22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版数学九年级上册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1二次函数Y=ax2的图像 1.要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． 2.要点诠释：与抛物线开口大小的关系 （1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称. （2）越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴； 越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴. 题型1 二次函数y=ax2的图象的认识 例1．抛物线，，，的图象开口最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax&#178;的图象；有理数的大小比较-直接比较法 【解析】【解答】解：∵二次函数中的值越小，函数图象的开口越大，且， ∴抛物线的图象开口最大， 故答案为：A． 【分析】根据二次函数图象开口大小与的大小关系，即可直接得出答案。 【变式1-1】．在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，的图象，正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【解答】解：∵， ∴和的函数图象开口向上，的函数图象开口向下，且图像的开口大于图像的开口， 故答案为：D． 【分析】根据二次函数的图象与性质，对于二次函数，当时，图像开口向上；当时，图像开口向下；越大，则开口越小．据此结合选项进行判断即可. 【变式1-2】．二次函数 的图象是（　　） A．线段 B．直线 C．抛物线 D．双曲线 【答案】C 【知识点】二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【解答】解：∵ 是二次函数，∴ 的图象是抛物线， 故答案为：C. 【分析】根据二次函数的图象是抛物线，进行求解即可。 【变式1-3】．函数y=ax2与y=-ax+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【解答】解：A、图像中，二次函数开口向上，a>0，-a<0，一次函数图象错误，不符合题意； B、图像中，二次函数开口向上，a>0，-a<0，一次函数图象正确，符合题意； C、图像中，二次函数开口向下，a<0，-a>0，一次函数图象错误，不符合题意； D、图像中，二次函数开口向下，a<0，-a>0，一次函数图象错误，不符合题意. 故答案为：B. 【分析】二次函数y=ax2，当a>0时，图像开口向上，过原点；当a<0时，图像开口向下，过原点；一次函数 y=-ax+b的图像，当a>0时，直线向右倾斜；a<0时，直线向左倾斜. 知识点2 二次函数Y=ax2的性质 要点诠释： 二次函数y=ax2的核心性质由其系数a决定，开口方向、对称轴及单调性均与a的正负相关。a>0开口向上，a<0开口向下；对称轴y轴；a>0,x>0时，y随x增大而增大，x<0时，y随x增大而减小；a<0,x>0时，y随x增大而减小， x<0时，y随x增大而增大。 题型2 画二次函数图象 例2．在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=x2，y=-x2的图象． 解：列表． x …… -2 -1 0 1 2 …… y=x2 …… 　 　 　 　 　 …… y=x2 …… 　 　 　 　 　 …… y=-x2 …… 　 　 　 　 　 …… 描点、连线，画出图象． （1）完成上述表格，在图中画出其余两个函数的图象． （2）由图中的三个函数图象，请总结二次函数y=ax2(a≠0)的表达式中a的值与它的图象有什么关系． 【答案】（1）解：列表如下： x …… -2 -1 0 1 2 …… y= x2 …… 2 0 2 …… y=x2 …… 4 1 0 1 4 …… y=-x2 …… -4 -1 0 -1 -4 …… 描点：以表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出各点． 连线：用光滑曲线顺次连结各点， 如图： （2）解：由图象可知，①a的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；|a|越大，开口越小．②a>0，图象开口向上；a<0，图象开口向下． 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax&#178;的图象；作图-二次函数图象 【解析】【分析】（1）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可； （2）结合函数图形，再利用二次函数的图象和性质与系数的关系分析求解即可. 【变式2-1】．在如图直角坐标系中，用描点法画出下列函数的图象． ①y=x2． ②y=x2 （1）列表： x …… -2 -1 0 1 2 …… y=x2 …… 　 　 　 　 　 　 　 …… y=x2 …… 　 　 　 　 　 　 　 …… （2）描点，并用光滑曲线顺次连结各点． 