1.1 探索勾股定理 课件 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

义务教育教科书 数学 八年级上册 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理（第2课时） 1 在上一课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。如图4，分别以直角三角形的三条边(a<b)为边向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何说明的？与同伴进行交流。 创设问题，引发回忆 图1 2 方法一：割正方形C，如图2。     方法二：补正方形C，如图3。 图2 图3 3 尝试·思考 为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到图4、图5。 尝试实践，证明定理 图4 图5 4 （1）将所有三角形的面积和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来。 活动内容 图4 图5 5 （2）图4、图5中正方形ABCD的面积分别是多少？你有哪些表示方式？ 图5 图4 方法一： 。 方法二： 。 方法一： 。 方法二： 。 6 （3）你能分别利用图4、图5验证勾股定理吗？ 7 勾股定理的证明主要是通过在正方形中割出原直角三角形，再利用各部分面积之间的关系得以证明，或者用原直角三角形补出正方形，再用不同的方法计算面积公式。因此用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形（如直角三角形、正方形、梯形），使其面积之和等于整个图形的面积，从而完成定理的证明。 尝试总结 8 勾股定理在我国有着悠久的历史。汉末三国初数学家、天文学家赵爽（3世纪初）在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理。后人通常把图6称为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会会标的主要图案（如图7）就取材于此图。 学生阅读：漫话勾股世界（教材第6-7页内容），并谈谈感受。 畅谈历史 图6 图7 9 例 在一次军事演习中，红方侦查员王叔叔在距离一条东西向公路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m；过了10 s，测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s 的平均速度吗？ 尝试应用，巩固定理 分析：你能根据题意画出图形吗？ 东 西 图8 10 解：根据题意，可以画出图8，其中点 A 表示王叔叔所在位置，点C、点 B 表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路 400 m，因此∠C是直角。由勾股定理，可得 AB2=BC 2+AC 2， 也就是 5002=BC 2+4002。 所以 BC=300 m。 蓝方汽车10s行驶了300 m，那么它平均每秒行驶30010=30(m)。 因此，蓝方汽车这10 s 的平均速度为 30 m/s。 图9 从题目中提取已知量，并在上述的图形中用字母、数据表示出来。 根据图9的几何模型，解决实际问题。 11 思考·交流 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边长的平方等于另外两边长的平方和”吗? 以图10为例（方格纸中每个小方格的边长均为1），说说你的判断和理由，并与同伴进行交流。 通过几何画板及大数据分析可知，当较长边长的平方小于另外两边长的平方和时，三角形是锐角三角形；当较长边长的平方大于另外两边长的平方和时，三角形是钝角三角形。 引发讨论，深学拓展 图10 12 （1）分组计算正方形的面积，判断三条边长度的平方之间的关系，先猜想：三角形如果不是直角三角形，那么三条边长度的平方不满足勾股定理。 （2）利用方格纸任意画出锐角三角形和钝角三角形，再次计算正方形面积，发现结论： 当较长边长的平方小于另外两边长的平方和时，三角形是锐角三角形； 当较长边长的平方大于另外两边长的平方和时，三角形是钝角三角形。 （3）通过几何画板及大数据分析，进一步证实（2）中三角形的形状与三条边长度的平方之间的关系。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么 当a2+b2>c2时，三角形是锐角三角形； 当a2+b2<c2时，三角形是钝角三角形。 13 自主训练，查缺补漏 1.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5 000万元/km，该沿江高速公路的建设成本预计是多少？ 14 2. 飞机在空中水平飞行，飞机距离某建筑的竖直高度为4 km，过了20 s，飞机与该建筑的距离为5 km，求飞机每小时飞行多少千米？ 解：如图，在RtABC中，AB=5 km，AC=4 km，由勾股定理，可得BC2=AB2 -AC2, 即 BC2=52 -42。 解得 BC2=9，即BC=3 km。 又因为 20 s= h， 所以 3÷=540（km）。 因此，飞机每小时飞行540 km。 4km 5km A B C （第2题） 15 1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴进行交流。 整体思考，分层设计 16 验证勾股 定理及应用 拼图验证 首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理。 应用 拼出图形 写出图形面积的表达式 找出相等关系 步骤 恒等变形 导出勾股定理 思路 17 布置作业 1．基础作业：习题1.1 第3题。 2．拓展提升作业：习题1.1问题解决 第6，7题。 18 谢谢 19 $$ 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理（第1课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 1 创设情境，引发思考 问题 如图1，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6 m，那么需要多长的钢索? 钢索AC的长确定吗？为什么？ 事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方之间存在一种特殊的关系。 确定。在直角三角形中，任意两条边确定了，第三条边也就随之确定，三条边之间存在着一种特定的数量关系。 A B C 图1 2 创设情境，引发思考 勾股定理 数学家曾建议用这个图形作为与“外星人”联系的信号。 3 创设情境，引发思考 提示 在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题： 你是如何获得勾股定理的? 三角形的内角大小是如何影响三角形三边的关系的？反过来呢？ 4 动手实践，发现定理 探究活动一 1 在作业纸上画若干个直角三角形，分别测量出它们的三边的长，看看三条边长度的平方之间有怎样的关系。请你以表格的形式（如下表）记录测量与猜想的过程。与同伴进行交流 【思考·交流】 直角边a的长度 直角边b的长度 斜边c的长度 可能的关系                         5 动手实践，提炼定理 探究活动二 2 如图2，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三条边长度的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？如果直角三角形如图3所示，结果又如何？你是怎样计算的？与同伴进行交流。 图2 图3 6 动手实践，提炼定理 如果直角三角形的两条直角边的长度分别为1.6和2.4，那么上面所猜测的数量关系还成立吗？说说你的理由。 1.6 2.4 探究活动三 3 7 动手实践，提炼定理 方法一：将方格纸“加细”，以0.1为单位构造正方形网格，运用活动二与活动三的方法，借助网格求 c2 的值。 探究活动三 3 8 动手实践，提炼定理 方法二：利用前面的拼图计算经验，拼出如图4所示的图形，计算正方形C的面积（即 c2）。 探究活动三 3 1.6 2.4 1.6 2.4 2.4 A B C 图4 9 归纳概括，提炼定理 直角三角形的三边之间存在着怎样的数量关系呢？你能否从几何的角度，对这一结论寻找一种新的理解呢？ 直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。 以两直角边为边的正方形面积和等于以斜边为边的正方形的面积。 如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2＋b2＝c2 。 10 进一步认识 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。因此，人们把上面的结论称为勾股定理。勾股定理是中国古代数学的成就之一，历史上其他一些文明古国也都独立地发现了这个定理，加之反映勾股定理内容的图形形象直观，于是有数学家曾建议用这个图形作为与“外星人”联系的信号。千百年来，人们冥思苦想给出了近400种证法。 归纳概括，提炼定理 11 尝试运用，巩固定理 【尝试·思考】 如图5，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6 m，那么需要多长的钢索？ A B C 图5 12 尝试运用，巩固定理 随堂练习 1. 求图中字母所代表的正方形的面积。 （第1题） 13 尝试运用，巩固定理 随堂练习 2. 小明家买了一台 55 in 的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 121.5 cm 长和 68.5 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗? 14 课堂小结，布置作业 课堂小结 （1）勾股定理的内容是什么？它有什么作用？ （2）在探究勾股定理的过程中，我们经历了怎样的探究过程?体会了哪些数学思想方法？ 15 课堂小结，布置作业 布置作业 1．完成习题1.1知识技能：第1，2，3题。问题解决：第6，7题。 2．完成习题1.1数学理解：第4题。 3．查找勾股定理的相关资料，与同伴分享交流。 16 谢谢 17 $$