第一章 因式分解 章重难点检测卷-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（湘教版2024）

第一章 因式分解重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册第一章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）已知实数a，b满足，，则的值为（   ） A．1 B．13 C．21 D．42 3．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列多项式能用完全平方公式分解的有 （   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲、乙的结果都正确 B．甲、乙的结果都不正确 C．只有甲的结果正确 D．只有乙的结果正确 5．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）已知任意实数满足等式，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．惠济游 C．我爱惠济 D．美我惠济 8．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 9．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（   ） A． B． C． D．4 10．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）已若，则k= ． 12．（24-25八年级上·湖南常德·期中）已知，，则多项式 ． 13．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）在正整数中， 利用上述规律，计算 ． 14．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是 ． 15．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） = = ． （2） = = ． 试用上述方法因式分解 . 16．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值 ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）利用因式分解计算 (1) (2) 18．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）将下列各式进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 19．（24-25八年级上·湖南株洲·课后作业）把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 20．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 21．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即， ∴，解得． 故另一个因式为，m的值为－21． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 22．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 23．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解成，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式． (1)补全以下分解因式的过程： 解： (2)请你在理解上述方法的基础上，解决下列问题： ①运用“配方法”分解因式：． ②对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解： 24．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式：              例2：若，求M的最小值．                                 ∵               ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 25．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）你能很快算出吗 为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为的自然数的平方，任意一个个位数为的自然数都可以写成（为自然数），即求的值，试分析，，，……这些简单情形，从中探索规律，并归纳猜想出的结论（在下面空格上填上你探索结果）． (1)通过计算，探索规律 可以写成； 可以写成； 可以写成； 可以写成；…… ，可以写成， ，可以写成 (2)从（1）题的结果，猜想，归纳，得 ，并利用整式运算的知识给予说明： (3)根据上面的归纳猜想，计算出 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 因式分解重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册第一章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解的定义． 利用因式分解的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：因为把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．故A、C错误； B．左边不是多项式，也不符合定义，故错误； D．按照完全平方公式分解因式，正确． 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）已知实数a，b满足，，则的值为（   ） A．1 B．13 C．21 D．42 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值．利用因式分解得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列多项式能用完全平方公式分解的有 （   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】本题考查的是运用完全平方公式进行因式分解的能力，根据完全平方公式结构特征：两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，对各选项验证即可． 【详解】解：（1） 中，乘积项不是，不能运用完全平方公式； （2） ，符合题意； （3） ，乘积项不是，不符合能用完全平方公式； （4），符合题意； 所以（2）（4） 能用完全平方公式分解，共2个． 故选：B． 4．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲、乙的结果都正确 B．甲、乙的结果都不正确 C．只有甲的结果正确 D．只有乙的结果正确 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可． 【详解】解：；； 故甲、乙的结果都正确． 故选A． 5．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∴M为：， 故选：D． 6．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）已知任意实数满足等式，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，通过作差法可得，分解因式得到，再根据偶次方的非负性可得，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴ ∴，即， 故选：B． 7．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．惠济游 C．我爱惠济 D．美我惠济 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．将多项式因式分解是解题的关键，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止． 将所给的多项式因式分解，然后结合已知的密码确定出文字信息即可解答． 【详解】解：∵， 又∵分别对应下列四个字我，爱，惠，济 ∴结果呈现的密码信息是：我爱惠济． 故选：C． 8．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法， 故选：B． 9．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握非负数的性质是解题的关键．先把代数式进行配方，再根据非负数的性质求解． 【详解】解：, 因为, 所以, 当时，, 因此的最小值是， 故选：B. 10．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用．正确列出算式，并用因式分解进行简便计算是解题的关键． 根据放置冰块部分的面积可以看作两个正方形的面积差，列出算式，再用平方差公式分解因式，简便计算即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）已若，则k= ． 【答案】-2 【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出k的值． 【详解】解：x2+kx﹣15＝（x+3）（x+m）＝x2+（m+3）x+3m， ∴k＝m+3，3m＝﹣15， 解得：m＝﹣5，k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．（24-25八年级上·湖南常德·期中）已知，，则多项式 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将因式分解得，再把已知条件代入即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）在正整数中， 利用上述规律，计算 ． 【答案】 【分析】先依据题例用平方差公式展开，再利用乘法分配律交换位置后，相乘进行约分计算即可． 【详解】解： = = = = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查运用因式分解对有理数进行简便运算．熟练掌握平方差公式是解题关键． 14．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：∵两个正整数m，n满足， ∴或或或或，…， 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为8，12，16，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为15，21，27，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为24，32，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为35，45，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为48，60，…； …， 把这些“智慧优数”从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，…， 故第4个“智慧优数”是16， 故答案为：16． 15．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） = = ． （2） = = ． 试用上述方法因式分解 . 【答案】(a＋b)(a＋b＋c) 【分析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】原式＝(a2＋2ab＋b2)＋(ac＋bc) ＝(a＋b)2＋c(a＋b) ＝(a＋b)(a＋b＋c)． 故答案为：(a＋b)(a＋b＋c) 16．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值 ． 【答案】13 【分析】本题考查了新定义——“完美数”，熟练掌握完全平方公式的应用，是解题的关键． 利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完美数”的定义得，从而得到k的值． 【详解】解： ， ∵S为“完美数”， ∴， ∴， 故答案为：13． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）利用因式分解计算 (1) (2) 【答案】(1)36 (2)31.4 【分析】（1）先将变形为的形式，再利用平方差公式求解； （2）先提取公因式，再进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查通过因式分解进行简化计算，解题关键是提取公因式或根据数字特点将所求式子进行变形后利用公式求解． 18．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）将下列各式进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解．熟练掌握方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）先将式子变形为，然后根据平方差公式进行因式分解即可； （2）先将式子变形为，然后根据平方差公式进行因式分解即可； （3）把看作一个整体，根据完全平方公式化简成，再根据平方差公式进行化简即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 19．（24-25八年级上·湖南株洲·课后作业）把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】前3个小题直接提取公因式即可； 后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过变形，使多项式有公因式．一般常见的两种变形为：及． 20．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）①利用十字相乘法分解因式即可； ②利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2）① ； ② ． 21．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即， ∴，解得． 故另一个因式为，m的值为－21． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为：（x＋8），k的值为40． 【分析】设另一个因式为（x＋p），则，可得p−5＝3，−5p＝−k，求出p和k的值即可． 【详解】解：设另一个因式为x＋p， 由题意得：， 即， 则有， 解得， 所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40． 【点睛】本题考查了因式分解的意义．解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 22．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 23．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解成，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式． (1)补全以下分解因式的过程： 解： (2)请你在理解上述方法的基础上，解决下列问题： ①运用“配方法”分解因式：． ②对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解： 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题主要考查了乘法公式， （1）根据完全平方和（差）公式进行因式分解．即可计算得出结果； （2）根据题意对算式进行配方，然后，利用平方差公式进行因式分解，即可得出结果； 首先，将代数式，进行分组，然后，结合提公因式和平方差公式，得到，进一步整理即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）① 原式 ； ② ． 24．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式：              例2：若，求M的最小值．                                 ∵               ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 【答案】(1)； (2)，； (3)13． 【分析】本题考查因式分解，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案； （2）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案； （3）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，求出a、b，再根据两边之和大于第三边的条件判断出c的最大值，可解得答案； 【详解】（1） = = = （2） = = 当 ， 时，多项式有最小值为3 （3）， 变形为 ， 整理得， 根据两边之和大于第三边的判定， 又因为c是正整数，所以 所以周长的最大值= 25．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）你能很快算出吗 为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为的自然数的平方，任意一个个位数为的自然数都可以写成（为自然数），即求的值，试分析，，，……这些简单情形，从中探索规律，并归纳猜想出的结论（在下面空格上填上你探索结果）． (1)通过计算，探索规律 可以写成； 可以写成； 可以写成； 可以写成；…… ，可以写成， ，可以写成 (2)从（1）题的结果，猜想，归纳，得 ，并利用整式运算的知识给予说明： (3)根据上面的归纳猜想，计算出 【答案】(1)； (2)；说明见解析 (3) 【分析】（1）认真阅读，总结规律：十位数（十位数），然后按规律改写和即可； （2）根据规律：十位数（十位数），改写即可；根据完全平方公式，展开，提取前两项公因式即可证明； （3）根据（2）的结果：，计算即可． 【详解】（1）解：总结规律：十位数（十位数）， ；； 故答案为：；； （2）解：根据规律：十位数（十位数），； 说明过程： ； 故答案为：； （3）解：根据（2）的结果：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式运算、提取公因式法、找规律相关知识，通过观察发现变和不变的部分，从而找到固定的规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$