重难点专题01 认识证明（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“命题-证明-推理”为逻辑主线，通过分步拆解+方法提炼构建完整证明体系，强化推理意识与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |命题|5重难点（含11道区域期末题）|判断命题“句式+真假”双标准、拆分题设结论“如果那么”转化法、反例构造“满足题设+违背结论”原则|从命题概念（判断标准）到结构分析（题设与结论），再到真假验证（证明/反例），形成概念认知闭环| |证明|5重难点（含公理辨析/代数证明等）|定理应用“因果对应”法、代数证明“通用推导”原则、证明过程“步步有据”书写规范|以定理公理为基础，通过代数推理与几何证明训练，建立逻辑推导链条| |推理与论证|3重难点（含几何/代数/逻辑推理）|几何推理“条件标注+逆向倒推”法、代数推理“式子变形+数量关系梳理”法|综合命题与证明知识，通过跨情境推理（密码问题/赛事积分等）提升应用意识|

重难点专题01 认识证明 模块一、命题 重难点一、判断是否是命题 判断命题核心看两点：语句是不是陈述句，能否明确判断真假。疑问句、感叹句、祈使句都不属于命题。做题先过滤句式，再看结果是否有确定对错。不要被含有变量的句子迷惑，只要无法判定真假，就不是命题。做题时圈画句子类型，避开 “是不是？” 这类问句陷阱，快速完成筛选判断。 1．（25-26七年级下·吉林·期末）下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）下列语言叙述是命题的是（     ） A．《给阿嬷的情书》是一部非常感人的电影． B．你喜欢长沙吗？ C．赶紧去学习！ D．画一条端点为的射线． 3．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）下列语句表示命题的是（     ） A．作的平分线 B．内错角不相等 C．直角都相等吗 D．画一条线段 4．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）下列语句中，是命题的是（     ） A．宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一 B．你喜欢旅游吗 C．吃饭的时候不要说话 D．过点A画一条与直线垂直的直线 5．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有______（填序号）． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 重难点二、写出命题的题设与结论 拆分命题，先把句子改写为 “如果…… 那么……” 形式，“如果” 后面是题设，“那么” 后面是结论。部分命题语句会省略关联词，需要自己补全，不要直接摘抄原句。拆分时注意不要改动条件、结论本身含义，分清已知条件和推出结果，防止把结论混入题设，写完可反向读一遍核验逻辑。 1．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 2．（21-22七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 3．（25-26七年级下·上海·期末）将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 4．（25-26七年级下·广东江门·期中）将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 重难点三、判断命题真假 真命题需要完整推理证明成立；假命题不需要全盘推翻，找到一处反例即可否定。做题不要凭主观感觉，遇到代数命题代入数值检验，几何命题画图分析。遇到复杂命题，先拆解条件，看条件是否能必然推出结果。只要存在一种不成立的情况，该命题就是假命题。 1．（25-26七年级下·山东滨州·期末）下列命题中是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．（25-26七年级下·云南昆明·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．1的立方根是 B．点在x轴上 C．内错角相等，两直线平行 D．相等的角是对顶角 3．（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）下列命题中，是真命题的是（     ） A．如果直线与相交，直线与相交，那么直线与相交 B．两个锐角互余 C．的算术平方根是 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 4．（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）对于下列四个命题： ①如果有两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ②如果和是对顶角，那么 ③一个角的余角一定小于这个角的补角 ④如果和互余，与的余角互补，那么和互补 真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（25-26七年级下·福建福州·期末）下列命题：①相等的角是对顶角；②三角形的三条高线交于一点；③三角形的重心是三条角平分线的交点；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中真命题有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下面四个命题： ①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ②一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； ③两个无理数的和一定是无理数； ④两个无理数的积一定是无理数． 其中真命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（25-26七年级下·云南德宏·期末）如果，，那么．此命题是______命题（填“真”或“假”）． 8．（24-25七年级下·河北唐山·期末）如果是整数，那么是偶数，其中题设是____________，结论是____________，这是____________命题（填真或假） 9．（24-25七年级下·浙江台州·开学考试）下列命题：相等的角都是对顶角；不小于直角的角是锐角；若，则或；若，则．其中属于真命题的是______． 10．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）下列命题中，是真命题的是______________．（填序号） ①相等的角是对顶角． ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． ③用根号表示的数都是无理数． 11．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成：如果______，那么______，这个命题的条件是______，结论______； (2)这个命题是______（填真命题或假命题），请说明理由． 重难点四、举例说明假(真)命题 举实例时，真命题举例只能辅助理解，不能当作证明依据。假命题举例优先找贴合命题条件，但结果不满足结论的例子。代数类直接代入数字，几何类画出对应反例图形。举例要简洁典型，不要选用特殊极端无意义案例，写完核对：例子必须满足题设，却不满足结论。 1．（25-26七年级下·广东汕头·期末）要说明命题“两个数相加，和一定大于或等于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京石景山·期末）能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 3．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）举反例证明“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24九年级上·重庆·期中）在多项式中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如，选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第轮“加括号操作”．以下说法： 存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； 总存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； 对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果．其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2026·四川广元·中考真题）说明命题“如果为实数，那么”是假命题的的值可以为__________．（写一个即可） 7．（25-26七年级下·北京密云·期末）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数、的值为______，______． 8．（25-26八年级下·北京·期末）已知命题“点，在一次函数（）的图象上，若，则”．请写出能说明为假命题的一组，的值：__________，__________． 9．（25-26七年级下·上海普陀·期末）“互为补角的两个角中一定有一个钝角”是假命题，请举出一个反例：___________． 重难点五、举反例 举反例是反驳假命题专用方法，核心：满足题设，违背结论。做题切忌举不满足条件的例子，这样的反例无效。代数题优先选 0、负数、分数这类特殊值；几何题构造特殊图形。写完两步自查：①是否符合命题给出条件；②是否和命题结论冲突，两项同时满足才是有效反例。 1．（25-26七年级下·陕西安康·期末）下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）要证明命题“任何数的平方都大于”是假命题的反例只能是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·福建宁德·二模）下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（26-27八年级上·山东聊城·开学考试）能说明“若，则”是假命题的一个反例是___________．（写出一个即可） 6．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____． 7．（25-26七年级下·北京房山·期末）用一组，，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是__________、__________、__________． 8．（2026·北京海淀·一模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为 模块二、证明 重难点一、定理与证明 定理是经过推理证实的真命题，可以直接作为证明依据。做题区分公理、定理、定义，不能把题目条件直接当成定理使用。书写证明，每一步推导都要有对应的理论依据，不能凭空得出结论。做题梳理因果关系，条件推结论要严谨，不跳关键步骤，避免主观臆断，保证逻辑链条完整闭环。 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 3．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列能作为证明依据的是(     ) A．已知条件 B．定义和基本事实 C．定理和推论 D．以上三项都可以 重难点二、代数问题证明 代数类证明题，优先梳理已知数字条件，合理运用代数性质。不要靠代入几个数值就直接下结论，特例不能代替完整证明。看清求证目标，围绕目标变形式子。书写步骤条理清晰，每一步变形写明依据。如果要证命题为假，寻找反例即可；要证为真，则需要通用推导，不能只靠个别数字验证。 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）证明：两个奇数之和是偶数． 2．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）证明命题 说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 重难点三、写出一个命题的已知、求证及证明过程 先把文字命题转化为数学符号语言。已知抄写命题题设，求证书写需要推出的结论。几何命题建议配合画图，标注对应字母。证明过程步步有据，引用定理、公理，不跳步。写完逆向检查：由已知条件，是否能顺理推出求证结果，杜绝条件和推导脱节，逻辑不能出现漏洞。 1．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段检测）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）命题证明，求证：等腰三角形两个底角的角平分线相等． （根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程） 已知： 求证： 证明： 重难点四、已知证明过程填写理论依据 做填依据题型，先看清这一步是由什么式子得到的，再匹配对应定理、公理、定义。不要写题目给出的已知条件当作推导依据。熟悉课本常用定理表述，用词规范。观察前后步骤变化，代数看式子变形规则，几何看图形关系。做完回看，确认依据能够合理支撑这一步变化。 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 重难点五、根据给出的论断组命题并证明 先从几组论断里挑选条件与结论，组成 “若… 则…” 形式命题。优先选择容易证明的组合。写好已知、求证，再开展证明。注意部分组合得到的是假命题，此时举出反例即可，不用强行证明成立。组完命题先预判真假，再选择推理证明或者举反例两种处理方式。 1．（22-23七年级下·山东济宁·阶段检测）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 2．（25-26八年级上·河北·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 模块三、推理与论证 重难点一、以几何为背景的推理与论证 几何推理，先读图标记相等线段、相等角度，把题干条件标注到图上。理清条件和待证结论之间的逻辑链条。每一步推导都要匹配几何定理。不要凭肉眼看图下判断，图形只是参考。顺着条件逐步推导，卡住时可以逆向思考，从求证倒推需要哪些中间条件，打通解题思路。 1．（2024·山西·模拟）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 2．（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 重难点二、以代数为背景的推理与论证 代数推理重在式子变形与逻辑推导，不能依靠个别数值猜想结论。梳理题干给出的数量关系，合理做运算变形。分清什么是已知条件，什么是要推导得到的结果。遇到开放性命题，先判断真假，真命题做通用推导，假命题寻找反例。步骤书写完整，避免跳步造成逻辑断裂。 1．（25-26八年级上·全国·单元复习）布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 3．（22-23九年级下·湖南长沙·阶段检测）卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强． 下表是世界杯E组积分表： 排名 球队 积分 1 日本 6 2 西班牙 4 3 德国 4 4 哥斯达黎加 ？ 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25九年级下·北京西城·阶段检测）桌面上摆放着杯子、勺子和筷子三样物品，分别记为．现对这三样物品按照如下步骤进行操作：第一步：杯子与左边的物品交换位置：第二步：勺子与右边的物品交换位置；第三步：筷子与左边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边没有其他物品，则无需进行交换．若完成上述三个步骤后勺子的位置未发生改变，则三样物品的初始摆放位置从左到右依次是（填写字母）___________． 5．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，，否则（，为正整数）．例如：当关键词出现在书中时，，否则．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“，，”的书，现有四位同学有如下理解： 甲：当时，选择这本书； 乙：只有当时，才不能选择这本书； 丙：当，，全是1时，选择这本书； 丁：当时，不选择这本书． 其中理解错误的同学是______． 6．（2022·北京海淀·三模）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下： 原料 时间 工序 原料 原料 原料 上漆 描绘花纹 则完成这三件原料的描金工作最少需要______小时． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 8．（24-25七年级下·北京·期末）某公司设有三个充电桩，分别为两个快充桩和一个慢充桩，每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有5辆电动汽车需要充电，每辆车的充电需求如下表（不考虑车辆交接等其他因素）： 车辆编号 甲 乙 丙 丁 戊 快充桩充电时间 30 40 50 80 100 慢充桩充电时间 130 180 120 120 210 （1）若甲车必须使用慢充桩，则其他4辆车完成充电的总用时最短为_______； （2）这5辆车完成充电的总用时最短为________． 重难点三、逻辑推理与论证 逻辑推理抓住条件和结论的对应关系，分清哪些信息是给定，哪些是推出得到。做题拆解题干信息，剔除无关干扰描述。正向推导受阻就使用逆向分析法，从结果倒推需要的中间条件。区分举例、反例、证明三者用途，举例不能证真命题，反例只用于否定假命题，保证整段逻辑严谨不出错。 1．（25-26八年级上·山西太原·期末）有三个不透明的饮料瓶，上面标签分别贴着“橙汁”“可乐”“咖啡”，标号为1、2、3号，工作人员说三个标签全部贴错了，让小明打开2号瓶发现里边装着咖啡，则可乐在_________号瓶． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是_______． 3．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）某次考试共4道试题，均为选择题、每题四个选项中只有一个是正确的．每道题答对的得5分、答错的得0分、已知甲、乙、丙、丁4人的作答情况及前3个人的得分情况如表所示，则丁的最终得分为_____． 甲 乙 丙 丁 1 A B A D 2 B B B B 3 D C B A 4 D D A A 总分 10 10 15 4．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）校运会上，小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛．小振的成绩在前三名，小东既不是第一也不是最后一名，小启也不是第一名，小新是第二名．则获得第一名的是______． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个三位数的密码锁，已知以下三个条件： ①密码数字均为奇数，且各不相同； ②密码数字从上至下递减； ③最上面的密码数字是10的因数，则正确密码为___________． 6．（25-26七年级下·福建厦门·期中）年月，联合国教科文组织将每年的月日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图．小安参与了每个活动，若她一共挑战成功两个且她参与的第个活动成功，则小安最终剩下的“币”数量为，则第关参与的活动是___________，第关参与的活动是___________． “节”活动规则活动前每人先发放一枚币 每参与一个活动消耗一枚币 没有“币”不能参与活动 每个活动至多参与一次 挑战成功，按下表发放奖励 挑战失败，谢谢参与 活动名称 奖励的“币”数量/枚 点 数独 华容道 魔方 鲁班锁 7．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）在一次数学活动课上，老师将写有共十个整数的不透明卡片（每张卡片仅写一个数字，且数字不重复）背面朝上洗匀后，随机发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人恰好两张卡片．五位同学观察自己卡片后，在黑板上写下各自卡片数字之和： 甲：17    乙：4    丙：12    丁：9    戊：13 根据以上信息，甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，则这两个数字的乘积是________． 