【答案】（1）解：如下表所示； x …… -2 -1 0 1 2 …… y=x2 …… 6 0 6 …… y=x2 …… -6 0 -6 …… （2）解：y=x2和y=x2的图象如图所示； 【知识点】二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【分析】（1）先列表，分别求出两函数中x，y的7组对应值. （2）描点，并用光滑曲线顺次连结各点，可画出两函数图象. 【变式2-2】．给出下列命题及函数y=x，y=x2和y= 的图像： ①如果 ＞a＞a2，那么0＜a＜1； ②如果a2＞a＞ ，那么a＞1； ③如果 ＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0； ④如果a2＞ ＞a，那么a＜﹣1． A．正确的命题是①② B．错误的命题是②③④ C．正确的命题是①④ D．错误的命题只有③ 【答案】C 【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；二次函数y=ax&#178;的图象；真命题与假命题 【解析】【解答】解：易求x=1时，三个函数的函数值都是1， 所以，交点坐标为（1，1）， 根据对称性，y=x和y= 在第三象限的交点坐标为（﹣1，﹣1）， ①如果 ＞a＞a2，那么0＜a＜1，故①正确； ②如果a2＞a＞ ，那么a＞1或﹣1＜a＜0，故②错误； ③如果 ＞a2＞a，那么a值不存在，故③错误； ④如果a2＞ ＞a时，那么a＜﹣1，故④正确． 综上所述，正确的命题是①④，错误的命题是②③． 故选：C． 【分析】先确定出三函数图象的交点坐标为（1，1），再根据二次函数与不等式组的关系求解即可． 【变式2-3】．已知二次函数 ， 解答下列问题： （1）根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分 (直接在网格中作图即可). （2）判断点 是否在这个函数图象上， 说明理由. （3）求当 时对应的函数图象上的点的坐标. 【答案】（1）如图所示， （2）解： 点 不在这个函数图象上； （3）解：当 时， ， 时， 对应的函数图象上的点的坐标为： 和 . 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;的性质；作图-二次函数图象 【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性作图即可. （2）将横坐标代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案. （3）将y=4代入解析式即可求出答案. 题型3 二次函数的性质 例3．已知，二次函数的图象上有三个点，，，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;的性质；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】解：∵， ∴的对称轴为，开口向上， ∴图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】根据二次函数的增减性即可得出答案。 【变式3-1】．已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：∵二次函数，当时，y随x增大而减小， ∴a-1>0， ∴， 故答案为：D 【分析】根据二次函数的性质即可求出答案. 【变式3-2】．已知是关于x的二次函数. (1)求满足条件的k的值； (2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？ (3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？ 【答案】解：(1)由题意可得： 解得k=±2. (2) ∵抛物线有最低点 ∴k+1＞0，解得k＞-1 由(1)得：k=±2 ∴k=2 ∴该抛物线的解析式为 ∴最低点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大. (3) ∵二次函数有最大值 ∴k+1＜0，解得k＜-1 ∴k=-2. ∴该抛物线的解析式为 ∴当x=0时，函数有最大值为0. 当x＞0时，y随x的增大而减小. 【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【分析】（1）直接利用二次函数定义得出：，解出K即可. （2）根据抛物线有最低点，得到k+1>0，由(1)得：k=±2，可得k=2，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数增大而增大时的x的取值范围. （3根据抛物线有最高点，得到k+1<0，结合由(1)得出k的值，再根据二次函数性质，即可得最高点的坐标和函数增大而减小时的x的取值范围. 【变式3-3】．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大. （1）求的值； （2）如果点是此二次函数的图象上一点，若，那么n的取值范围为　 　. 【答案】（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得， 解得：； （2）-4≤n≤0 【知识点】二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：(2)、由（1）得，抛物线对称轴为x=0，当x＞0时，函数为减函数；当x=0时，函数有最大值0；当x＜0时，函数为增函数，所以，所以-4≤n≤0. 故答案为：-4≤n≤0. 