7.2认识证明 课件2025-2026学年北师大版数学八年级上册

义务教育教科书 数学 八年级上册 第七章 证明 2 认识证明（第1课时） 1 情境引入 教师：随着时代的发展，电脑逐渐走进我们的生活，一天小明与小华正在公交车上聊天。 小明说：“……”，小华说：“……”。 小明说：“你知道吗？这个黑客终于被逮住了。” 坐在旁边的乘客一边听着他们的谈话，一边悄悄议论着，一人说“这黑客是个小偷吧？” 另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼。” 两位同学听后笑了，旁边两个人的概念不清楚，“黑客”其实是电脑中的专用术语。 2 例如： “具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义； “两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义； “无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义； “有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定义。 你能列举出一些学过的定义吗？ 活动探究 为了进行有理有据的证明，必须对某些名称和术语形成共同的认识。为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。 3 下列语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？ （1）任何一个三角形一定有一个角是直角； （2）对顶角相等； （3）无论n为怎样的自然数，式子n2－n＋11的值都是质数； （4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （5）你喜欢数学吗？ （6）作线段AB＝CD。 答：（1）（2）（3）（4）对事情进行了判断, （5）（6）没有对事情作出判断。 活动探究 【尝试·思考】 4 2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。 注意： 1.只要对一件事情作出了判断，不管判断正确与否，都是命题。 判断一件事情的句子，叫作命题。例如，上面“尝试·思考”中的语句（1）（2）（3）（4）对事情进行了判断, 都是命题。 如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。例如，上面“尝试·思考”中的语句（5）（6）都不是命题。 活动探究 5 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？其他命题是否也有这样的结构特征呢？与同伴进行交流。 （1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等； （2）如果a＝b，那么a2＝b2； （3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。 这些命题都可以写成“如果……，那么……”的形式。 活动探究 【思考·交流】 6 一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。 命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。 活动探究 7 指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？ （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果a≠b，b≠c，那么a≠c； （3）全等三角形的面积相等； （4）三角形三个内角的和等于180°。 活动探究 【尝试·思考】 8 指出下列各命题的条件和结论，并通过反例说明其中的假命题。 （1）在同一年内，如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一； （2）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （3）如果 ，那么x＝4； （4）两个锐角之和一定是钝角； （5）如果x2＞0，那么x＞0； （6）两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等。 巩固练习 9 说说本节课你学到了什么？ 1.什么是定义？什么是命题？ 2.如何寻找命题的条件和结论？ 3.如何判断一个命题是假命题？ 课堂小结 10 1.基础性作业：习题7.2 第2，6题。 2.拓展性作业：按小组搜集八年级数学教材中新学的部分定义、命题。 布置作业 11 $$ 第七章 证明 2 认识证明（第2课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 1 1.相等的角是对顶角。 2.对顶角相等。 说出下列两个命题的条件和结论，并判断下列两个命题的真假，说说你的理由。 复习引入 举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢? 2 复习引入 用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法。 这些方法往往不可靠。 能不能根据已经知道 的真命题证实呢? 哦……那可怎 么办? 那已经知道的真命题 又是如何证实的? 3 在证明一个观点或结论正确时，人们常常是通过“因为A正确，所以B正确”来证明。 同学们是否想过，A正确又是因为什么？源头在哪里？如何确定证明的起点？ 合作交流 如何证明对顶角相等？ 4 合作交流 其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（约前330—前275）编写了一本书，书名为《原本》。为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理。除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。 5 演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理。每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。 合作交流 6 在几何证明中，哪些内容可以作为证明的依据呢？ 1.定义 2.图形的性质 3.定理（已经证明的真命题） 4.数与式的运算律和运算法则 5.反映大小关系的有关性质 合作交流 7 本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条： 1.两点确定一条直线。 2.两点之间线段最短。 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 8.三边分别相等的两个三角形全等。 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）。 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 合作交流 8 定理 同角（或等角）的补角相等。 定理 同角（或等角）的余角相等。 定理 三角形的任意两边之和大于第三边。 新课讲授 9 例1 证明：同角（或等角）的补角相等。 （1）该命题的条件和结论分别是什么？ （2）已知的是什么？要求证的是什么？ （3）如何利用已学知识证明该命题？ 新课讲授 10 我们可以用该定理证明“对顶角相等”。 已知：∠A＝∠B，∠C，∠D分别是∠A，∠B的补角。 求证：∠C＝∠D。 证明：∵∠C，∠D分别是∠A，∠B的补角（已知）， ∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°（互补的定义）。 又∵∠A＝∠B（已知）， ∴∠C＝∠D（等量代换）。 定理：同角（或等角）的补角相等。 新课讲授 例1 证明：同角（或等角）的补角相等。 11 （1）该命题的条件和结论是什么？ （2）图形怎样画？ （3）我们该如何写出已知，求证呢？ （4）请参考上一例题并尝试证明。 新课讲授 例2 证明： 对顶角相等。 12 已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。 求证：∠AOC＝∠BOD。 证明：∵直线AB与直线CD相交于点O， ∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）。 ∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）。 ∴∠AOC＝∠BOD （同角的补角相等）。 定理：对顶角相等 新课讲授 例2 证明： 对顶角相等。 分析：在基本事实和已证定理中，哪些结论可以判定两个角相等？ 13 证明命题的一般步骤: 1.分析命题的条件和结论。 2.画出图形，用符号语言写出已知、求证。 3.利用所学知识，运用符号语言条理清晰地写出证明过程。 新课讲授 14 请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明。 已知：如图，△ABC的三条边分别为AB、AC、BC 。 求证：AB＋AC＞BC； AB＋BC ＞AC； AC＋BC＞AB。 证明：∵BC是以点B、点C为端点的线段， ∴AB＋AC＞BC（两点之间线段最短）。 同理，得AB＋BC ＞AC； AC＋BC ＞AB。 ∴三角形的任意两边之和大于第三边。 练习巩固 15 1.如何验证一个命题是真命题？ 2.在数学推理和证明中，可以作为推理依据的内容有哪些？ 3.八条基本事实有哪些？ 4.证明命题的一般步骤是什么？ 5.通过本节课的学习，你还有什么疑惑？ 课堂小结 16 1.基础性作业：习题7.2第5题。 2.拓展性作业：习题7.2第8题。 布置作业 17 $$