8．（25-26九年级上·湖南·阶段检测）小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月___________号．（填日期） 9．（25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）某校为校庆做筹备工作，共有十项工序，筹备过程需满足以下要求： （1）只能在两项工序均完成后才能开始； （2）只能在两项工序均完成后才能开始； （3）只能在两项工序均完成后才能开始； （4）其余每项工序相互独立，无先后依赖关系； （5）一项工序只能由一名员工负责，该工序完成后员工才能接手其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 所需时间（天） 20 18 19 15 14 11 6 5 4 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名员工合作完成筹备工作，则至少需要___________天才能全部完成；若要在最短时间内合作完成筹备工作，则最少需要_______________名员工共同参与． 10．（2026·安徽芜湖·三模）某校信息科技社团用语言编写了一个多位数转换程序，其核心算法逻辑如下： 读取一个多位数，统计该数中每一位数字在整个数中出现的频次，再将原数每一位替换为对应数字的频次，生成新的多位数并输出． 程序运行示例如下： 输入：111→输出：333 输入：4421→输出：2211 输入：988→输出：122 将上述转换过程记为，例如，，． 求： (1)______； (2)对于一个多位数M，记，，． （ⅰ）若M是一个两位数，且满足，则M为______； （ⅱ）若M是一个四位数，当时，直接列出对应的所有四位数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 认识证明 模块一、命题 重难点一、判断是否是命题 判断命题核心看两点：语句是不是陈述句，能否明确判断真假。疑问句、感叹句、祈使句都不属于命题。做题先过滤句式，再看结果是否有确定对错。不要被含有变量的句子迷惑，只要无法判定真假，就不是命题。做题时圈画句子类型，避开 “是不是？” 这类问句陷阱，快速完成筛选判断。 1．（25-26七年级下·吉林·期末）下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断是否是命题 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A、连接是作图，不是命题； B、相等的角是对顶角是命题； C、小于90度的角是锐角吗？是疑问句，不是命题； D、画是作图，不是命题． 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）下列语言叙述是命题的是（     ） A．《给阿嬷的情书》是一部非常感人的电影． B．你喜欢长沙吗？ C．赶紧去学习！ D．画一条端点为的射线． 【答案】A 【难度】0.84 【知识点】判断是否是命题 【分析】命题是对一件事情作出判断的语句，根据该定义判断各选项即可得到答案． 【详解】A选项对《给阿嬷的情书》的作品性质作出了判断，是完整的陈述句，符合命题的定义； B选项是疑问句，没有对事情作出判断，不符合命题定义； C选项是祈使句，没有对事情作出判断，不符合命题定义； D选项是作图指令，没有对事情作出判断，不符合命题定义． 3．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）下列语句表示命题的是（     ） A．作的平分线 B．内错角不相等 C．直角都相等吗 D．画一条线段 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断是否是命题 【分析】命题是对一件事情作出判断的语句，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项、“作的平分线”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； B选项、“内错角不相等”对内错角的大小关系作出了明确判断，是命题，故此选项符合题意； C选项、“直角都相等吗”是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； D选项、“画一条线段”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意． 4．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）下列语句中，是命题的是（     ） A．宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一 B．你喜欢旅游吗 C．吃饭的时候不要说话 D．过点A画一条与直线垂直的直线 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题根据命题的定义判断即可，命题是指对一件事情作出判断的语句． 【详解】解：A、对宇树机器人的相关情况作出了明确判断，属于命题； B、是疑问句，未对事件作出判断，不属于命题； C、是祈使句，是行为要求，未对事件作出判断，不属于命题； D、是作图操作指令，未对事件作出判断，不属于命题． 5．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫命题，根据命题的定义逐一进行判断即可得到答案，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、你喜欢数学吗？是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、取线段的中点，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、美丽的天空，是描叙性语言，没有作出判断，不是命题； 、两直线平行，内错角相等，是命题，符合题意； 故选：． 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有______（填序号）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算、判断是否是命题 【分析】本题考查了命题与定理，整式的加减，根据“回文数”的定义进行分析即可求解，解题的关键是熟练掌握“回文数”的定义． 【详解】解：根据定义正读倒读都一样，故是“回文数”；是真命题； 两位数的“回文数”为：，，，，，，，，，合计个；是真命题； 三位数的“回文数”中，百位和个位是的为：，，，，，，，，，，合计个，同理百位和个位是的有个，依次类推，则三位数的“回文数”合计个；是真命题； 设任意六位数的“回文数”十万位，万位，千位，百位，十位，个位上的数字分别为，，，，，，则， 根据定义，，，， ∴， ∴是的倍数；是真命题； 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 【答案】(1)是命题 (2)是命题 (3)不是命题 【难度】0.65 【知识点】两点之间线段最短、两点间的距离、直线、线段、射线的数量问题、判断是否是命题 【分析】本题考查了命题的定义，即能判断真假的陈述句；解题的关键是准确判断语句是否能判断真假；易错点是对条件和结论不明确的命题判断失误，例如错误地将疑问句或无法确定真假的语句误判为命题；依据命题是能判断真假的陈述句这一定义，逐一分析各语句是否符合定义，若语句是陈述句且可判断真假（真或假），则是命题；否则不是命题． 【详解】（1）语句“两点之间，线段最短”是一个陈述句，在几何中这是一个公理，可判断为真，因此是真命题． （2）语句“如果，那么是线段的中点”是一个陈述句，但该结论不一定成立，例如当点不共线时，但不是线段的中点，因此可判断为假，是假命题． （3）语句“一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？”是一个疑问句，无法判断真假，因此不是命题． 重难点二、写出命题的题设与结论 拆分命题，先把句子改写为 “如果…… 那么……” 形式，“如果” 后面是题设，“那么” 后面是结论。部分命题语句会省略关联词，需要自己补全，不要直接摘抄原句。拆分时注意不要改动条件、结论本身含义，分清已知条件和推出结果，防止把结论混入题设，写完可反向读一遍核验逻辑。 1．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【难度】0.85 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】将原命题拆分为题设和结论两部分，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：原命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”中， 题设为：两条直线垂直于同一条直线，结论为：这两条直线互相平行， 因此改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 2．（21-22七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【难度】0.85 【知识点】写出命题的题设与结论 【详解】原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 3．（25-26七年级下·上海·期末）将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 【答案】如果在一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等 【难度】0.85 【知识点】写出命题的题设与结论 【详解】略 4．（25-26七年级下·广东江门·期中）将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 【答案】 两个角是邻补角 这两个角互补 【难度】0.85 【知识点】写出命题的题设与结论 【详解】解：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项， 因此将命题“邻补角互补”改写为“如果……那么……”的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 重难点三、判断命题真假 真命题需要完整推理证明成立；假命题不需要全盘推翻，找到一处反例即可否定。做题不要凭主观感觉，遇到代数命题代入数值检验，几何命题画图分析。遇到复杂命题，先拆解条件，看条件是否能必然推出结果。只要存在一种不成立的情况，该命题就是假命题。 1．（25-26七年级下·山东滨州·期末）下列命题中是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】垂线段最短、垂线的定义理解、对顶角相等、判断命题真假 【分析】根据对顶角定义，垂直的性质，垂线段的性质，平行公理，逐一判断各命题的真假即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分得的两个角相等，但不是对顶角，命题不成立，故选项A是假命题，不符合题意； B、只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题缺少条件，命题不成立，故选项B是假命题，不符合题意； C、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，该命题是几何基本性质，成立，故选项C是真命题，符合题意； D、只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在这样的直线，原命题缺少条件，命题不成立，故选项D是假命题，不符合题意． 2．（25-26七年级下·云南昆明·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．1的立方根是 B．点在x轴上 C．内错角相等，两直线平行 D．相等的角是对顶角 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】求一个数的立方根、判断点所在的象限、对顶角相等、判断命题真假 【分析】本题考查立方根概念，平面直角坐标系内点的坐标特征，平行线判定定理和对顶角的概念，只需逐个判断各命题的真假即可求解． 【详解】解：选项A，， 的立方根是，不是，A是假命题； 选项B，轴上点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点在轴上，B是假命题； 选项C，“内错角相等，两直线平行”是平行线的判定定理，是真命题； 选项D，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个不同位置的直角相等，不是对顶角， D是假命题 故选：C． 3．（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）下列命题中，是真命题的是（     ） A．如果直线与相交，直线与相交，那么直线与相交 B．两个锐角互余 C．的算术平方根是 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的性质、平面内两直线的位置关系、直角三角形的两个锐角互余、判断命题真假 【分析】通过举反例排除假命题，再验证剩余选项的正确性． 【详解】解：A选项： 若直线，直线与、均相交，满足题设但与不相交，故A为假命题； B选项：例如和均为锐角，和为，不互余，直角三角形中的两个锐角才互余，故B为假命题； C选项： 64的算术平方根是，不是，故C为假命题； D选项：如果两个实数相等，那么它们的平方相等，是真命题． 4．（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）对于下列四个命题： ①如果有两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ②如果和是对顶角，那么 ③一个角的余角一定小于这个角的补角 ④如果和互余，与的余角互补，那么和互补 真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】与余角、补角有关的计算、对顶角相等、根据平行线的性质探究角的关系、判断命题真假 【分析】本题结合平行线性质，对顶角性质，余角补角的定义，逐个判断命题真假，即可得到真命题个数． 【详解】①根据平行线的性质，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①是真命题； ②由对顶角的性质可知，对顶角相等，因此如果和是对顶角，那么，故②是真命题； ③设这个角为，因为该角有余角，因此，该角的余角为，补角为，因为，因此，即一个角的余角一定小于这个角的补角，故③是真命题； ④因为和互余，因此的余角为，又因为与的余角互补，因此，即和互补，故④是真命题； 综上，四个命题均为真命题． 故选：A． 5．（25-26七年级下·福建福州·期末）下列命题：①相等的角是对顶角；②三角形的三条高线交于一点；③三角形的重心是三条角平分线的交点；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中真命题有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】对顶角相等、画三角形的高、重心的有关性质、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、判断命题真假 【分析】根据对顶角的概念，三角形的高、重心的概念，全等三角形的判定，逐个判断每个命题的真假，统计真命题个数即可. 【详解】解：①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时同位角相等，因此①是假命题； ②钝角三角形的三条高线作为线段不存在公共交点，仅三条高线所在直线交于一点，因此②是假命题； ③三角形的重心是三条中线的交点，因此③是假命题； ④根据全等三角形的判定定理，三条边对应相等的两个三角形全等，因此④是真命题； 综上，真命题共有1个. 6．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下面四个命题： ①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ②一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； ③两个无理数的和一定是无理数； ④两个无理数的积一定是无理数． 其中真命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】有理数加法运算、无理数、判断命题真假 【分析】通过反例判断各命题真假，即可判断． 本题考查了命题的判断，实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解题关键． 【详解】对于命题①：设为有理数，为无理数，若为有理数，则为有理数，矛盾，∴为无理数，命题①真； 对于命题②：取反例，有理数0与无理数的积为0，是有理数，∴命题②假； 对于命题③：取反例，无理数与的和为0，是有理数，∴命题③假； 对于命题④：取反例，无理数与的积为2，是有理数，∴命题④假； ∴真命题只有1个； 故选：A． 7．（25-26七年级下·云南德宏·期末）如果，，那么．此命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【难度】0.95 【知识点】判断命题真假 【详解】解：∵，， ∴由等量代换可得， ∴该命题成立，是真命题． 8．（24-25七年级下·河北唐山·期末）如果是整数，那么是偶数，其中题设是____________，结论是____________，这是____________命题（填真或假） 【答案】 是整数 是偶数 真 【难度】0.85 【知识点】判断命题真假、写出命题的题设与结论 【分析】命题为“如果…那么…”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论，结合偶数定义即可判断命题真假． 【详解】解：对于“如果…那么…”形式的命题， “如果”引出的部分是题设，因此本题题设是是整数； “那么”引出的部分是结论，因此本题结论是是偶数； 是整数时，一定能被整除，符合偶数的定义， 该命题是真命题． 9．（24-25七年级下·浙江台州·开学考试）下列命题：相等的角都是对顶角；不小于直角的角是锐角；若，则或；若，则．其中属于真命题的是______． 【答案】③④ 【难度】0.85 【知识点】绝对值的几何意义、两个有理数的乘法运算、对顶角的定义、判断命题真假 【详解】解：相等的角都是对顶角，错误，是假命题； 不小于直角的角是锐角，错误，是假命题； 若，则或，正确，是真命题； 若，则正确，是真命题． 10．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）下列命题中，是真命题的是______________．（填序号） ①相等的角是对顶角． ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． ③用根号表示的数都是无理数． 【答案】 ② 【难度】0.65 【知识点】无理数、垂线段最短、对顶角的定义、判断命题真假 【详解】解：① 相等的角不一定是对顶角，例如两平行线被第三条直线所截得到的同位角相等，但同位角不是对顶角，因此①是假命题； ② 由垂线的基本性质可知，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此②是真命题； ③ 用根号表示的数不都是无理数，例如，是有理数，因此③是假命题． 11．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成：如果______，那么______，这个命题的条件是______，结论______； (2)这个命题是______（填真命题或假命题），请说明理由． 【答案】(1)两个数的绝对值相等；这两个数也相等；两个数的绝对值相等；这两个数也相等 (2) 该命题是假命题． 反例：虽然，但是， 故原命题为假命题． 【难度】0.77 【知识点】举例说明假（真）命题、写出命题的题设与结论 【分析】（1）根据命题改写的规则，将原命题拆分为“如果+条件，那么+结论”的形式，明确条件和结论． （2）通过举反例的方法，判断命题的真假． 【详解】（1）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等． 条件是：两个数的绝对值相等． 结论是：这两个数相等． （2）解：略． 重难点四、举例说明假(真)命题 举实例时，真命题举例只能辅助理解，不能当作证明依据。假命题举例优先找贴合命题条件，但结果不满足结论的例子。代数类直接代入数字，几何类画出对应反例图形。举例要简洁典型，不要选用特殊极端无意义案例，写完核对：例子必须满足题设，却不满足结论。 1．（25-26七年级下·广东汕头·期末）要说明命题“两个数相加，和一定大于或等于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算、举例说明假（真）命题 【分析】要说明一个命题是假命题，只需找出满足命题条件但不满足命题结论的反例即可，本题只需判断哪个选项中两个数相加的和小于两个加数，即可得到答案. 【详解】解：∵命题的条件是“两个数相加”，结论是“和一定大于或等于其中一个加数”， ∴反例需要满足“两个数相加，和小于任意一个加数”， 逐个判断选项： 选项A ：，且，满足命题结论，不是反例. 选项B ：，，满足命题结论，不是反例. 选项C ：，且，满足命题结论，不是反例. 选项D ：，且，不满足命题结论，可以作为反例. 2．（25-26七年级下·北京石景山·期末）能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】找出满足但的的值即可． 【详解】解：A、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； B、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； C、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； D、，满足，且，不满足，可以说明该命题是假命题． 3．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】要说明该命题是假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的，即可作为反例． 【详解】解：选项A：时，，满足，不满足，符合反例要求； 选项B：时，不满足，不符合反例要求； 选项C：时，，满足，，满足结论，不符合要求； 选项D：时，，满足，，满足结论，不符合要求； 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）举反例证明“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】要证明“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，反例需满足两个条件，即两个角都是锐角，且它们的和不是钝角，计算各选项后即可判断． 【详解】解：选项A：，和为钝角，不符合要求； 选项B：，，均为锐角，，和为锐角，不是钝角，满足反例要求； 选项C：，和为钝角，不符合要求； 选项D：是直角，不是锐角，不满足“两个锐角”的前提，不符合要求； 选B． 5．（23-24九年级上·重庆·期中）在多项式中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如，选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第轮“加括号操作”．以下说法： 存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； 总存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； 对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果．其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】去括号、添括号、整式的加减运算、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查了推理能力，整式加减混合运算，根据说法举出例子论证，以证明其正确与否即可解答，解题的关键是能根据其说法举出相应的正例跟反例． 【详解】解：题目中说存在着一个式子第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等， 举出正例：选择进行“加括号操作”得到， 与原多项式相等，故说法正确； 总存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为， ∵无论选择哪两个字母，的正负是不发生改变的， ∴任何一轮“加括号操作”与原多项式相加是无法消去的， ∴存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为是错误的； 对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果， 举出反例：选择进行“加括号操作”，得到 ， 选择进行“加括号操作”，得到 ， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到 ， 选择进行“加括号操作”，得到 ， 结果大于四种，故说法错误； 故选：． 6．（2026·四川广元·中考真题）说明命题“如果为实数，那么”是假命题的的值可以为__________．（写一个即可） 【答案】 （答案不唯一，任意负数均可） 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、举例说明假（真）命题 【分析】要说明命题为假命题，只需举出满足条件但不满足结论的反例，根据二次根式的性质，当时，，因此任取一个负实数即可． 【详解】解：取，，满足命题条件，不满足命题结论，可说明原命题是假命题． ∴的值可以为（答案不唯一，任意负数均可）． 7．（25-26七年级下·北京密云·期末）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数、的值为______，______． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【难度】0.7 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件，此时，，可得，不满足，因此可以说明原命题是假命题． 8．（25-26八年级下·北京·期末）已知命题“点，在一次函数（）的图象上，若，则”．请写出能说明为假命题的一组，的值：__________，__________． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【难度】0.8 【知识点】根据一次函数增减性求参数、举例说明假（真）命题 【分析】根据一次函数的性质，命题为假命题时，一次函数中随的增大而减小，因此只需一次项系数，为任意实数，任取一组符合条件的值即可． 【详解】解：若命题是假命题，则说明在一次函数中，随的增大而减小， 由一次函数的性质可知，当一次项系数时，随的增大而减小，可取任意实数， 取，，满足条件．（答案不唯一） 9．（25-26七年级下·上海普陀·期末）“互为补角的两个角中一定有一个钝角”是假命题，请举出一个反例：___________． 【答案】 两个的角互为补角 【难度】0.75 【知识点】角的分类、求一个角的补角、举例说明假（真）命题 【分析】根据补角的定义，找出和为且两个角都不是钝角的例子，即可得到原命题的反例． 【详解】解：根据补角定义，互为补角的两个角和为， 当两个角均为时，两角和为，满足互为补角的条件，且两个角都不是钝角，符合反例要求， 因此可举反例为：两个的角互为补角 ． 重难点五、举反例 举反例是反驳假命题专用方法，核心：满足题设，违背结论。做题切忌举不满足条件的例子，这样的反例无效。代数题优先选 0、负数、分数这类特殊值；几何题构造特殊图形。写完两步自查：①是否符合命题给出条件；②是否和命题结论冲突，两项同时满足才是有效反例。 1．（25-26七年级下·陕西安康·期末）下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】举反例 【详解】解：反例需满足是偶数且不是的整数倍，是奇数，不满足偶数条件， 排除B， ，均为偶数，且，，都是的整数倍， 排除A，D， 是偶数，且，不是的整数倍， 符合反例要求， 故选：C． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）要证明命题“任何数的平方都大于”是假命题的反例只能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】举反例 【分析】要证明命题是假命题，只需举出一个满足命题条件，但不满足命题结论的反例，本题只需找到使得，计算各选项即可判断． 【详解】∵原命题结论为“任何数的平方都大于”， ∴反例需要满足， 对各选项逐一计算： 选项A：当时，，符合原命题结论，不能作为反例； 选项B：当时，，符合原命题结论，不能作为反例； 选项C：当时，，符合原命题结论，不能作为反例； 选项D：当时，，不满足，可作为该命题的反例． 3．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】举反例 【分析】反例需要满足命题条件，且不满足命题结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】反例需要满足条件，且不满足结论． 选项B、D中，，均不满足， B、D不符合要求，不是反例； 选项C中，满足，且，满足命题结论， C不是反例； 选项A中，满足，且，不满足， A是符合要求的反例． 4．（2026·福建宁德·二模）下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】有理数大小比较、有理数的乘方运算、举反例、举例说明假（真）命题 【分析】要说明命题“若，则”是假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的反例，据此对各选项判断即可． 【详解】解：∵反例需要满足原命题条件，不满足原命题结论， 对各选项逐一判断： 选项A，，满足，且，满足结论，不能作为反例． 选项B，，，不满足条件，不能作为反例， 选项C，，满足即，计算得，，可得，不满足原命题结论，可作为反例， 选项D，，，不满足条件，不能作为反例． 5．（26-27八年级上·山东聊城·开学考试）能说明“若，则”是假命题的一个反例是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】举反例、举例说明假（真）命题 【分析】只需找到满足，但不满足的一组即可． 【详解】解：取，， 计算得，． ，即满足条件， 而，即不满足结论， 这组数可以说明原命题是假命题． 6．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____． 【答案】 1 【难度】0.7 【知识点】举反例 【分析】要证明原命题为假命题，只需找到一组满足但不满足的实数，即可． 【详解】解：取，时， ，，可得，即，满足原命题的条件； ，，可得，即，不满足命题的结论，可说明原命题是假命题． 7．