5.3二元一次方程组的应用　课件　2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦八年级上册“二元一次方程组的应用”，以《孙子算经》“雉兔同笼”问题导入，通过情境感知与探索交流，引导学生分析量及等量关系，对比算术法、一元一次方程与二元一次方程组解法，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于融合中外数学名题，如《张丘建算经》《九章算术》及斐波纳奇问题，渗透数学文化。通过方法对比与问题探究，培养学生抽象能力、推理意识与模型意识，助力学生用数学思维解决实际问题，也为教师提供丰富情境与例题资源。

第五章 二元一次方程组 3 二元一次方程组的应用（第3课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 1 情境引入，初步认知 如图（单位：cm），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ 小长方形的长、宽，大长方形的长、宽。 它们之间的等量关系有： 小长方形的长＋小长方形的宽＝40 cm， 小长方形的长＝小长方形的宽×3， 小长方形的长×2＝小长方形的长＋小长方形的宽×3。 2 y y y y x x x x 所以，每块小长方形墙砖的长为30 cm，宽为10 cm。 解：设每块小长方形墙砖的长为x cm，宽为y cm。 根据题意，得 或 x＋y＝40， 2x＝3y＋x。 解这个方程组，得 x＝30， y＝10。 如图（单位：cm），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 情境引入，初步认知 （2）你能列方程组解决这个问题吗？ x＋y＝40， x＝3y。 3 某糕点包装盒的展开图如图所示。如果长方体盒子的宽比长少4cm，求这种糕点包装盒的体积？ 解：设包装盒的宽为x cm，高为y cm，则包装盒的长为(x＋4) cm。 xy(x＋4)＝5×2×(5＋4)＝90 cm3。 根据题意，得 2x＋2y＝14， (x＋4)＋2y＝13。 解这个方程组，得 x＝5， y＝2。 情境引入，初步认知 所以，这种糕点包装盒的体积为90 cm3。 4 思考探究，获取新知 例 火车以40 m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30 s，其中火车全身都在隧道里的时间是20 s，求隧道和火车的长度。 分析： （1）这个问题涉及哪些量？ （2）你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程吗？ 速度、时间、路程。 “从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程如图所示。 5 （3）在“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”这种情况下，火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间有什么关系？ （4）类似地，对于“火车全身都在隧道里”的情形，你能得到相应的关系吗？ 火车行驶路程＝隧道长度＋火车长度。 火车行驶路程＝隧道长度－火车长度。 “火车全身都在隧道里”的过程如图所示。 思考探究，获取新知 6 所以，隧道和火车的长度分别是1 000 m和200 m。 解：设隧道的长度为x m，火车的长度为y m。 “从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程 “火车全身都在隧道里”的过程 根据题意，得 x＋y＝40×30， x－y＝40×20。 解这个方程组，得 x＝1 000， y＝200。 思考探究，获取新知 例 火车以40 m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30 s，其中火车全身都在隧道里的时间是20 s，求隧道和火车的长度。 7 对较为复杂的问题，利用线段图梳理题目的关键信息，便于厘清题目中的未知量、已知量以及等量关系。 学法小结 “从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程 “火车全身都在隧道里”的过程 思考探究，获取新知 8 运用新知，深化理解 回声是一种自然现象。当声波投射到距离声源有一段距离的大面积障碍物上时，声能的一部分被吸收，而另一部分会反射回来，这种反射回来的声音叫“回声”。如果听者听到由声源直接发来的声音和由反射回来的声音的时间间隔超过十分之一秒，他就能分辨出两个声音。 某测量员是这样利用回声测距离的：他站在两平行峭壁间某一位置鸣枪，听到两次回声的时间间隔为0.5 s，已知两峭壁间的水平距离为425 m，声传播速度为340 m/s，则他到两峭壁的距离分别有多远？ 9 根据题意，得 所以，测量员到两峭壁的距离分别为170 m和255 m。 解：设鸣枪后x s听到第一次回声，y s听到第二次回声。 425米 峭壁A 峭壁B 测量点 声音y s传播距离的 声音x s传播距离的 y－x＝0.5， ×340x＋ ×340y＝425。 解这个方程组，得 x＝1， y＝1.5。 1×340÷2＝170 m，1.5×340÷2＝255 m。 运用新知，深化理解 10 解：设测量点到峭壁A的距离为x m，到峭壁B的距离为y m。 （2）试比较哪一种方法更容易列出方程组，哪一种方法更容易解方程组。 （1）你还有其他设未知数的方法吗？列出的方程组一样吗？ 根据题意，得 x＋y＝425， ＋0.5＝。 