专题02 公式法重难点题型专训（4个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（湘教版2024）

专题02 公式法重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 判断能否用公式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 实数范围内分解因式 题型七 十字相乘法 题型八 分组分解法 拓展训练一 因式分解在有理数简算中的应用 拓展训练二 因式分解新定义运算 拓展训练三 因式分解规律计算 拓展训练四 因式分解的应用 知识点一： 分组分解法 基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）因式分解＝ ． 【答案】 【分析】根据添项结合分组分解可进行求解． 【详解】解：原式= = =； 故答案为． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 知识点二： 十字相乘法 基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）把多项式分解因式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）分解因式：x2﹣5x+6＝ ． 【答案】（x-2）（x-3） 【分析】原式利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：原式=（x-2）（x-3）， 故答案为：（x-2）（x-3）． 【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 知识点三： 因式分解的平方差公式 基本概念：由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式. 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖南株洲·课堂例题）多项式分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用平方差公式分解因式即得答案. 【详解】解：； 故选：A. 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键；平方差公式是. 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点四： 因式分解的完全平方公式 基本概念：由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数( 或式)的平方和的形式，另一项是这两个数( 或式)的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解∶A、，没有积的2倍项，不符合完全平方公式，故此选项错误； B、，积的2倍项不符合完全平方公式，故此选项错误； C、，平方项的符号不同，不符合完全平方公式，故此选项错误； D、，符合完全平方公式，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键． 2．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）已知可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 【详解】解：∵可以用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【经典例题一 判断能否用公式法分解因式】 【例1】（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，平方差公式为，适用于两个平方项的差．需逐一分析选项是否满足该形式． 【详解】A．，不符合平方差公式，排除． B．，括号内为平方和，无法用平方差分解，排除． C． 仅含一项平方项和一次项，无法构成平方差，排除． D．，满足平方差公式． 故选D． 1．（2025·湖南湘潭·模拟预测）在实数范围内把二次三项式x2+x﹣1分解因式正确的是（　　） A．（x﹣）（x﹣） B．（x﹣）（x+） C．（x+）（x﹣） D．（x+）（x+） 【答案】D 【分析】令二次三项式等于0，求出x的值，即可得到分解因式的结果． 【详解】解：令x2+x-1=0， 解得：x1=，x2=， 则x2+x-1=（x+）．（x+） 故选D． 【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，求根公式法当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·单元测试）在多项式①﹣m2+9；②﹣m2﹣9；③2ab﹣a2﹣b2；④a2﹣b2+2ab；⑤（a+b）2﹣10（a+b）+25中，能用平方差公式因式分解的有 ；能用完全平方公式因式分解的有 （填序号）． 【答案】 ① ③⑤ 【详解】试题分析：根据平方差公式的特点：有两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后求解． 根据完全平方公式结构特征：两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，对各选项验证即可． 解：①﹣m2+9可直接应用平方差公式分解； ②﹣m2﹣9是两数的平方和的相反数，不能因式分解； ③2ab﹣a2﹣b2符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解； ④a2﹣b2+2ab不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解； ⑤将（a+b）看作一个整体，（a+b）2﹣10（a+b）+25符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解． 故能用平方差公式因式分解的有 ①；能用完全平方公式因式分解的有 ③⑤（填序号）． 故答案为①；③⑤． 考点：因式分解-运用公式法． 点评：本题考查了用平方差公式和完全平方公式分解因式，熟记平方差公式和完全平方公式的结构特点是解题的关键． 4．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，求下列各式的值． （1）x2＋2xy＋y2； （2）x2－y2 【答案】（1）20；（2） 【分析】（1）先由已知条件得到，，，然后运用完全平方公式因式分解待求式，再整体代入计算即可． （2）运用平方差公式因式分解待求式，再整体代入计算即可． 【详解】解：，， （1）； （2）． 【点睛】本题考查了二次根式的条件求值，解题的关键是运用乘法公式进行因式分解，用两个数的和、差与积表示待求式，利用整体代入的思想代入计算． 【经典例题二 平方差公式分解因式】 【例2】（24-25八年级上·湖南株洲·期中）下列因式分解中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了分解因式，正确应用公式法分解因式是解题关键． 利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、不能分解，故此选项错误； 故选：B． 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、因式分解的方法等知识点，掌握因式分解的方法成为解题的关键． 根据整式的加减运算、因式分解等知识点逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 甲：，能进行因式分解，进入下一轮，即该选项不符合题意； B. 乙： ，能进行因式分解，进入下一轮，即该选项不符合题意； C. 丙：，能进行因式分解，进入下一轮，即该选项不符合题意； D. 丁：，不能进行因式分解，被淘汰，即该选项符合题意．     故选D． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 3．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）已知a，b满足方程组，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、因式分解的应用等知识点，掌握运用特殊法求二元一次方程组的解成为解题的关键． 分别计算和可得、，然后再对因式分解，最后将、整体代入计算即可． 【详解】解：， 可得：，即； 可得：； 所以． 故答案为4． 4．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）观察下列算式，完成问题： 算式①：， 算式②：， 算式③：， 算式④：， … (1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：______； (2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立． 【答案】(1) (2)任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍 【分析】本题考查了命题与定理，因式分解一平方差公式的应用，有理数的混合运算，合理应用公式是解决本题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）先设两个连续偶数为和，再由平方差公式，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，可得算式⑤：， 故答案为：； （2）设两个连续偶数为2n和， ， 任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍． 【经典例题三 完全平方公式分解因式】 【例3】（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）对于下列整式：，，，，，．其中能表示成完全平方式的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式是，如果一个三项式能表示成的形式，这个三项式就能写成完全平方式的形式． 【详解】解：，能表示成完全平方式； 不能表示成完全平方式； ，能表示成完全平方式； 不能表示成完全平方式； ，能表示成完全平方式； ，能表示成完全平方式． 其中能表示成完全平方式的有个． 故选：A． 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 墨迹覆盖的这一项是， 故选：C． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 利用公式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）已知a，b，c为三边的长，当时，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式对原式正确的因式分解是解题的关键． 先分组因式分解，然后再根据非负数的性质求得a、b、c的关系即可解答． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ， 是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 4．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习） 利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题： (1)因式分解： ． (2)填空： ①当时，代数式 ．②当 时，代数式． (3)拓展与应用：求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)①0；②3 (3)1 【分析】本题考查因式分解的应用，完全平方公式因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据完全平方公式将题目中的式子进行因式分解即可； （2）①将代数式变形为，代入求值即可； ②将方程变形为，求出的值，即可解答本题； （3）将代数式变形为，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）①当时， ， 故答案为：0； ②， ， ∴， ， 故答案为：3； （3） ∵， ， 则最小值为1． 【经典例题四 综合运用公式法分解因式】 【例4】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）把分解因式，结果正确的是（   ） A．y（x2-4） B．y（x+4）（x-4） C．y（x+2）（x-2） D． 【答案】C 【分析】先提取公因式，在应用平方差公式即可； 【详解】； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，准确计算是解题的关键． 1．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）无论、取何值，多项式的值总是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用完全平方公式把多项式分组配方变形后，利用非负数的性质判断即可． 【详解】解：∵≥1＞0， ∴多项式的值总是正数． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式化简多项式，熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 2．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解．熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用平方差、完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）请直接写出最终结果． ①因式分解： ②因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，因式分解，正确换元是解答本题的关键． ①将原式整理为，令，代入整理得，然后再分解即可； ②将原式整理得，令，将代入，展开，发现式子是一个完全平方公式． 【详解】解：① ， 令， 得 ． 故答案为：． ② ， 令， 得： ， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·湖南株洲·课后作业）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式、公式法进行因式分解是解决此题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解； （2）先利用完全平方公式进行分解，再结合平方差公式进一步分解； （3）先将转化为，再结合平方差公式进一步分解，最后利用完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【经典例题五 综合提公因式和公式法分解因式】 【例5】（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）分解因式，正确的步骤是（   ） A．先提公因式，再用平方差公式： B．直接用平方差公式： C．先提公因式，再用完全平方公式： D．不能分解 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】解：分解因式时，先提公因式得，再用平方差公式分解得， 故选：A． 1．（24-25八年级上·湖南常德·阶段练习）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法， 故选：B． 2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】运用提公因式、平方差公式因式分解． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式、公式法因式分解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 3．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 由题意给出的定义新运算可得，然后利用提公因式法及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·湖南常德·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． (1)直接判断：36_______神秘数；（填“是”或“不是”） (2)设两个连续偶数为和(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由； (3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数； ②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由． 【答案】(1)是 (2)是；理由见解析 (3)①见解析  ②不是；理由见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，因式分解的应用． （1）由可得答案； （2）利用平方差公式把因式分解得到，据此可得结论； （3）①设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），根据长方形周长计算公式求出周长，再根据（2）即可证明结论； ②根据长方形面积计算公式求出面积，再根据（2）所求即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴36是神秘数， 故答案为：是； （2）解：是，理由如下： ， 因为k是非负整数， 所以是正整数， 所以由两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数； （3）解：①设长方形相邻两边的长分别为(m为正整数)， 所以长方形的周长为， 由（2）知，神秘数一定可以用（k为非负整数)表示， 所以是神秘数； ②不是，理由如下： 设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数)， 所以长方形的面积为， 因为k是非负整数， 所以是奇数， 因为和是连续的正整数， 是偶数， ∴， 所以长方形的面积不是神秘数． 【经典例题六 实数范围内分解因式】 【例6】（2025·湖南张家界·模拟预测）下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，分别分解因式判断即可得出结果 【详解】A. 不能进行因式分解，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意； 故选：A 1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 2．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 先提取公因数2，再由平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解中的换元法以及十字相乘法、平方差公式的综合运用．将四次多项式转化为二次多项式，随后对二次多项式分别运用十字相乘法分解，解题的关键是对于能继续用平方差公式分解的部分进一步分解，最终完成高次多项式的因式分解． （1）首先使用换元法转化进行分解，然后使用十字相乘法分解二次式，最后使用回代还原，最后运用平方差公式进行求解即可． （2）首先使用换元转化进行分解，然后使用十字相乘法分解二次式，最后使用回代还原进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则原式变为， 所以． 再把代回，得到． 再将分解，得． （2）解：设，则原式变为． 所以． 再把代回，得到． 进一步分解，，， 所以． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用是解题的关键． （1）先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先对多项式进行化简整理，然后再利用平方差公式进行分解即可解答； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【经典例题七 十字相乘法】 【例7】（24-25八年级上·湖南永州·期中）已知是因式分解的结果，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解与多项式相乘的关系，注意正确计算多项式的乘法，然后系数对应相等．把多项式相乘展开，再根据对应项系数相等求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴． 故选：A． 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解，先运用多项式乘多项式求得，的值，再对原式进行因式分解． 【详解】解：李想同学看错了a的值，分解的结果是，但是正确，则； 王敏同学看错了b的值，分解的结果是，但是正确，则， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）通过计算几何图形的面积，可得到一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式: ． 【答案】 【分析】本题主要考查了十字相乘法分解因式，利用面积相等得出等式是解题关键．根据图形中的正方形和长方形的面积之和，与整体图形的面积相等，进而得出等式即可得解． 【详解】解：由面积相等可得：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． ①；②． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）令，仿照例题解答即可； （2）令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：令， 则原式， ∴； （2）令， 则原式. ∴原式. 【经典例题八 分组分解法】 【例8】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组． 1．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）已知实数m，n，p，q满足，，则（    ） A．48 B．36 C．96 D．无法计算 【答案】A 【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解． 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）分解因式：＝ ． 【答案】 【分析】按照分组分解法进行分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，分组分解法是把各项适当分组，先根据各式的特点进行分组，再使分解因式在各组之间进行．；分组时用到添括号，添括号时要注意各项符号的变化；熟练掌握分解因式的方法是关键． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·课后作业）阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（1） . （2） . 试用上述方法分解因式 . 【答案】 【详解】试题分析：首先进行分组，然后分别进行因式分解，最后利用提取公因式进行因式分解. 原式=()+(ac+bc)=+c(a+b)=(a+b)(a+b+c) 考点：因式分解 4．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）已知的三边长、、都是正整数，满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）9． 【分析】（1）根据题意，得，提取公因式解答即可； （2）根据题意，得，后因式分解解答即可； （3）根据题意，得，根据非负性，确定a，b的值，再利用三角形三边关系定理，结合边长为正整数的属性，解答即可． 本题考查了分组分解法分解因式，实数的非负性，三角形三边关系定理，正整数的属性，熟练掌握因式分解，非负性，三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：根据题意，得 ； （3）解：由得， 故， 解得， 故c的取值范围为即， 由的三边长、、都是正整数， 故， 故的周长为． 【拓展训练一 因式分解在有理数简算中的应用】 1．（24-25八年级上·湖南益阳·阶段练习）小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（　　） A． B．4043 C． D．1 【答案】C 【分析】根据完全平方公式可得再利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解：展开可得： 展开可得： ∴ 故选C 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·单元测试）如果对于大于1的整数w，存在两个正整数x，y，使得w＝x2－y2，那么这个数w叫做智慧数．把所有的智慧数按从小到大排列，那么第2 016个智慧数是 ． 【答案】2691 【分析】根据题意观察探索规律，知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数．归纳可得第n组的第一个数为4n（n≥2），又因为2016=3×672，所以第2016个智慧数是第672组中的第3个数，从而得到4×672+3=2691． 【详解】观察探索规律，知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数， 归纳可得第n组的第一个数为4n（n≥2）， 因2016=3×672， 所以第2016个智慧数是第672组中的第3个数， 即为4×672+3=2691． 故答案为：2691． 【点睛】本题考查了整数问题的综合运用，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案，此题难度较大． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下： 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为；② (2)2024 【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键． （1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可； ②利用换元法进行因式分解即可； （2）设，，则原式，整体代入计算即可． 【详解】（1）①该同学没有完成因式分解； 设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） ． ∴最后的结果为． ②设， 原式 ． ； （2）设，， 则， ， 原式 ． 【拓展训练二 因式分解新定义运算】 1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）对于两个有理数、，定义一种新的运算：，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义的运算法则得到，求解的值，再按照新定义对进行运算即可. 【详解】解： ， ， ， 解得： 故选D 【点睛】本题考查的是新定义运算，完全平方公式的应用，负整数指数幂的含义，理解新定义，按照新定义的运算法则进行运算是解本题的关键. 2．（2025·湖南株洲·模拟预测）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：，，，因此8，16，24都是“登高数”，求不超过2024的所有“登高数”的和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，因式分解的应用，设两个连续的正奇数为（n为正整数），求出，则任意的“登高数”一定是8的倍数，再根据可得不超过2024的所有“登高数”的和即为1到253的自然数之和的8倍，据此求解即可． 【详解】解：设两个连续的正奇数为（n为正整数）， ， ∵n为正整数， ∴为正整数， ∴任意的“登高数”一定是8的倍数， ∵， ∴不超过2024的所有“登高数”的和为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）定义：任意两个数，b，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“求实数”． （1）若＝3，b ＝－2，求出，b的“求实数”； （2）如果＝m﹣4，b＝﹣m，求，b的“求实数”，并证明：无论m取何值时“求实数”总是非正数； （3）已知＝（x≠0），且，b的“求实数”＝，请用含x的式子表示b． 【答案】（1）﹣5；（2）见解析；（3）b＝x+2 【分析】（1）根据“求实数”的定义，直接算出c即可； （2）先根据“求实数”求出c，再利用完全平方公式的非负性证明c≤0； （3）先根据“求实数”求出c，再根据c＝x3+3x2﹣1即可求得b＝x+2． 【详解】解：（1）∵＝3，b＝－2， ∴c＝ab+a+b ＝3×（﹣2）+3+（﹣2） ＝﹣5． ∴a，b的“求实数”c是﹣5； （2）∵＝m﹣4，b＝﹣m， ∴c＝﹣m（m﹣4）+（m﹣4）+（﹣m） ＝﹣m2+4m﹣4 ＝﹣（m2﹣4m+4） ＝﹣（m﹣2）2 ∵（m﹣2）2≥0， ∴﹣（m﹣2）2≤0， ∴a，b的“求实数”c总是非正数； （3）∵＝， ∴c＝b（x2﹣1）+x2﹣1+b＝x3+3x2﹣1， ∴bx2﹣b+x2﹣1+b＝x3+3x2﹣1， ∴bx2＝x3+2x2＝x2（x+2）， ∴b＝x+2． 【点睛】本题考查了新定义、完全平方公式及因式分解等知识，理解并运用“求实数”的规定是解决本题的关键． 【拓展训练三 因式分解规律计算】 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的__________倍； (2)设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了规律探究，找出规律是解题的关键． （1）由已知式子得，即可求解； （2）由题意得，即可得证． 【详解】（1）解：由题意得 ， 故答案为：； （2）证明： ， 能被5整除， 能被5整除， 故：比大5的数与的平方差能被5整除． 2．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）运用完全平方公式可以将形如或的多项式进行因式分解，称形如或的多项式为完全平方式．例如，即完全平方式“”中的第三项9恰好等于一次项系数“6”一半的平方．根据这个规律解答下列问题： (1)已知是完全平方式，则___________； (2)已知是完全平方式，则___________； (3)求的最小值． 【答案】(1)16 (2)14或 (3)84 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解题意，熟练运用完全平方公式解决问题是解题的关键． （1）根据题目信息中的完全平方式的特点求解即可； （2）根据题目信息中的完全平方式的特点求解即可； （3）利用完全平方式的特点，将变形为，再根据完全平方式的非负性即可解答． 【详解】（1）解：是完全平方式， ． 故答案为：16． （2）解：是完全平方式，且， 或， 解得：或． 故答案为：14或． （3）解： ， ， ， 的最小值为84， 即的最小值为84． 3．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）观察相应的等式，探究其中的规律： （1）由下列等式 ； ； ； ······ 计算：（ ） （2）根据上面等式的规律，写出一个具有普遍性的结论： 说明理由： ． 【答案】（1）41；（2）结论：，说明理由：见解析． 【分析】（1）计算，可得； （2）设各个数为，则原式=，再适当去括号变形可得． 【详解】解：（1）因为 故答案为：41 （2） 理由：根据已知可设：第一个数为n 则式子= 【点睛】考核知识点：整式乘法和因式分解．掌握整式乘法法则和运用完全平方公式因式分解是关键． 【拓展训练四 因式分解的应用】 1．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）因式分解可以简化一些复杂的计算，如下图，把，，三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则．当时，请利用因式分解计算出U的值． 【答案】 【分析】本题是有关因式分解的应用，首先用提公因式法把进行因式分解，然后代入数值计算解答即可． 【详解】解：因为， 所以． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． （1）将式子分成两组，提出公因式后，先运用完全平方公式，再运用平方差公式计算即可； （2）将式子进行分组，运用提公因式法、平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为，， 所以原式． 3．（25-26八年级上·湖南永州·单元测试）我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数)的形式，则称这个整数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成(a，b是整数)的形式：___________； （2）若可配方成(m，n为常数)，则___________； 【探究问题】 （3）已知，则___________； （4）已知(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值． 【答案】（1），（2），（3），（4） 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式把左边分解因式，再利用非负数的性质可得答案； （4）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； （4）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数． 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）下列各式能用公式法因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式和平方差公式对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、x2+2xy-y2 一、三项不符合完全平方公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误； C、x2+xy-y2中间乘积项不是两底数积的2倍，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误； D、-x2-y2不符合平方差公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，熟记公式结构是求解的关键． 2．（24-25八年级上·湖南常德·期末）下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D．C． 【答案】A 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，根据完全平方公式，逐一验证各选项是否符合公式结构． 【详解】选项A：，故符合； 选项B：，无法通过完全平方公式分解，故不符合； 选项C：，无法通过完全平方公式分解，故不符合； 选项D：，无法通过完全平方公式分解，故不符合； 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如果能被n整除，则n的值可能是　　 A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【分析】两项的底数可以进行转化，25写成5的平方，利用幂的乘方转化后，就可提取公因数进行分解即可解答． 【详解】， 能被n整除，则n的值可能是30， 故选B． 【点睛】本题考查了分解因式在计算中的应用，将所给的式子化成积的形式，关键是将两项的底数转化成相同的． 4．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）将多项式加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分别与各个选项结合看看是否可以分解因式，即可得出答案． 【详解】A.，此选项正确，不符合题意； B.，此选项错误，符合题意； C. ，此选项正确，不符合题意； D. ，此选项正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握公式是解题的关键． 5．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）如图，边长为的长方形的周长为10，面积为6，则的值为（   ） A．60 B．30 C．24 D．15 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，涉及长方形周长公式、面积公式、提公因式法因式分解等知识，先由题意得到，再将提公因式分解因式，将代入求解即可得到答案．熟记长方形周长公式、面积公式、提公因式法因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：边长为的长方形的周长为10，面积为6， ， ， 故选：B． 6．（2025·湖南岳阳·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】套用平方差公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握套用公式分解是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）分解因式： ． 分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．综合运用提公因式法和公式法求解即可． 【详解】解：； ． 故答案为：；． 8．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）则 . 【答案】 【分析】先把每一项利用平方差公式因式分解，进一步约分化简再计算. 【详解】解： 所以 故答案为 【点睛】此题重点考查学生对数字类规律的探索能力，会化简寻找规律是解题的关键. 9．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出个多项式的因式分解： ． 【答案】 【分析】首先用四个图形拼成一个大长方形，根据长方形的面积公式分别求出四个图形的面积与拼出的大长方形的面积，则四个图形面积之和等于大长方形的面积，即可得出答案． 【详解】将四个图形平成一个大长方形，如图所示， 则大长方形的长为 ，宽为， 图形①的面积为：， 图形②的面积为：， 图形③的面积为：， 图形④的面积为：， 大长方形的面积为：， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是数形结合思想的应用，解题的关键是根据四个图形的面积和等于大图形的面积，利用几何的方法得到多项式的因式分解的形式． 10．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，矩形和正方形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据图形可知，图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的大正方形个长为、宽为的长方形面积个边长为的小正方形面积，列式即可． 【详解】解：图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的大正方形个长为、宽为的长方形面积个边长为的小正方形面积， 即：， ∴根据图形写出一个多项式的因式分解为 故答案为：． 11．（25-26八年级上·湖南株洲·随堂练习）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2022 (3)810 【分析】本题考查了因式分解法中提公因式的应用，同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （2）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （3）把最后一项中的因数9表示成，即最后一项化为，利用因式分解法中提公因式的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）因式分解 (1)； (2) ； (3)； (4)（用十字相乘法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了公式法因式分解，即平方差公式和完全平方公式，因式分解的方法，熟练掌握因式分解的各种方法是解题关键． （1）先利用提公因式法运算，再利用平方差公式，即可求解； （2）利用提公因式法即可求解； （3）利用平方差公式和完全平方公式即可求解； （4）利用十字相乘法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（25-26八年级上·湖南株洲·随堂练习）多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”分解因式的公式． 示例：分解因式． 尝试分解因式： (1)________； (2)________； (3)________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法因式分解，理解因式分解——十字相乘法的运算方法是解题的关键． （）仿照例题方法分解因式即可； （）仿照例题方法分解因式即可； （）把看成整体，然后仿照例题方法分解因式即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 【答案】(1)①1；②1；③9；④9 (2)①；② 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为与4的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以①，②， ：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以③，④． 故答案为：①1；②1；③9；④9； （2）解：①原式=； ②原式． 15．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（）利用分组分解法因式分解即可； （）利用分组分解法因式分解可得，即得到，，进而得到，即可判断求解； 本题考查了因式分解及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得， ∴是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 公式法重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 判断能否用公式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 实数范围内分解因式 题型七 十字相乘法 题型八 分组分解法 拓展训练一 因式分解在有理数简算中的应用 拓展训练二 因式分解新定义运算 拓展训练三 因式分解规律计算 拓展训练四 因式分解的应用 知识点一： 分组分解法 基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）因式分解＝ ． 知识点二： 十字相乘法 基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）把多项式分解因式，其结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）分解因式：x2﹣5x+6＝ ． 知识点三： 因式分解的平方差公式 基本概念：由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式. 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖南株洲·课堂例题）多项式分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）分解因式： 知识点四： 因式分解的完全平方公式 基本概念：由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）已知可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为 ． 【经典例题一 判断能否用公式法分解因式】 【例1】（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·湖南湘潭·模拟预测）在实数范围内把二次三项式x2+x﹣1分解因式正确的是（　　） A．（x﹣）（x﹣） B．（x﹣）（x+） C．（x+）（x﹣） D．（x+）（x+） 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·单元测试）在多项式①﹣m2+9；②﹣m2﹣9；③2ab﹣a2﹣b2；④a2﹣b2+2ab；⑤（a+b）2﹣10（a+b）+25中，能用平方差公式因式分解的有 ；能用完全平方公式因式分解的有 （填序号）． 4．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，求下列各式的值． （1）x2＋2xy＋y2； （2）x2－y2 【经典例题二 平方差公式分解因式】 【例2】（24-25八年级上·湖南株洲·期中）下列因式分解中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）分解因式 ． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）已知a，b满足方程组，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）观察下列算式，完成问题： 算式①：， 算式②：， 算式③：， 算式④：， … (1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：______； (2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立． 【经典例题三 完全平方公式分解因式】 【例3】（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）对于下列整式：，，，，，．其中能表示成完全平方式的个数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）因式分解： ． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）已知a，b，c为三边的长，当时，则的形状是 ． 4．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习） 利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题： (1)因式分解： ． (2)填空： ①当时，代数式 ．②当 时，代数式． (3)拓展与应用：求代数式的最小值． 【经典例题四 综合运用公式法分解因式】 【例4】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）把分解因式，结果正确的是（   ） A．y（x2-4） B．y（x+4）（x-4） C．y（x+2）（x-2） D． 1．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）无论、取何值，多项式的值总是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定 2．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）因式分解： ． 3．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）请直接写出最终结果． ①因式分解： ②因式分解： ． 4．（25-26八年级上·湖南株洲·课后作业）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【经典例题五 综合提公因式和公式法分解因式】 【例5】（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）分解因式，正确的步骤是（   ） A．先提公因式，再用平方差公式： B．直接用平方差公式： C．先提公因式，再用完全平方公式： D．不能分解 1．（24-25八年级上·湖南常德·阶段练习）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）把多项式分解因式的结果是 ． 3．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为 ． 4．（24-25八年级上·湖南常德·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． (1)直接判断：36_______神秘数；（填“是”或“不是”） (2)设两个连续偶数为和(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由； (3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数； ②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由． 【经典例题六 实数范围内分解因式】 【例6】（2025·湖南张家界·模拟预测）下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）在实数范围内分解因式： ． 2．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）在实数范围内因式分解： ． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【经典例题七 十字相乘法】 【例7】（24-25八年级上·湖南永州·期中）已知是因式分解的结果，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）分解因式 ． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）通过计算几何图形的面积，可得到一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式: ． 4．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． ①；②． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． 【经典例题八 分组分解法】 【例8】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）已知实数m，n，p，q满足，，则（    ） A．48 B．36 C．96 D．无法计算 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）分解因式：＝ ． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·课后作业）阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（1） . （2） . 试用上述方法分解因式 . 4．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）已知的三边长、、都是正整数，满足，求的周长． 【拓展训练一 因式分解在有理数简算中的应用】 1．（24-25八年级上·湖南益阳·阶段练习）小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（　　） A． B．4043 C． D．1 2．（24-25八年级上·湖南株洲·单元测试）如果对于大于1的整数w，存在两个正整数x，y，使得w＝x2－y2，那么这个数w叫做智慧数．把所有的智慧数按从小到大排列，那么第2 016个智慧数是 ． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下： 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 【拓展训练二 因式分解新定义运算】 1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）对于两个有理数、，定义一种新的运算：，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南株洲·模拟预测）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：，，，因此8，16，24都是“登高数”，求不超过2024的所有“登高数”的和 ． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）定义：任意两个数，b，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“求实数”． （1）若＝3，b ＝－2，求出，b的“求实数”； （2）如果＝m﹣4，b＝﹣m，求，b的“求实数”，并证明：无论m取何值时“求实数”总是非正数； （3）已知＝（x≠0），且，b的“求实数”＝，请用含x的式子表示b． 【拓展训练三 因式分解规律计算】 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的__________倍； (2)设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除． 2．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）运用完全平方公式可以将形如或的多项式进行因式分解，称形如或的多项式为完全平方式．例如，即完全平方式“”中的第三项9恰好等于一次项系数“6”一半的平方．根据这个规律解答下列问题： (1)已知是完全平方式，则___________； (2)已知是完全平方式，则___________； (3)求的最小值． 3．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）观察相应的等式，探究其中的规律： （1）由下列等式 ； ； ； ······ 计算：（ ） （2）根据上面等式的规律，写出一个具有普遍性的结论： 说明理由： ． 【拓展训练四 因式分解的应用】 1．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）因式分解可以简化一些复杂的计算，如下图，把，，三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则．当时，请利用因式分解计算出U的值． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 3．（25-26八年级上·湖南永州·单元测试）我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数)的形式，则称这个整数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成(a，b是整数)的形式：___________； （2）若可配方成(m，n为常数)，则___________； 【探究问题】 （3）已知，则___________； （4）已知(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值． 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）下列各式能用公式法因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南常德·期末）下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D．C． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如果能被n整除，则n的值可能是　　 A．20 B．30 C．35 D．40 4．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）将多项式加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）如图，边长为的长方形的周长为10，面积为6，则的值为（   ） A．60 B．30 C．24 D．15 6．（2025·湖南岳阳·模拟预测）分解因式： ． 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）分解因式： ． 分解因式： ． 8．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）则 . 9．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出个多项式的因式分解： ． 10．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解 ． 11．（25-26八年级上·湖南株洲·随堂练习）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）因式分解 (1)； (2) ； (3)； (4)（用十字相乘法）． 13．（25-26八年级上·湖南株洲·随堂练习）多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”分解因式的公式． 示例：分解因式． 尝试分解因式： (1)________； (2)________； (3)________． 14．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 15．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$