4.2认识一次函数课件2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数的“均匀变化”概念，通过水龙头滴漏实验导入，引导学生动手记录时间与漏水量数据，从具体操作到数据分析，为理解一次函数表达式和图像搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是以生活情境驱动探究，学生通过实验收集数据、分析规律，体现数学眼光（量感、抽象能力）和数学思维（推理意识），用表格、图像、关系式表达变量关系培养数学语言（模型意识）。实例贴近生活，如驱蚊线香燃烧问题，帮助学生从生活中发现数学，也为教师提供了可操作的探究式教学方案。

第四章 一次函数 2 认识一次函数（第2课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 创设情境 弹簧问题 在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的关系见下表： （1）随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的变化是“均匀”的吗? （2）写出y与x之间的关系式，并说明理由。 x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 创设情境 【尝试·思考】 某辆汽车油箱中原有汽油40L，汽车每行驶50km耗油4L。 （1）请完成下表。 （2）写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式。 （3）写出油箱剩余油量z（单位：L ）与汽车行驶路程x之间的关系式。 行驶路程x/km 0 50 100 150 200 250 300 耗油量y/L               呈现定义 （1）在上面情境中，我们得到y＝3+0.5x，y＝0.08x，z＝40－0.08x，它们有什么共同的特征? （2）请你写出一个具有这种特点的关系式。 如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数。 对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k，函数值的变化是“均匀”的。 【观察·思考】 呈现定义 例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的关系； （2）圆的面积y（单位：cm²）与它的半径x（单位：cm）之间的关系； （3）某水池有水15m³，现在打开进水管进水，进水速度为5m³/h，经过x h这个水池内有水y m³。 （1）在例1中，两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少？它们的实际意义是什么？ （2）一般地，k，b 对一次函数y＝kx+b有怎样的影响？与同伴进行交流。 呈现定义 【思考·交流】 简单应用 例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35km/h。 （1）假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y（单位：km/h）与刹车后所经过的时间t（单位：s）之间的关系式y＝kt+b，并说明k和b的实际意义； 解：（1）刹车开始时汽车的速度为120km/h，每过1s汽车的速度减少35km/h，于是经过t s汽车的速度减少了35t km/h，所以y与t的关系式是 y＝－35t+120其中， k＝－35表示每秒汽车速度的变化量，b＝120表示刹车开始时汽车的速度。 简单应用 例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35km/h。 （2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间（结果精确到0.01s）。 解：（2）汽车停止时速度y＝0，解方程0＝－35t+120，得 。因此，该汽车从刹车到停止所需的时间约为3.43s。 反思回顾 总结提升 结合本节课所学内容，请总结一次函数的定义及特征。 布置作业 1. 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加3m/s，小球的速度y（单位：m/s）与时间x（单位：s）之间的关系； （2）周长为10cm的长方形，其面积y（单位：cm2）与该长方形的一边长x（单位：cm）之间的关系。 基础作业 布置作业 2. 如图，甲、乙两地相距500km，一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h的速度向丙地行驶。设x（单位：h）表示列车行驶的时间，y（单位：km）表示列车与甲地之间的距离。 （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x＝0.5时，求y的值。 基础作业 布置作业 1. 在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入同一种围棋子。随着投入围棋子数量的增加（投入的围棋子均能被水淹没且水未溢出），量筒中水面会升高。 （1）不做实验，你认为这样的升高是“均匀”的吗？说说你的理由。 （2）实际做一做实验，验证你的想法。 选做作业 布置作业 2. 在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入小石子。随着投入石子数量的增加（投入的小石子均能被水淹没且水未溢出），量筒中水面会升高。为了保证水面均匀升高，你认为对石子应该有什么要求？ 3.写出两个一次函数的表达式，其中有一个是正比例函数，并尝试给写出的两个一次函数补充相应的实际背景。 选做作业 谢谢 $$ 第四章 一次函数 2 认识一次函数（第3课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 复习旧知，梳理脉络 通过前面的学习，你对一次函数有哪些认识呢？ 创设情境，建构新知 某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元。乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元（不足1km按1km计算）。 （1）假设该单位用车里程为30km，你建议租用哪家公司的客车？ 解：设该单位用车里程为x km，租用甲公司客车的车费为y甲元，租用乙公司客车的车费为y乙元，则y甲＝15x，y乙＝10x+200。 （1）当x＝30时，y甲＝15×30＝450（元），y乙＝10×30+200＝500（元）。 由于 450＜500， 建议租用甲公司的客车。 创设情境，建构新知 某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元。乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元（不足1km按1km计算）。 （2）假设该单位用车里程为52km，你建议租用哪家公司的客车？ 解：设该单位用车里程为x km，租用甲公司客车的车费为y甲元，租用乙公司客车的车费为y乙元，则y甲＝15x，y乙＝10x+200。 （2）当x＝52时，y甲＝15×52＝780（元），y乙＝10×52+200＝720（元）。 由于 780＞720， 建议租用乙公司的客车。 创设情境，建构新知 某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元。乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元（不足1km按1km计算）。 （3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 解：设该单位用车里程为x km，租用甲公司客车的车费为y甲元，租用乙公司客车的车费为y乙元，则y甲＝15x，y乙＝10x+200。 （3）由y甲＝y乙，得15x＝10x+200， 解得 x＝40。 因此，用车里程为40km时，两家出租车公司的收费相同。 方法迁移，深化理解 （1）当220＜x≤300时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； 解：（1）当220＜x≤300时，用水量属于第二档。于是 y＝3.45×220+4.83×（x－220）， 即 y＝4.83x－303.6。 例1 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量x/m3 单价/（元/m3） 第一档 0＜x≤220 3.45 第二档 220＜x≤300 4.83 第三档 x＞300 5.83 方法迁移，深化理解 例1 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： （2）某户一年用水量是250m3，求该户这一年的水费； 计费档 户年用水量x/m3 单价/（元/m3） 第一档 0＜x≤220 3.45 第二档 220＜x≤300 4.83 第三档 x＞300 5.83 解：（2）当x＝250时，y＝4.83×250－303.6＝903.9（元）。 方法迁移，深化理解 例1 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水 量及分档计费标准： （3）某户去年一年的水费是1 000.5元，求该户去年一年的用水量。 计费档 户年用水量x/m3 单价/（元/m3） 第一档 0＜x≤220 3.45 第二档 220＜x≤300 4.83 第三档 x＞300 5.83 解：（3）因为3.45×220＝759，4.83×300－303.6＝1 145.4， 759＜1 000.5＜1 145.4， 所以该户年用水量属于第二档。 设该户去年一年的用水量为xm3，则1 000.5＝4.83x－303.6。 解这个方程，得 x＝270。 因此，该户去年一年的用水量为270m3。 方法迁移，深化理解 （1）在例1中，当x＞300时，你能写出水费 y（单位：元）与用水量x之间的关系式吗？ （2）像例1这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？生活中还有哪些情况用到类似的计费方法？ 例1 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量x/m3 单价/（元/m3） 第一档 0＜x≤220 3.45 第二档 220＜x≤300 4.83 第三档 x＞300 5.83 【尝试·思考】 课堂练习，巩固知识 1.某手机通讯公司的A类收费标准如下：月租费12元，另外，每分钟通话的费用0.2元。B类收费标准如下：月租费0元，每分钟通话的费用0.25元。 （1）若每月平均通话时间为300 min，选择_____类收费方式更省钱； （2）若本月的话费为62元，则采用_____类收费标准的通话时间长； （3）请根据A类收费标准，写出话费 y（单位：元）与通话时间x（单位：min）之间的关系式。 解：（3）y＝12+0.2x。 A A 课堂练习，巩固知识 2.为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用。下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： （1）当300＜x≤600时，写出燃气费 y（单位：元）与x之间的关系式； 计费档 户年用气量x/m3 单价/（元/m3） 第一档 0＜x≤300 2.73 第二档 300＜x≤600 3.28 第三档 x＞600 3.82 解：（1）当300＜x≤600时，用气量属于第二档。于是 y＝2.73×300+3.28×（x－300），即 y ＝3.28x－165。 课堂练习，巩固知识 2.为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用。下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： （2）某户一年用气量是400m3，求该户这一年的燃气费； 解：（2） 当x＝400时， y＝3.28×400－165＝1 147（元）； 因此，某户一年用气量是400m3时，一年的燃气费为1 147元； 计费档 户年用气量x/m3 单价/（元/m3） 第一档 0＜x≤300 2.73 第二档 300＜x≤600 3.28 第三档 x＞600 3.82 课堂练习，巩固知识 2.为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用。下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： （3）某户去年一年的燃气费是1 311元，求该户去年一年的用气量。 计费档 户年用气量x/m3 单价/（元/m3） 第一档 0＜x≤300 2.73 第二档 300＜x≤600 3.28 第三档 x＞600 3.82 解：（3）因为 2.73×300＝819，3.28×600－165＝1 803； 又819＜1 131＜1 803， 所以该户年用气量属于第二档。 设该户去年一年的用气量为xm3，则1 311＝3.28x－165， 解这个方程，得 x＝450。 因此，某户去年一年的燃气费是1 311元时，该户去年一年的用气量为450m3。 课堂总结，反思升华 （1）本节课你有哪些收获？还有什么困惑？请从知识、思想方法、研究经验等方面谈谈。 （2）我们已知函数有三种表达方式，对于一次函数，你认为我们接下来可能会深入研究什么内容？ 谢谢 $$ 第四章 一次函数 2 认识一次函数（第1课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 情境引入 第四十七届联合国大会作出决议，确定每年的3月22日为“世界水日（World Water Day）”。1988年，《中华人民共和国水法》颁布后，水利部即确定每年的7月1日至7日为“中国水周”，考虑到世界水日与中国水周的主旨和内容基本相同，因此自1994年开始，“中国水周”的时间改为每年的3月22日至28日。2019年4月，经中央深改委审议通过的《国家节水行动方案》印发实施，标志着节水上升为国家意志和全民行动。据调查，2020年，我国人均生活用水量为：城镇（含公共用水）207L/d，农村100L/d。节约用水，人人有责，在生活中做好每一件小事，用行动践行节约用水。 一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗？先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流。 思考 将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔1 min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表。在坐标纸上描出（t，V）对应的点。你认为漏水量的变化具有什么规律？请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少? 时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量V/mL 【操作·思考】 情境引入 数据分析 【操作·思考】 （1）各小组展示课前完成的任务，汇报各自收集到的数据，以及在坐标纸上描出的（t，V）对应点的图象，并据此估计：自己小组实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗？ （2）分析自己组的实验数据，你能写出漏水量V与时间t之间的关系式吗？ （3）不同组的实验结果有何异同？ 寻找异同 【思考·交流】 分享各组的实验结果，并交流下列问题: （1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处? （2）引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和关系式的影响分别体现在哪些方面? （3）假如水龙头漏水严重一些，表格、图象和关系式可能会发生什么变化?为什么? 类比应用 为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1 min测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下: （1）根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出（t，l）对应的点。 （2）估计燃烧10 min后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。 （3）估计这根香可燃烧的时间，并说明理由。 （4）试写出这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t之间的关系式。 限时：4 min。 燃烧时间t/min 1 2 3 4 5 … 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 … 【操作·思考】 类比应用 在小颖的实验中，燃烧时间每增加1 min，香可燃烧部分的长度就减少0.5 cm。也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢?与同伴进行交流。 【思考·交流】 课堂小结 特殊的变化规律——均匀变化。 特殊的函数—— 一次函数 。 表示方式（表格、图象和关系式）的特殊性。 即将学习 布置作业 1. 根据下列信息，判断是否为“均匀”变化。 （1） （2） 2. “驱蚊线香可燃烧的时间”问题中，为什么香的燃烧会“均匀”变化？ 3. 生活中还有哪些“均匀”变化的现象？试举两例。 自变量x 0.5 1 1.5 2 2.5 … 因变量y －1 －1.8 －2.6 －3.4 －4.2 … （3） 。 谢谢 $$