解这个方程组，得 x＝170， y＝255。 所以，测量员到两峭壁的距离分别为170 m和255 m。 运用新知，深化理解 425 m 峭壁A 峭壁B 测量点 y m x m 11 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同伴进行交流。 （1）审，通过审题将实际问题抽象成数学问题，分析已知量、未知量，找出可以表示题意的两个等量关系； （2）设，设未知数表示未知量； （3）列，根据等量关系，列出方程组； （4）解，解这个方程组，求出两个未知数的值； （5）答，在对求出的解做出是否合理的判断的基础上，写出答案。 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤可概括为“审、设、列、解、答”五步，即 运用新知，深化理解 【思考·交流】 12 师生互动，课堂小结 回顾列方程组解决实际问题的学习过程，你对如何列方程有哪些新的认识，积累了哪些经验？ 实际问题 数学问题 （列二元一次方程组） 实际问题的答案 数学问题的解 （二元一次方程组的解） 设未知数，列方程组 检验 解方程组 代入法 加减法 （消元） 【回顾·反思】 13 回顾列方程组解决实际问题的学习过程，你对如何列方程有哪些新的认识，积累了哪些经验？ 处理实际问题的方法是多种多样的，表格法、线段图法等分析方法，能更直观地展现出数量关系，可根据具体问题灵活选用。 师生互动，课堂小结 【回顾·反思】 14 作业布置 1. 基础性作业： 习题5.3 第11，12，13题。 如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知A(－6，18)，求长方形纸片的长和宽各是多少，并求点B的坐标。 2. 发展性作业： 15 $$ 第五章 二元一次方程组 3 二元一次方程组的应用（第1课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 1 情境引入 情境感知 《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉兔各几何？ 2 情境引入 （1）这个问题涉及哪些量？ （2）这些量之间有怎样的等量关系？ （3）你能列方程组解决这个有趣的问题吗？你是怎么做的？与同伴进行交流。 探索交流 《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉兔各几何？ 3 方法一：列二元一次方程组 解：设笼中有鸡x只、兔y只， 根据以上分析，得方程组 ， 。 解这个方程组，得 ， 。 所以，笼中有鸡23只、兔12只。 你能用一元一次方程或小学的算术方法求解这个问题吗？ 情境引入 4 方法二：算术法 解：若笼中全部是鸡， 那么脚共有35×2＝70（只）。 这样就多出94－70＝24（只）脚， 所以兔就有24÷2＝12（只）。 那么鸡就有35－12＝23（只）。 情境引入 5 解：设笼中有鸡x只，则兔有(35－x)只， 由题意，得 2x＋4(35－x)＝94。 解得x＝23。 35－23＝12（只）， 所以，笼中有鸡23只、兔12只。 方法三：列一元一次方程 情境引入 6 你觉得以上方法有什么区别和联系？ 情境引入 7 探索新知 列方程组求解下面的问题： 若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？[ 选自意大利数学家斐波纳奇（Leonardo Fibonacci，约1170一约1240）的《计算之书》] （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ （2）你能列方程组解决这个问题吗？你是怎么做的？ （3）你能用一元一次方程或小学学过的算术方法求解吗？你觉得哪种方法更简单？ 【尝试·思考】 8 探索新知 若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？ 解：设甲原来拥有x第纳尔，乙原来拥有y第纳尔，根据题意，得 ， 。 解这个方程组，得 ， 。 所以，甲原来拥有第纳尔，乙原来拥有第纳尔。 9 典例精析 例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问：甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》） 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱？ 思考：题目中有哪些等量关系？你能用含未知量的式子表示这些等量关系吗？ 10 典例精析 例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问：甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》） 解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y， 根据题意，得 ， 。 解这个方程组，得 ， 。 所以，甲带了38钱，乙带了18钱。 11 列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系？与同伴进行交流。 典例精析 【思考·交流】 12 1. 今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。问：牛、羊各直金几何？（选自《九章算术》） 题目大意：5头牛、2只羊共值10两“金”；2头牛、5只羊共值8两“金”。