和不在同一平面内，则由条件知， 它们可构成一个三棱锥，而是它的一个截面， 且和的对应边所在的直线都相交．    设与交于点，则平面平面， ∴点必落在平面与平面的交线上， 同理，与的交点，与的交点都落在平面与平面的交线上， ∴三对应边的交点共线．只要选取适当的投影方向， 便得到一个如图2所示的图形（投影图），从而原问题获证．    1．（23-24高一下·江苏南京·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 【答案】B 【分析】A.这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；B.该选项正确；C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，所以该选项错误；D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误. 【详解】A. 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误； B. 若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以该选项正确； C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥,相交于同一点的三条直线不在同一平面内，所以该选项错误； D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误. 故选：B 2．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 【答案】A 【分析】由题意作出图形，并连接，结合已知条件容易证明四边形为等腰梯形，从而由等腰梯形的性质即可求解. 【详解】如图所示： 连接，点为正方形的中心， 则经过点，且点为中点， 是线段的中点， 所以在中，， 又， 且由正方形性质可知， 所以， 即四边形为等腰梯形， 又为等腰梯形的对角线， 所以，且直线是相交直线. 故选：A. 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是 . 【答案】相交 【分析】利用平面的性质结合图形可得答案. 【详解】在正方体中，易知，且， 即四边形是平行四边形， 又平面， 在同一平面中，，所以直线与直线相交. 故答案为：相交    4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 【答案】证明见解析 【分析】先证明四边形，均为梯形，则直线与必相交，与必相交，再结合长度关系得到点重合即证. 【详解】在正四棱台中，因为，，，，所以四边形，均为梯形， 则直线与必相交，与必相交. 延长，，，设的延长线与的延长线交于点， 的延长线与的延长线交于点． 在正四棱台中，，， 则，，得，所以点重合， 即直线，，相交于同一点. 【拓展训练三 空间、平面相关画法问题】 【例1】（2025·辽宁·三模）有一张长方形的纸（如图所示），现可任意沿虚线将其剪开或折叠（不将纸剪断），可以得到的图形的直观图是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据立体图形直观图的斜二测画法，分别判断各选项正误. 【详解】 A项沿着和竖线剪开，沿中间线上翻得到. B项和线剪开，和线剪开，沿中间线上翻得到. C项四边形和四边形都被剪了，四边形和四边形位置冲突，所以不可能得到. D项沿和剪开，沿中间线上翻，再沿线剪开，沿中间线下翻得到. 故选：ABD. 【例2】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】根据斜二测法，由直观图可作出原图形，再求面积即可. 【详解】根据题意可作出原图形， ，，，， ， 故答案为：2. 1．（24-25高一下·湖南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理求出，在平面直角坐标系中还原，计算即可 【详解】由斜二测画法知，， 所以由余弦定理得， ，代入上式解得，， ， ,， 还原平面图如图， 即，， ， 四边形的周长为． 故选：C. 2．（24-25高一下·广东潮州·期末）如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形作出，求其各边长，即得周长. 【详解】作出，如下图所示： 由题意可知因为，，，所以， 故，，， 由勾股定理可得， 故的周长为. 故选：D. 3．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为 ． 【答案】 【分析】根据直观图得到平面图形，利用勾股定理求出，即可得解. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 因为，， 所以，， 所以在直角三角形中，. 故答案为：. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】运用斜二测画法画图即可. 【详解】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使． （2）以为中点在轴上取，在轴上取，以为中点画轴，并使． （3）连接，，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形的直观图． 1．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点线、线面的位置关系，应用数学符号表示它们的关系即可，注意点属于或不属于线、面，线包含于或不包含于面. 【详解】由点在直线上，即； 由直线在平面内，即. 所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·山西临汾·期末）若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目． 【详解】如图，若三个平面平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若其中两个平面平行，另一平面与这两个平面都相交， 此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线互相平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线交于同一点，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面相交于同一条直线，此时三个不同平面把空间分成部分， 故A、B、C都有可能，D不可能.    故选：D. 3．（24-25高一下·上海·期中）已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质和推论即可判断. 【详解】由公理有不共线的三点可以确定一个平面，但是共线的三点不能确定唯一的平面，故①错误； 一条直线和直线外一点可以确定唯一一个平面，但是一条直线和直线上的点不能确定唯一的平面，故②错误； 两条异面直线不能确定一个平面，故③错误. 故选：D. 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（    ） A．，则 B．，则直线，直线 C．，则 D．，且不共线，则重合 【答案】C 【分析】根据题意，结合平面的基本性质，以及确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得直线，直线，所以B正确； 对于C中，由，则平面和平面是一条经过点的直线，所以C不正确； 对于D中，由，且不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得重合，所以D正确. 故选：C. 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知空间中不过同一点的三条直线，则“共面”的一个充分不必要条件是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．两两相交 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件得要求推出各选项是否能保证三条直线共面. 【详解】选项A：，且，三条直线可能在不同的平面. 选项B：，且，三条直线可能分布在三个平行平面内. 选项C：，且，垂直于但可能不在与确定得平面内. 选项D：两两相交且不过同一点得三条直线必然共面. 故选：D 6．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与GH能相交于点P，那么（    ） A．点P不在直线AC上 B．点P必在直线BD上 C．点P必在平面ABC内 D．点P必在平面ABC外 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用平面基本事实分析推理，即可判断作答. 【详解】在空间四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，有平面，平面，则直线平面， 同理，直线平面，因EF、GH能相交于点P，即， 因此平面，平面，而平面平面，于是有，A不正确，C正确，D不正确； 又直线AC与BD没有公共点，即点P不在直线BD上，B不正确. 故选：C 7．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（    ）    A．10 B．15 C． D． 【答案】A 【分析】分别在棱上取点，使得，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.再计算即可． 【详解】分别在棱上取点，使得， 连接，根据正方体特征及平行公理，易证，， 则平面截该正方体所得的截面图形是五边形. 由题中数据，知道，，可得. 故选：A.    8．（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案． 【详解】延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则，    所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形， ，， ， 记边上的高为，      则解得 所以． 故选：D． 9．（2024贵州毕节·三模）在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交的延长线于，利用平面的基本性质可得直线即为直线，然后利用正方体的性质可得，即得. 【详解】延长交的延长线于，连接交于， ∵平面，平面，平面平面， ∴，故直线即为直线， 取的中点，连接，又点，分别是棱，的中点， ∴， ∴，， ∴，即. 故选：B. 10．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是，若的中点在轴上，且，则（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】作，求得，然后作出原来图形，求得，为的中点，最后判断即可. 【详解】由题可知：为的中点，，则，作，如图： 作出原来图形： 所以，由，所以 又为的中点，所以. 故选：A 11．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知平面，直线，点，若，且，则 （填数学符号）． 【答案】 【分析】根据基本事实可得结果. 【详解】如果一条直线上的两点在平面内，那么这条直线在此平面内， 由题意可知， 故答案为：. 12．（23-24高一下·山西大同·期中）用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】根据斜二测画法的规则即可求解． 【详解】根据斜二测画法可知，原来的平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4， 故原来的平行四边形的面积为， 故答案为：8． 13．（23-24高二下·上海·开学考试）如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象： ． 【答案】两平面、相交于过点的一条直线 【分析】根据平面的基本性质知两个平面有一个公共点时，则有一条过该点的公共直线，即得答案. 【详解】当两个平面、相交于一点时， 根据平面的基本性质知两个平面有一个公共点， 则有一条过该点的公共直线， 故答案为：两平面、相交于过点的一条直线． 14．（22-23高一下·江西上饶·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 . 【答案】 【分析】画出直观图，结合斜二测画法的定义得到答案. 【详解】画出直观图如下： 为该平面图形的高，. 故答案为： 15．（24-25高一下·北京·期中）已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有 条. 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实确定点的位置，再作图确定的位置作答. 【详解】在正方体中，，而平面，即有平面，    又与线段相交，则交点必在直线上，而平面，于是平面，平面， 而，平面，即平面，而平面平面， 因此，即点为的交点，又线段与互相平分， 取的中点，连接并延长交于，显然，于是为的中点， 所以当点与重合，点与重合时，与线段相交且互相平分，这样的直线只有1条. 故答案为：1 16．（24-25高二·全国·假期作业）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 【答案】证明见解析 【分析】如图，取的中点，连接，，由题可得四边形是平行四边形，进而可得，据此可完成证明. 【详解】如图，取的中点，连接，， 则， 在正方体中，，， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面． 17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】运用平面当中的点，线，面相关定理证明即可. 【详解】  ，与确定一个平面． 直线，点．，，． 又，与重合，． 18．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到平行关系及比例关系，进而得到，且，故四边形为梯形； （2）由（1）得到相交于一点，因为平面，平面，而平面平面，所以，证明出结论. 【详解】（1）由题意，作图如下： 连接、，因为空间四边形中，分别是的中点， 所以，且， 又因为，所以，且， 所以，且， 故四边形为梯形. （2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰， 所以相交于一点. 设交点为， 因为平面，所以平面， 同理平面，而平面平面，所以， 故点是直线的公共点，即直线相交于一点. 19．（2025高三·全国·专题练习）如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证：    (1)E、F、G、四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. 【详解】（1）   连接 由分别为中点，则， 又，，则， ， 所以四点共面. （2）   由，， 易知， 又分别为中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线不平行， 设它们交点为 ，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即EH、FG必相交且交点在直线上． 20．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2)5，． 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， 所以四边形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1平面及其基本性质重难点题型专训 （6个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 平面的概念及其表示 题型二 空间位置关系的画法 题型三 平面分空间的区域数量 题型四 平面的基本性质及辨析 题型五 点(线)确定的平面数量问题 题型六 空间中的点(线)共面问题 题型七 空间中的点共线问题 题型八 空间中的线共点问题 题型九 由平面的基本性质作截面图形 题型十 平面的基本性质的有关计算 题型十一 空间图形的平面直观图的画法 拓展训练一 平面的性质及其应用 拓展训练二 空间中的点线面相关问题 拓展训练三 空间、平面相关画法问题 知识点一：平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象． 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分． 【即时训练】 1．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二·上海·课堂例题）用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 知识点二：平面的画法 在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面． （1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的 2倍； 当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面． 【即时训练】 1．（23-24高一·全国·课后作业）下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 知识点三：平面的表示 为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． 【即时训练】 1．（24-25高一下·福建龙岩·期末）用符号语言表述“若直线在平面内，则直线上的一点必在平面内”，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）用符号表示“平面与相交于直线” ． 知识点四：点、直线、平面之间位置关系 【即时训练】 1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和该直线外一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两条直线确定一个平面 2．（24-25高二·上海·课堂例题）三条直线两两平行可以确定 个平面． 知识点五：平面的三个公理及推论 1.公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图： 符号语言表述： 用途：证明“点在面内”、“线在面内”. 2.公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图， 符号语言表述：三点不共线有且只有一个平面，使． 用途：证明“两平面重合”、“多点共面”、“点线共面”. 3.公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图： 符号语言表述：． 用途：证明“多点共线”、“多线共点”. 如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线． 4.推论 推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 【即时训练】 1．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023高二·全国·专题练习）如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论： ①A、M、O三点共线；         ②A、M、O、不共面： ③A、M、C、O共面；         ④B、、O、M共面， 其中正确的序号为 ． 知识点六：空间图形的平面直观图的画法 我们知道 ， 立体几何的研究对象是空间图形 ． 要将空间图形在一个平面上体现出来 ， 就需要在平面内画出具有立体感的空间图形的直观图 ． 为了把空间图形画得既富有立体感 ， 又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 ， 我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图 ． 下面 ， 我们通过两个例子来体会用斜二测画法画空间图形直观图的方法与步骤 ． 【即时训练】 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【经典例题一 平面的概念及其表示】 【例1】（22-23高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2023高二·浙江台州·阶段练习）用符号语言表示下列语句,并画出图形. 三个平面交于一点, 且平面与平面交于PA, 平面与平面交于,平面与平面交于 1．（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（23-24高二上·浙江温州·阶段练习）若点N在直线a上，直线a又在平面α内，则点N，直线a与平面α之间的关系可记作（ ） A．N∈a∈α B．N∈a⊆α C．N⊆a⊆α D．N⊆a∈α 3．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）用符号表示“点在平面内，直线在平面内”为 ． 4．（24-25高二·上海·课堂例题）若三角形的两个顶点在平面α上，若三角形的内心也在平面α上，则三角形的第三个顶点是否也在平面α上？ 【经典例题二 空间位置关系的画法】 【例1】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）将单位正方体放置在水平桌面上（一面与桌面完全接触），沿其一条棱翻动一次后，使得正方体的另一面与桌面完全接触，称一次翻转．如图，正方体的顶点，经任意翻转三次后，点与其终结位置的直线距离不可能为(      ) A． B． C． D． 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）一个西瓜切3刀，最多能切出 块． 2．（23-24高二·上海·课堂例题）画三个平面，使其中的两个平面互相平行，而第三个平面与这两个平面都相交． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，画出与、、所确定的平面的交点，并说明理由． 4．（23-24高一·全国·例题）用符号语言表示下列语句，并画出图形： (1)三个平面相交于一点P，且平面与平面相交于，平面与平面相交于，平面与平面相交于； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 【经典例题三 平面分空间的区域数量】 【例1】（24-25高一下·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 1．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高一·全国·课后作业）若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是 A．三个平面共线； B．有两个平面平行且都与第三个平面相交； C．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交； D．三个平面两两相交． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有 条． 4．（24-25高二·上海·课堂例题）（1）三个平面可以把空间分成 个部分． （2）将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值 ． 【经典例题四 平面的基本性质及辨析】 【例1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）下列条件中，能够确定一个平面的是（    ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，P为棱的中点． (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线； (2)画出平面与平面ABCD的交线． 1．（24-25高一下·河南南阳·期末）检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 2．（24-25高一下·新疆哈密·期中）下列命题正确的是（ ） A．三个点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．两条直线可以确定一个平面 D．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 3．（24-25高二上·上海静安·期中）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是 ． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，若，A，，，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面，的交线. 【经典例题五 点(线)确定的平面数量问题】 【例1】（22-23高二下·河北石家庄·期末）空间中过直线外一点与该直线平行的平面有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【例2】（23-24高二上·江西宜春·期中）已知平面α∥β，α内有3个点，β内也有3个点，这6个点任意3点不共线，任意4点不共面，试问这6个点能确定多少个平面？ 1．（24-25高二上·山东东营·开学考试）不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024高一下·全国·专题练习）下列命题是真命题的是（    ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 3．（24-25高二·上海·课堂例题）从同一点出发的四条射线能确定个平面，则所有可能的取值是 ． 4．（23-24高二·全国·课后作业）分别过空间一点、两点、三点、四点可以确定多少个平面？ 【经典例题六 空间中的点(线)共面问题】 【例1】（25-26高二·上海·假期作业）下列命题错误的是（　　） A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 1．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中有三点共线，则此四点必共面 C．若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 D．空间四边形中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形为正方形 3．（24-25高一下·全国·课后作业）与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过 的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B， 基本事实2 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ，，且， 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条 ，且 ，且 4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体 中，分别是棱的中点.求证：四点共面. 【经典例题七 空间中的点共线问题】 【例1】（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（   ） A．点G在AC上 B． C． D．直线EB，GD交于点B 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 1．（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 2．（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（22-23高三·全国·对口高考）如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是 ．    4．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 【经典例题八 空间中的线共点问题】 【例1】（22-23高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 1．（22-23高三·全国·对口高考）已知为长方体，对角线与平面相交于点，则为的（    ）    A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 2．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 3．（23-24高一下·湖南·阶段练习）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线 上． 4．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上． 【经典例题九 由平面的基本性质作截面图形】 【例1】（24-25高一下·河南安阳·期末）如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度； 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 2．（23-24高一下·河南三门峡·期末）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为 . 4．（2024高三·全国·专题练习）在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面； 【经典例题十 平面的基本性质的有关计算】 【例1】（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 【例2】（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 1．（2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，是平面内一定点，是平面外一定点，且，直线与平面所成角为，设平面内动点到点的距离相等，则线段的长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-中，E，F分别是，的中点，平面AEF与线段交于点G，则= . 4．（22-23高一下·重庆北碚·阶段练习）如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．    (1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；    (2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积． 【经典例题十一 空间图形的平面直观图的画法】 【例1】（25-26高二上·广西贵港·开学考试）如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（   ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习）我们可以把长方体看成底面沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？ 1．（24-25高一下·山东济南·期末）用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为10，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西榆林·期末）已知正方形ABCD的边长为，按照斜二测画法作出它的直观图，直观图面积为，则正方形ABCD的面积为（    ） A． B．16 C． D．8 3．（24-25高二上·浙江·开学考试）如图，的斜二测画法直观图为等腰直角三角形，且斜边，则在原平面图形中，点到的距离为 ． 4．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积.    【拓展训练一 平面的性质及其应用】 【例1】（23-24高三·北京·强基计划）与正四面体的4个顶点的距离都相等的平面个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．前三个答案都不对 【例2】（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 1．（24-25高三下·北京·开学考试）长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·黑龙江大庆·期末）在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一·全国·课后作业）有以下三个命题： ①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点； ②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示； ③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交. 其中真命题的序号是 . 4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    【拓展训练二 空间中的点线面相关问题】 【例1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，证明三个交点共线． 1．（23-24高一下·江苏南京·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 2．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是 . 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 【拓展训练三 空间、平面相关画法问题】 【例1】（2025·辽宁·三模）有一张长方形的纸（如图所示），现可任意沿虚线将其剪开或折叠（不将纸剪断），可以得到的图形的直观图是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 ． 1．（24-25高一下·湖南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东潮州·期末）如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为 ． 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 1．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西临汾·期末）若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 3．（24-25高一下·上海·期中）已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（    ） A．，则 B．，则直线，直线 C．，则 D．，且不共线，则重合 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知空间中不过同一点的三条直线，则“共面”的一个充分不必要条件是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．两两相交 6．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与GH能相交于点P，那么（    ） A．点P不在直线AC上 B．点P必在直线BD上 C．点P必在平面ABC内 D．点P必在平面ABC外 7．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（    ）    A．10 B．15 C． D． 8．（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 9．（2024贵州毕节·三模）在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是，若的中点在轴上，且，则（   ） A． B．4 C． D．2 11．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知平面，直线，点，若，且，则 （填数学符号）． 12．（23-24高一下·山西大同·期中）用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为 ． 13．（23-24高二下·上海·开学考试）如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象： ． 14．（22-23高一下·江西上饶·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 . 15．（24-25高一下·北京·期中）已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有 条. 16．（24-25高二·全国·假期作业）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    18．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 19．（2025高三·全国·专题练习）如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证：    (1)E、F、G、四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上． 20．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$