（25-26七年级下·北京房山·期末）用一组，，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是__________、__________、__________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） （答案不唯一） 【难度】0.75 【知识点】举反例、举例说明假（真）命题 【分析】只需举出反例说明命题错误即可，根据不等式的性质，当为非正数时，满足，但无法得到，即可完成举例． 【详解】解：当，，时，可得，即，不满足，因此可以说明“如果，那么”是假命题． 8．（2026·北京海淀·一模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】举反例 【分析】掌握举反例判断假命题的方法是解题关键，只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件， 此时，， 可得， 不满足， 可以说明该命题是假命题． 模块二、证明 重难点一、定理与证明 定理是经过推理证实的真命题，可以直接作为证明依据。做题区分公理、定理、定义，不能把题目条件直接当成定理使用。书写证明，每一步推导都要有对应的理论依据，不能凭空得出结论。做题梳理因果关系，条件推结论要严谨，不跳关键步骤，避免主观臆断，保证逻辑链条完整闭环。 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】定理与证明 【分析】本题考查公理与定理的区分．公理是不需要证明的基本命题，而定理是通过公理推导出的命题，据此可得答案． 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】定理与证明 【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、命题不一定是定理，所以本选项错误； B、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误； C、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确； D、定理不可能是假命题，所以本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理，定理是命题，并且是真命题，但真命题不一定是定理，熟知命题和定理的定义及其关系是解题的关键． 3．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断是否是命题、定理与证明 【分析】通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式叫做定理. 【详解】①是题目条件或者要求,不是定理; ②是三角形中位线定义,不是定理; ③是定理; ④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选B. 【点睛】该题考查了定理定义,首先先判断该句是否是真命题,如果是真命题的话,再判断是否经过逻辑推理可以进行证明,如果是,就说明该句是定理. 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列能作为证明依据的是(     ) A．已知条件 B．定义和基本事实 C．定理和推论 D．以上三项都可以 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】定理与证明 【详解】解：已知条件、定义和基本事实、定理和推论都可以作为证明的依据．故选D． 重难点二、代数问题证明 代数类证明题，优先梳理已知数字条件，合理运用代数性质。不要靠代入几个数值就直接下结论，特例不能代替完整证明。看清求证目标，围绕目标变形式子。书写步骤条理清晰，每一步变形写明依据。如果要证命题为假，寻找反例即可；要证为真，则需要通用推导，不能只靠个别数字验证。 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】 证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 【难度】0.85 【知识点】代数问题证明 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【详解】略 2．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）证明命题 说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【答案】 解：该命题是真命题，理由如下： 设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为， 由题意知，为整数， ∴，也为整数， ∴这个三位数能被3整除，故该命题是真命题． 【难度】0.65 【知识点】整式加减的应用、代数问题证明 【分析】本题考查了命题的证明，解题的关键是： 设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为，根据，进行判断作答即可． 【详解】略 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【答案】见解析 【难度】0.4 【知识点】运用完全平方公式进行运算、代数问题证明 【分析】根据逆否命题以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】证明：设整数个位数为5，可表示为， ∴， 因此，这个整数平方的个位数为5， ∴如果一个数的个位数是5，那么这个数的平方的个位数是5为真命题， ∴一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 重难点三、写出一个命题的已知、求证及证明过程 先把文字命题转化为数学符号语言。已知抄写命题题设，求证书写需要推出的结论。几何命题建议配合画图，标注对应字母。证明过程步步有据，引用定理、公理，不跳步。写完逆向检查：由已知条件，是否能顺理推出求证结果，杜绝条件和推导脱节，逻辑不能出现漏洞。 1．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段检测）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【答案】 已知：如图，直线与相交于点， 求证：． 证明：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴． 【难度】0.85 【知识点】对顶角相等、写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可． 【详解】略 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）命题证明，求证：等腰三角形两个底角的角平分线相等． （根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程） 已知： 求证： 证明： 【答案】 已知：如图，在中，是的角平分线． 求证：． 证明：∵，是的角平分线． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【难度】0.85 【知识点】全等三角形综合问题、等边对等角、写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，命题证明类问题；难点是写出已知和求证．先确定命题的题设和结论，据此画图用数学符号语言表示，再利用角平分线的性质及三角形全等进行证明． 【详解】略 重难点四、已知证明过程填写理论依据 做填依据题型，先看清这一步是由什么式子得到的，再匹配对应定理、公理、定义。不要写题目给出的已知条件当作推导依据。熟悉课本常用定理表述，用词规范。观察前后步骤变化，代数看式子变形规则，几何看图形关系。做完回看，确认依据能够合理支撑这一步变化。 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【难度】0.85 【知识点】已知证明过程填写理论依据 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 【答案】；角的和的定义；等式的基本性质；；角平分线的定义；平角的定义；； 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、已知证明过程填写理论依据 【分析】利用直角、角平分线、平角的性质，通过等式代换推导两角关系． 【详解】略 重难点五、根据给出的论断组命题并证明 先从几组论断里挑选条件与结论，组成 “若… 则…” 形式命题。优先选择容易证明的组合。写好已知、求证，再开展证明。注意部分组合得到的是假命题，此时举出反例即可，不用强行证明成立。组完命题先预判真假，再选择推理证明或者举反例两种处理方式。 1．（22-23七年级下·山东济宁·阶段检测）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 【答案】C，A，D，B 【难度】0.65 【知识点】根据给出的论断组命题并证明 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 2．（25-26八年级上·河北·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】 可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【难度】0.85 【知识点】根据给出的论断组命题并证明 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】略 模块三、推理与论证 重难点一、以几何为背景的推理与论证 几何推理，先读图标记相等线段、相等角度，把题干条件标注到图上。理清条件和待证结论之间的逻辑链条。每一步推导都要匹配几何定理。不要凭肉眼看图下判断，图形只是参考。顺着条件逐步推导，卡住时可以逆向思考，从求证倒推需要哪些中间条件，打通解题思路。 1．（2024·山西·模拟）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】以几何为背景的推理与论证 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 2．（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】以几何为背景的推理与论证 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由如下： 设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 【难度】0.85 【知识点】以几何为背景的推理与论证 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】略 重难点二、以代数为背景的推理与论证 代数推理重在式子变形与逻辑推导，不能依靠个别数值猜想结论。