不等式解法归纳讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四讲 各类不等式解法归纳 题型一：解下列一元一次不等式： 例1：求关于的不等式的解． 解：原不等式可化为： (1) 当时，，不等式的解为； (2) 当时，． ① 时，不等式的解为； ② 时，不等式的解为； ③ 时，不等式的解为全体实数． (3) 当时，不等式无解． 综上所述：当或时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为全体实数；当时，不等式无解． 例2：已知关于的不等式的解为，求实数的值． 解：原不等式可化为：． 所以依题意：． 题型二、一元二次不等式及其解法 1．形如ax2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））的不等式称为关于的一元二次不等式． 2.一元二次不等式的解集： Δ=b2-4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 y=ax2+bx+c （a＞0）的图象 ax2+bx+c=0 （a＞0）的根 x1= x2= x1= x2=- 没有实数根 ax2+bx+c＞0 （a＞0）的解集 x＜x1或x＞x2 （x1＜x2） x≠- 全体实数 ax2+bx+c＜0 （a＞0）的解集 x1＜x＜x2 （x1＜x2） 无解 无解 3.一元二次不等式的快速解法.解一个一元二次不等式，可以按照一下步骤处理： （1）化二次项系数为正； （2） 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根． （3）写出解集 “”型的解为(口诀：“大于号”两边分，大于大根或小于小根)； “”型的解为(口诀：“小于号”中间夹，大于小根且小于大根)； 例3.解下列不等式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：(1)原不等式可以化为：， 于是：或 所以，原不等式的解是． (2) 原不等式可化为：，即 于是： 所以原不等式的解是． (3) 原不等式可化为：，即 于是： 所以原不等式的解是． (4) 不等式可化为 ∴ 不等式的解是 (5) 不等式可化为 ∴ 不等式的解是 (6) 不等式可化为． 变式训练： 1. 2. 3. （1） （2） （3） 4. 5. 6. （4） （5） （6） 7. 8. 9. （7） （8） （9） 10. 11. 12. （10） （11） （12） 13. 14. 15. （13） (14) （15） 16. 17. 18. （16） (17) (18) 题型三、含参一元二次不等式及其解法 例4.已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围． 解：显然不合题意，于是： 例5.已知关于的不等式的解为，求的值． 分析：对应的一元二次方程的根是和，且对应的二次函数的图象开口向上．根据一元二次方程根与系数的关系可以求解． 解：由题意得： 例6.解下列关于的不等式. 题型五：分式不等式的解法 例7：解下列分式不等式： 解：（1），（2）（3）（4） （5） 变式训练： （1） （2） （3) (4) 解：（1）（2） （3） （4） 题型六：绝对值不等式的解法 一.绝对值的概念 与型不等式与型不等式的解法与解集 不等式的解集是;[来源:学。科。网] 不等式的解集是 不等式的解集为 ; 不等式的解集为 例8：解下列绝对值不等式 （1）. （2） （3） （4） 解析：（1） （2） （3） （4) 变式训练： 1.（1）； （2）；（3） 解：（1） （2）（3） 2.若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围为________. 题型七：高次不等式的解法 方法归纳：我们可以用以下“顺口溜”记忆数轴穿根法 原式化为标准型，数轴上面标出根， 奇穿偶切画曲线，上正下负解分明。 而代数式的竖式除法需要切记“从高到低，如遇缺项，以0补充” 例9.解下列不等式 1.； 2. 3.； 4.； 5. 6. 7. 8. 解：（1）（2）（3） （4） (5) (6） （7） （8） 变式训练： 1.解下列不等式 解：（1）（2） （3） （4） 课后基础练习 1．解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 2．解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 3．解下列不等式： (1) (2) 4．已知不等式的解是，求的值． 5．解关于的不等式． 6．已知关于的不等式的解是，求的值． 7．已知不等式的解是，求不等式的解． 课后提升练习 1．已知关于的不等式的解是一切实数，求的取值范围． 2．若不等式的解是，求的值． 3．解关于的不等式． 4．取何值时，代数式的值不小于0？ 5．已知不等式的解是，其中，求不等式的解． 第四讲 不等式答案 课后基础练习 1． 2． 3．(1) 无解 (2) 全体实数 4．． 5．(1)当时，；(2)当时，；(3) 当时，取全体实数． 6． 7． 课后提升练习 1． 2． 3．(1) 时，；(2) 时，无解；(3) 时，． 4．． 5．． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲 高中必会的各类不等式解法归纳 题型一：解下列一元一次不等式： 例1：求关于的不等式的解． 例2：已知关于的不等式的解为，求实数的值． 题型二、一元二次不等式及其解法 1．形如ax2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））的不等式称为关于的一元二次不等式． 2.一元二次不等式的解集： Δ=b2-4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 y=ax2+bx+c （a＞0）的图象 ax2+bx+c=0 （a＞0）的根 x1= x2= x1= x2=- 没有实数根 ax2+bx+c＞0 （a＞0）的解集 x＜x1或x＞x2 （x1＜x2） x≠- 全体实数 ax2+bx+c＜0 （a＞0）的解集 x1＜x＜x2 （x1＜x2） 无解 无解 3.一元二次不等式的快速解法.解一个一元二次不等式，可以按照一下步骤处理： （1）化二次项系数为正； （2） 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根． （3）写出解集 “”型的解为(口诀：“大于号”两边分，大于大根或小于小根)； “”型的解为(口诀：“小于号”中间夹，大于小根且小于大根)； 例3.解下列不等式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 变式训练： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 题型三、含参一元二次不等式及其解法 例4.已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围． 例5.已知关于的不等式的解为，求的值． 例6.解下列关于的不等式. 题型五：分式不等式的解法 例7：解下列分式不等式： 变式训练： （1） （2） （3) (4) 题型六：绝对值不等式的解法 知识储备：与型不等式与型不等式的解法与解集 不等式的解集是;[来源:学。科。网] 不等式的解集是 不等式的解集为 ; 不等式的解集为 例8：解下列绝对值不等式 （1）. （2） （3） （4） 变式训练： 1.（1）； （2）；（3） 2.若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围为________. 题型七：高次不等式的解法 方法归纳：我们可以用以下“顺口溜”记忆数轴穿根法 原式化为标准型，数轴上面标出根， 奇穿偶切画曲线，上正下负解分明。 而代数式的竖式除法需要切记“从高到低，如遇缺项，以0补充” 例9.解下列不等式 1.； 2. 3.； 4.； 5. 6. 7. 8. 变式训练： 1.解下列不等式 课后基础练习 1．解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 2．解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 3．解下列不等式： (1) (2) 4．已知不等式的解是，求的值． 5．解关于的不等式． 6．已知关于的不等式的解是，求的值． 7．已知不等式的解是，求不等式的解． 课后提升练习 1．已知关于的不等式的解是一切实数，求的取值范围． 2．若不等式的解是，求的值． 3．解关于的不等式． 4．取何值时，代数式的值不小于0？ 5．已知不等式的解是，其中，求不等式的解． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$