5.4二元一次方程与一次函数　课件　2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第五章 二元一次方程组 4 二元一次方程与一次函数（第2课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 1 A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行。假设他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间t（单位：h）的一次函数。骑行1 h乙距离A地80 km，骑行2 h甲距离A地30 km。经过多长时间两人相遇？ 你是怎样做的？ 方案1 （1）分别画出甲、乙s与t之间关系的图象； （2）找出两个图象交点的横坐标。 引入情境 情境探究 2 方案2：由于s是t的一次函数，因此只要分别求出甲、乙两人s与t的函数表达式，再将这两个表达式联立求解方程组，便可求得相遇时间。 方案3：分别求出甲、乙两人的骑行速度，再根据两人的距离计算相遇时间。 你是怎样做的？ 引入情境 A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行。假设他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间t（单位：h）的一次函数。骑行1 h乙距离A地80 km，骑行2 h甲距离A地30 km，经过多长时间两人相遇？ 3 方案2 代数法 （1）方案1和方案2哪一种求出的结果更准确？ （2）在方案2中，如何确定一次函数表达式呢？ 借助图象可以直观地获得结果，但往往难以获得准确的结果。为了获得准确的结果，我们一般用代数方法。 方案1 图象法 s＝15t， s＝－20t＋100。 4 例 在某汽车客运站，乘坐长途车的乘客可以免费携带一定质量的行李，超过该质量需购买行李票，且行李费y（单位：元）是行李质量x（单位：kg）的一次函数。已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元。 （1）写出y与x之间的关系式； （2）每名乘客最多可免费携带多少千克的行李？ 操作探究 5 像本例这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法。 （2）令y＝0，即x－5＝0，解得x＝30；当x＞30时，y＞0。 所以，每名乘客最多可免费携带30 kg的行李。 操作探究 解：（1）设y＝kx＋b，根据题意，得 解这个方程组，得 所以y＝x－5。 5＝60k＋b， 10＝90k＋b。 k＝， b＝－5。 例 在某汽车客运站，乘坐长途车的乘客可以免费携带一定质量的行李，超过该质量需购买行李票，且行李费y（单位：元）是行李质量x（单位：kg）的一次函数。已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元。 6 已知一次函数y＝2x＋b的图象经过点（a，7）和（－2，a），求这个函数的表达式。 借助一元二次方程组确定一次函数表达式。 【尝试·思考】 问题解决 解：将（a，7）和（－2，a）代入y＝2x＋b，得 解这个方程组，得a＝1，b＝5， 所以，这个函数的表达式为y＝2x＋5。 7＝2a＋b， a＝－4＋b。 7 我们将k，b称为一次函数的两个“基本量”。 一次函数的图象是一条直线，因此只要确定两个点就可以确定一次函数的表达式！ 形 一次函数的表达式有两个参数k，b，因此要确定一次函数的表达式，需要两个条件！ 数 结合 确定一次函数表达式，需要确定哪几个参数的值？需要几个条件？ y＝k x＋b 问题解决 y＝x－5 8 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤是什么？ 1.写出含字母系数的表达式； 2.根据题目中的条件，列出含有未知数k与b的二元一次方程组； 3.求解方程组，确定一次函数表达式。 问题解决 9 (※选用）：在例1中，y与x一次函数关系式中的k值有什么实际意义吗？ 由②-①得 30k＝5，即多30 kg行李所对应增加的费用为5元，故k值表示的是每多1 kg行李所需缴纳的费用为元。 问题解决 例 在某汽车客运站，乘坐长途车的乘客可以免费携带一定质量的行李，超过该质量需购买行李票，且行李费y（单位：元）是行李质量x（单位：kg）的一次函数。已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元。 解：（1）设y＝kx＋b，根据题意，得 ②－①，得 30k＝5， 将k＝代入① ，得b＝5， 5＝60k＋b， ① 10＝90k＋b。 ② k＝ 。 所以y＝x－5。 10 方案2：s是t的一次函数，分别求出甲、乙两人s与t的函数表达式，联立两个表达式。 学以致用 A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行。假设他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间t（单位：h）的一次函数。骑行1 h乙距离A地80 km，骑行2 h甲距离A地30 km。经过多长时间两人相遇？ 解：对于乙，设的s＝kt＋b ，根据题意，可得 解得k＝－20，故s＝－20t+100。 对于甲，同理可得s＝15t。 100＝b， 80＝k＋b。 联立表达式，可得 解这个方程组，得t＝。 s＝－20t+100， s＝15t。 2.用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤是什么？ 1.确定一次函数表达式需要几个条件？为什么？ 3.通过本节课的学习，你能进一步说说二元一次方程和一次函数之间的联系吗？ 4.本节课你还有哪些收获？ 交流总结 12 1.基础性作业：完成教科书习题5.4 第5~7题。 2.发展性作业： 阅读本课拓展资源，认识一次函数的“倾斜程度”可以用斜率表示，并尝试总结求斜率的一般公式。 作业布置 13 谢谢 14 $$ 第五章 二元一次方程组 4 二元一次方程与一次函数（第1课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 引入情境 （1）方程 x＋y＝5的解有多少个？写出其中的几个。 （2）在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y＝5－x的图象上吗？ 解：描出的点在一次函数y＝5－x的图象上。 解：方程 x＋y＝5的解有无数个，如 x＝－1， y＝6； x＝0， y＝5； x＝1， y＝4。 情境感知 引入情境 （3）在一次函数y＝5－x的图象上任取一点，它的坐标满足方程 x＋y＝5吗？ （4）以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y＝5－x的图象相同吗？ 解：所取点的坐标满足方程x＋y＝5 。 解：以方程x＋y＝5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同，是同一条直线。 情境感知 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线。 引入情境 转化 “数” “形” x＋y＝5 y＝5－x （a，b） 归纳思考 操作探究 如图，在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组 的解有什么关系？ 【操作·思考】 x＋y＝5， 2x－y＝1 解：一次函数y＝5－x与y＝2x－1图象的交点为A（2，3），而 就是方程组 的解。 x＝2， y＝3 x＋y＝5， 2x－y＝1 操作探究 一般地，从图形的角度看，确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点坐标。 小结 例1 已知方程组 的解是 试求直线y＝3x－3与 的交点坐标。 问题解决 解：由二元一次方程组与一次函数的关系，可得交点坐标为（ ，1）。 －3x＋y＋3＝0， 3x＋2y－6＝0 x＝， y＝1， 问题解决 例2 如图，已知直线 y＝mx与y＝kx＋3（m≠0，k≠0，m，k为常数）的交点坐标为P（1，2）。 （1）试确定方程组 的解； 解：由点P（1，2）可得，所求方程组的解为 y＝mx， y＝kx＋3 x＝1， y＝2。 y＝mx y＝kx＋3 解：画出一次函数y＝kx－3的图象，由图可知，所求方程组的解为 y＝mx y＝kx＋3 问题解决 例2 如图，已知直线 y＝mx与y＝kx＋3（m≠0，k≠0，m，k为常数）的交点坐标为P（1，2）。 y＝kx－3 （2）试确定方程组 的解。 y＝mx， y＝kx－3 x＝－1， y＝－2。 拓展探究 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1与y＝x－2的图象有怎样的位置关系？方程组 解的情况如何？你发现了什么？与同伴进行交流。 方程组 无解 两直线 平行 【思考·交流】 x－y＝－1， x－y＝2 方程组 无数解 两直线 重合 拓展探究 解的情况如何？你是怎么考虑的呢？ 例3 方程组 2x－y＝－3， －4x＋2y＝6 拓展探究 二元一次方程组的解与相应两条直线的位置关系有怎样的关联？ 二元一次方程组解的情况 无解 无数解 仅有一解 平行 重合 相交 相应两条直线的位置关系 交流总结 （1）通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识、数学方法， 感悟到了哪些数学思想？ （2）我们是如何发现二元一次方程(组)与一次函数之间的关系 的？ 回顾反思 1 交流总结 构建框架 2 二元一次方程 一次函数 解（点） 公共解 直线交点坐标 直线（点） 操作试验 观察、猜想、验证等方法 数形结合思想 转化思想等 作业布置 1.基础性作业：教科书习题5.4 第1~3题。 2.发展性作业： （1）图中两条直线l1与l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解？ （2）已知y1＝2x＋1，y2＝－x＋4，当x取哪些值时，y1＜y2 ？你是怎样做的？ $$