第一章 勾股定理回顾与思考课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 回顾与思考 义务教育教科书 数学 八年级上册 如图，在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，a2+ b2=c2。 知识结构梳理 （1）直角三角形的边、角之间分别存在怎样的关系？ 下列各组数中，是勾股数的是（　　）。 A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，12 D．10，20，24 已知，在△ABC中，AB=k，AC=k − 1，BC=3，当k= 时，∠C=90°。 知识结构梳理 （2）举例说明如何判断一个三角形是否为直角三角形。 知识结构梳理 （3）请你举出一个生活中的实际问题，并运用勾股定理解决它。 如图，有一个长、宽都是4 m，高为6 m的长方体形纸盒，一只蚂蚁沿盒的外表面从点A处爬到点B处，那么这只蚂蚁爬行的最短路程为（　　）。 A．6 m B．8 m C．10 m D．12 m （4）你了解勾股定理的历史吗？请查阅资料，并与同伴进行交流。 知识结构梳理 （5）梳理探索勾股定理的方法，你积累了哪些经验？ 知识结构梳理 以下是本章内容结构的一个参考框图。 知识结构梳理 例1 如图，方格纸中每个小方格的边长均为1cm，一只蚂蚁沿图中所示的折线由点A处爬到了点D处，它一共爬行了多少厘米？ 典例分析 例2 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）。已知大正方形的边长为10，直角三角形的两条直角边的比是3：4，求小正方形的边长。 解：设直角三角形的两条直角边的长分别为3x和4x，大正方形边长为10，即直角三角形斜边的长为10。 由勾股定理，可得102＝(3x)2+(4x)2。 解得x＝2。 所以，直角三角形的两条直角边分别是6，8。 可得8−6＝2。 因此，小正方形的边长为2。 典例分析 变式1 在△ABC 中，∠C=90°，BC:AC=3:4，AB=10，求△ABC 的面积。 变式2 在△ABC 中，∠C=90°，BC:AC=3:4， △ABC 的周长为12，求△ABC 的面积。 变式3 在△ABC 中，三条边长度的比3:4:5， △ABC 的周长为48，求△ABC 的面积。 典例分析 例3 如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）装有水，点A是圆柱下底面外壁的一点，点B是上底面外壁与点A相对的一点，在点B正下方的水面紧贴内壁G 处有一食物。 （1）若圆柱高为9 cm，底面半径为6 cm，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度。 （2）若圆柱高为9 cm，底面半径为 cm，水深2 cm，一只蚂蚁在点A处。 ① 蚂蚁从点A处沿圆柱侧面外壁爬行到点B处，求它爬行的最短路程； ② 蚂蚁从点A处出发，求它吃到食物需要爬行的最短路程。 典例分析 解：（1）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=9 cm， AC=2×6=12 cm，根据勾股定理，可得AB2=AC2+BC2=122+92=225=152。 所以AB=15 cm。 因此，该容器内能放入木棒的最大长度是15 cm。 典例分析 例3 如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）装有水，点A是圆柱下底面外壁的一点，点B是上底面外壁与点A相对的一点，在点B正下方的水面紧贴内壁G 处有一食物。 （1）若圆柱高为9 cm，底面半径为6 cm，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度。 解：画出圆柱体的侧面展开图。如图，AC长为底面半周长。 ① 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9 cm，AC==12 cm。 根据勾股定理，可得 AB2=AC2+BC2=122+92=225=152。 所以AB=15 cm。 因此，蚂蚁从点A处沿圆柱侧面外壁爬行到点B处的最短路程是15 cm。 （2）若圆柱高为9 cm，底面半径为 cm，水深2 cm，一只蚂蚁在点A处。 ① 蚂蚁从点A处沿圆柱侧面外壁爬行到点B处，求它爬行的最短路程。 典例分析 解：如图，作点A关于BD的对称点A′，连接A′G，交BD于点Q，可知蚂蚁沿着A→Q →G 的路线爬行时，路程最短。 在Rt△A′EG 中，A′E=18 − 2=16 cm，EG= =12 cm， 根据勾股定理，可得 A′G2 =A′E2+EG2 =162+122 =400=202，即A′G=20 cm。 所以AQ+QG=A′Q+QG =A′G =20 cm。 因此，蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程是20 cm。 典例分析 ② 蚂蚁从点A处出发，求它吃到食物需要爬行的最短路程。 （2）若圆柱高为9 cm，底面半径为 cm，水深2 cm，一只蚂蚁在点A处。 例4 勾股定理的证明方法多样，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理。下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程。 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2。 拓展提升 证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b − a， ∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab， 又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a(b − a) ， ∴b2+ab＝c2+a(b − a) 。∴a2+b2＝c2。 图1 图2 请参照上述证法，完成下面的证明。 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°。 求证：a2+b2＝c2。 证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b − a， ∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab， 又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝abc2+a(b − a)， ∴ ab+b2+ab＝abc2+a(b − a)。 ∴ a2+b2＝c2。 拓展提升 图2 F 1. 你在学习过程中是否积极参与？是否与同伴进行了有效的合作交流？ 2. 你在梳理本章知识的过程中，积累了哪些经验？与同伴进行分享。 交流小结 1.教科书复习题第2，6，9，11题。 2. 补充题：如图，在△ABC中，AB=13 cm，AC=5 cm，BC 边上的中线AD=6 cm，求以BC为边长的正方形的面积。 3.查阅资料，完成一份关于勾股定理的历史的报告。 课后作业 D B C A 谢谢 $$