精品解析：安徽省安庆市岳西县岳西南部部分学校联考2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

岳西县南部部分学校联考2025-2026学年九年级年级上学期开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件得出，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 故选：D． 2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意； B．是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意； 故选B． 3. 一次函数的图象经过（ ） A. 第一、三、四象限 B. 第一、二、三象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．熟练掌握一次函数的图象与系数的关系，是解题的关键． 根据一次函数的增减性质与k符号的关系，与y轴交点和b符号的关系解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴函数图象经过第一、三象限， ∵， ∴函数图象与y轴负半轴相交， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：A． 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值可能为（　　） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有两个不相等的实数根时，对应的判别式大于0是解题的关键． 根据方程有两个不相等的实数根时，对应的判别式大于0，可得关于m的不等式，求出m的范围再结合选项即可得解，注意m的取值要满足二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且 解得，； ∴实数的取值可能为； 故选：B． 5. 如图，在长，宽的矩形花园中，欲修宽度相等的小路（阴影部分），要使小路面积占总面积的．则路宽应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．正确的识图，列出一元二次方程，是解题的关键． 根据题意，空白部分的面积占到总面积的，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：． 故选D． 6. 如图，在四边形中，，点O为对角线的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，解题关键是掌握勾股定理． 先利用直角三角形斜边上的中线的性质求得，再利用勾股定理求得． 【详解】解：∵，点O为对角线的中点， ∴， ∵，， ， ， 故选：B． 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C. 四边都相等的四边形是正方形 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，根据平行四边形、菱形、正方形的判定定理逐一分析选项，找出不正确的说法，即可求解． 【详解】解：A． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形必为菱形，故A正确． B． 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．若一组对边平行且对角相等，可推导出另一组对边也平行（同旁内角互补），满足平行四边形定义，故B正确． C． 四边都相等的四边形是正方形．四边相等的四边形是菱形，但菱形需满足一个角为直角或对角线相等才是正方形，仅四边相等无法直接判定为正方形，故C错误． D． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．根据平行四边形判定定理，两组对角相等可推出两组对边分别平行，故D正确． 综上，不正确的是选项C． 故选：C． 8. 定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决． 【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0， ∴． 整理得，． ∵方程有两个实数根， ∴判别式且． 由得，， 解得，． ∴k的取值范围是且． 故选：C 【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视． 9. 如图，若四边形是矩形，，，点是上的一个动点，点为上的动点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 作点A关于的对称点F，连接交于M，过点F作于H．根据题意得出当P，E落在FH上时，的值最小，再由矩形的性质及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点F，连接交于M，过点F作于H． ∵， ∴， ∵， ∴当P，E落在FH上时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 10. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，得；但二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，则，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，而图中对称轴是y轴,故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若数据10， 8， a， 12， 9的平均数是10， 则这组数据的方差是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查方差和平均数，掌握平均数和方差的计算方法成为解题的关键． 先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可． 【详解】解：∵数据10， 8， a， 12， 9的平均数是10， ∴，解得：， ∴这组数据的方差是． 故答案为2． 12. 如图，在中，，为边上一点，且满足，若的面积为24，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方． 先根据面积公式求，再利用勾股定理求出，据此求解． 【详解】∵，， ∴， ∴ 在中，，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 13. 已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，则的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．已知可能是底，也可能是腰，分两种情况求得，的值后，可得结论． 【详解】解：若为底边，设，为腰长，则，则， ， 解得：， 此时原方程化为， ，即， 此时三边为，，能构成三角形， ； 若，则或，即方程有一根为， 把代入方程，得， 解得：， 此时方程为， 解得：，， 方程另一根为， 、、能构成三角形， ，综上，的值为或， 故答案为：或． 14. 如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且E，F两点关于对角线所在的直线对称，连接． （1）的度数是_______； （2）若对角线交于点，则线段的长是______． 【答案】 ①. ##15度 ②. 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质可得，由正方形的性质可得，，可证明得到，再由角的和差关系即可得到答案； （2）由轴对称的性质可得，，则由勾股定理可得，证明是等边三角形，得到，， 则． 【详解】解：（1），F两点关于对角线所在的直线对称， ． 四边形为正方形， ，， ， ， ∵， ， 故答案为；． （2），F两点关于对角线所在的直线对称， ∴，， ∵， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题直接根据因式分解法即可求解． 【详解】解：， ， 或 解得，． 16. 已知一次函数的图象经过点和点，求这个函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求一次函数的解析式． 【详解】解：设所求函数的解析式为， 依题意得：， 解得， ∴函数的解析式为． 17. 已知：如图，在平行四边形中，点、为对角线上两点，且求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】证明，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． 18. 如图，，两点在的正方形网格的格点上，其中网格中每一小格为1． （1）在网格内，以线段为边画一个菱形（不能是正方形，且，在格点上）； （2）①直接填空：菱形的面积是 ； ②直线与之间的距离是 ． 【答案】（1） 菱形即为所求； （2）①6；② 【解析】 【分析】此题考查作图——应用与设计作图，菱形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据菱形的判定四条边相等作图即可； （2）①根据图形得出对角线长为，，再根据菱形的面积公式即可得出答案； ②设直线与之间的距离是h，根据勾股定理求出，再根据面积法求出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵，， ∴菱形的面积是； ②设直线与之间的距离是h， ∵， ∴，即， ∴． 19. 某公司实行年薪工资制，职工的年薪工资由基本工资、工龄工资和岗位工资三项组成，具体规定如下： 项目 第一年的工资(万元) 一年后的计算方法 基本工资 2 每年增长率相同 工龄工资 每年增加万元 岗位工资 固定不变 （1）设基本工资每年增长率为x，用含x的代数式表示第三年的基本工资为 ； （2）某人在公司工作了3年，他这3年拿到的工龄工资和岗位工资的和正好是他这3年基本工资总额的，求基本工资每年的增长率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题成为解题的关键． （1）依题意，已知基本工资每年的增长率为x，那么第三年的工资为； （2）根据图表可知工龄工资与岗位工资，算出三年的费用后列出等式可求解． 【小问1详解】 解：由已知基本工资每年的增长率为x，则第三年的基本工资为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意可得： ， 解得：（不合题意，舍去）． 答：基础工资每年的增长率为． 20. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克， ①求m的取值范围． ②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）节后每千克A粽子的进价为10元 （2）①；②节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式． （1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用480元购进A粽子的数是节后用200元购进的数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）①设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据总费用不超过4600元，列出不等式，解不等式即可； ②设获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，根据m的范围，一次函数函数增减性，求出最大利润即可． 【小问1详解】 解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合实际， 答：节后每千克A粽子的进价为10元． 【小问2详解】 解：①设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据题意得： ， 解得：； ②获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∵， ∴当时，w取最大值，且最大值为：， 答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元． 21. 某校深入开展了以“珍爱生命 谨防溺水”为主题的安全教育活动，并在九年级举办了防溺水知识竞赛，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，，，） 九年级（1）班名学生的成绩是：，，，，，，，，， 九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是：，， 通过数据分析，结果如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 九年级（2）班 九年级（2）班学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述、、的值： ， ， ； （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． （3）九年级两个班共有人参加了此次活动，估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 【答案】（1），， （2） 这次比赛，学校会选派九年级（1）班， ，且两班的平均数相同， 九年级（1）班成绩更稳定， 学校会选派九年级（1）班； （3）人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，平均数，中位数，众数，方差，用样本估计总体，理解相关统计量的意义，能从统计图中获取有用数据是解题的关键； （1）先求出组所占百分比，再将减去其他三组所占百分比，即可求出的值；根据中位数和众数的概念即可确定，的值； （2）根据方差的意义即可判断会选派哪一个班级； （3）用样本估计总体的思想即可解决问题． 【小问1详解】 解：组占， ， ， ∵九年级（2）班名学生的成绩A组有（人），B组有（人）， 九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是：，， ∴第5名和第6名的成绩为92，94， ， 九年级（1）班名学生的成绩中，出现两次，是出现最多的数据， ； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）， 答：估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数为人． 22. 如图，已知四边形是正方形，点（不与点重合）是对角线上一个动点． （1）如图①，连接，求证：； （2）如图②，连接，过点作交线段于点，连接．求的度数； （3）如图③，连接，过点作交线段于点，在点的运动过程中，请直接写出线段，，的数量关系______． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， 又， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再加上公共边即可用判定； （2）过点作于，于，证四边形是正方形，得到，再用判定，得到，推出是等腰直角三角形即可解决问题； （3）过点作于，的延长线交于，于，根据（2）中的结论，由等腰直角推出与的关系，判定四边形是矩形，得到与、、的关系，即可推出线段，，的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，过点作于，于， ， 四边形是矩形， 平分，于，于， ， 矩形是正方形， ， ， ， ， 又， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ； 【小问3详解】 解：如图③，过点作于，的延长线交于，于， 由（2）可知四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， 又， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图1， 点E，F是正方形边上的点，连接，将和分别沿对折，点A、点C交于对角线上一点 P． （1）的度数为 °； （2）如图2，过点P作边的垂线， 分别交于点M、N、H， 求证：四边形是菱形． （3）如图3， 连接，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：由翻折知，， ， ∴， ∵四边形为正方形， ，， ， ， 又， ， 又， ， 又是等腰直角三角形， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵分别沿折叠得到， ∴， 四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质与折叠的性质即可解答； （2）由翻折知，，， ，结合四边形为正方形，易证，再证明，结合是等腰直角三角形，进而证明四边形是平行四边形，由翻折易证，进而证明结论； （3）设，则，，即；再根据等腰直角三角形的判定与性质以及直角三角形的性质可得、，即，再证明四边形是矩形可得，然后根据勾股定理求得，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵将和分别沿对折，点A、点C交于对角线上一点 P． ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则，， ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岳西县南部部分学校联考2025-2026学年九年级年级上学期开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数的图象经过（ ） A. 第一、三、四象限 B. 第一、二、三象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值可能为（　　） A. B. C. D. 0 5. 如图，在长，宽的矩形花园中，欲修宽度相等的小路（阴影部分），要使小路面积占总面积的．则路宽应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，点O为对角线的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C. 四边都相等的四边形是正方形 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 8. 定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 9. 如图，若四边形是矩形，，，点是上的一个动点，点为上的动点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 10. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若数据10， 8， a， 12， 9的平均数是10， 则这组数据的方差是__________． 12. 如图，在中，，为边上一点，且满足，若的面积为24，则的长为_______． 13. 已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，则的值是______． 14. 如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且E，F两点关于对角线所在的直线对称，连接． （1）的度数是_______； （2）若对角线交于点，则线段的长是______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 16. 已知一次函数的图象经过点和点，求这个函数的解析式． 17. 已知：如图，在平行四边形中，点、为对角线上两点，且求证：． 18. 如图，，两点在的正方形网格的格点上，其中网格中每一小格为1． （1）在网格内，以线段为边画一个菱形（不能是正方形，且，在格点上）； （2）①直接填空：菱形的面积是 ； ②直线与之间的距离是 ． 19. 某公司实行年薪工资制，职工的年薪工资由基本工资、工龄工资和岗位工资三项组成，具体规定如下： 项目 第一年的工资(万元) 一年后的计算方法 基本工资 2 每年增长率相同 工龄工资 每年增加万元 岗位工资 固定不变 （1）设基本工资每年增长率为x，用含x的代数式表示第三年的基本工资为 ； （2）某人在公司工作了3年，他这3年拿到的工龄工资和岗位工资的和正好是他这3年基本工资总额的，求基本工资每年的增长率是多少？ 20. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克， ①求m的取值范围． ②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 21. 某校深入开展了以“珍爱生命 谨防溺水”为主题的安全教育活动，并在九年级举办了防溺水知识竞赛，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，，，） 九年级（1）班名学生的成绩是：，，，，，，，，， 九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是：，， 通过数据分析，结果如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 九年级（2）班 九年级（2）班学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述、、的值： ， ， ； （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． （3）九年级两个班共有人参加了此次活动，估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 22. 如图，已知四边形是正方形，点（不与点重合）是对角线上一个动点． （1）如图①，连接，求证：； （2）如图②，连接，过点作交线段于点，连接．求的度数； （3）如图③，连接，过点作交线段于点，在点的运动过程中，请直接写出线段，，的数量关系______． 23. 如图1， 点E，F是正方形边上的点，连接，将和分别沿对折，点A、点C交于对角线上一点 P． （1）的度数为 °； （2）如图2，过点P作边的垂线， 分别交于点M、N、H， 求证：四边形是菱形． （3）如图3， 连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $