河北省石家庄市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

石家庄市第一中学2025-2026学年高二第一学期开学考试 数学答案 1.C 2.C 3.A 4.D 5.C 6.A 7.C 8.B 9.AB 10.ABC 11.BC 12． 13．（形式不唯一，只要符合：，其中即可） 14． 15．解：设，， 直线的方程为：，化为：， 点到直线的距离， ， 解得或． 或． 16．（1）证明：设，则构成空间的一个基底， ， ， 所以 ， 所以. （2）由（1）知， 所以 . 所以. 17．（1）证明：连接，与相交于点，连接，如下图： 因为四边形为矩形，故为的中点. 又因为为的中点，故， 又因为平面平面， 所以平面. （2）取的中点，连接，则， 由于平面，故平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，得，故， 又因为 设直线与平面所成的角为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18．（1）点P不在圆上． 证明如下： ∵， ∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上； （2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离， ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0， 此时，满足题意； ②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0， 又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0， 综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0． 19．（1）证明： 连接，设，连接， 有平面，由题意得， 连接，，设，则，故在上， 过作为垂足， 在中，， 故，因为，所以， 故，所以， 所以， 又 平面，平面，， 故平面，因为平面，所以. 又平面平面，故平面. （2） 以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系可得 ， 由（1）得平面，故平面的一个法向量为， 其中， 设平面的一个法向量为， 则， 令可得， 设为二面角的平面角，则， 由图可知所求二面角为锐角，故二面角的余弦值为. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石家庄市第一中学2025-2026学年高二第一学期开学考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效。 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间直角坐标系O﹣xyz中的点A（2，﹣1，﹣3）关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为（    ） A． B．4 C．6 D． 2．已知直线与直线夹角为，则的倾斜角为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．设,向量且,则 A． B． C．4 D．3 5．圆上一点到原点的距离的最大值为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．连接两点的直线无限延展，与其平行的直线无论走多远都无法碰面.设，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 7．圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ） A． B． C．1 D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列结论错误的是（    ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若非零向量与平行，则A，B，C，D四点共线 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若，则是P，A，B，C四点共面的充要条件 10．下列说法不正确的是（ ） A．若直线的倾斜角为，则斜率； B．在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为； C．直线与轴的交点到原点的距离为； D．斜截式方程不能表示平面内的所有直线． 11．已知异面直线与直线，所成角为，平面与平面所成的二面角为，直线与平面所成的角为，点为平面、外一定点，则下列结论正确的是（    ） A．过点且与直线、所成角均为的直线有3条 B．过点且与平面、所成角都是的直线有4条 C．过点作与平面成角的直线，可以作无数条 D．过点作与平面成角，且与直线成的直线，可以作3条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为_________． 13．写出一个过点，的圆的标准方程 ． 14．若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，在y轴上求点C，使得的面积为12． 16．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，. (1)求证：； (2)求的长. 17．如图，在正三棱柱中，是棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 18．已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线． (1)判断点P是否在圆上，并证明你的结论； (2)若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程． 19．如图所示，正四棱锥中，分别为的中点，，平面与交于. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$