梳理题干给出的数量关系，合理做运算变形。分清什么是已知条件，什么是要推导得到的结果。遇到开放性命题，先判断真假，真命题做通用推导，假命题寻找反例。步骤书写完整，避免跳步造成逻辑断裂。 1．（25-26八年级上·全国·单元复习）布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．先根据甲乙的总得分与判断的对错数相等推断出第3道题和第6道题的正确答案均为“×”，进而根据丙的判断可得这6道题目的正确答案是：，进而得出丁的分数． 【详解】解：知识测试共有6道题目，每题判断正确得1分，判断错误得0分，甲、乙的得分都是4分，则甲、乙至少有2道题目的结果相同且为正确答案，不难发现，甲、乙的第3道题和第6道题判断相同，所以第3道题和第6道题的正确答案均为“×”， 所以丙的第3道题和第6道题判断错误，而丙也得了4分，说明丙其余题目全部判断正确， 所以这6道题目的正确答案是：， 所以丁做对了3道，得了3分， 故选：D． 3．（22-23九年级下·湖南长沙·阶段检测）卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强． 下表是世界杯E组积分表： 排名 球队 积分 1 日本 6 2 西班牙 4 3 德国 4 4 哥斯达黎加 ？ 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】根据题意可得小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场，再由表格可得日本队，西班牙队，德国队的胜负情况，即可求解． 【详解】解：根据题意得：小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场， ∵日本队得6分， ∴日本队胜2场，负1场， ∵西班牙队得4分， ∴西班牙队胜1场，平1场，负1场， ∵德国队得4分， ∴德国队胜1场，平1场，负1场， ∴哥斯达黎加队可以是胜1场，负2场，也可以是平2场，负1场， ∵本小组比赛中只有一场战平，那就是西班牙队和德国队战平， ∴斯达黎加队胜1场，负2场， ∴哥斯达黎加的积分是3分． 故选：D 【点睛】本题主要考查了逻辑推理，明确题意，准确得到日本队，西班牙队，德国队的胜负情况是解题的关键． 4．（24-25九年级下·北京西城·阶段检测）桌面上摆放着杯子、勺子和筷子三样物品，分别记为．现对这三样物品按照如下步骤进行操作：第一步：杯子与左边的物品交换位置：第二步：勺子与右边的物品交换位置；第三步：筷子与左边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边没有其他物品，则无需进行交换．若完成上述三个步骤后勺子的位置未发生改变，则三样物品的初始摆放位置从左到右依次是（填写字母）___________． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】本题考查推理与论证，认真分析题干描述的过程得勺子在最左边或最右边，然后再分类讨论，即可作答． 【详解】解：根据题意，若完成上述三个步骤后，勺子的位置未发生改变， 则勺子在最左边或最右边， 当勺子在最左边时，则筷子在勺子的右边，杯子在最右边； 当勺子在最右边时，则杯子在勺子的左边，筷子在最左边； ∴三样物品的初始摆放位置从左到右依次是或， 故答案为：或． 5．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，，否则（，为正整数）．例如：当关键词出现在书中时，，否则．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“，，”的书，现有四位同学有如下理解： 甲：当时，选择这本书； 乙：只有当时，才不能选择这本书； 丙：当，，全是1时，选择这本书； 丁：当时，不选择这本书． 其中理解错误的同学是______． 【答案】乙 【难度】0.85 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】根据题意的值要么为1，要么为0，当关键词出现在书中时，元素，否则（i，j为正整数），按照此规定对每个选项分析推理即可． 【详解】解：根据题意的值要么为1，要么为0， 甲：∵， ∴，，， ∴关键词“，，”同时出现在书中， ∴选择这本书，故甲表述正确； 乙：当时，则、、是必有值为0的，即关键词“，，”不同时具有，从而不选择这本书， ∴当或或时，不能选择这本书，故乙的说法错误； 丙：∵当，，全是1时，，，， ∴关键词“，，”同时出现在书中， ∴选择这本书，故丙表述正确； 丁：当时，则、、是必有值为0的，即关键词“，，”不同时具有，从而不选择这本书，故丁表述正确； 综上分析可知，说法错误的是乙． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了推理与论证，读懂题意，按照规定进行计算与推理是解题的关键． 6．（2022·北京海淀·三模）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下： 原料 时间 工序 原料 原料 原料 上漆 描绘花纹 则完成这三件原料的描金工作最少需要______小时． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】根据分析，甲按、、的顺序，乙中途不会出现停顿进行解答即可． 【详解】甲按、、的顺序，完成这三件原料的描金工作最少需要（小时）， 故答案为：． 【点睛】此题考查推理与论证，关键是得出工作顺序． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】2401 【难度】0.65 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可． 【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确， 即密码中没有9、5、8、3四个数字； 由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确； 由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位； 若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位． 则数字0在第三位， 即正确的密码是2401， 故答案为：2401． 8．（24-25七年级下·北京·期末）某公司设有三个充电桩，分别为两个快充桩和一个慢充桩，每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有5辆电动汽车需要充电，每辆车的充电需求如下表（不考虑车辆交接等其他因素）： 车辆编号 甲 乙 丙 丁 戊 快充桩充电时间 30 40 50 80 100 慢充桩充电时间 130 180 120 120 210 （1）若甲车必须使用慢充桩，则其他4辆车完成充电的总用时最短为_______； （2）这5辆车完成充电的总用时最短为________． 【答案】 140 120 【难度】0.65 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】本题考查的是逻辑推理，先由甲车必须使用慢充桩，需要分钟，再确定两个快充的安排即可；由丙，丁的慢充时间最短为，选择丙或丁慢充，而丁的快充时间长，选择丁慢充；再进一步安排即可. 【详解】解：甲车必须使用慢充桩，需要分钟， 另外两个快充一个安排乙，戊或一个安排丙，丁； ∴其他4辆车完成充电的总用时最短为； ∵丙，丁的慢充时间最短为， ∴选择丙或丁慢充，而丁的快充时间长， ∴选择丁慢充； 一个快充安排甲，乙，丙；另一个快充安排戊， 此时所花时间最短为； 故答案为：140；120 重难点三、逻辑推理与论证 逻辑推理抓住条件和结论的对应关系，分清哪些信息是给定，哪些是推出得到。做题拆解题干信息，剔除无关干扰描述。正向推导受阻就使用逆向分析法，从结果倒推需要的中间条件。区分举例、反例、证明三者用途，举例不能证真命题，反例只用于否定假命题，保证整段逻辑严谨不出错。 1．（25-26八年级上·山西太原·期末）有三个不透明的饮料瓶，上面标签分别贴着“橙汁”“可乐”“咖啡”，标号为1、2、3号，工作人员说三个标签全部贴错了，让小明打开2号瓶发现里边装着咖啡，则可乐在_________号瓶． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】根据三个标签全部贴错的约束条件，结合已知2号瓶装咖啡，通过排除法推理得到可乐所在的瓶子编号． 【详解】解：由题意得，1号瓶标签为橙汁，2号瓶标签为可乐，3号瓶标签为咖啡，且所有标签全部贴错， 所以，实际1号瓶内饮料橙汁，实际2号瓶内饮料可乐，实际3号瓶内饮料咖啡， 已知2号瓶内实际装咖啡，满足实际2号瓶内饮料可乐，符合全部贴错的条件. 剩余饮料为橙汁和可乐，需要分配给1号瓶和3号瓶，由实际1号瓶内饮料橙汁，可得1号瓶内只能装可乐，剩余3号瓶内装橙汁． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是_______． 【答案】623 【难度】0.85 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题考查了推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字是解题的关键． 【详解】解：∵每人都只猜对了不同数位的一个数字，若个位是4，则小致和小萌猜对的数位相同，与题意不符， ∴个位数为3， ∵由上述可知小莉猜对的是个位数，故她猜的百位数5是错误的， ∴百位数字为6， ∴小萌猜对十位数字，即十位数字为2， ∴这个密码锁的密码是623． 故答案为：623 3．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）某次考试共4道试题，均为选择题、每题四个选项中只有一个是正确的．每道题答对的得5分、答错的得0分、已知甲、乙、丙、丁4人的作答情况及前3个人的得分情况如表所示，则丁的最终得分为_____． 甲 乙 丙 丁 1 A B A D 2 B B B B 3 D C B A 4 D D A A 总分 10 10 15 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题主要考查了推理能力， 先从3个答案一样的选项入手，再从2个答案一样的分析，然后结合总成绩假设情况讨论，进而得出各题的得分，最后得出答案. 【详解】解：由三名同学2题的答案都是B，有两种可能： 当选项B错误，那么丙同学的答案全部正确，可知甲，乙两名同学不能得10分； 所以2题的选项B正确； 4题甲，乙的答案相同，有两种可能： 当选项D正确，丙选择A就不正确，那么丙的1,2,3题都要正确，可知此时甲也对了3道题，不符合题意； 所以4题选项D不正确； 当1题甲选择A正确时，乙选择B不正确，丙选择A正确；甲3题选择D就不正确，乙选择C正确，丙选择B不正确，所以4题选择A正确； 当1题甲选择A不正确时，乙选择B正确，丙选择A不正确；甲3题选择D就正确，乙选择C不正确，丙选择B不正确，则与C只错一个不符，所以不符合题意. 综上所述，1题选择A，2题选择B，3题选择C，4题选择A， 所以丁选对了2题，最终得分10分. 故答案为：10. 4．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）校运会上，小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛．小振的成绩在前三名，小东既不是第一也不是最后一名，小启也不是第一名，小新是第二名．则获得第一名的是______． 【答案】小振 【难度】0.85 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题主要考查了逻辑推理能力，解题的关键是根据题意进行合理的逻辑推理．根据给出的信息进行合理的逻辑推理即可． 【详解】解：小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛，小东既不是第一也不是最后一名，小新是第二名， 则小东是第三名， 因为小振的成绩在前三名，小启也不是第一名， 则小振是第一名，小启是最后一名， 故答案为：小振． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个三位数的密码锁，已知以下三个条件： ①密码数字均为奇数，且各不相同； ②密码数字从上至下递减； ③最上面的密码数字是10的因数，则正确密码为___________． 【答案】531 【难度】0.85 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题考查了逻辑推理，根据题意结合所给信息推导出各位数字是解题的关键．根据题意分析推理即可，由①结合③可以确定最上边第一位数字为5，由①②可以确定后两位数为31，据此分析即可． 【详解】解：由③最上面的密码数字是10的因数且①密码数字均为奇数，且各不相同， ∴最上边第一位数字为5， ∵①密码数字均为奇数，且各不相同且②密码数字从上至下递减， ∴中间和下面两个数字分别为3和1， 则正确密码为531， 故答案为：531． 6．（25-26七年级下·福建厦门·期中）年月，联合国教科文组织将每年的月日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图．小安参与了每个活动，若她一共挑战成功两个且她参与的第个活动成功，则小安最终剩下的“币”数量为，则第关参与的活动是___________，第关参与的活动是___________． “节”活动规则活动前每人先发放一枚币 每参与一个活动消耗一枚币 没有“币”不能参与活动 每个活动至多参与一次 挑战成功，按下表发放奖励 挑战失败，谢谢参与 活动名称 奖励的“币”数量/枚 点 数独 华容道 魔方 鲁班锁 【答案】 鲁班锁 华容道或魔方 【难度】0.65 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】因为小安参与了所有活动，且小安共挑战成功两个，且第关参与的活动成功，所以推断小安第关参与的活动成功，且所得的币枚数要足以支持她挑战后面的四个活动，再结合小安最终剩下的“币”数量为可得第关参与的活动名称，进而求解即可． 【详解】解：∵小安参与了所有活动，第关参与的活动成功，最终剩下的“币”数量为， ∴小安在经历前4关的活动后还剩下枚币， ∴小安第关参与的活动是华容道或魔方； ∵活动前每人先发放一枚币，每参与一个活动消耗一枚币，小安参与了5个活动，一共挑战成功两个， ∴完成第1关后要有4个游戏币， ∴小安第关参与的活动是鲁班锁． 7．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）在一次数学活动课上，老师将写有共十个整数的不透明卡片（每张卡片仅写一个数字，且数字不重复）背面朝上洗匀后，随机发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人恰好两张卡片．五位同学观察自己卡片后，在黑板上写下各自卡片数字之和： 甲：17    乙：4    丙：12    丁：9    戊：13 根据以上信息，甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，则这两个数字的乘积是________． 【答案】72 【难度】0.65 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】先确定乙的两张卡片上的数字为，根据甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，得到甲同学手里两张卡片上的数字组合只能是或，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：在中，两个不同的正整数的和为4的只有， 故乙手中的两张卡片数字为和， ∵， ∴甲手中的两张卡片上的数字只有8和9或10和7两种情况， 当甲手中的两张卡片上的数字为8和9时，则剩余三人手中的卡片数字只有2，4，5，6，7，10， 其中和为13的只有和，故戊手中的两张卡片上的数字为和； 和为12的为10和2，和为9的为4和5，即丙手中的两张卡片上的数字为10和2，丁手中的两张卡片上的数字为4和5，符合题意； 故甲同学手里两张卡片上的数字的乘积为； 当甲手中的两张卡片上的数字为10和7时，则剩余三人手中的卡片数字只有2，4，5，6，8，9， 其中和为12的只有4和8，和为9的只有4和5， 数字4只有一张，不符合题意； 综上：甲同学手里两张卡片上的数字的乘积为． 8．（25-26九年级上·湖南·阶段检测）小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月___________号．（填日期） 【答案】16 【难度】0.65 【知识点】有理数加法在生活中的应用、逻辑推理与论证 【分析】本题考查推理与论证和有理数加法的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据6月有30天，再由小明条件可知，若有5个星期二，则第一个星期二必须在1日或2日；分别计算两种情况下星期二日期之和，判断是否满足小李条件（和不为75），从而确定第一个星期二为2日，进而找到第三个星期二日期即可． 【详解】解：6月有30天，若有5个星期二，则第一个星期二可能为1日或2日， 若1日为星期二，则星期二日期为1、8、15、22、29， 和为，与小李条件矛盾； 若2日为星期二，则星期二日期为2、9、16、23、30， 和为，符合小李条件． ∴第一个星期二为2日，第三个星期二为16日． 故答案为：16． 9．（25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）某校为校庆做筹备工作，共有十项工序，筹备过程需满足以下要求： （1）只能在两项工序均完成后才能开始； （2）只能在两项工序均完成后才能开始； （3）只能在两项工序均完成后才能开始； （4）其余每项工序相互独立，无先后依赖关系； （5）一项工序只能由一名员工负责，该工序完成后员工才能接手其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 所需时间（天） 20 18 19 15 14 11 6 5 4 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名员工合作完成筹备工作，则至少需要___________天才能全部完成；若要在最短时间内合作完成筹备工作，则最少需要_______________名员工共同参与． 【答案】 25 5 【难度】0.65 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题可通过分析各工序的先后依赖关系，理安排工序，分别计算出单独完成和合作完成时的最短时间与最少员工数． 工序A(20天)、B(18天)可并行这部分最长时间由 A 决定，为20天，之后H(5天)才能开始．工序C(19天)、D(15天)可并行最长时间由C决定，为19天，之后J(3天)才能开始． 工序E(14天)、G(6天)可并行最长时间由E决定，为14天，之后I(4天)才能开始． 工序 F(11天)可单独进行．然后，计算各部分的时间即可得出答案． 把各工序的时间相加然后除以最短的天数即可得出答案。 【详解】解：A、B并行后H所需时间∶(天)． C、D 并行后J所需时间∶(天)． E、G并行后I时间∶(天) F单独所需时间∶11天． 取各部分时间的最大值，即25天，所以单独完成最少需要25天． （人） 因为员工为整数， 所以人数取5， 所以，最少需5名员工共同参与． 故答案为：25；5 10．（2026·安徽芜湖·三模）某校信息科技社团用语言编写了一个多位数转换程序，其核心算法逻辑如下： 读取一个多位数，统计该数中每一位数字在整个数中出现的频次，再将原数每一位替换为对应数字的频次，生成新的多位数并输出． 程序运行示例如下： 输入：111→输出：333 输入：4421→输出：2211 输入：988→输出：122 将上述转换过程记为，例如，，． 求： (1)______； (2)对于一个多位数M，记，，． （ⅰ）若M是一个两位数，且满足，则M为______； （ⅱ）若M是一个四位数，当时，直接列出对应的所有四位数． 【答案】(1) (2)（ⅰ）22；（ⅱ）或或或或 【难度】0.52 【知识点】数字类规律探索、逻辑推理与论证 【分析】（1）根据算法逻辑求解； （2）（ⅰ）根据算法逻辑得出十位和个位上的数字相同，且等于频次2，求解即可； （ⅱ）根据算法逻辑可得，每个数位上的数字等于频次，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：（ⅰ）若M是一个两位数，且满足， ∴输出的数和输入的数相同， ∴根据算法逻辑可得，十位和个位上的数字相同，且等于频次2， ∴M为； （ⅱ）∵，， ∴，且M是一个四位数， ∴输出的数和输入的数相同， ∴根据算法逻辑可得，每个数位上的数字等于频次， ∴为或或或或， ∴对应的所有四位数为或或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $