周测评(十一) 阶段测试(一)-【衡水真题密卷】2024-2025全学年高二数学学科素养周测评（人教A版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十一） 数学·阶段测试（一）》 (考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题（本题共4小题，每小题6分，共 4.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过 24分.在每小题给出的四个选项中，只 F作两条互相垂直的直线1，l2,直线 有一项是符合题目要求的)】 与C交于A,B两点，直线l2与C交于 D,E两点，则AB|+4DE的最小值为 题号 2 3 () 答案 A.24 B.36 C.48 D.52 1.若直线l1:2x十(m+1)y+4=0与直线 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共 l2:mx十3y一2=0平行，则m的值为 12分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分) A.2 B.-3 5 6 C.2或-3 D.-2或-3 题号 2.设M是由直线Ax十By十C=0上所有点 答案 构成的集合，即M={(x,y)|Ax十By十C =0},在点集M上定义运算“☒”：对任意 5.已知曲线C:4-m十2+m -1,则下列说 法正确的是 ( (x1y1)∈M,(x2,y2)∈M,有(x1y1)☒ (x2y2)=x1y2一x2y1.若M是直线3x十 A当m=0时，C的离心率e=巨 2 y-5=0上所有点的集合，则对于M中 B.当m=6时，C的渐近线方程为y= 的两个元素(3，a),(b,8)(其中a,b∈R), 士2x (3,a)☒(b,8)的值为 C.当m=8时，C的焦点是F1(6,0), A.20 B.24 F2(-√6,0) C.28 D.30 D.当C表示椭圆时，则一2<m<4 6.数学美的表现形式不同于自然美或艺术 3.《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧 美那样直观，它蕴藏于其特有的抽象概 棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有 念、公式符号、推理论证、思维方法等之 一“阳马”P-ABCD,PA⊥平面ABCD, 中，揭示了规律性，是一种科学的真实 PA=AB=AD=2,M为底面ABCD及 美.在平面直角坐标系中，曲线C:x2十 其内部的一个动点且满足|PM=√5，则 y2=|x|十y就是一条形状优美的曲 线，对于此曲线，下面结论正确的是 DM·BM的取值范围是 ( A.[1-22,1+22] A.直线(2m-4)x+(2m-2)y-2m+3 B.[-1,1+22] =0与C一定有交点 B.C围成的图形的周长是√2π C.[-1-2,-1 C.C围成的图形的面积是π+2 D.[1-22,-1] D.C上的任意两点间的距离不超过2 高二学科素养周测评（十一）数学第1页（共2页） 三、填空题（本题共2小题，每小题6分，共12分） 10.(30分)在圆x2+y2=9上任取一点P, 7.已知点A(-1,2),点P在圆C:x2+y2 过点P作y轴的垂线PD,D为垂足， +4x一5=0上，则AP的取值范围是 且满足DP=3DM.当点P在圆上运动 ;若M(4,0),且MP与C相切， 时，M的轨迹为2. 则|MP|= (1)求曲线的方程. 8.如图，在空间四边形ABCD中，AB=3, (2)若A(0,一5)，B为n与y轴正半轴 BC=4,AD=5,∠ABC=∠BAD= 的交点，过点A是否存在斜率为 120°，AD⊥BC,则CD的长为 的直线l与曲线2相交于M,N两 点，且kBM十kBN=6(kBM,kN分别 为直线BM,BN的斜率)？若存在， 求出k的值；若不存在，请说明 四、解答题（本题共2小题，共52分.解答应 理由， 写出文字说明、证明过程或演算步骤) 9.(22分)在三棱台ABC-A1B,C1中，若 A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC= AA1=2,A1C1=1,M,N分别是BC, BA的中点. (1)求证：B1B∥平面C1MA (2)求二面角A-C,M-N的正弦值. (3)求点C到平面C1MA的距离. 1 高二学科素养周测评（十一）数学第2页（共2页）衡水真题密卷 y=4-x2同y=kx十5联立得x2+kx+1=0, △=k2-4,当△>0→k<-2或k>2,即是>2 且k≠号，或k<-2且k≠-昌时，有两个交 点：当4=0→一士2.即=士2或长=士名时， 有一个交点：当△<0→一2<是<2，即一2<k< 2时，无交点。 综上所述，当一2<k<2时，无交点：当k=士2 或k=士号时，有一个交点：当k<-号或 -8<-2或2<<号或k>时，有两个 交点 10.解：(1)因为动点G到点F(2,0)的距离比到直 线x+4=0的距离小2， 则点G到点F(2,0)的距离和它到直线x= 一2的距离相等， 因此点G的轨迹是以F(2,0)为焦点，直线 x=一2为准线的抛物线， 设抛物线方程为)y2=2x(p>0),由号=2，得 p=4, 所以G的轨迹方程为y2=8x. (2)直线MN的方程为y=k1(x一2)，直线 PQ的方程为y=k2(x一2)，其中k,k:≠0，且 k1≠k2, 由少=， 消去y并整理得kx y=k1(x-2), (4+8)x十4k1=0, 该方程的判别式△=64(k+1)>0,设 M(x1y1),N(x2,y), 则x1十x- 4k7+8 好 =4+8 +y:= k1(红1-2)+k:(c4-2)=元， 8 44 44 点A2+好)同理B(2+好，直线 44 k2 k1 AB的斜率kAB= +)-（+2 人因为：十妇21，所以k=12,所 4 以直线AB的方程为y=::(x一2一京)十 学科素养周测评 手-=：c-2)+-k:G-2+4 k1 因此直线AB:y=k,k。(x一2)十4过定点 E(2,4),又FD⊥AB,则点D在以EF为直径 的圆(x一2)2+(y一2)=4上，所以存在定点 T(2,2),使得线段TD的长度为定值2. 2024一2025学年度学科素养周测评（十一）】 数学·阶段测试（一） 一、选择题 1.C【解析】直线11：2x十(m+1)y+4=0与直 线l2:mx+3y-2=0平行，则2×3-(m十1)m =0,解得m=一3或m=2. 当m=一3时，直线11：2x-2y十4=0与直线 l:-3x十3y-2=0平行： 当m=2时，直线11：2x十3y十4=0与直线 12:2x十3y一2=0平行，故m=-3或m=2. 2.A【解析】因为(3，a)∈M,即点(3，a)在直线 3x+y-5=0上，所以3×3+a-5=0,得a= 一4. 同理由3b十8-5=0，得b=一1，由运算“⑧”的 定义知，(3，a)☒(b,8)=(3,-4)☒(-1,8)= 3×8一(-4)×(-1)=20. 3.D【解析】PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD =2,连接PM,AM,由|PM|=√5，可得 |AM|=√TPM-PAP=1, 因为四边形ABCD为矩形，以AB,AD,AP分 别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则B(2,0,0),D(0,2,0) 设Meos0,sn0.0),0e0,引， DM=(cos 0,sin 0-2,0), BM=(cos 0-2,sin 0,0), 所以DM.BM=cos0(cos0-2)+(sin0-2)sin0 ·数学· -m0+0-2(s如0+s)=1-22n0+4）, 周为9∈6，引，则0+∈[匠，则 no+)e竖， 所以DM.BM∈[1-22，-. 4.B【解析】 E 如图，抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),设 直线l1的方程为y=k(x一1)，k≠0， y2=4x, 联立方程组 .消y得kx2 y=(x-1), (4十2k2)x十k2=0,则△>0， 设A(x1y1),B(xy),则x:十x2=2 Γk3 由抛物线的定义可得|AB|=x1十x2十2=4 品 因为1上4，将上式中的长换为一子，可得 |DE|=4+4k2, 所以AB+41DE1=20+4(42+是)≥20+ 84k·石=36. 当且仅当=士 2 时，上式取得等号，即 |AB|+4DE|的最小值为36. 二、选择题 5.AB【解析】对于A,当m=0时，子 2 =1, a2=4,b2=2,所以e= 1 a ,故A 正确： 对于B,当m=6时，_ 82 =1,故渐近线方程 为y=±22 2 =士2x,故B正确； 参考答案及解析 对于C,当m=8时，名-王 4 =1,显然C的焦点 在y轴上，故C错误； 「4-m>0, 对于D当C表示椭圆时，2十m>0, 4一m≠2+m, 则-2<m<1或1<m<4,故D错误， 6.AC 【解析】南线C可化为(1x-2)'十 (一》-行，高x支换为士，y变接为 士y时，方程不变，故曲线C关于x轴，y轴，原 点均对称 当x≥0，y≥0时，(x-2)+(-2)》 -2即为(-》°+6-》”-2 它表示一段半圆及原点，其中半國的圆心为 Q侣》*楼为号。 故曲线C的图象如图实线所示： 对于A,(2m-4)x+(2m-2)y-2m+3=0 可化为2m(x十y-1)-4x-2y十3=0， 1 x+y-1=0, x=2' 1-4x-2y+3=0, 可得 1 y=2 故直线(2m-4)x十(2m-2)y一2m十3=0过 定点Q(侵，》，在南线肉*， 故动直线(2m一4)x+(2m一2)y-2m+3=0 与曲线C一定有交点，故A正确； 对于B,如图，曲线C由4段相同的半圈及原点 、构成，故曲线C的孤长为4XπX号=2，亿，故 B错误； 对于C,曲线围成的区城由4个半國及一个正 方形构成，故其面积为2π× }+= 2十元，故C正确： 1 衡水真题密卷 对于D,取点S(1,1),T(-1,-1),则S,T均 为C上的点，而|ST|=2V2>2,故D错误. 三、填空题 7.[3-5,3+√5]33【解析】图C:x+ y2+4x-5=0标准化为C:(x十2)2+y2=9, 圆心C(-2,0),半径r=3,A(-1,2),则 |AC|=√/(-1+2)+(0+2)2=5，所以 |AP|的取值范围是[3-√5,3+√5] 当MP与国C相切时，可知|MP|= √MC2-r2=√36-9=33. 8.√77【解析】因为CD=CB+BA+AD,所以 CD*=(CB+BA+AD)*=CB+BA+ |AD+2·(CB·BA+BA·AD+CB·AD)= 16+9+25+2(4×3×cos60°+3×5×cos60° +4×5Xcos90)=77,所以CD= |CD1=77. 四、解答题 9.(1)证明：在三棱台ABC-A,B1C1中，A1A⊥平 面ABC,AB⊥AC,显然直线AB,AC,AA:两 两垂直， 以点A为原点，以AB,AC,AA1分别为x,y,2 轴建立空间直角坐标系， B 由AB=AC=AA1=2,A1C1=1,得A(0,0, 0),B(2,0,0),C(0,2,0),B1(1,0,2),C1(0,1, 2),A(0,0,2) 由M,N分别是BC,BA的中点，得M(1,1,0),N (1,0,0),则BB=(1,0,-2),C,M=(1,0,-一2)， 因此B1BC,M,而点C,4直线B,B,则B:B∥ CM,又B,B丈平面CMA,CMC平面CMA, 所以B,B平面C,MA. (2)解：由(1)知，AM=(1,1,0),C1M=(1,0, -2),NM=(0,1,0), 设平面C,MA的法向量m=(a,b,c),则 m·AM=a+b=0, c=1, m·C1M-a-2c=0, 1 学科素养周测评 得m=(2,-2,1), 设平面C,MN的法向量n=(x,y,z),则 n·NM=y=0, 令x=1,得n=(2,0, n·C1M=x-2x=0, 1),设二面角A-CM-N的大小为0，则|cos8| =ama1=停质以 面角A-C,M-N的正弦值sin0=√/1-cos0 (3)解：由(1)知，AC=(0,2,0),由(2)知，平面 CMA的法向量m=(2,一2,1)所以点C到平 面C,MA的距离h= AC·m_4 m3 10.解：(1)设点P(x0yo),M(x,y),则 D(0,yo),因为DP=3DM, 所以 x0=3x, 因为点P在圆x2十y2=9上， yo=y 即x6十y=9,所以9x十y2=9,整理可得 +号=1，因此曲线0的方程为2+号 -1. (2)由题意知B(0,3).假设存在斜率为点的直 线1与曲线Q相交于M,N两点，且w+ kw=6,则直线I的方程为y=kx一5，联立 2+号-1可得0+92-10ex+16=0, y=kx-5, 设M(x1y1),N(x2ya), 则△=100k2-64(k2+9)>0,即k2>16, 10k x1十x2+9' 且 16 x1x2-k2+91 则后w十kN=二3+丝-3-红1一8十 :-8-=2k-8(2+)=26-8×2,+ xIX2 10k 2+9 =2k-8× 16 =一3k=6,得k=一2，不满 k2+9 足k2>16,故不存在斜率为k的直线l与曲线 Q相交于M,V两点，且kM十kN=6.