2.1认识实数 课件2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二章 实数 1 认识实数（第1课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 1 回顾置疑 1 思考 （1）一个整数的平方一定是整数吗？ （2）一个分数的平方一定是分数吗？ （1）一个整数的平方一定是整数； （2）一个分数的平方一定是分数。 2 课题引入 1. 图中是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形。设大正方形的边长为a，a满足什么条件？它是我们学过的数吗？（要求：不允许有多余部分，所得的正方形不允许有空缺） 由勾股定理可知a满足a2=2，它不是我们学过的数。 3 4 课题引入 2.（1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ （2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？它是我们学过的数吗？ 由勾股定理可知b满足b2=5，它不是我们学过的数。 【尝试·思考】 5 在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数。 它们到底是多少？它们到底是什么数？ 课题引入 6 新知释疑 【思考·交流】 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？ （1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。 7 新知释疑 （2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。 【思考·交流】 8 新知释疑 （3）小明将他的探索过程整理如下： 边长a 面积S 1<a<2 1<S<4 1.4<a<1.5 1.96<S<2.25 1.41<a<1.42 1.988 1<S<2.016 4 1.414<a<1.415 1.999 396<S<2.002 225 1.414 2<a<1.414 3 1.999 961 64<S<2.000 244 49 【思考·交流】 还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？ 9 新知释疑 （4）面积为5的正方形的边长b的值是多少？b可能是有限小数吗？与同伴进行交流。 【思考·交流】 10 事实上，a=1.414 213 56⋯，b=2.236 067 97⋯，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。 新知释疑 11 知识巩固 1. 在正方形网格中，分别画出满足以下条件的两个正方形： （1）面积为9，且正方形的顶点在格点上； （2）面积为13，且正方形的顶点在格点上。 12 知识巩固 1. 在正方形网格中，分别画出满足以下条件的两个正方形： （1）正方形面积为9。 （2）正方形面积为13。 13 知识巩固 2. 在正方形网格中分别画出以下四个三角形： （1）三边长都是有理数； （2）只有两边长是有理数； （3）只有一边长是有理数； （4）三边长都不是有理数。 A E K C D B F H G J I 如图：（1）△ABC三边长都是有理数；（2）△ADK只有两边长是有理数；（3）△EFH只有一边长是有理数；（4）△GIJ三边长都不是有理数。 14 知识巩固 3. 如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是有理数吗? 解：因为h2=22－12=3，所以h不可能是整数，也不可能是分数，因此h不可能是有理数。 15 知识巩固 4. 同一个正方形的边长和对角线的长度可能都是整数吗？ 解：设正方形的边长为a，对角线长为x， 由勾股定理，可得x2=a2+a2=2a2。 若a为整数，要使x也为整数，则需2a2是一个整数的平方。 由于2a2=2·a2，其中2不是一个整数的平方， 所以2a2不是一个整数的平方。 因此，正方形的边长和对角线的长度不可能都是整数。 16 课堂小结 1. 通过本课学习，你收获了哪些数学知识和能力？ 2. 通过本课学习，你提升了哪些数学思维能力？ 3. 通过本课学习，你掌握了哪些数学语言的表达方式？ 4. 除了本课所认识的非有理数外，你还能找到其他的吗？ 17 布置作业 基础作业：习题2.1 问题解决第5题，第6题； 拓展作业：利用网格纸设计格点正方形，正方形面积小于100，共有多少种情况？（注：面积相同的不同画法均视为同一种情况） 实践作业：查阅相关资料，进一步了解数学史上无理数的发现历程。完成数学小论文“我对数系扩充的再认识”。 18 谢谢 19 $$ 第二章 实数 1 认识实数（第2课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 1 回顾引入 1. 什么是有理数？ 2. 如果把有理数写成小数，这时的小数有什么特征呢？ 3. 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 3，，，－，。 2 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 回顾引入 3 那些不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数。 无限不循环小数称为无理数。 我们十分熟悉的圆周率=3.141 592 65…也是一个无理数。 再如0.585 885 888 588 885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1），也是无理数。 回顾引入 4 例 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 3.14，－，0.，0.101 000 100 000 1…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）。 探究新知 解：3.14，－，0.是有理数。 0.101 000 100 000 1…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）是无理数。 有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数。 5   …   探究新知 【尝试·思考】   …   正数集合 负数集合 无理数和有理数一样，也有正、负之分。 （1）请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。 3.14，0.， 0.101 000 100 000 1… （相邻两个1之间0的个数逐次加2） － 6 ①从符号考虑，实数可以分为正实数、0、负实数，即：           实数 正实数 负实数 0 实数 有理数 无理数 探究新知 （2）还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？ ②从实数的概念也可以进行如下分类：            【尝试·思考】 7 探究新知 【思考·交流】 上节课讨论的两个正方形，边长分别是a，b，且满足a2=2，b2=5。 （1）如图，OA=OB，数轴上点A对应a，b中的哪个数? （2）你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？与同伴进行交流。 数轴上点A对应数字a。 8 事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 探究新知 9 知识巩固 1. 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 0.458 3，3，－，－ ，18。 2. 比较－3.14与－的大小。 3. 判断正误： （1）所有无限小数都是无理数； （ ） （2）所有无理数都是无限小数； （ ） （3）有理数都是有限小数； （ ） （4）不是有限小数的数不是有理数。（ ） √ × × × 解：有理数：0.458 3，3，－，18；无理数：－。 解：－3.14－。 10 知识巩固 （3）a是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？若a0，则它的倒数如何表示？ 4.（1）－3的相反数是什么？它的倒数是什么？ 它的绝对值是什么？ （2）的相反数是什么？它的倒数是什么？ 它的绝对值是什么？ －3的相反数是3；它的倒数是－，它的绝对值是3。 的相反数是－，它的倒数是 ，它的绝对值是。 11 1. 相反数：a与－a互为相反数；0的相反数仍是0。 2. 倒数：当a≠0时， a与 互为倒数（0没有倒数）。 3. 绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即： |a|= a，a＞0， 0，a＝0， －a，a＜0。 知识巩固 12 1. 在实数范围内，能进行哪些运算？用哪些运算律？ 2. 判断下列各式成立吗？ 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 成立 知识巩固 （1）(－3)2= 2－6+9； （2）|－3|－|3－|=0； （3） · =1。 成立 成立 13 课堂小结 1. 通过本节课的学习，你收获了哪些数学知识和能力？ 2. 通过本节课的学习，你提升了哪些数学思维能力？ 3. 通过本节课的学习，你学会了哪些数学语言表达？ 14 布置作业 基础作业： 下列各数中，－，3.，－234.101 010 10…（相邻两个1之间有1个0）， 0.123 456 789 101 112 13… （小数部分由相继的正整数组成）。 （1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数； （3）分别写出这些数的相反数、绝对值； （4）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接。 拓展作业： 把下列小数化成分数：（1）3.；（2）0.；（3）0.。 实践作业：课题学习“探索有理数转化成有限小数和无限循环小数的方法”。 15 $$