每头牛、每只羊各值多少“金”？ 迁移应用 解：设牛直金x两，羊直金y两，根据题意，得 解这个方程组，得 所以，牛直金 两，羊直金。 ， 。 ， 。 13 2. 今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺。问：井深及绳长各若干？（选自《算法统宗》） 题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺。绳长、井深各是多少尺？ 迁移应用 14 2. 今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺。问：井深及绳长各若干？（选自《算法统宗》） 迁移应用 解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意，得 解这个方程组，得 所以，绳长36尺，井深8尺。 ， 。 ， 。 15 课堂小结 1.解决现实问题的常用思路有哪些？分别体现了什么数学思想？ 2.列方程解决实际问题的基本路径是怎样的？ 16 课堂小结 列二元一次方程组解决实际问题的过程是怎样的？ 17 作业布置 1.基础性作业： 习题5.3 第4，5，6，14题。　 2.拓展性作业： 阅读课后拓展资源，进一步了解“雉兔同笼”的前世今生，体会“雉兔同笼”问题的文化价值。 18 $$ 第五章 二元一次方程组 3 二元一次方程组的应用（第2课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 1 某工厂前年的总利润（总收入－总支出）为200万元。去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的总利润为780万元。前年的总收入、总支出各是多少万元？ （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ （2）你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流。 创设情境，建立模型 2 创设情境，建立模型 解：设前年的总收入为x万元，总支出为y万元。 所以，前年的总收入是2 000万元，总支出是1 800万元。 解这个方程组，得 x＝2 000， y＝1 800。 x－y＝200， (1＋20%)x－(1－10%)y＝780。 根据题意，得 3 例 医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品。每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？ 分析：设每餐用甲原料x g、乙原料y g，则有 成分 甲原料x g 乙原料y g 所配制的营养品 其中所含蛋白质 其中所含铁质 0.5x x 0.7y 0.4y 35 40 迁移应用，深化理解 4 迁移应用，深化理解 在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息？对此你有哪些心得体会？与同伴进行交流。 【思考·交流】 5 所以，每餐用甲原料28 g、乙原料30 g可以恰好满足患者的需要。 根据题意，得 0.5x＋0.7y＝35， x＋0.4y＝40。 x＝28， y＝30。 解这个方程组，得 解：设每餐用甲原料x g、乙原料y g， 迁移应用，深化理解 6 1.甲、乙两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%。如果甲班学生的体育达标率为87.5%，乙班学生的体育达标率为75%，那么甲、乙两班各有多少名学生？ 设甲班有x名学生，乙班有y名学生，填写下表并求出x，y的值。 人数 甲班 乙班 两班总和 学生人数 x y 100 达标学生人数 87.5%x 75%y 100×81% 练习巩固，反馈矫正 7 练习巩固，反馈矫正 解：设甲班有x名学生，乙班有y名学生，根据题意，得 所以，甲班有48名学生，乙班有52名学生。 x＋y＝100， 87.5%x＋75%y＝100×81%。 x=48， y=52。 解这个方程组，得 8 练习巩固，反馈矫正 2.某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40 kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价见下表： 价格 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg） 2.4 2 零售价/（元/kg） 3.6 2.8 解：设该蔬菜经营户批发了黄瓜xkg，茄子ykg，根据题意，得 他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少元？ 解这个方程组，得 25×(3.6－2.4)＋15×(2.8－2)＝42（元）。 所以，他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚42元。 x＋y＝40， 2.4x＋2y＝90。 x＝25， y＝15。 9 总结归纳，形成联结 1.列方程组解决实际问题的过程中，你借助了什么工具进行分析？ 2.利用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤有哪些？ 10 1.基础性作业： 习题5.3第7，8，10题。 2.发展性作业： 查阅资料，进一步了解阿基米德与皇冠的故事，类比曹冲称象，感受其异同。　　　　 布置作业，迁移延伸 11 谢谢 12 $$