强化专题03　含参数不等式的解法、恒成立、能成立问题【七大题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

强化专题03　含参数不等式的解法、恒成立、能成立问题 【方法技巧】 在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养． 一、“Δ”法解决恒成立问题 (1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔ (2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔ 二、数形结合法解决恒成立问题 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题． 三、分离参数法解决恒成立问题 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题． 四、主参换位法解决恒成立问题 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． 五、利用图象解决能成立问题 结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决． 六、转化为函数的最值解决能成立问题 能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围． 【题型目录】 题型一、“Δ”法解决恒成立问题 题型二、数形结合法解决恒成立问题 题型三、分离参数法解决恒成立问题 题型四：一元二次不等式在某区间有解问题 题型五：二次函数根分布问题 题型六：含参数的一元二次不等式的解 题型七、一元二次不等式恒（能））成立综合问题 【例题详解】 题型一、“Δ”法解决恒成立问题 【例1】．（25-26高一上·福建宁德·阶段练习）不等式在上恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解，注意讨论的情况. 【详解】当时，不等式即恒成立，满足题意； 当时，则有，解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：C 【跟踪训练1】．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）若不等式对任意实数均成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论即可求解. 【详解】若，则恒成立，故符合题意， 若，恒成立，则当且仅当，解得， 综上，实数a的取值范围是. 故选：B. 【跟踪训练2】．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 题型二、数形结合法解决恒成立问题 【例2】．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：命题“”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解. 【详解】由题意可得：命题“”为真命题， 即对恒成立， 则，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：C. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据根的分布情况，由对称轴和特殊点处函数值等得到不等式，求出答案. 【详解】设，开口向上，对称轴为， 顶点纵坐标为， 的两不等实根都在内， 则需满足，解得. 故选：A 【跟踪训练2】．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】更换主元，根据一次函数性质列不等式组求解可得. 【详解】令， 当时，，不满足题意； 当时，由一次函数性质可知，， 解得或. 故选：C 题型三、分离参数法解决恒成立问题 【例3】．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 【跟踪训练1】．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】参变分离，得到，再由二次函数求最值即可. 【详解】由题意得，由，得， 则恒成立. 令，得， 则二次函数，当时，取得最大值，所以， 所以a的取值范围为． 故选:C 【跟踪训练2】．（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．9 【答案】C 【分析】将不等式的未知数移到同一侧，得到小于等于关于的函数的最小值，利用基本不等式求解即可. 【详解】由，得对任意的恒成立. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的最大值为10. 故选：C. 题型四：一元二次不等式在某区间有解问题 【例4】．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用分离参数法变形为，然后利用基本不等式求得函数的最值，即可求解. 【详解】由题可得， 又因为，当且仅当，即时取等号， 又因为不等式在上有解， 所以，故A正确． 故选：A. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】，所以当或时， 取得最大值为， 由于关于的不等式在区间内有解， 所以，解得. 故选：A 【跟踪训练2】．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出命题的否定为真时，的范围，再求其补集即可. 【详解】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 题型五：二次函数根分布问题 【例5】．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 题型六：含参数的一元二次不等式的解 【例6】．（25-26高一上·北京延庆·阶段练习）求下列关于的方程或不等式的解集（其中） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）分和两种情况讨论，分别计算可得； （2）分和两种情况讨论，分别计算可得； （3）分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （4）依题意可得，再分当、、、四种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）对于关于的方程， 当时，方程无解；当时，解得； 综上可得，当时，方程的解集为；当时，方程的解集为； （2）对于关于的方程，即， 当时，解得；当时，解得、； 综上可得，当时，方程的解集为；当时，方程的解集为； （3）对于关于的不等式， 则， 当，即，即时，不等式的解集为； 当，即，即时，原不等式，即，其解集为； 当，即，即时，方程的两个根为 ， 故不等式的解集为； 综上可得，当时解集为，当时解集为，当时解集为. （4）对于关于的不等式，即， 当时，解得； 当时，原不等式，即，解得； 当时，解得或； 当时，解得或； 综上可得，当时解集为；当时解集为； 当时，解集为或；当时，解集为或； 【跟踪训练1】．（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，求的范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）代入，解一元二次不等式得出解集； （2）结合一元二次不等式的性质，对分情况讨论得出关于的解集； （3）分析已知条件并化简，根据不等式的性质，构造基本不等式求最小值，从而求解的范围． 【详解】（1）当时，等价于，解得， 不等式的解集为：． （2）当时，等价于，解得； 当时，， 当时，不等式等价于，，不等式解集为：； 当，等价于， 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不成立，故不等式解集为空集． 综上， 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为． （3）， 不等式化简整理得：， ，， ，当且仅当，即时取等号， 要使不等式在上有解， 只需大于函数的最小值即可， 因为的最小值为， 所以的取值范围是. 【跟踪训练2】．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）设，. (1)当时，写出关于的不等式的解集； (2)若，解关于的不等式； (3)设命题，，若为真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】(1)代入，解不等式即可； (2)分析当时， 当时， 当时， 当时，比较两根大小即可； (3) 根据题意可得到对，，法一：利用二次函数对称轴与定义之间位置关系和二次函数图像性质分析求解；法二：分离参数，结合基本不等式求解. 【详解】（1）当时，原不等式可化为，解得， 故原不等式解集为. （2），即， 解方程得或， 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. （3）因为为真命题，故对，，即， 法1：当，即时，，满足； 当，即时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 法2：因为，所以，又，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取“”. 所以， 所以实数的取值范围是. 题型七、一元二次不等式恒（能））成立综合问题 【例7】．（25-26高一上·江西·阶段练习）（1）若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； （2）当时，关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围； （3）当时，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1），；（2）；（3）答案见解析 【分析】（1）利用三个二次关系计算参数即可； （2）消元后利用分类讨论的思想计算即可； （3）消元后含参分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以，解得，． （2）当时，不等式的解集为R， 即不等式的解集为R． 当时，的解集不是R，舍去． 当时，则，解得． 故a的取值范围是． （3）当时，不等式，即不等式． ①当时，不等式， 即不等式，解得． ②当时，令，得或． 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由题意可得0和是方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）转化问题为对于实数时恒成立，进而结合一次函数的性质求解即可； （3）根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由题意知，0和是方程的根，且， 所以，解得，. （2）由，即， 即对于实数时恒成立， 则，解得， 则的取值范围为. （3）由，则， 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式可化为，不等式的解集为； 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【跟踪训练2】．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数（）． (1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）按与分类讨论，利用一元二次不等式恒成立列式求解. （2）分类讨论求解含参数的不等式. （3）将问题转化为存在，使得方程有两个不同正根，再利用判别式及韦达定理列式求解. 【详解】（1）不等式对一切实数恒成立， 当时，不等式对一切实数不恒成立； 当时，则有，解得， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为， 当时，，解得或； 当时，，解得； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）关于的方程有四个不等实根， 即方程有两个不同正根，则， 由，得，且存在，不等式成立， 而是关于的一次函数，因此， 即，又，解得， 所以实数的取值范围是. 【专题训练】 一、单选题 1．（25-26高一上·湖北·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】将已知命题转化为“””为真命题，分类讨论，结合判别式符号列不等式求解即可. 【详解】命题“”是假命题，此命题的否定为真命题， 即：命题“”是真命题. 当时，不等式转化为恒成立，则满足题意； 当时，则有，解得. 综上可知，实数的取值范围为. 故选：A. 2．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 3．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次不等式恒成立问题可转化为二次方程解的情况，可得不等式，解不等式即可. 【详解】因为命题：，为真命题，所以不等式的解集为. 若，则不等式可化为，解得，不等式解集不是； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，解得， 综上可知：， 故选：D. 4．（24-25高一上·云南临沧·期中）已知命题．为真命题，则m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】命题，为真命题，所以不等式的解集为R．分类讨论，结合二次函数知识计算即可. 【详解】因为命题，为真命题， 所以不等式的解集为R． 当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得，解得， 故m的取值范围为． 故选：D． 5．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】命题p可利用参变分离法将原问题转化为，结合基本不等式即可求得a的范围，命题q直接利用判别式即可求得a的范围，取交集即可得答案. 【详解】∵愿明天即命题为真命题， ， 又，当且仅当，即时，等号成立， ， ∵命题，为真命题， 或， ∵命题p，q都是真命题， 或． 故选：C 6．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 7．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离参数后将问题转化为，再结合对勾函数的单调性求出的最值即可； 【详解】分离参数得，要使对任意，不等式恒成立，只需. 又因为，令，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以，所以，所以. 故选：D. 8．（24-25高一上·海南海口·期中）命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由存在命题、判别式以及充要条件的性质求解即可； 【详解】由题意可得，解得， 故选：D. 30．（24-25高一上·湖南长沙·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离参数，结合对勾函数单调性可求得参数范围. 【详解】因为不等式对一切恒成立， 所以在区间上恒成立， 由对勾函数性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，，当时，， 所以，故， 故选：D. 9．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，当时，解得即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 当，即时，解得，显然解集不为，故舍去； 当，即时，，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故选：A 10．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照，，分类讨论不等式恒成立时的取值范围即可. 【详解】由题得恒成立， 当时，二次函数开口向上， 显然不能恒成立； 当时，得，故不能恒成立； 当时，要使， 则或（舍）. 综上所述，. 故选：B 二、多选题 11．（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解特征即可求解A，根据一元二次解恒成立，即可分类讨论求解B，根据恒成立，利用一次函数的性质即可求解C，根据二次函数的图象特征即可求解D. 【详解】当时，由，解得，故A错误； 若不等式对恒成立，则当时，恒成立， 当时，，且，解得， 综上，， 则整数的取值集合为，故B正确； 若不等式对恒成立，则， 即解得，故C正确； 若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为，且对称轴为，所以该整数解为， 结合二次函数的图象，可得即解得，故D正确. 故选：BCD 12．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．对满足条件的任意，不等式恒成立，则 【答案】ACD 【分析】由题意可得，且方程的两根为和1，根据根与系数的关系可得，从而可判断A；由可判断B；不等式可化为，求解可判断C；利用换元法，根据二次函数的性质求出的最小值，从而可判断D. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，且方程的两根为和1， 所以，解得, 所以，解得，故A正确； 由，可得，故B错误； ，即为， 即，即，解得，故C正确； 由B选项可得，设，则， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为不等式恒成立， 所以，解得，故D正确. 故选:ACD. 13．（24-25高一上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的值域为 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】解不等式判断A；求出函数值域判断B；求出函数最小值判断C；由不等式恒成立求出的范围判断D. 【详解】对于A，解不等式，得或，A错误； 对于B，函数的定义域为， ，当且仅当，即时取等号，则值域为，B正确； 对于C，令，函数在上单调递增，则当，即时，，C错误； 对于D，当时，恒成立，则；当时，，解得， 因此的取值范围是，D正确. 故选：BD 14．（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）下列命题正确的是（ ） A．是关于的方程有一正一负根的充要条件 B．若关于的不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 C．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由韦达定理即可判断，对于B，参变分离即可判断，对于C，由条件确定，即可求解，对于D，由，再结合基本不等式即可求解. 【详解】对于A，若的根一正一负，则，解得：； 反之，当时，，方程有一正一负根，也成立， 所以是关于x的方程，有一正一负根的充要条件，A对； 对于B，若关于的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，若关于的不等式的解集是，则， 所以关于的不等式或，故C正确； 对于D，若，则，可得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确， 故选：ACD 三、填空题 15．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 16．（25-26高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，， 等号成立当且仅当，所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 17．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次型不等式恒成立，分类求出的范围. 【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 18．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 19．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用导数在上不存在零点，来求出参数的范围即可. 【详解】求导得， 因为在上不存在最值，所以在上不存在零点， 即或，解得或，故实数的取值范围为， 故答案为： 20．（24-25高一上·河南·期中）已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案. 【详解】因为命题p是假命题，所以命题是真命题． 因为， 所以， 只需，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 21．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案. 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 四、解答题 22．（25-26高一上·宁夏·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分、和，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）因不等式的解集为， 则当，即时，不等式即为，解得，不符合题意； 当时，由不等式的解集为， 等价于，即，解得， 故实数的取值范围为. （2）不等式，即， 当时，即时，不等式为，解得； 当时，即时，不等式化为， 而，解不等式得或； 当时，即时，不等式化为， 而，解不等式得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 23．（22-23高一上·吉林长春·阶段练习）. (1)若对任意的都有成立，求的范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）就、分类讨论，后者再结合判别式可求的范围； （2）就、、、及分类讨论后可得不等式的解集. 【详解】（1）即为， 若，则恒成立；若，则，即， 故 （2）即为即， ①当时，，即解集为， ②当时，令得， (i)当时，，开口向上，此时不等式的解集为； (ii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为； (iii)当时，，开口向下， 此时不等式的解集为或； (iiii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为或. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 24．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求时的取值范围； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式； 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）把代入，解一元二次不等式即可. （2）由一元二次不等式恒成立求出的范围. （3）分类讨论解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）当时，时，则，解得， 所以的取值范围是. （2）①当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； ②当，即时，的解集为，即的解集为， 则有，即，解得. 所以的取值范围是. （3）不等式， 即，即， 当时，即时，不等式化为，解得； 当时，有， 解方程，得或， ①当，又，得时，即时，有， 则解不等式，得或； ②当，即时有， 解不等式，得， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 25．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数； (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案. （2）根据分离常数，然后利用换元法，结合对勾函数的性质即可求得正确答案. 【详解】（1）∵， ∴．∴， 即，解得或． 故不等式的解集为或． （2）当时，不等式恒成立等价于在上恒成立． ∵，∴， 令，则， 根据对勾函数性质知，当且仅当时等号成立， 故的取值范围为． 26．（24-25高一上·广东广州·期中）设函数． (1)命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得不等式在R上恒成立，讨论a是否为0，结合判别式解不等式，即可求得答案； （2）不等式等价于，分类讨论a的取值范围，确定与1的大小关系，即可求得答案. 【详解】（1）为假命题， ，为真命题，即不等式在R上恒成立， 当时，恒成立，则满足题意； 当时，需满足，解得， 综上，实数a的取值范围． （2）不等式等价于． 当时，不等式可化为，解得； 当时，，由不等式解得； 当时，则，原不等式即为，解得； 当时，则，解得或； 当时，则，解得或； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或． 27．（23-24高一上·四川泸州·期中）若不等式的解集是． (1)求实数的值； (2)当的解集为时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题得出的两个解为，代入即可； （2）分类讨论是否为0，然后结合二次函数图像判断取值范围. 【详解】（1）由题得的两个解为， 代入得，解得, 所以. （2）由（1）得的解集为， 当时： 当时，原不等式等价为，显然为，合题意； 当，原不等式等价为，显然不为，舍去； 当时，要想的解集为， 需要，解得，即， 综上b的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 强化专题03　含参数不等式的解法、恒成立、能成立问题 【方法技巧】 在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养． 一、“Δ”法解决恒成立问题 (1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔ (2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔ 二、数形结合法解决恒成立问题 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题． 三、分离参数法解决恒成立问题 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题． 四、主参换位法解决恒成立问题 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． 五、利用图象解决能成立问题 结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决． 六、转化为函数的最值解决能成立问题 能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围． 【题型目录】 题型一、“Δ”法解决恒成立问题 题型二、数形结合法解决恒成立问题 题型三、分离参数法解决恒成立问题 题型四：一元二次不等式在某区间有解问题 题型五：二次函数根分布问题 题型六：含参数的一元二次不等式的解 题型七、一元二次不等式恒（能））成立综合问题 【例题详解】 题型一、“Δ”法解决恒成立问题 【例1】．（25-26高一上·福建宁德·阶段练习）不等式在上恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）若不等式对任意实数均成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练2】．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 题型二、数形结合法解决恒成立问题 【例2】．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型三、分离参数法解决恒成立问题 【例3】．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【跟踪训练1】．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．9 题型四：一元二次不等式在某区间有解问题 【例4】．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 题型五：二次函数根分布问题 【例5】．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【跟踪训练1】．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 题型六：含参数的一元二次不等式的解 【例6】．（25-26高一上·北京延庆·阶段练习）求下列关于的方程或不等式的解集（其中） (1) (2) (3) (4) 【跟踪训练1】．（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，求的范围． 【跟踪训练2】．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）设，. (1)当时，写出关于的不等式的解集； (2)若，解关于的不等式； (3)设命题，，若为真命题，求的取值范围. 题型七、一元二次不等式恒（能））成立综合问题 【例7】．（25-26高一上·江西·阶段练习）（1）若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； （2）当时，关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围； （3）当时，求关于x的不等式的解集． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【跟踪训练2】．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数（）． (1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 【专题训练】 一、单选题 1．（25-26高一上·湖北·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 2．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南临沧·期中）已知命题．为真命题，则m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 5．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 6．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·海南海口·期中）命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·湖南长沙·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 10．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 12．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．对满足条件的任意，不等式恒成立，则 13．（24-25高一上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的值域为 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 14．（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）下列命题正确的是（ ） A．是关于的方程有一正一负根的充要条件 B．若关于的不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 C．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 三、填空题 15．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 16．（25-26高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 17．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 18．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 19．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 . 20．（24-25高一上·河南·期中）已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为 ． 21．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 四、解答题 22．（25-26高一上·宁夏·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 23．（22-23高一上·吉林长春·阶段练习）. (1)若对任意的都有成立，求的范围； (2)解关于的不等式. 24．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求时的取值范围； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式； 25．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数； (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 26．（24-25高一上·广东广州·期中）设函数． (1)命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)求不等式的解集． 27．（23-24高一上·四川泸州·期中）若不等式的解集是． (1)求实数的值； (2)当的解集为时，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $