第一章 特殊的平行四边形 单元提升题2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学上册

第一章《特殊的平行四边形》单元提升题 一．选择题 1．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB∥CD．添加下列选项中的条件，仍不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AD＝BC且AC⊥BD B．AB＝CD且AB＝AD C．AD∥BC且OA2+OB2＝AB2 D．AB＝CD且AC⊥BD 3．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD＝12，DC＝5，则△AOB的周长是（　　） A．13 B．15 C．17 D．18 4．如图，在菱形ABCD中，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE，AC＝4，CE＝5，求CD的长（　　） A．5 B．6 C． D． 5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，则∠AEC的大小为（　　） A．60° B．52.5° C．45° D．37.5° 6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，已知AE＝3，CF＝2，△BEF的面积为11，则正方形ABCD的面积为（　　） A．25 B．28 C．33 D．36 7．如图，平面直角坐标系中，平行四边形AOBC的边OB在x轴上，A（3，4），C（9，4）．若将边BC向左平移，当四边形AOBC是菱形时，平移的距离是（　　） A．1 B．2 C．1或11 D．2或11 8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E、F分别是BC、OB的中点，连接DE，EF．若EF＝2，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，AC＝16，E是边CD上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（　　） A．3.6 B． C． D．4.8 10．如图，在▱ABCD中（AB≠BC），直线EF经过▱ABCD的对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，连接DE，下列结论：①AO＝BO；②OE＝OF；③若BE＝DE，则EF垂直平分BD；④．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题 11．正方形的对角线长12厘米，这个正方形面积是 　 　 平方厘米． 12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BD＝8，S菱形ABCD＝24，则AH＝　 　 ． 13．如图，以边长为2的正方形CDEF的对角线交点O为端点引两条互相垂直的射线，分别与正方形CDEF的边交于A、B两点，则线段AB，的最小值为 　 　 ． 14．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠BPC的度数是 　 　 ． 15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点．若EF＝2，则AC的长为 　 　 ． 16．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C的位置．若∠EFB＝55°，则∠AED′＝ 　 　 ． 17．如图，在正方形ABCD中，P在对角线AC上运动，E在边AD上运动，PF⊥PE，与AB交于点F． ①点P，E在运动过程中PE＝PF；②点P，E在运动过程中AE+EP＝AB； ③当F点经过点B时，△PEA≌△FPC；④当P经过AC中点时，； 以上说法正确的是　 　 ． 三．解答题 18．如图，在矩形ABCD中，AC平分∠EAF，BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是菱形． （2）若AB＝8，AD＝4，求四边形AECF的面积． 19．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，连接CE，点F在BC边上，且EF＝EC，过点C作EF的垂线交BE于点G，垂足为点H，连接FG． （1）求证：． （2）若点F为BC的中点，求的值． 20．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E． （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AB＝4，∠ABE＝120°，求DE的长． 21．如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．嘉淇在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2． （1）直接写出AB与BC的数量关系，∠ABD与∠CBD的数量关系； （2）猜想四边形ABCD的形状，并证明自己的猜想； （3）若AB＝6，∠ABC＝60°，直接写出四边形ABCD的面积． 22．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 参考答案 一．选择题 1．解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误； B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误； C、菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，所以C选项错误． D、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以D选项正确； 故选：D． 2．解：∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意； ∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意； ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵OA2+OB2＝AB2， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意； 由AD＝CB，AB∥CD，无法证明四边形ABCD是平行四边形，故选项A符合题意． 故选：A． 3．D． 4．B． 5．C． 6．解：设正方形ABCD边长为a， ∴DE＝AD﹣AE＝a﹣3，DF＝CD﹣CF＝a﹣2， ∵S△BEF＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△DEF﹣S△BCF， ∴， ∴， ∴， ∴a2＝28， ∴正方形ABCD的面积为28， 故选：B． 7．解：∵A（3，4），C（9，4）， ∴AC＝9﹣3＝6， 由勾股定理可得：， ∵四边形AOBC是菱形， ∴AO＝OB＝BC＝CA＝5， ∴边BC向左平移1个单位或11个单位， 故选：C． 8．解：∵E、F分别是BC、OB的中点， ∴EF是△BOC的中位线， ∴EF∥OC，OC＝2EF＝4， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC，OD＝OB＝OC＝4， ∴∠BFE＝∠BOC＝∠DFE＝90°， ∴， 故选：A． 9．解：∵AC⊥BD，AD＝CD， ∴四边形OGEF是矩形， 连接OE，则OE＝GF， 当OE⊥DC时，GF的值最小， ∵BD＝12，AC＝16， ∴OD＝6，OC＝8， ∴， ∴， ∴最小值GF＝OE＝4.8， 故选：D． 10．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC，BO＝OD，不能得到AO＝BO，故①错误； 当AE＝CF时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EAO＝∠FCO， 又∵OA＝OC， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴OE＝OF， 而AE＝CF不一定成立，故②不正确， ∵BE＝DE，BO＝OD， ∴EO垂直平分BD， ∵F在EO的延长线上， ∴EF垂直平分BD，故③正确， 当MN∥AB时，根据平行线间的距离相等，可得，而MN∥AB不一定成立，故④不正确； 故选：A． 二．填空题 11．解：这个正方形的面积＝12×12÷2 ＝144÷2 ＝72（平方厘米）， 答：故答案为：72． 12．解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD， ∴BD＝2BO＝8， ∵S菱形ABCDAC×BD＝24， 即：AC×8＝24， ∴AC＝6， ∴COAC6＝3， 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC5， ∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24， 即：5×AH＝24， ∴AH． 故答案为：． 13．解：∵四边形CDEF是正方形， ∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD， ∵AO⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∴∠COA+∠AOD＝90°，∠AOD+∠DOB＝90°， ∴∠COA＝∠DOB， 在△COA和△DOB中， ， ∴△COA≌△DOB（ASA）， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 要使AB最小，只要OA取最小值即可， 根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小， ∵正方形CDEF， ∴OC＝OD，OC⊥OD， ∴， ∴． 故答案为：． 14．解：∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点， ∴∠PBC＝45°， ∵BP＝BC， ∴∠BPC＝∠BCP67.5°， 故答案为：67.5°． 15．解：∵点E，F分别是AO，AD的中点，EF＝2， ∴OD＝2EF＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，BO＝DO＝4， ∴AC＝BD＝8， 故答案为：8． 16．解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝55°， 由翻折变换的性质可知∠DEF＝∠D′EF＝55°， ∴∠AED′＝180°﹣∠DEF﹣∠D′EF＝180°﹣55°﹣55°＝70°． 故答案为：70°． 17．解：①过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N，则∠PME＝∠PNF＝∠PNA＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠MAN＝90°， ∴∠MPN＝360°﹣∠PMA﹣∠PNA﹣∠MAN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°， ∵AC是对角线， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴PM＝PN 又∵∠EPN+∠NPF＝∠MPE+∠EPN＝90°， ∴∠NPF＝∠MPE， ∴△MPE≌△NPF（ASA）， ∴PE＝PF，故①正确，符合题意； ②当点P在AC上运动，点E在AD上运动时，AE+EP的值在变化，即AE+EP的值不一定等于AB，故②错误，不符合题意； ③点P在AC上运动，无法判断△PEA≌△FPC，故③错误，不符合题意； ④连接BD，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴PA＝PB，∠PAE＝∠PBF＝45°，∠APB＝90°， ∵∠FPE＝90°， ∴∠APF+∠BPF＝∠EPA+∠APF， ∴∠BPF＝∠APE， ∴△PAE≌△PBF（ASA）， ∴S△PAE＝S△PBF， ∴，故④正确，不符合题意， 故答案为：①④． 三．解答题 18．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， 又∵DF＝BE， ∴AB﹣BE＝CD﹣DF， ∴CF＝AE， ∵CF∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形，∠ACF＝∠CAE， ∵AC平分∠EAF， ∴∠FAC＝∠EAC， ∴∠FAC＝∠ACF， ∴AF＝CF， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：设菱形AECF的边长为x，则AE＝CE＝x， ∵AB＝8， ∴BE＝AB﹣AE＝8﹣x， 在Rt△BCE中，AD＝4， 由勾股定理得：CE2＝BE2+BC2，即x2＝（8﹣x）2+42， 解得：x＝5， ∴四边形AECF的面积为4×5＝20． 19．（1）证明：过点E作ET⊥BC于T，过点G作GR⊥BC于R． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠A＝∠ABT＝∠BTE＝90°， ∴四边形ABTE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE（角平分线的定义）， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE（等角对等边）， ∴四边形ABTE是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）， ∴∠EBT＝∠BET＝45°， ∵EF＝EC，ET⊥CF， ∴FT＝TC，∠FET＝∠CET，∠EFC＝∠ECF， ∵CH⊥EF， ∴∠CHF＝∠ETC＝90°， ∴∠CFH+∠FCH＝90°，∠CET+∠ECT＝90°， ∴∠HCF＝∠CET， ∵∠CEG＝∠CET+∠BET＝45°+∠CET，∠CGE＝∠CBG+∠GCB＝45°+∠GCB， ∴∠CEG＝∠CGE， ∴CE＝CG， ∵GR⊥BC， ∴∠CRG＝∠ETC＝90°， 在△CRG和△ETC中， ， ∴△CRG≌△ETC（AAS）， ∴GR＝CT（全等三角形的对应边相等）， ∵∠D＝∠DCT＝∠ETC＝90°， ∴四边形DETC是矩形， ∴DE＝CT＝GR， ∵△BRG是等腰直角三角形， ∴； （2）． 20．解：（1）四边形ABCD是菱形， 理由：∵AB＝BC，BO平分∠ABC， ∴AO＝CO， ∵AD∥BE， ∴∠DAO＝∠ACB，∠ADO＝∠CBO， ∴△ADO≌△CBO（AAS）， ∴DO＝BO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵BO平分∠ABC，∠ABE＝120°， ∴∠DBC∠ABE＝60°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝AB＝4， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝BC＝4， ∵BD⊥DE， ∴∠BDE＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠DBC＝30°， ∴BE＝2BD＝8， ∴DE4， ∴DE的长为4． 21．解：（1）根据作图可知，AB＝BC，BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD； （2）四边形ABCD是菱形，证明如下： ∵l1∥l2， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AD＝AB， ∵AB＝BC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （3）过点A作AH⊥BC，如图所示： ∵AB＝6，∠ABC＝60°， 在Rt△ABH中，∠BAH＝90°﹣60°＝30°， 由勾股定理可知，， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝6， ∴S菱形ABCD． 22．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/3 21:59:49；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$