6.1平均数与方差课件2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦八年级上册“数据的分析”单元第1课时，核心内容为众数与算术平均数。课堂以射击训练情境导入，通过观察统计图提问成绩次数最多值及成绩判断，引导学生从现实问题中抽象数学概念，搭建从直观感知到理性认知的学习支架。 其亮点在于以情境驱动和问题链设计贯穿教学，结合射击成绩、店铺销售等真实案例，培养数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理意识）和数学语言（数据观念）。如通过“极端值对平均数的影响”等思考，引导学生理解数据特征，学生能提升数据分析能力，教师可高效落实核心素养目标。

第六章 数据的分析 1 平均数与方差（第3课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 创设情境 在本节一开始的射击问题中，甲与丁每次的射击成绩如图1所示，他们的平均成绩都是8环，两个人的射击表现一样吗？你对甲、丁的射击表现有什么评价？ （1）你觉得谁发挥得更稳定？你的理由是什么？ （2）你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗？与同伴进行交流。 图1 探究新知 在实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况。 在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画。 离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即 探究新知 方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，即 其中，是x1，x2，…，xn的平均数。而标准差则是方差的算术平方根。 一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定。 例题示范 例 计算图1中甲射击成绩的标准差（结果精确到0.01环）。 所以，甲射击成绩的标准差约为1.04环。 解：＝8（环）。 ， （环）。 例题示范 具体操作步骤是（以CZ1206某类型为例）： 1.进入统计计算状态，按  ； 2.输入数据然后按  ，显示的结果是输入数据的累计个数； 3.按  即可直接得出结果。 2ndf  DATA STAT σ 请在你自己使用的科学计算器上探索计算标准差的具体步骤。 应用新知 （1）计算图2中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较。 （2）丁又进行了几次射击，这时他所有射击成绩的平均数没变，但方差变小了。你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点？与同伴进行交流。 【思考·交流】 图2 联系生活 1.甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下。  甲队: 178 177  179 179 178 178 177 178 177 179 乙队: 178 177  179 176 178 180 180   178  176 178 哪支仪仗队队员的身高更为整齐？你是怎么判断的？ 课堂小结 回顾本节的学习，你有哪些收获？ 作业布置 1.在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是 ＝0.25， ＝0.35， ＝0.19， ＝0.28。这4人中，成绩发挥最稳定的是（ ）。 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次。经过计算，甲、乙射击成绩的平均数都是8环，甲的方差是1.2，乙的方差是1.8。下列说法中不一定正确的是（ ）。 A.甲、乙射中的总环数相同 B.甲的成绩更稳定 C.乙的成绩波动较大 D.甲、乙的众数相同 作业布置 3.为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加全国知识竞赛，李老师在赛前每个月对他们进行1次测验，以下是两人赛前5次测验的成绩。 已知：学生甲5次测验成绩的平均数为80分，方差为70。 （1）求出学生乙5次测验成绩的平均数及方差； （2）请你参谋一下，李老师应选派哪名学生参加这次竞赛？请结合所学习的统计知识说明理由。 测验次数 1 2 3 4 5 学生甲 65 80 80 85 90 学生乙 70 90 85 75 80 $$ 第六章 数据的分析 1 平均数与方差（第1课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 情境引入 在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四人的成绩如图所示。 （1）观察统计图，甲的哪个射击成绩出现次数最多？其他选手呢？ （2）不计算，请你尝试判断谁的射击成绩最好。你是怎么判断的？ （3）算一算，验证你的判断是否正确。 情境引入 （1）甲的射击成绩出现次数最多的是8环；乙为7环，丙为9环，丁为6环和10环。 （2）丙的射击成绩最好。因为丙的射击成绩大部分集中在9环和10环。 （3）经计算，四人射击成绩的平均数分别为8环、7.3环、8.7环、8环（乙、丙成绩为保留小数点后一位）。通过计算也可得出丙的平均成绩最好，故判断正确。 概念明晰 众数 1 一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数（mode）。 例如，甲射击成绩的众数是8环，丁射击成绩的众数是6环和10环。 概念明晰 算术平均数 2 一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，就得到这组数据的算术平均数（mean），简称平均数。平均数是刻画一组数据集中趋势的一项指标，反映了一组数据的“中心”。 概念理解 （2）如果甲又射击一次，意外脱靶，成绩为0环，那么这时甲的平均成绩会发生什么变化？ （3）在某些比赛评分时，常常去掉一个最高分和一个最低分，然后计算平均成绩，你能说说这样做的好处吗？与同伴进行交流。 （1）一组数据的平均数一定在这组数据中吗？ 【思考·交流】 平均数不一定在这组数据中。 甲的平均成绩会降低。 可以减少极端值干扰，从而更公平、合理地评价表现。 运用巩固 【操作·思考】 某店铺一种商品10天中每天的销售量及顾客对店铺的评分如下面左图和右图所示。 （1）请你计算这种商品10天的平均销售量。 （2）顾客对店铺评分的众数是多少？顾客对店铺评分的平均数呢？ 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次。从1936年到2022年，共有65人获奖，获奖者获奖时的年龄分布如下图，请计算获奖者的平均获奖年龄（结果精确到0.1岁）。 获奖者的平均获奖年龄为35.8岁。 随堂练习 回顾反思 从统计图中获取众数、平均数，你有哪些经验？ 作业布置 基础性作业：完成教科书习题6.1第1，2题。 谢谢 $$ 第六章 数据的分析 1 平均数与方差（第4课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 某日，A，B两地的气温如图所示。 （1）不进行计算，说说A，B两地这一天气温的特点。 （2）分别计算这一天A，B两地气温的平均数和方差，所得结果与你刚才的看法一致吗？ 创设情境，分析数据 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛。在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：cm）如下。 甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 （1）甲、乙的平均成绩分别是多少？ （2）甲、乙这10 次选拔赛成绩的方差分别是多少？ （3）这两名运动员的选拔赛成绩各有什么特点？ （4）历届比赛成绩表明，成绩达到5.96 m就很有可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10 m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢？ 【尝试·思考】 问题变式，解决问题 【思考·交流】 10 个苹果的直径如图所示。 （1）若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分？说说你分组的理由。 （2）一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则？与同伴进行交流。 经历分类活动，探析分组原则 例 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组。 解：将10个数据由小到大排序： 65，69，70，75，76，76，78，80，80，81。 把10个数据分成两组，共有9种情况： ①第一组1个数据{65}，第二组9个数据{69，…，81}； ②第一组2个数据{65，69}，第二组8个数据{70，…，81}； …… ⑨第一组9个数据{65，…，80}，第二组1 个数据{81}。 经历分类活动，探析分组原则 同理，计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下： 计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小。因此，把10个苹果按直径大小分成的两组是{65，69，70}，{75，76，76，78，80，80，81}。 经历分类活动，探析分组原则 分组情况 组内离差平方和 第一组1个，第二组9个 146.889 第一组2个，第二组8个 98 第一组3个，第二组7个 48 第一组4个，第二组6个 74.25 第一组5个，第二组5个 98 第一组6个，第二组4个 107.583 第一组7个，第二组3个 136.095 第一组8个，第二组2个 182.375 第一组9个，第二组1个 218 回顾本节的学习，你掌握了哪些数据分析的方法？积累了哪些经验？如何将一组数据分组？与同伴进行交流。 回顾小结，积累经验 基础性作业：完成教科书第155页“随堂练习”。 课后作业 $$ 第六章 数据的分析 1 平均数与方差（第2课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 1 某馄饨店每碗有10个馄饨。其中蛋黄鲜肉馄饨15元/碗，虾仁鲜肉馄饨 15元/碗，荠菜鲜肉馄饨12元/碗，玉米鲜肉馄饨10元/碗，香芹鲜肉馄饨 10元/碗。现在计划推出一份“全家福”馄饨，其中含蛋黄鲜肉馄饨、虾仁鲜肉馄饨各1个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨、香芹鲜肉馄饨各3个。你认为这种“全家福”馄饨每碗定价多少元较为合理？你是怎么想的？与同伴进行交流。 情境引入 2 （1） 小亮认为“全家福”馄饨每碗定价应为 合作学习 【尝试·交流】 你认为他的算法合理吗？为什么？与同伴进行交流。 （2）如果“全家福”馄饨含蛋黄鲜肉馄饨3个，虾仁鲜肉馄饨3个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨1个，香芹鲜肉馄饨1个，那么该如何定价呢？若每种馄饨各2个，又该如何定价呢？ （3）你认为这种“全家福”馄饨的定价与什么有关？ 3 在很多实际问题中，一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往根据各个数据的“重要程度”赋一个“权”。例如在问题（1）的“全家福”馄饨中，蛋黄鲜肉馄饨有1个，权就是1，香芹鲜肉馄饨有3个，权就是3，我们称 为上述第一种“全家福”馄饨五种馄饨价格的加权平均数。 想一想，加权平均数和算术平均数有什么区别和联系？ 合作学习 4 例1 某校进行广播体操比赛，评分包括以下几项（每项满分10分）：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐。其中三个班的成绩见下表： 深入探究 加权平均数的应用 如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%，20%，30%，40%的比例计算各班的广播体操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？ 5 在例1中，你认为哪个评分项更为重要？请按自己的想法设计一个评分方案，并与同伴进行交流。 深入探究 加权平均数的应用 6 （1）已知 A，B 两家网站用户的日人均上网时间分别是 2 h和 1 h，这两家网站所有用户的日人均上网时间是(2＋1)÷2＝1.5(h)吗？为什么？与同伴进行交流。 （2）设 A，B 两家网站用户的日人均上网时间分别是a h和b h，A，B 两家网站平均每天的上网用户分别为m人和n人，你能求出这两家网站所有用户的日人均上网时间吗？ 深入探究 【思考·交流】 7 A，B 两家网站所有用户的日人均上网时间为(ma + nb)/(m + n) h，它不是两家网站各自用户日人均上网时间 a h和 b h的算术平均数，而是 a h和b h的加权平均数，权m/(m+n)、n/(m+n)反映了两家网站用户的分布情况。这是分布式计算的最简单形式，对于多家网站的情况也可以类似计算。在大数据时代，分布式计算具有广泛的应用。 8 课堂小结 谈谈本节课你有什么收获。 算术平均数 加权平均数 9 1.某校规定学生的体育成绩由三部分组成：早锻炼及体育课外活动表现占20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%。小颖的上述三项成绩依次是92分、80分、84分，则小颖的体育成绩是多少？ 2.举例说明加权平均数在生活中的应用。 课堂检测 10 基础性作业：完成教科书习题6.1第3，9，14题。 作业布置 11 $$