专题05 因式分解章末50道压轴题型专训（5大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（湘教版2024）

专题05 因式分解章末50道压轴题型专训(5大题型) 题型一 十字相乘法因式分解 题型二 因式分解与方程或化简问题 题型三 公式法因式分解 题型四 因式分解彻底分解问题 题型五 因式分解的综合应用 【经典例题一 十字相乘法因式分解】 1.(25-26八年级上 湖南株洲 随堂练习)阅读材料题:在因式分解中,有一类形如x2+(m+n)x+mn的多项式,其常数项是两个因数的积,而它的一次项系数恰是这两个因数的和,则我们可以把它分解成x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n). 例如:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2 3=(x+2)(x+3). 运用上述方法分解因式: (1)x2+6x+8; (2)x2﹣x﹣6; (3)x2﹣5xy+6y2; (4)请你结合上述的方法,对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式. 2.(24-25八年级上 湖南岳阳 阶段练习)阅读下列材料: 将分解因式,我们可以按下面的方法解答: 解:步骤:①竖分二次项与常数项:,. ②交叉相乘,验中项:. ③横向写出两因式:. 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法. 试用上述方法分解因式: (1); (2); (3). 3.(24-25八年级上 湖南怀化 阶段练习)由多项式乘法: ,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:. 示例:分解因式: (1)尝试:分解因式:_) (2)应用:请用上述方法解方程:. (3)拓展:请用上述方法解方程:. 4.(24-25八年级上 湖南株洲 期末)阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形. ,得. 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解,我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如:将式子分解因式. 解:. 请仿照上面的方法,解答下列问题: (1)分解因式:. (2)分解因式: (3)若可进行因式分解,求整数所有可能的值. 5.(24-25八年级上 湖南湘潭 阶段练习)我们学习了一元一次不等式的解法,没有学习这样一元二次不等式的解法,今天,我们一起来研究它的解法,解不等式:. 解:原不等式可化为,再化为,最后化为,整理,得.由“同号相乘得正”,可把原不等式化为:不等式组①或不等式组②,解不等式组①,得;解不等式组②,得, 故原不等式的解集为或. (1)请根据上面的解法解不等式: (2)解不等式: 6.(24-25八年级上 湖南益阳 阶段练习)十字相乘法:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数(如图).如:将式子和分解因式,如图,;. (1)分解因式: ; (2)分解因式:. 7.(24-25八年级上 湖南常德 阶段练习)阅读下列材料: 材料1:将一个形如的二次三项式因式分解时,如果能满足且,则可以把因式分解成,如:(1);(2). 材料2:因式分解:. 解:将“”看成一个整体,令,则原式,再将“A”还原得:原式. 上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法,请你解答下列问题: (1)根据材料1,把分解因式: (2)结合材料1和材料2,完成下面小题: ①分解因式:; ②分解因式:. 8.(24-25八年级上 湖南株洲 期中)我们有公式:. 反过来,就得到可以作为因式分解的公式:. 如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式,它的常数项可以看作两个数与的积,而它的一次项的系数恰是与的和,它就可以分解为,也就是说:当,时,有. 例如:;; ;. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程. 解:设,则原式. (1)该同学因式分解的结果是否彻底? (填“是”或“否”).若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果 . (2)请你运用上述公式并模仿以上方法,尝试对多项式进行因式分解. 9.(24-25八年级上 湖南益阳 期中)阅读:关于,的二次六项式如果可以分解成二个关于,的一次三项式的乘积,那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解,具体方法如图所示:先对进行十字相乘分解得,则原式一定可以分解成的形式,然后分别对与进行十字相乘分解,从而确定,,所以. 根据阅读,要求如下: (1)因式分解:; (2)若关于,的多项式可以分解成二个关于,的一次三项式的乘积,求k的值. 10.(24-25八年级上 湖南湘潭 期末)等式是数学学习中常见的代数模型. (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式; (2)若x、p、q都是正数,请用图形面积给出它的几何解释(画出图形并做出解释); (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式. 例如:分解因式2.. 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项的系数.(如图) 这样,我们也可以得到. 请根据上述方法,将多项式分解因式. 【经典例题二 因式分解与方程或化简问题】 11.(2025八年级上 湖南株洲 专题练习)已知一元二次方程的两个根分别为 , ,不解方程,求下列各式的值: (1) ; (2). 12.(25-26八年级上 湖南株洲 单元测试)整式的乘法与因式分解是有理数运算的自然延伸,也是代数知识的基本内容,请利用相关知识解决下面的问题: (1)化简计算:; (2)在(1)结果的基础上,增加一个单项式,使新得到的多项式能运用完全平方公式进行因式分解,请写出所有这样的单项式,并进行因式分解. 13.(24-25八年级上 湖南益阳 期末)(1)因式分解; (2)下面是小李同学解方程的过程,请认真阅读并解答相应问题. 解:方程两边同乘,得: ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ①第 步开始出现错误,这一步错误的原因是 . ②写出正确的解该方程的过程. 14.(24-25八年级上 湖南永州 阶段练习)请阅读下面材料,并解答问题: 阅读材料:利用多项式乘法法则可知,所以因式分解. 例如:. 利用以上的因式分解可以求出方程的解,如:,所以可知或者,解得或者,所以方程的解是或者. (1)因式分解: ①. ②. (2)利用因式分解求方程的解. 15.(24-25八年级上 湖南怀化 期末)设是关于x的多项式,若方程有一个根为,则.所以多项式必有一个一次因式.例如,多项式,当时,,则必有一个一次因式,那么,,而,所以,,.这种因式分解的方法叫做“试根法”.解决下列问题: (1)请你用“试根法”分解因式: ①; ②; (2)若多项式(m为常数)有一个因式为,求m的值并将此多项式因式分解. 16.(24-25八年级上 湖南邵阳 阶段练习)学习二次根式后,小晨在自己日常运算过程中,多次遇到所得结果的被开方数为根式的情况,为使计算结果最简,小晨对这一题型进行了探究发现并总结了以下规律:化简 如果你能找到两个数,,使 且 则 从而化简 例如: (1)根据以上规律完成以下化简. , (2)若 且,,均为正整数,则 . 17.(24-25八年级上 湖南益阳 期中)阅读材料:解方程我们可以按下面的方法解答: (1)分解因式, ①竖分二次项与常数项:,. ②交叉相乘,验一次项:. ③横向写出两因式:. (2)根据乘法原理:若,则或,则方程可以这样求解方程左边因式分解得所以原方程的解为,.试用上述方法和原理解下列方程: (1); (2). 18.(24-25八年级上 湖南松江 期末)例:对多项式分解因式时有一个因式为,求m的值及另一个因式. 解:由题意可知,当时,,代入原式,得, ∴原多项式即为对进行因式分解; 利用因式分解与整式乘法的关系,可得, 综上得:,另一个因式为. 以上求m的方法叫作“试根法”,该方法最先由数学家韦达发现并加以应用. 请你根据以上方法解决下列问题: (1)已知二次三项式有一个因式为,则_; (2)若分解因式后,有两个因式和,求的值; (3)无论k取何值,点满足方程恒成立,求关于x的不等式:的解集. 19.(24-25八年级上 湖南娄底 期中)小晓在化简整式时,得到的结果是,则“ ”表示的数为_. 【发现】小晓观察计算结果,发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积,她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”,例如:,请你再写出一个“对称多项式”(用含,的代数式表示)_; 【探究】规定,若和是两个连续的奇数时,称为这个对称多项式的“对称奇值”,小晓进一步研究,对称奇值减去1,结果都是12的倍数,例如,,试说明原因. 【应用】已知,,求的值. 20.(24-25八年级上 湖南怀化 期末)阅读下列材料: 材料一:对于一个百位数字不为0的四位自然数,以它的百位数字作为十位,十位数字作为个位,得到一个两位数,若等于的千位数字与个位数字的平方差,则称数为“平方差数”. 例如:7136是“平方差数”,因为,所以7136是“平方差数”; 又如:4251不是“平方差数”,因为,所以4251不是“平方差数”. 材料二:我们有时可以利用分解因数的方法解决求整数解的问题,例如:若,为两个正整数(),且,则,为18的正因数,又因为18可以分解为或或,所以方程的正整数解为或或. 根据上述材料解决问题: (1)判断9810,6361是否是“平方差数”?并说明理由; (2)若一个四位“平方差数”,将它的千位数字、个位数字及相加,其和为30,求所有满足条件的“平方差数”. 【经典例题三 公式法因式分解】 21.(24-25八年级上 湖南益阳 期末)给出三个单项式:,,. (1)任选两个单项式相减,并进行因式分解; (2)利用因式分解进行计算:,其中. 22.(24-25八年级上 湖南张家界 期中)填式游戏:在“ ”内填入适当的单项式,使多项式能因式分解. (1)若在“ ”内填入,分解因式:; (2)若在“ ”内填入不超过10的整数,使能在有理数范围内因式分解,共有几种填法?请选择一种进行分解因式. 23.(25-26八年级上 湖南株洲 课后作业)阅读下面的分解因式的过程: . 利用上述分解因式的方法证明: 如果a,b,c是的三条边的长,那么. 24.(24-25八年级上 湖南株洲 期末)下面是某同学对多项式进行因式分解的过程. 解:设. 原式(第一步). (第二步). (第三步). (第四步). 请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解. 25.(24-25八年级上 湖南常德 期末)先阅读材料,再解答问题: 因式分解:. 解:将“”看成一个整体,设, 则原式, 再将代入,得原式. 以上解题过程中用到的是“整体思想”,它是数学中常用的一种思想. (1)因式分解:; (2)因式分解:; (3)应用:已知一个长方形的长为,宽为,且满足,求该长方形的周长. 26.(24-25八年级上 湖南益阳 期末)小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料,请你根据阅读材料帮小红解决下列问题: 阅读材料 分解因式: 解:①将“”看成整体,令,则原式, ②再将还原,得到原式. 上述解题过程中用到的是“整体思想”,它是数学中常用的一种思想 (1)因式分解:; (2)因式分解:. 27.(24-25八年级上 湖南株洲 随堂练习)阅读下面材料. 我们知道可以分解因式,结果为,其实也可以通过配方法分解因式,其过程如下: . (1)请仿照上述过程填空: ; ; . (2)请观察(1)中横线上所填的数,每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系? 28.(24-25八年级上 湖南邵阳 阶段练习)数学课上,老师展示了两道习题及其错误的解答过程: 习题1:因式分解:. 解: …………第一步 …………第二步 …………第三步 习题2:因式分解:. 解: …………第一步 …………第二步 …………第三步 (1)分别写出习题1,习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的; (2)从以上两道习题中任选一题,写出正确的解答过程. 29.(24-25八年级上 湖南株洲 期末)在数学课堂上,李老师带领同学们解答问题“①因式分解;②求的最值.”小明解答了问题①,小丽解答了问题②,下面是他们的解答过程: 小明的解答: 小丽的解答: 无论a为何值, ∴ 即, 则的最小值为 (1)根据小明的解答,将因式分解; (2)根据小丽的解答,求代数式的最小值. 30.(2025 湖南娄底 模拟预测)甲、乙、丙三张卡片正面分别写有,,,除正面的代数式不同外,其余均相同. (1)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,当,时,求取出的卡片上代数式的值为正数的概率; (2)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,放回后重新洗匀,再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简),并求出和可以分解因式的概率. 第一次和第二次 【经典例题四 因式分解彻底分解问题】 31.(24-25八年级上 湖南怀化 阶段练习)因式分解(注意分解彻底): (1)ab2﹣2ab+a (2)(a+b)x2-(a+b) (3)(x2+2x)2-(2x+4)2. (4)(m2-m-1)(m2-m-3)-15 32.(24-25八年级上 湖南永州 期末)阅读下列材料: 小颖同学对多项式进行因式分解的过程中发现,如果把看成一个整体,用一个新的字母代替,此多项式就可以运用公式法进行因式分解,以下是她的做法. 解:设, 原式 (1)小颖同学进行因式分解时,所得到的最后结果是否分解彻底?_(填“是”或“否”;如果否,直接写出因式分解最后的结果_; (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解. 33.(24-25八年级上 湖南常德 期中)下面是某同学对多项式进行因式分解的过程. 解:设, 原式 (第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 回答下列问题: (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么? (2)该同学因式分解的结果是否彻底?若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果. (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解. 34.(24-25八年级上 湖南张家界 期中)下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程: 解:设,则(第一步) 原式(第二步) (第三步) 把代入上式,得原式(第四步) 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”,请据此回答下列问题: (1)该同学因式分解的结果 (填“彻底”或“不彻底”),若不彻底,请你直接写出因式分解的最后结果: ; (2)请你仿照上面的方法,对多项式进行因式分解. 35.(24-25八年级上 湖南益阳 期末)下面是小林同学的数学学习笔记,请仔细阅读并完成相应的任务. 在因式分解中,把多项式中的某些部分看作是一个整体,用一个新的字母代替(即“换元”),这样不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小林同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程. 解:设. 原式 任务: (1)小林同学因式分解的结果彻底吗?若不彻底,请你写出该因式分解的最后结果:_. (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 (3)由平方的非负性可知有最小值,请求出最小值. 36.(24-25八年级上 湖南娄底 期末)阅读:换元法是一种重要的数学方法,是解决数学问题的有力工具.下面是对多项式进行因式分解的解题思路:将“”看成一个整体,令,则:原式.再将“m”还原为“”即可. 解题过程如下: 解:设,则:原式. 问题: (1)以上解答过程并未彻底分解因式,请你直接写出最后的结果: ; (2)请你模仿以上方法,将多项式进行因式分解; (3)换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用,请你模仿以上方法尝试计算: . 37.(24-25八年级上 湖南邵阳 期末)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解,如.我们细心观察这个式子,会发现,前三项符合完全平方公式,进行变形后可以与第四项结合,再应用平方差公式进行分解. 过程如下: . 这种分解因式的方法叫分组分解法. 利用这种分组的思想方法解决下列问题: (1)分解因式:; (2)已知分别是三边的边长且,请判断的形状,并说明理由. 38.(24-25八年级上 湖南张家界 阶段练习)七年级兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:将因式分解. 【观察】经过小组合作交流,小明得到了如下的解决方法: 解法一:原式; 解法二:原式. 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的,这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示:因式分解一定要分解到不能再分解为止) 【类比】(1)请用分组分解法将因式分解; 【挑战】(2)请用分组分解法将因式分解; 【应用】(3)已知的三边长、、都是正整数,满足,求的周长. 39.(24-25八年级上 湖南怀化 期末)阅读下列材料: 在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”. 下面是小涵同学用换元法对多项式(x2﹣4x+1)(x2﹣4x+7)+9进行因式分解的过程. 解:设x2﹣4x=y 原式=(y+1)(y+7)+9(第一步) =y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步) =(x2﹣4x+4)2(第四步) 请根据上述材料回答下列问题: (1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的 ; A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法 (2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果: ; (3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解. 40.(2025 湖南益阳 模拟预测)八年级课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:将因式分解. 【观察】经过小组合作交流,小明得到了如下的解决方法: 解法一:原式 解法二:原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的,这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示:因式分解一定要分解到不能再分解为止) 【类比】(1)请用分组分解法将因式分解; 【挑战】(2)请用分组分解法将因式分解; 【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲,我们利用它验证了勾股定理.如图,“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形,中间是一个小正方形.若直角三角形的两条直角分别是和,斜边长是3,小正方形的面积是1.根据以上信息,先将因式分解,再求值. 【经典例题五 因式分解的综合应用】 41.(24-25八年级上 湖南株洲 阶段练习)先阅读下面的内容,再解决问题. 例题:若,求和的值. 解:, . . . . 问题:已知,求的值. 42.(24-25八年级上 湖南常德 阶段练习)如果一个正整数能表示为两个连续的偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如果,,,因此4,12,20都是“神秘数”.设两个连续偶数为和(其中取非负整数),由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗?为什么? 43.(24-25八年级上 湖南邵阳 期末)先阅读下列材料,再解答下列问题: 材料:. 解:将“”看成整体,令,则原式; 再将“A”还原,得:原式. 上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,请你解下列问题: (1)类比应用,求_; (2)若n为正整数,判断式子的值是否是某一个整数的平方,并说明理由. 44.(24-25八年级上 湖南永州 期中)因为,这说明多项式有一个因式为,我们把代入多项式,发现能使多项式的值为0. 利用上述规律,回答下列问题: (1)若是多项式的一个因式,求k的值. (2)若和是多项式的两个因式,试求m、n的值,并将该多项式因式分解. (3)分解因式:. 45.(24-25八年级上 湖南怀化 期末)完成如下项目式学习表: 课题任务 代数推理 人员/日期 七(4)班张瑾峣,李一飞,李远航2025年6月3日 观察 ;. 猜想 比任意一个奇数大7的数与此奇数的平方差能被7整除. 求索 (1)_; 论证 (2)设奇数为(为整数),试说明比大7的数与的平方差能被7整除; 延伸 (3)比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是几?请说明理由. 46.(2025 湖南常德 模拟预测)如图,,两张卡片除内容外完全相同,现将两张卡片扣在桌面上,随机抽取一张,将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加,并将结果化简得到整式. (1)若抽中的卡片是. ①求整式; ②当时,求整式的值; (2)若无论取何值,整式的值都是非负数,请通过计算,判断抽到的是哪张卡片. 47.(2025 湖南常德 模拟预测)两个边长分别为和的正方形按如图1所示放置,再在大正方形内部的左上角摆放一个边长为的小正方形(如图2).设图2中未重叠部分(空白)的面积为,两个小正方形未重叠的上半部分的面积为. (1)用含,的代数式分别表示,; (2)若,求的值. 48.(24-25八年级上 湖南株洲 期中)“我们把多项式及叫做完全平方式.”如果一个多项式不是完全平方式.我们常做如下变形;先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值. 例如:分解因式:, 解:原式 例如:求代数式的最小值. 解:,可知当时,有最小值为. 根据阅读材料用配方法解决下列问题: (1)分解因式:_. (2)当、为何值时,多项式有最小值,并求出这个最小值. (3)当、为何值时,多项式有最小值,并求出这个最小值. 49.(24-25八年级上 湖南株洲 期末)【问题呈现】 观察下列式子:,,,…… 【问题解决】 (1)请你写出第五个式子_; (2)猜想第n个式子,并说明它的正确性. (3)按照上述规律,_; 【知识迁移】 数学社团在研究“正整数m能否表示为(x、y均为自然数)”时,发现若m是4的倍数时,则有:,,,,,……按上述规律,将下列两数用“”形式表示出来. (4)_; (5)_. 50.(24-25八年级上 湖南湘潭 阶段练习)类比推理是一种推理方法,即根据两种事物在某些特征上的相似,作出它们在其他特征上也可能相似的结论.触类旁通,即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法. 观察下列计算过程: 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法,即把每项恰当拆分,使得其中部分分数相互抵消,简化计算. 阅读下面一道例题的解答过程: 因式分解: 解:我们可以将拆成和即原式 在因式分解中,我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项,其目的是使多项式能进行因式分解,像这样的方法称为拆项法. 请用类比的方法,解决以下问题: (1)①已知,则依据此规律_; ②请你利用拆项法进行因式分解: _; (2)若a,b满足,求的值; (3)受此启发,解方程. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 专题05 因式分解章末50道压轴题型专训（5大题型） 题型一 十字相乘法因式分解 题型二 因式分解与方程或化简问题 题型三 公式法因式分解 题型四 因式分解彻底分解问题 题型五 因式分解的综合应用 【经典例题一 十字相乘法因式分解】 1．（25-26八年级上·湖南株洲·随堂练习）阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）． 例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． 运用上述方法分解因式： （1）x2+6x+8； （2）x2﹣x﹣6； （3）x2﹣5xy+6y2； （4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式． 【答案】（1）（2）；（3）（4）. 【分析】(1)常数项8=2×4，它的一次项系数6=2+4； (2)常数项-6=-3×2，它的一次项系数-1=-3+2； (3)将6y2看成常数项，-5y看成一次项系数，6y2=(-2y)·(-3y)，-5y=(-2y)+(-3y)； (4)先提出公因式x，再按材料介绍的方法分解因式. 【详解】解：； ； ； ． 故答案为(1)(2)；(3)(4). 【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，其实质考查了运用十字相乘法分解因式．对于形如x2+(m+n)x+mn的多项式，进行因式分解时，关键是要找到两个数，使这两个数的乘积等于常数项，同时这两个数的和恰好等于它的一次项系数．分解时要注意观察、尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可； 理解阅读材料，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵常数项，一次项系数， ∴； （2）∵常数项，一次项系数， ∴； （3）①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 3．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式：____________） (2)应用：请用上述方法解方程：． (3)拓展：请用上述方法解方程：． 【答案】(1)2，4（或4，2） (2)，； (3)，． 【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案； （2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解； （2）把看作一个整体，利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：2，4（或4，2）； （2）解：∵， 或， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”进行因式分解，是解题的关键． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 【答案】(1) (2) (3)8或 【分析】本题考查了提公因式法、“十字相乘法”进行因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）利用“十字相乘法”即可求解； （2）利用提公因式法、“十字相乘法”即可求解； （3）先把原式整理得，再将常数3进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解：依题意，， ∴， ∴或 ∴或， 因此整数p的值可能为8或． 5．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）我们学习了一元一次不等式的解法，没有学习这样一元二次不等式的解法，今天，我们一起来研究它的解法，解不等式：． 解：原不等式可化为，再化为，最后化为，整理，得．由“同号相乘得正”，可把原不等式化为：不等式组①或不等式组②，解不等式组①，得；解不等式组②，得， 故原不等式的解集为或． (1)请根据上面的解法解不等式： (2)解不等式： 【答案】(1)或； (2)． 【分析】本题考查了不等式的解法，解本题的关键在熟练掌握有理数的乘除法法则．有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负． （1）不等式整理得，根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，即可得出不等式的解集； （2）不等式整理得，根据有理数的乘法法则：“两数相乘，异号得负”，即可得出不等式的解集； 【详解】（1）解：不等式整理得，由有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”可得： ①，②， 解不等式组①得，解不等式组②得， 则不等式的解集为或； （2）解：不等式整理得，即， 由有理数的乘法法则：“两数相除，异号得负”可得： ①，②， 解不等式组①得，不等式组②无解， ∵， ∴不等式的解集为． 6．（24-25八年级上·湖南益阳·阶段练习）十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．如：将式子和分解因式，如图，；． (1)分解因式： ； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图， ∴； （2）解：如图， ∴． 7．（24-25八年级上·湖南常德·阶段练习）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成，如：（1）；（2）． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原得：原式． 上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式： (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)① ② 【分析】此题考查运用十字相乘法进行因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解；②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）①令， 则原式， ∴原式 ② ， 令 ， 则原式 ∴原式 8．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）我们有公式：． 反过来，就得到可以作为因式分解的公式：． 如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有． 例如：；； ；． 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式． (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (2)请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)否， (2) 【分析】本题考查了十字相乘法，掌握整体思想是解题关键． （1），故可继续分解； （2）设， 原式可分解为；将代入可继续分解． 【详解】（1）解：设， 则原式 故答案为：否， （2）解：设， 则原式， ∴ 9．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，解题的关键是理解题意，熟练掌握十字相乘法． （1）根据题干中提供的信息，进行因式分解即可； （2）分两种情况对将进行因式分解，得出或，然后再分别代入进行验证即可． 【详解】（1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴． （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意． 10．（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，因式分解． （1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可； （2）画出图形，根据面积的不同求法证明即可； （3）仿照题中给出的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：根据多项式的乘法：； （2）解：如图所示为所画的图形， 大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长宽， 另一种是四块小长方形面积之和：， 即； （3）解：如图， ∴． 【经典例题二 因式分解与方程或化简问题】 11．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）已知一元二次方程的两个根分别为α，β，不解方程，求下列各式的值： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个根为，，则 ．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据根与系数的关系得到，，利用因式分解和完全平方公式把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算； （2）先通分，再利用完全平方公式变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根分别为α，β， ∴，， ∴ ； （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为α，β， ∴，， ． 12．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）整式的乘法与因式分解是有理数运算的自然延伸，也是代数知识的基本内容，请利用相关知识解决下面的问题： (1)化简计算：； (2)在（1）结果的基础上，增加一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式进行因式分解，请写出所有这样的单项式，并进行因式分解． 【答案】(1) (2)或或，因式分解见解析 【分析】本题主要完全平方式及平方差公式在因式分解中的应用，单项式的定义，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）第二个因式提取公因数4，然后利用平方差公式即可求得； （2）完全平方公式有两种形式． 【详解】（1）解： ， ． （2），，， 新增单项式为或或． 13．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）（1）因式分解； （2）下面是小李同学解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解：方程两边同乘，得： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ①第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． ②写出正确的解该方程的过程． 【答案】（1） 【分析】本题考查了因式分解及解分式方程： （1）先去括号，再合并，再利用提公因式法即可求解； （2）①根据解分式方程的步骤得第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时5没有乘3； ②利用解分式方程的一般步骤即可求解； 熟练掌握提公因式法分解因式及解分式方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：（1） ． （2）①第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时5没有乘3， 故答案为：二；去括号时5没有乘3． ②方程两边同乘，得： ， 去括号得：， 移项，得：， 合并得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为． 14．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）请阅读下面材料，并解答问题： 阅读材料：利用多项式乘法法则可知，所以因式分解． 例如：． 利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者． (1)因式分解： ①． ②． (2)利用因式分解求方程的解． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题是阅读材料问题，考查了因式分解的应用和解一元一次方程，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据材料方法进行因式分解即可； （2）利用因式分解先将方程左边化为两个一元一次方程，可得方程的解． 【详解】（1）解：①， ②； （2）， ， 或， 或， 方程的解是或． 15．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）设是关于x的多项式，若方程有一个根为，则．所以多项式必有一个一次因式．例如，多项式，当时，，则必有一个一次因式，那么，，而，所以，，．这种因式分解的方法叫做“试根法”．解决下列问题： (1)请你用“试根法”分解因式： ①； ②； (2)若多项式（m为常数）有一个因式为，求m的值并将此多项式因式分解． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查因式分解，多项式乘多项式，理解“试根法”的原理是解题的关键． （1）① 时，，令，参照题干，即可求解；②当时，，令，参照题干，即可求解； （2）令，参照题干，即可求解． 【详解】（1）解：① 当时，， 则必有一个一次因式， 令， 而， ，， ． ②当时，， 则必有一个一次因式， 令， 而， ，，， ，，， ． 同理，可得， ； （2）解：多项式（m为常数）有一个因式为， 令， 而， ，，，， 解得，，， ， ， 同理，可得， ． 16．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）学习二次根式后，小晨在自己日常运算过程中，多次遇到所得结果的被开方数为根式的情况，为使计算结果最简，小晨对这一题型进行了探究发现并总结了以下规律：化简 如果你能找到两个数，，使 且 则 从而化简 例如： (1)根据以上规律完成以下化简． ， (2)若 且，，均为正整数，则 ． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查完全平方公式、二次根式的混合运算； （1）用题干的方法把被开方数是无理数的式子依次化简，再进行二次根式的加减运算即可； （2）计算的平方，与进行对比即可求出a值． 【详解】（1）解： （2）解： 且、、均为正整数， ， ，， 当，或，时，； 当，或，时，； 故答案为：或． 17．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）阅读材料：解方程我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式， ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验一次项：． ③横向写出两因式：． （2）根据乘法原理：若，则或，则方程可以这样求解方程左边因式分解得所以原方程的解为，．试用上述方法和原理解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可； （2）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，． （2）， ， ， ，． 【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式的应用，解题的关键是正确利用十字相乘法分解因式． 18．（24-25八年级上·湖南松江·期末）例：对多项式分解因式时有一个因式为，求m的值及另一个因式． 解：由题意可知，当时，，代入原式，得， ∴原多项式即为对进行因式分解； 利用因式分解与整式乘法的关系，可得， 综上得：，另一个因式为． 以上求m的方法叫作“试根法”，该方法最先由数学家韦达发现并加以应用． 请你根据以上方法解决下列问题： (1)已知二次三项式有一个因式为，则______； (2)若分解因式后，有两个因式和，求的值； (3)无论k取何值，点满足方程恒成立，求关于x的不等式：的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，解二元一次方程组，求一元一次不等式的解集： （1）根据题意可得当时，，即当时，，据此求解即可； （2）根据题意可得当时，，当时，，则，解方程组即可得到答案； （3）根据题意得到，无论k取何值，点满足方程恒成立，则，据此求出m、n的值，再解不等式即可． 【详解】（1）解：∵二次三项式有一个因式为， ∴当时，， ∴当时，， ∴， ∴； （2）解：∵分解因式后，有两个因式和， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴得， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵无论k取何值，点满足方程恒成立， ∴， 解得， ∴不等式，即为不等式， ∴． 19．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）小晓在化简整式时，得到的结果是，则“○”表示的数为________． 【发现】小晓观察计算结果，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：，请你再写出一个“对称多项式”（用含，的代数式表示）________； 【探究】规定，若和是两个连续的奇数时，称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如，，试说明原因． 【应用】已知，，求的值． 【答案】；[发现]（答案不唯一）；[探究]见解析；[应用] 【分析】本题考查了整式的混合运算及因式分解的应用，代数式求值，完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将整式化简得到，得出，即可求出，即可得到答案； 根据“对称多项式”的定义即可得到答案； 和是两个连续的奇数，设，则，推出，由是偶数，设，则，得到，即可得到结论； 根据题意得到，代入计算即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， “○”表示的数为， 故答案为：； [发现] 根据“对称多项式”的定义得， 故答案为：（答案不唯一）； [探究] 和是两个连续的奇数，设，则， ， 是奇数， 是偶数， 设，则， ， 的值为的倍数； [应用] ， ， ； 的值为． 20．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下列材料： 材料一：对于一个百位数字不为0的四位自然数，以它的百位数字作为十位，十位数字作为个位，得到一个两位数，若等于的千位数字与个位数字的平方差，则称数为“平方差数”． 例如：7136是“平方差数”，因为，所以7136是“平方差数”； 又如：4251不是“平方差数”，因为，所以4251不是“平方差数”． 材料二：我们有时可以利用分解因数的方法解决求整数解的问题，例如：若，为两个正整数（），且，则，为18的正因数，又因为18可以分解为或或，所以方程的正整数解为或或． 根据上述材料解决问题： (1)判断9810，6361是否是“平方差数”？并说明理由； (2)若一个四位“平方差数”，将它的千位数字、个位数字及相加，其和为30，求所有满足条件的“平方差数”． 【答案】(1)9810是“平方差数”，6361不是“平方差数”，理由见解析 (2)8157或6204或5250或5241 【分析】（1）直接根据“平方差数”的概念求解即可； （2）设的千位数字为，个位数字为，则，由题意得，再分解正因数求解即可． 【详解】（1）9810是“平方差数”， ∵， ∴9810是“平方差数”； 6361不是“平方差数”， ∵， ∴6361不是“平方差数”． （2）设的千位数字为，个位数字为，则， 由题意得， 即． ∵，且均为30的正因数， ∴将30分解为或或． ①， 解得，即； ②， 解得，即； ③， 解得，即； 解得，即． ∴或6204或5250或5241 【点睛】本题考查了因式分解的应用，新定义下的阅读理解，解决问题的关键是找到等量关系． 【经典例题三 公式法因式分解】 21．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）给出三个单项式：，，． (1)任选两个单项式相减，并进行因式分解； (2)利用因式分解进行计算：，其中． 【答案】(1)答案不唯一，如： (2)4 【分析】本题考查了用公式法与提公因式法分解因式，因式分解的运用． （1）选第一个与第二的差，用平方差公式进行因式分解；若选第一个与第三个或第二个与第三个，则可用提公因式法分解因式； （2）利用完全平方公式分解因式，再代入求值即可． 【详解】（1）解：选第一个与第二的差， 即； 选第二个与第一的差， 即； 选第一个与第三的差， 即； 选第三个与第一的差， 即； 选第二个与第三的差， 即； 选第三个与第二的差， 即； 任选其中一个即可； （2）解： ， 当时，原式． 22．（24-25八年级上·湖南张家界·期中）填式游戏：在“□”内填入适当的单项式，使多项式能因式分解． (1)若在“□”内填入，分解因式：； (2)若在“□”内填入不超过10的整数，使能在有理数范围内因式分解，共有几种填法？请选择一种进行分解因式． 【答案】(1) (2)2种，（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解的相关知识，解题的关键是掌握提公因式法和平方差公式等因式分解方法． （1）利用提公因式法对进行因式分解； （2）根据平方差公式的形式，确定“□”可填的整数，再分析填法数量并举例分解． 【详解】（1）解：； （2）解：“□”可以为、，共2种填法 如选择，分解为， 选择，分解为， 答：有2种填法（为、），举例分解如等． 23．（25-26八年级上·湖南株洲·课后作业）阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法证明： 如果a，b，c是的三条边的长，那么． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系以及不等式的性质，掌握因式分解是解本题的关键． 先对进行因式分解，得到，再利用三角形的三边关系判定其正负性即可． 【详解】解： 根据三角形三边关系： ，即； ，即； 所以：． 24．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步）． （第二步）． （第三步）． （第四步）． 请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握换元法因式分解和公式法因式分解是解题的关键． 设，然后仿照以上方法解答即可． 【详解】解：设， ． 25．（24-25八年级上·湖南常德·期末）先阅读材料，再解答问题： 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式， 再将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的相关知识及整体思想的应用．具体包括完全平方公式、平方差公式的灵活运用，以及通过换元法将多项式转化为可直接因式分解的形式，体现了整体思想在简化问题中的重要作用．同时，第三问还考查了利用因式分解解决实际几何问题（求长方形周长）的能力，强调了代数知识与几何应用的结合． （1）把看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解； （2）先把前三项利用完全平方公式变形，再利用平方差公式继续分解； （3）先对给定的等式进行变形，通过因式分解求出的值，进而求出长方形的周长． 【详解】（1）解：因式分解， 设，则原式可化为， 则． 再把代回，得到原式． （2）解：因式分解， 先把前三项进行变形，则． 此时原式变为， 又因为， 则． （3）解：已知， 先把变形为， 则原式变为， 设，则， 则，即，解得． 因为长方形的周长， 把代入，得到． 26．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决下列问题： 阅读材料 分解因式： 解：①将“”看成整体，令，则原式， ②再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式以及整理思想是解此题的关键． （1）依题意，将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）依题意，将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：依题意，将“”看成整体，令，                 则，         再将还原，得到原式． （2）解：依题意，将“”看成整体，令， 则．       再将还原，得到原式． 27．（24-25八年级上·湖南株洲·随堂练习）阅读下面材料． 我们知道可以分解因式，结果为，其实也可以通过配方法分解因式，其过程如下： ． (1)请仿照上述过程填空： ； ； ． (2)请观察（1）中横线上所填的数，每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系？ 【答案】(1)，5，，，1， (2)所填的两个数的和等于一次项系数，积等于常数项 【分析】本题主要考查了利用“配方法”进行因式分解，完全平方公式和平方差公式因式分解，灵活运用“配方法”是解答本题的关键． （1）直接利用“配方法”求解即可； （2）由（1）求解即可． 【详解】（1） ； ； 故答案为：，5，，，1，； （2）由（1）得，所填的两个数的和等于一次项系数，积等于常数项． 28．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）数学课上，老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：因式分解：． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 习题2：因式分解：． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)习题1第二步，习题2第一步 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解纠错．熟练掌握平方差公式、完全平方公式分解因式，添括号法则，是解题的关键． （1）根据平方运算知习题1是从第二步开始出现错误的，根据添括号法则知习题2是从第一步开始出现错误的； （2）习题1运用平方差公式因式分解，习题2提负号运用完全平方公式因式分解． 【详解】（1）解：习题1的解答过程是从第二步开始出现错误的， 习题2的解答过程是从第一步开始出现错误的； （2）解：因式分解：习题1： ； 习题2： ． 29．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）在数学课堂上，李老师带领同学们解答问题“①因式分解；②求的最值．”小明解答了问题①，小丽解答了问题②，下面是他们的解答过程： 小明的解答： 小丽的解答： 无论a为何值， ∴ 即， 则的最小值为 (1)根据小明的解答，将因式分解； (2)根据小丽的解答，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键． （1）仿照小明的解答把原式化为：，再利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照小丽的思考把原式化为，再利用偶次方的非负性解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵无论a为何值， ∴ 即， 则的最小值为. 30．（2025·湖南娄底·模拟预测）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，，，除正面的代数式不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当，时，求取出的卡片上代数式的值为正数的概率； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和可以分解因式的概率． 第一次和第二次 【答案】(1) (2)，补全表格见解析 【分析】本题考查用概率公式求概率，整式加法，因式分解，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先将a，b的值代入三个代数式求值，再根据概率公式计算值为正数的概率； （2）通过分别计算两次抽取卡片上代数式相加的结果补全表格，然后根据概率公式计算和可以分解因式的概率． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ， 从三张卡片中随机抽取一张，总共有3种等可能的抽取情况，而其中代数式的值为正数的只有这1种情况． ∴取出的卡片上代数式的值为正数的概率为． （2）解：当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 补全表格如下： 第一次和第二次 对于和，由于是单项式，不是多项式，不能分解因式； 对于不能分解因式， 对于和，可分解因式为； 对于和，可分解因式为； 对于和，由于是单项式，不是多项式，不能分解因式； 对于和，可分解因式为， ∴可以分解因式的情况有5种．两次抽取卡片上代数式之和共有9种等可能的结果． ∴可得和可以分解因式的概率为． 【经典例题四 因式分解彻底分解问题】 31．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）因式分解（注意分解彻底）： （1）ab2﹣2ab+a                         （2）（a+b）x2-（a+b）                （3）（x2+2x）2-（2x+4）2．               （4）（m2-m-1）（m2-m-3）-15 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）先提取公因式a，再利用完全平方公式因式分解； （2）先提取公因式a+b，再利用平方差公式因式分解； （3）先利用平方差公式因式分解，再分别用完全平方公式和平方差公式因式分解； （4）将看成整体计算，再利用十字相乘法因式分解，然后进一步利用十字相乘法给第一个括号内因式分解． 【详解】解：（1）原式= =； （2）原式= =； （3）原式= = = =； （4）原式= = = =． 【点睛】本题考查综合运用公式法和提取公因式法因式分解．一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解．如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，则考虑使用完全平方公式．同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止．本题中还需要注意十字相乘法因式分解． 32．（24-25八年级上·湖南永州·期末）阅读下列材料： 小颖同学对多项式进行因式分解的过程中发现，如果把看成一个整体，用一个新的字母代替，此多项式就可以运用公式法进行因式分解，以下是她的做法． 解：设， 原式 (1)小颖同学进行因式分解时，所得到的最后结果是否分解彻底？______（填“是”或“否”；如果否，直接写出因式分解最后的结果______； (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)否， (2) 【分析】（1）由还可以利用完全平方公式分解，从而可得答案； （2）设，则可得再继续分解即可． 【详解】（1）解：还可以利用完全平方公式分解， ∴因式分解不彻底，还可以继续分解； ∴设， 原式 故答案为：否，； （2）解：设， 【点睛】本题考查的是利用换元法分解因式，掌握“换元法的方法与步骤”是解本题的关键． 33．（24-25八年级上·湖南常德·期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？ (2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)用完全平方公式分解因式 (2)该同学因式分解的结果不彻底，分解的最后结果为 (3) 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，灵活运用完全平方公式分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式，即可解答； （2）中的还可以运用完全平方公式分解因式，即可得到答案； （3）设，原式可化为，根据完全平方公式可得，所以可化为，进一步运用完全平方公式即得到答案． 【详解】（1）解:该同学第二步到第三步运用了完全平方公式分解因式； （2）解:该同学因式分解的结果不彻底， 因为， 所以分解的最后结果为； （3）解：设， 则 ． 34．（24-25八年级上·湖南张家界·期中）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设，则（第一步） 原式（第二步） （第三步） 把代入上式，得原式（第四步） 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题： （1）该同学因式分解的结果 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ； （2）请你仿照上面的方法，对多项式进行因式分解． 【答案】（1）不彻底，；（2） 【分析】（1）根据因式分解的步骤进行解答即可； （2）设，再根据不同的方法把原式进行分解即可． 【详解】解：（1）该同学因式分解的结果不彻底， 原式 =； （2）设， 则 = = = = = 【点睛】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式和十字相乘法的应用． 35．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小林同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式 任务： (1)小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________． (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 (3)由平方的非负性可知有最小值，请求出最小值． 【答案】(1)不彻底， (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解及其应用； （1）将继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）设，由（1）同理进行因式分解，即可求解； （3）设，进行配方，由平方的非负性，即可求解； 掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：不彻底， 设． 原式 ； 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ， 最小值为． 36．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则：原式．再将“m”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设，则：原式． 问题： (1)以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果： ； (2)请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解； (3)换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查公式法分解因式； （1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）根据材料，用换元法进行分解因式； （3）设，再将y代入即可求解． 【详解】（1）设 则：原式 ， 故答案为：； （2）设 原式= ； （3）设 ∴原式 ． 37．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（）利用分组分解法因式分解即可； （）利用分组分解法因式分解可得，即得到，，进而得到，即可判断求解； 本题考查了因式分解及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得， ∴是等边三角形． 38．（24-25八年级上·湖南张家界·阶段练习）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）已知的三边长、、都是正整数，满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）9． 【分析】（1）根据题意，得，提取公因式解答即可； （2）根据题意，得，后因式分解解答即可； （3）根据题意，得，根据非负性，确定a，b的值，再利用三角形三边关系定理，结合边长为正整数的属性，解答即可． 本题考查了分组分解法分解因式，实数的非负性，三角形三边关系定理，正整数的属性，熟练掌握因式分解，非负性，三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：根据题意，得 ； （3）解：由得， 故， 解得， 故c的取值范围为即， 由的三边长、、都是正整数， 故， 故的周长为． 39．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　 　； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x+1）4． 【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）故选C； （2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x=y，则： 原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+4）2=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4． 故答案为（x﹣2）4； （3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4． 【点睛】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． 40．（2025·湖南益阳·模拟预测）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． （1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，整体代入得出答案即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） 根据题意得：， ∴原式． 【经典例题五 因式分解的综合应用】 41．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ． ． ． ． 问题：已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了因式分解的应用，涉及完全平方公式分解因式，读懂题意是解题的关键；模仿例题可得到，然后整理得，继而根据非负数的性质即可作答． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：． 42．（24-25八年级上·湖南常德·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续的偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如果，，，因此4，12，20都是“神秘数”．设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ 【答案】两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，理由见解析 【分析】此题考查了因式分解的实际运用求出由和这两个连续偶数构造的神秘数为，然后运用平方差公式进行化简，即可判断其是否是4的倍数． 【详解】解：两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，理由如下： ， ， ∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数． 43．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，得：原式， 故答案为：； （2）证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， 令， 则上式， ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． 44．（24-25八年级上·湖南永州·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【答案】(1)； (2)m、n的值分别为和0； (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，解二元一次方程组： （1）根据题意当时，，则，据此求解即可； （2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可； （3）先分组得到，再利用提公因式法和十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴ （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： ． 45．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）完成如下项目式学习表： 课题任务 代数推理 人员／日期 七（4）班张瑾峣，李一飞，李远航2025年6月3日 观察 ；． 猜想 比任意一个奇数大7的数与此奇数的平方差能被7整除． 求索 （1）______； 论证 （2）设奇数为（为整数），试说明比大7的数与的平方差能被7整除； 延伸 （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是几？请说明理由． 【答案】（1）17；（2）见解析；（3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数为7，理由见解析 【分析】（1）​先观察给定的等式规律：和，再将规律中的数字替换为题目要求的 5，直接计算 的值，最后将结果除以 7，即可求得结果； ​​（2）​先设任意奇数为（m 为整数），则比它大 7 的数为，​再计算平方差：，利用平方差公式展开并化简，​最后提取公因数 7，说明结果为 7 的整数倍． ​​（3）​先设任意整数为 n，则比它大 7 的数为，​再计算平方差：，展开后化简，​最后将结果表示为 的形式（r 为余数），确定余数 r． 【详解】解：（1）， 故答案为：17； （2）根据题意可知，比奇数大7的数为， ． 为整数， 能被7整除． （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数为7． 理由如下：根据题意设这个数为，比大7的数为， ， 比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数为7． 【点睛】本题综合考查代数推理能力，核心在于掌握平方差公式和整式变形技巧，体现数学建模思想，通过代数方法将具体问题一般化是解题的关键． 46．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 【答案】(1)①；②4 (2)抽到的是卡片 【分析】此题考查整式的混合运算和因式分解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）①根据卡片各项改变符号后得出 ，再与整式相加，合并同类项即可； ②把代入整式C计算即可； （2）分抽中的卡片是B和抽中的卡片是A两种情况进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①； ②当时，； （2）由（1）知，若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非负数； 若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非正数， 抽到的是卡片． 47．（2025·湖南常德·模拟预测）两个边长分别为和的正方形按如图1所示放置，再在大正方形内部的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图2）．设图2中未重叠部分（空白）的面积为，两个小正方形未重叠的上半部分的面积为． (1)用含，的代数式分别表示，； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2)100 【分析】本题考查了单项式与多形式的乘法，因式分解的应用，能够运用数形结合、恰当进行代数式的变形是解答本题的关键． （1）根据根据未重叠部分的两边长分别为a，可表示出，用重叠部分的总面积减去边长为b的正方形的面积可表示出； （2）先计算出，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可得，， （2）． ， ． 48．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式．我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值． 例如：分解因式：， 解：原式 例如：求代数式的最小值． 解：，可知当时，有最小值为． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当、为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当、为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当，时，最小值为 (3)当，时，最小值 【分析】本题主要考查因式分解： （1）原式； （2），，； （3）原式． 【详解】（1） （2） ，， 当，时，多项式有最小值为． （3） ，， 当，时，多项式有最小值． 即当，时，多项式有最小值． 49．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）【问题呈现】 观察下列式子：，，，…… 【问题解决】 （1）请你写出第五个式子______； （2）猜想第n个式子，并说明它的正确性． （3）按照上述规律，______； 【知识迁移】 数学社团在研究“正整数m能否表示为（x、y均为自然数）”时，发现若m是4的倍数时，则有：，，，，，……按上述规律，将下列两数用“”形式表示出来． （4）______； （5）______． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例，找出规律，进行因式分解． （1）因为式子依次是，，所以第五个式子是：． （2）因为式子依次是，，所以第n个式子是：，将左边式子展开，发现左右两边相等； （3）因为式子依次是，，所以． （4）因为m是4的倍数时，则有：，，，求出结果即可； （5）因为m是4的倍数时，则有：，，，所以． 【详解】解：（1）因为式子依次是：， 可得第五个式子是：． 故答案为：． （2）第n个式子是：， 因为 ， 所以． （3） ， 故答案为：． （4） ； 故答案为：． （5） ； 故答案为：． 50．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律________； ②请你利用拆项法进行因式分解： _______； (2)若a，b满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得． ②． 故答案为：①；②； （2）解：∵，满足，即 ∴，， 解得：，． ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 学科网（北京）股份有限公司 $$