【分析】（1）利用二次函数的定义形如(a、b、c为常数，a≠0）的函数是二次函数，得；再根据的性质：a＜0时，当x＜0，y随x的增大而增大，得k+2＜0，综合得到k=-3； （2）考查二次函数的最值和增减性问题，当a＜0时，x=0时函数有最大值0，m取值中包括0，所以n最大值为0；a＜0时，当x＜0，y随x的增大而增大，因此当-2≤m＜0时，m=-2时n有最小值-4；0＜m≤1时，m=1时n有最小值-1.综合得到-4≤n≤0. 题型4二次函数的解析式 例4．写出一个开口向上，顶点是坐标原点的二次函数的解析式：　 　. 【答案】y=2x2 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：图象的顶点在原点，开口向上的二次函数很多，如： 【分析】根据题意可知写出的函数是形如y=ax2（a＞0）的形式。此题答案不唯一。 【变式4-1】．已知抛物线过点，两点，则下列关系式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：由题意可得： m=4a，n=a ∵a<0 ∴2a<a<0 即m<n<0 故答案为：C 【分析】将点坐标代入抛物线解析式可求出m，n，再比较大小即可求出答案. 【变式4-2】．分别求出符合下列条件的抛物线y=ax2的解析式： （1）经过点(-3，2)； （2）与y= x2开口大小相同，方向相反. 【答案】（1）解：∵y=ax2过点(-3，2)，∴2=a×(-3)2，则a= ， ∴解析式为y= x2 （2）解：∵y=ax2与抛物线y= x2开口大小相同，方向相反， ∴a=- ， ∴解析式为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【分析】（1）将已知点的坐标代入函数解析式，即可解答。 （2）y=ax2与抛物线y= x2的开口大小相同，方向相反，可出a的值与互为相反数，即可解答。 【变式4-3】．如图，在平面直角坐标系中，两条开口向上的抛物线所对应的函数表达式分别为y=(2a2-1)x2与y=ax2若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍，则a的值为　 　 。 【答案】 【知识点】二次函数y=ax&#178;的图象；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】 y=(2a2-1)x2与y=ax2若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍 故根据题意，2a2-1=2a且a>0，然后求解a= 【分析】抛物线的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越小. 题型5二次函数y=ax2与几何图形性质的计算 例5．如图，正方形的边长为2，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=x2与y=-x2的图象，则阴影部分的面积是　 　 【答案】2 【知识点】正方形的性质；二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【解答】解：∵函数y＝x2与y＝−x2的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∵边长为2的正方形面积为4， ∴图中的阴影部分的面积是2． 故答案为：2． 【分析】根据图象可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，再结合边长为2的正方形面积为4，从而可得图中的阴影部分的面积是2． 【变式5-1】． 如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E（0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是（　　） A．3 B． C． D．5 【答案】C 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆周角定理；二次函数y=ax&#178;的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得x1＝3，x2＝5，则A（3，0）， ∵抛物线的对称轴与x轴交于点C， ∴C点为AB的中点， ∵∠DPE＝90°， ∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（﹣4，0）， AQ5，⊙Q的半径为2， 延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为2+5＝7， 连接AP， ∵M是线段PB的中点， ∴CM为△ABP为中位线， ∴CMAP， ∴CM的最大值为． 故答案为：C． 【分析】先解方程得到点A的坐标，再由抛物线的性质以及圆周角定理得到C点为AB的中点和圆心的坐标，利用勾股定理求得AQ的值和⊙Q的半径，延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为7，连接AP，利用三角形的中位线定理得到CMAP，从而求解. 【变式5-2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．过点且与轴平行的直线交抛物线于两点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;的图象；二次函数y=a（x-h）&#178;+k的图象 【解析】【解答】∵抛物线与轴交于点A， ∴点A的坐标为（0，6）， 将y=6代入，可得， 解得：， ∴点B的坐标为（，6），点C的坐标为（，6）， ∴BC=-（）=， 故答案为：D. 【分析】先求出点A的坐标，再将点A的纵坐标代入求出x的值，可得点B、C的坐标，再求出BC的长即可. 【变式5-3】．已知，二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为　 　. 【答案】 【知识点】菱形的性质；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：连接BC与AO交于点D， ∵四边形OBAC为菱形 ∴AO⊥BC， ∵∠OBA=120° ∴∠AOB=30°， ∵B的坐标为(1，)， ∴OA=2OD=2，BC=2BD=2， ∴菱形的面积=×AO×BC=×2×2=2. 故答案为： 【分析】连接BC与AO交于点D，先根据菱形的性质得到AO⊥BC，进而结合题意即可得到∠AOB=30°，再结合二次函数的性质即可求解。 题型6二次函数y=ax2与几何题型的公共点问题 例6．如图，若抛物线y=ax2(a≠0)与四条直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点(包括边界及顶点)，则a的取值范围为　 　 【答案】≤a≤2 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【解答】解：如图所示： 由图知：A（1，2），B（2，1）， 再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小， 把A点代入y＝ax2得a＝2， 把B点代入y＝ax2得a＝， ∴a的范围介于这两点之间，即≤a≤2． 故答案为：≤a≤2． 【分析】先求出A（1，2），B（2，1），再将点A、B的坐标分别代入y＝ax2，求出a的值，从而可得≤a≤2． 【变式6-1】．如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，若正方形ABCO的边长为，且边OC与y轴的负半轴的夹角为15° ，则a的值是 　 　． 【答案】 【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：连接OB，过点B作BD⊥y轴，交y轴于点D，如下图： ∵四边形ABCD是正方形 ∴OB==2，∠BOC=45°； ∵∠DOC=15° ∴∠BOD=45°-15°=30° ∴BD=1，OD= ∴点B的坐标为（-1，-） 将点B的坐标代入抛物线的解析式，可得a=-. 故答案为：-. 【分析】根据正方形的性质，可得OB和∠BOC的度数；根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，可得BD=1，OD=；根据第三象限内点的特点，可得点B的坐标；根据二次函数的性质，将点B的坐标代入函数，即可求出a的值. 【变式6-2】．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上，直线y＝﹣1与y轴交于点H． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线y＝﹣1交于点M，求证：PF＝PM； （3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标． 【答案】（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O， ∴设二次函数的解析式为y＝ax2， 将点A（1，）代入y＝ax2得：a＝， ∴二次函数的解析式为y＝x2； （2）解：设P（m，m2）， ∵F（0，1）， ∴PF＝＝m2+1， ∵PM⊥HM，且点M在直线y＝﹣1上， ∴PM＝m2+1， ∴PF＝PM； （3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF＝60°， ∴∠FMH＝30°， 在Rt△MFH中，MF＝2FH＝2×2＝4， ∵PF＝PM＝FM， ∴x2+1＝4， 解得：x＝±2， ∴x2＝×12＝3， ∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；二次函数y=ax&#178;的图象；坐标系中的两点距离公式 【解析】【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝ax2，将点A代入即可求出二次函数的解析式； （2）设P（m，m2），根据坐标系中两点间的距离即可得到PF，进而根据题意求出PM，从而即可求解； （3）先根据等边三角形的性质得到∠PMF＝60°，进而得到∠FMH＝30°，从而根据含30°角的直角三角形的性质得到MF，进而即可求出x，再代入即可求出点P的坐标。 【变式6-3】．已知，如图，直线l经过A（4，0）和B （0，4）两点，它与抛物线y＝ax2在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为4，求a的值． 【答案】解：∵OA＝OB＝4， ∴△AOB的面积为8， 又∵△AOP的面积为4， ∴AP＝AB， ∴P是AB的中点， 从而可得△OAP是等腰直角三角形，过P作PC⊥OA于C ，可得P（2，2）， 将P（2，2）代入y＝ax2中，得a＝． 【知识点】三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【分析】先利用△AOB和△AOP的面积求出AP＝AB，可得点P是AB的中点，再求出点P的坐标，最后将点P的坐标代入y＝ax2，求出a的值即可. 题型7二次函数y=ax2与几何综合问题 例7．如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点. （1）求A，B两点的坐标. （2）观察图象，直接写出当时的取值范围. 【答案】（1）解：直线与抛物线交于A，B两点 ， 令y1=y2得x=x， 解得x1=0，x2=2， 当x=0时，y=0； 当x=2时，y=2， ∴A(0，0)，B(2，2)； （2）解：由图象可得当y1＞y2时，x的取值范围为：0<x<2. 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【分析】（1）两函数图象交点的坐标，就是两函数解析式组成方程组的解，据此可解决此题； （2）从图象来看，求当y1＞y2时，x的取值范围，就是求一次函数的图象在二次函数图象上方部分相应的自变量的取值范围，从而结合交点坐标即可得出答案. 【变式7-1】．已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)． （1）求这个函数的解析式； （2）画出函数的图象，写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标； （3）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2经过点A（2，1）， ∴4a=1，解得a=， ∴这个函数的解析式为y=x2； （2）解：∵点A（2，1），关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（-2，1） （3）解：如图： ∵点A（2，1），B（-2，1）， ∴AB=2-（-2）=2+2=4，S△OAB=×4×1=2， 假设存在点C，且点C到AB的距离为h， 则S△ABC=•AB•h=×4h， ∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半， ∴×4h=×2，解得h=， ①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为， 此时，解得，， 则此时C的坐标为（，）或（，）， ②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为， 此时，解得，， 则此时C的坐标为（，）或（，）， 综上，存在点C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面积等于△OAB面积的一半． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数y=ax&#178;的图象；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【分析】（1）将点A（2，1）代入y=ax2中可求出a值，即得解析式； （2）根据关于y轴对称的点的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相同， 即可求解； （3） 先求出S△OAB=×4×1=2， 假设存在点C，设点C到AB的距离为h，根据△ABC的面积等于△OAB面积的一半，建立方程可求出h=，分两种情况：①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为，②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为，然后分别代入抛物线解析式中求解即可. 【变式7-2】．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作y轴的平行线交二次函数的图象于点B． （1）点B的纵坐标为　 　（用含m的代数式表示）； （2）当点A落在二次函数的图象上时，求m的值； （3）当时，若．求m的值； （4）当线段的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）m2 （2）解：把A（m，-2m+3）代入y=x2，得-2m+3=m2． 解得m1=-3，m2=1； （3）解：根据题意知：|-2m+3-m2|=2． ①-2m+3-m2=2， 解得m1=，m2=， ∵m＜0， ∴m=，符合题意； ②-2m+3-m2=-2， 解得m1=，m2=， ∵m＜0， ∴m=，符合题意． 综上所述，m的值为或； （4）-3＜m≤-1或m＞1 【知识点】二次函数y=ax&#178;的图象；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：（1）根据题意知，点B的横坐标是m， ∴将x=m代入y=x2，得y=m2． 即点B的纵坐标为m2． 故答案为：m2； （4）由（2）知，当点A、B重合时，点A的坐标是（-3，9）或（1，1）． 设AB=d， 当-3＜m＜0时，d=-2m+3-m2=-（m+1）2+4时，对称轴是直线m=-1且抛物线开口向下， ∴线段AB的长度随m的增大而增大时，-3＜m≤-1． 当m＞1时，根据题意知，线段AB的长度随m的增大而增大时，m＞1． 综上所述，m的取值范围是-3＜m≤-1或m＞1． 【分析】（1）根据平行线的性质知，点B与点A的横坐标相同，所以把x=m代入抛物线解析式，即可求得点B的纵坐标； （2）把点A代入二次函数解析式，列出方程，再解方程即可； （3）根据等量关系AB=2和浪点间的距离公式列出方程，解方程即可求得m的值； （4）利用两点间的距离公式列出二次函数解析式，由二次函数的性质解答即可。 【变式7-3】．已知 是二次函数，且当x>0时，y随着x的增大而增大. （1）求k的值； （2）求顶点坐标和对称轴. 【答案】（1）解：由y＝（k＋2） 是二次函数，且当x＞0时， y随x的增大而增大，得 解得k＝2； （2）解：y＝4x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴. 【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax&#178;的图象；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【分析】(1)根据二次函数y=ax2（a≠0）的次数是2，列出关于k的方程，结合二次函数图象的性质，得出k+2>0，即可； (2)根据二次函数y=ax2（a≠0）图象的性质，可得顶点坐标、对称轴，即可解答. 例8．已知函数 是关于x的二次函数.求： （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数， ∴ ， ， 解得： . （2）解：∵ ， ∴ 或 ， 当 时，抛物线有最低点，该点坐标为 ； 当 时，y随x的增大而增大. （3）解：当 ， 函数有最大值，最大值是 ； 当 时，y随x的增大而减小. 【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax&#178;的图象；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【分析】（1）形如“y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，根据二次函数的定义列出关于m的混合组，求解得出m的值即可解决问题； （2）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点；在对称轴的右侧y随x的增大而增大即可解决问题； （3）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，此时函数有最大值；在对称轴的右侧y随x的增大而减小即可解决问题. 【变式8-1】．已知函数 是关于x的二次函数. （1）求m的值. （2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？ （3）当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数， ∴m2＋3m−2＝2，m＋3≠0， 解得：m1＝−4，m2＝1； （2）解：∵函数图象的开口向下， ∴m＋3＜0， ∴m＜−3， ∴当m＝−4时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵m＝−4或1， ∵当m＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值， ∴m＞−3， ∵m＝−4或1， ∴当m＝1时，函数为 ，该函数有最小值，最小值为0. 【知识点】二次函数的定义；二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;的图象；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【分析】（1）形如“y=ax2+bx+c （a≠0）”的函数就是二次函数，根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题； （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下即可求解； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值即可求解. 【变式8-2】．已知点A（2，a）在抛物线y=x2上 在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由． （1）求A点的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）解：∵点A（2，a）在抛物线y=x2上，∴a=22=4， ∴A点的坐标为：（2，4）； （2）解：如图所示：以O为顶点时，AO=P1O=2 或AO=AP2=2 ∴点P坐标：（2 ，0），（﹣2 ，0），以A为顶点时，AO=OP， ∴点P坐标：（4，0）；以P为顶点时，OP′=AP′， ∴AE2+P′E2=P′A2，设AP′=x则42+（x﹣2）2=x2，解得：x=5，∴点P坐标：（5，0）， 综上所述使△OAP是等腰三角形则P点坐标为：（2 ，0），（﹣2 ，0），（4，0），（5，0）． 【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，建立方程求解即可。 （2）分别根据以O为顶点时，以A为顶点时及以P为顶点时，分别求出符合题意的点的坐标即可。 一、（选择题。每小题3分，共24分） 1．抛物线与相同的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是轴 C．有最低点 D．对称轴是轴 【答案】B 【知识点】二次函数y=ax&#178;的图象；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：对于抛物线， ∵， ∴其开口向上，有最低点，其对称轴为， 而抛物线， ∵， ∴其开口向下，有最高点，其对称轴为， ∴选项A、C、D错误，不符合题意，选项B正确，符合题意． 故答案为：B． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据二次函数的图像与性质可得：抛物线， ，其开口向上，有最低点，其对称轴为；抛物线，，其开口向下，有最高点，其对称轴为，再结合选项可选出答案. 2．已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：∵二次函数，当时，y随x增大而减小， ∴a-1>0， ∴， 故答案为：D. 【分析】根据二次函数的性质即可解答. 3．如图，⊙O被抛物线y=x2所截的弦长AB=4，则⊙O的半径为（　　）． A．2 B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】勾股定理；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：如图，连接OB， ∵AB=4，∴BC=2，则点B的横坐标位，y=，x2=2，∴点B的坐标为（2，2），∴OC=2，在Rt△OCB中，BC=2，OC=2，由勾股定理的，OB=2 故选B． 【分析】由二次函数的对称性可知CA=CB，所以B点的横坐标为2，带入抛物线中求得B（2，2），在Rt△OCB中，利用勾股定理求出OB即可． 4．下列关于二次函数y=x2的图象的说法中错误的是(　　) A．图象是一条在x轴下方(除顶点外)的抛物线 B．图象的顶点是这条抛物线的最高点 C．图象的对称轴是y轴 D．(1．)和(-1，)这两个点都在其图象上 【答案】D 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;的图象；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：A、∵抛物线的解析式为y=x2，∴抛物线开口向下，顶点为（0，0），∴抛物线的图象在x轴的下方，∴A正确，不符合题意； B、∵抛物线的解析式为y=x2，∴抛物线开口向下，顶点为（0，0），∴抛物线有最高点即为顶点，∴B正确，不符合题意； C、∵抛物线的解析式为y=x2，∴抛物线开口向下，顶点为（0，0），∴抛物线的对称轴为y轴，∴C正确，不符合题意； D、∵当x=1时，y=，当x=-1时，y=，∴点(1，)在图象上，但点(-1，)不在图象上，∴D错误，符合题意； 故答案为：D. 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）分析求解即可. 5．下列关于函数的性质叙述中，错误的是（　　）. A．对称轴是轴 B．顶点是原点 C．当时，随的增大而增大 D．有最大值 【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：关于函数 A：对称轴是y轴，对称轴，所以函数关于y轴对称，叙述正确 B：顶点是原点，顶点坐标，所以顶点是原点，叙述正确 C：当时，随的增大而增大，二次项系数，图象开口向上，对称轴x=0，所以叙述正确 D：有最大值，二次项系数，图象开口向上，函数有最小值，所以叙述不正确 故答案为：D 【分析】根据一元二次函数的性质逐一判定；对于，当，图象开口向上，函数有最小值，函数的对称轴，顶点为，对称轴右侧，y随x的增大而增大。 6．函数与在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【解答】 解： 的图像过第一，第二，第三象限， 的图像开口向上，且顶点在原点， 综上，符合要求的图像是 故答案为：C 【分析】 根据a>0，b>0判断出y=ax+-b经过的象限，再根据a>0判断开口方向，顶点位置。 7．已知二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大，则m的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：根据题意可知，， 解得，， ∵二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大， ∴m+2＜0， 解得m＜-2， 综上，m=. 故答案为：A. 【分析】由题意可得m2-3=2且m+2<0，求解即可. 8．已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2)与边长x(cm)的函数图象可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列二次函数关系式；二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【解答】解：根据题意可得：正方形的面积y与边长x之间的关系式可表示为：y＝x2（x＞0）， 故答案为：C． 【分析】先利用正方形的面积公式列出函数解析式，再结合实际求出x的取值范围，最后可得函数图象. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．抛物线的顶点坐标是　 　. 【答案】 【知识点】二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【解答】解： 抛物线的顶点坐标是（0，0） . 故答案为：（0，0） . 【分析】抛物线（a≠0）的顶点为原点. 10．若均在二次函数图象上，则　 　（填“>”“=”“<”）． 【答案】 【知识点】二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：的对称轴为轴，抛物线开口向上，x＜0时，随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 【分析】根据二次函数图象的性质可得x＜0时，随的增大而减小，即可求得. 11．