2.2 平方根与立方根 课件 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

第二章 实数 2 平方根与立方根（第1课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 根据图填空： x2＝ , y2＝ , z2＝ , w2＝ 。 思考完成（小组讨论 ）： 你能用你所学知识表达哪些直角三角形斜边的长？ 创设情境，引发思考 内容1：情境引出新概念 已知幂和指数，求底数，你能求出来吗？ 理解概念 x2＝2, y2＝3, z2＝4, w2＝5。 认识新知 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”。 特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即＝0。 思考完成（小组讨论）： 1.如何表示算术平方根？ 2.什么样的数有算术平方根？ 理解概念 自主探究 例1 求下列各数的算术平方根： （1）900； （2）49； （3）121； （4）225； （5）0.09；（6）0.64；（7）0.81；（8）2.25； （9）； （10）； （11）14； （12）15。 理解概念 解（1）因为302＝900，所以900的算术平方根是30，即＝30； （2）因为72＝49，所以49的算术平方根是7，即＝7； （3）因为112＝121，所以121的算术平方根是11，即＝11； （4）因为152＝225，所以225的算术平方根是15，即＝15； （5）因为0.32＝0.09，所以0.09的算术平方根是0.3，即＝0.3； （6）因为0.82＝0.64，所以0.64的算术平方根是0.8，即＝0.8； 理解概念 （7）因为0.92＝0.81，所以0.81的算术平方根是0.9，即＝0.9； （8）因为1.52＝2.25，所以2.25的算术平方根是1.5，即＝1.5； （9）因为＝ ，所以 的算术平方根是 ，即 ＝ ； （10）因为＝ ，所以 的算术平方根是 ，即＝ ； （11）14的算术平方根是； （12）15的算术平方根是 。 理解概念 （1）在上面例1中，一些数的算术平方根的结果没有“”了，这些数有什么特点？ （2）在上面例1中，＝30，也就是＝30。一般地，当a≥0时，＝a成立吗？ （3）()2 ＝a成立吗？这里的a是什么数？你是怎么理解的？与同伴进行交流。 思考·交流 思考交流 当a≥0时，＝a，()2＝a；当a0时，＝－a。 应用举例 例2 由静止自由下落的物体下落的距离s（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系为s＝4.9t2。有一个铁球从19.6 m高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：将 s＝19.6代入公式 s＝4.9t2，得 t2＝4， 所以 t＝＝2。 因此，铁球到达地面需要2 s。 思考交流 1. 求下列各数的算术平方根： （1）36；（2）1；（3）15；（4）0.64 ；（5）10－6；（6） 2. 下列说法正确的是（ ）。 A. 5是25的算术平方根 B. 4是16的算术平方根 C. －6是(－6)2的算术平方根 D. 0.01是0.1的算术平方根 3. 正数 的平方为；(－5)2的算术平方根为 。 4. 若一个数的算术平方根是，则这个数是 。 5. 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，求AB的长。 尝试运用，巩固概念 6. 如图，从帐篷支撑杆AB的顶部 A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷。若绳子的长度为8 m，地面固定点 C 到帐篷支撑杆底部B的距离为6.4 m，则帐篷支撑杆的高是多少？ 尝试运用，巩固概念 （1）算术平方根的概念，式子中a的双重非负性： 一是a≥0，二是≥0。 （2）算术平方根的性质： 一个正数的算术平方根是一个正数； （3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，可以利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根。 0的算术平方根是0； 负数没有算术平方根。 课堂小结，布置作业 1.习题2.2 第1题、第3题（1）~（8）、第16~18题。 2.查找算术平方根的相关资料，与同伴分享交流。 课堂小结，布置作业 $$ 第二章 实数 2 平方根与立方根（第2课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 1 （1）3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗？ （2）平方等于 的数有几个？平方等于0.64的数呢？ 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作二次方根）。 答：－3的平方也是9。 答：平方等于 的数有2个，平方等于0.64的数也有2个。 复习旧知，引入新知 2 【尝试·思考】 （1）平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点？ （2）一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？ 形成概念，辨析概念 3 相同点： 平方根和算术平方根的相同点和不同点： 1. 只有非负数才有平方根和算术平方根。 2. 0的平方根是0，算术平方根也是0。 不同点： 个数不同。一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根。 一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 形成概念，辨析概念 4 明晰概念 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数。 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根 ，另一个是 ，他们互为相反数。这两个平方根合起来可以记作 ，读作“正、负根号a”。 形成概念，辨析概念 5 例1 求下列各数的平方根： （1）64； （3）0.000 4； （5）11。 （4） ； （2） ； 尝试运用，巩固概念 6 解：因为(8)2=64，所以64的平方根是8，即 ； 解：因为()2= ，所以的平方根是，即 ； 尝试运用，巩固概念 例1 求下列各数的平方根： （1）64； （2） ； 7 解：因为(0.02)2=0.000 4，所以0.000 4的平方根是0.02，即=0.02； 解：因为(25)2=(-25)2 ，所以(-25)2的平方根为 ，即 ； 解：11的平方根是 。 尝试运用，巩固概念 （3）0.000 4； （4） ； （5）11。 8 例2 求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） 。 解：（1） ； （2） ； （3） 。 尝试运用，巩固概念 9 1. 求下列各数的平方根： 1.44，0，8， ，441，196， 。 解：平方根分别为： ，0， ， ， ， ， 。 尝试运用，巩固概念 随堂练习 10 2. 25的平方根 ， 的平方根是_____， 的平方根是____； 3. ＝___ ， ＝____， ＝____。 ±5 5 ±3 5 5 尝试运用，巩固概念 随堂练习 11 2. 下列说法不正确的是______。 A.0的平方根是0 B. 的平方根是2 C.非负数的平方根互为相反数 D.一个正整数的算术平方根一定大于这个数的相反数 1. 下列说法正确的是 _________。 ① -3是 的平方根； ②25的平方根是5； ③ -36的平方根是-6； ④平方根等于0的数是0； ⑤6的算术平方根是8。 巩固练习 ① ④ B 尝试运用，巩固概念 12 3. 已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）。 A. a+1 B. C. a2+1 D. D 尝试运用，巩固概念 巩固练习 13 课堂小结，布置作业 运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法。若被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根。若被开方数是带分数，则先要把它化为假分数。 注意要弄清 ， ， 的意义， 不能用来表示a的平方根。 如：64的平方根不要写成 。 课堂小结 14 议一议 一个正数有几个平方根？它们是什么关系？ 0的平方根有几个？ 负数有平方根吗? 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 0的平方根有一个，0的平方根是0。 负数没有平方根。 课堂小结，布置作业 课堂小结 15 知识总结 一个正数有两个平方根，0的平方根是0。 负数没有平方根。 方法总结 求一个数的平方根就是转化为寻找哪个数的平方等于这个数。 平方与开方的互化关系。 若 ，则x叫作a的平方根， 。 课堂小结，布置作业 课堂小结 16 布置作业 习题2.2 知识技能：第2，4, 5题。 问题解决：第19，20，21，22题。 课堂小结，布置作业 17 $$ 第二章 实数 2 平方根与立方根（第4课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 1 1. 能通过估算检验计算结果的合理性。 2. 能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。 3. 会求一个无理数的整数部分和小数部分。 展示学习目标 2 情境引入，提出问题 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2。 （1）公园的宽大约是多少？它有1 000 m吗？ （2）如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流。 （3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，你能估计它的半径吗（结果精确到1 m）？ 引例 3 答:（1）公园的宽大约是几百米，它没有1 000 m。 （2）如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是450 m。 （3）它的半径大约是16 m。 情境引入，提出问题 4 理解概念 【思考·交流】 （1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流。 ≈0.66， ≈96， ≈60.4。 答： ≈0.66是错误的， ≈96是错误的， ≈60.4是错误的。 5 （2）你能估算 的大小吗（结果精确到1）？ 理解概念 【思考·交流】 答： ≈10。 6 （3）宽与长之比为 的长方形称为“黄金矩形”。你能比较 与 的大小吗？你是怎么想的？ 理解概念 【思考·交流】 答：因为2， 所以1，因此 。 7 例 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定。如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗？ 活动探究 8 活动探究 解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为 x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的 。根据勾股定理 ，有 x2+()2=62, 即 x2=32，x=。 因为5.62=31.3632，所以5.6。 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头。 9 活动探究 （1）观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.000 1）：① ；② 。 （2）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加，你发现了什么？改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律。 【尝试·思考】 10 尝试反馈，巩固练习 1. 估计下列各数的大小： （1） （结果精确到0.1）； （2） （结果精确到1）。 11 尝试反馈，巩固练习 解：（1）因为913.6，即 313.6 ，所以34。 又因为3.6=12.96， 3.7=13.69，可知13.6更接近13.69， 因此， ≈ 3.7 。 （2）因为93=999=729， 103=101010=1000，且728， 所以9 。 又因为800更接近729，因此， ≈ 9。 12 尝试反馈，巩固练习 2. 比较与2.5的大小。你是怎么做的？ 3. 一个人平均每天要饮用大约0.0015 m3的各种液体，按70岁计算，他所饮用的液体总量大约为40 m3。如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（π取3.14，结果精确到1 m）？ 13 尝试反馈，巩固练习 解：2. 因为2.52=6.256，所以2.5。 3. 设这个容器高xm，据题意，得 2 x=40。 解得x= ≈ 4。 因此，这个容器大约有4 m高。 14 课堂小结，反思归纳 1. 如何估计一个无理数的近似值？ 答：估计一个无理数的近似值，可以采用“两头逼近”的方法，逐步确定这个无理数的整数部分，小数部分的十分位，百分位…… 2. 如何比较两个无理数的大小（或一个无理数与一个有理数的大小）？ 答：估算法、作差法、平方法、运用计算器等。 15 布置作业 基础作业 1. 估计下列各数的大小： （1） （结果精确到1）； （2） （结果精确到0.1）。 2. 下列计算结果正确吗？说说你的理由。 （1） ；（2） 。 16 布置作业 3. 当人站在离地面h km的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为d km，d≈112。某人站在810 m的高处，在没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少千米？ 17 布置作业 拓展作业 1. 通过估算，比较下列各组数的大小： （1） ， ；（2） ，3.85；（3） ， 。 2. 物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度，它的计算公式为 ，其中 m/s, m，求第一宇宙速度（结果精确到100 m/s）。 18 布置作业 3. 阅读材料：因为4<7<9，所以，即2<<3，所以的整数部分为2，小数部分为-2。请根据上述信息解答下列问题： （1）若的整数部分为x，小数部分为y，则 x= ， y= ； （2）已知的整数部分为m，且(x+1)2=m，请求出满足条件的未知数x的值。 19 $$ 第二章 实数 2 平方根与立方根（第3课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 展示学习目标 1. 了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。（重点） 2. 能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和立方互为逆运算。（难点） 情境引入，提出问题 引例 图1是由大小相同的小立方块搭成的几何体。如果这个几何体的体积为216 cm3，那么每个小立方块的棱长是多少？ 图1 情境引入，提出问题 引例 这个几何体是由几个小立方块搭成的？每个小立方块的体积是多少？怎样求出小立方块的棱长呢？ 答：这个几何体是由27个小立方块搭成的，每个小立方块的体积是8 cm3。 情境引入，提出问题 怎样求出小立方块的棱长呢？ 理解概念，汲取新知 问题 什么数的立方等于8？ 0 8 一般地，如果一个数 x 的立方等于a，即 x3＝a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根（也叫作三次方根）。 立方根定义 如：2是 的立方根， 是 的立方根 ，0是 的立方根。 理解概念，汲取新知 怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？ 问题 （1）( )3＝8；（2）( )3＝0；（3）( )3＝－27。 初步探究 初步探究 答：（1）( 2 )3＝8；（2）( 0 )3＝0；（3）( －3 )3＝－27。 （1）一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢？ 【尝试·思考】 （2）正数有几个立方根？0有几个立方根？负数呢？ 初步探究 （1）每个数a都有一个立方根，记作 ，读作“三次根号a”。 （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 （3）求一个数 a 的立方根的运算叫作开立方 , a 叫作被开方数。 初步探究 立方根的表示方法： a叫作被开方数 3叫作根指数 注意：这个根指数3不可省略。 初步探究 例1 求下列各数的立方根： （1）－27；（2） ；（3）0.216；（4）－5。 尝试反馈，巩固练习 解:（1）因为 ，所以－27的立方根是－3，即 ； （2）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ； （3）因为0.63＝0.216，所以0.216的立方根是0.6，即 ； （4）－5的立方根是 。 例1 求下列各数的立方根： （1）－27；（2） ；（3）0.216；（4）－5。 尝试反馈，巩固练习 【思考·交流】 （1）在例1中，一些数的立方根的结果没有“ ”了，这些数有什么特点？ （2）在例1中， ，也就是 。一般地， 成立吗？ 思考交流，深入探究 （3） 成立吗？与同伴进行交流。 【思考·交流】 思考交流，深入探究 思考交流，深入探究 （1） ；（2） ；（3） ；（4） 。 例2 求下列各式的值： 解：（1） ＝ ；（2） ＝ ； （3） ＝ ；（4） ＝9。 1. 求下列各式的值： 2. 一个正方体，它的体积是棱长为3 cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？ 思考交流，深入探究 巩固练习 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数 x 就叫作a的立方根（也叫作三次方根）。 课堂小结，反思归纳 立方根的概念 立方根的性质 基础作业： 1. 求下列各数的立方根： 0.001，－1， ，8000， ，－512。 布置作业 2. 一个人平均每天要饮用大约0.0015 m3的各种液体，按70岁计算，他所饮用的液体总量大约为40 m3。如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（π取3.14，结果精确到1 m）？ 基础作业： 3. 一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的27倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的1000倍呢？体积变为原来的n倍呢？ 布置作业 拓展作业： 1.求下列各式中的x：（1）x3+125＝0；（2）64(x－2)3－216＝0。 2.已知： ， ，则 。 3.若5x+9的立方根是4，求2x+3的平方根。 布置作业 $$