已知二次函数y=x2，则它的图象上到x轴、y轴距离相等的点有　 　 【答案】（−4，4）或（0，0）或（4，4） 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【解答】解：①当y＝x时，x2＝x， 解得：x1＝0，x2＝4， 此时该点的坐标为（0，0）或（4，4）． ②当y＝−x，x2＝−x， 解得：x3＝0，x4＝−4， 此时该点的坐标为（−4，4）或（0，0）． 综上所述，符合条件的点有三个（−4，4）或（0，0）或（4，4）． 故答案为：（−4，4）或（0，0）或（4，4）． 【分析】分类讨论：①当y＝x时，x2＝x；②当y＝−x，x2＝−x，再分别求出x的值，从而可得点坐标. 12．有下列四个二次函数：①y=x2；②y=-2x2；③y=x2；④y=3x2．其中图象开口向下的是　 　，开口最大的是　 　，开口最小的是　 　(填序号) 【答案】②；③；④ 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2的二次项系数为1；二次函数y=-2x2的二次项系数为-2；二次函数y=x2的二次项系数为；二次函数 y=3x2的二次项系数为3； ∴图象开口向下的是②； ∵|3|>|-2|>|1|>||， ∴图象开口最大的是③；开口最小的是④， 故答案为：②；③；④. 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下）（|a|越大，开口越小）分析求解即可. 13．已知 ， 为抛物线 （ ）上任意两点，其中 ．若对于 ，都有 ，则a的取值范围是　 　． 【答案】a≥1或a≤-1 【知识点】二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：∵ ， 为抛物线 （ ）上任意两点， ∴ ， ， ∵对于 ，都有 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ 恒成立， ∴要使 恒成立则 ， ∴ ， ∴ 或 ， 故答案为： 或 ． 【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 函数表达式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=6x2 　 　 　 y=-4x2 　 　 　 y=x2 　 　 　 【答案】解： 函数表达式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=6x2 向上 y轴 (0，0) y=-4x2 向下 y轴 (0，0) y=x2 向上 y轴 (0，0) 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③抛物线的对称轴为直线x=，顶点坐标为（，））分析求解即可. 15． 在同一坐标系内，画出函数y=2x2和y=2（x-1）2+1的图象，并说出它们的相同点和不同点． 【答案】解：如图， 相同点：开口方向和开口大小相同； 不同点：函数y=2（x-1）2+1的图象是由函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度， 再向右平移1个单位长度所得到的，位置不同． 【知识点】二次函数y=ax&#178;的图象；二次函数y=a（x-h）&#178;+k的图象 【解析】【分析】先画图象，函数y=2（x-1）2+1的图象是由函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度所得到的．开口方向和开口大小相同，位置不同． 16．根据下列条件求a的取值范围： （1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大； （2）函数y＝(3a-2)x2有最大值； （3）函数的图象是开口向上的抛物线． 【答案】（1）解：由题意可得： ， 解得： （2）解：由题意可得： ， 解得： （3）解：由题意可得： ， 解得： 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【分析】（1）函数y＝(a-2)x2 的对称轴为x=0，若x＞0时，y随x的增大而减小，x＜0时，y随x的增大而增大，则二次项的系数小于，可列出一元一次不等式，解之即可得出答案； （2）若二次函数有最大值，则二次项的系数小于，列出一元一次不等式，即可解答； （3）根据函数图象开口向上，可得二次项系数大于，同时二次项的次数须满足，即可解答． 17．已知二次函数y=x2，当-1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值． 小王的解答过程如下： 解：当x=-1时，y=1； 当x=2时，y=4． 所以函数y的最小值为1，最大值为4． 小王的解答过程正确吗?如果不正确，写出正确的解答过程． 【答案】解：小王的解答过程是错误的，正确的解答过程如下： ∵y=x2， ∴该函数的图象开口向上，对称轴是y轴． ∵-1≤x≤2， ∴当x=0时取得最小值，最小值是0， 当x=2时取得最大值，此时y=4． 综上可得，当-1≤x≤2时，函数y的最小值是0，最大值是4． 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【分析】先判断二次函数的对称轴是否在取值范围内，再将x的取值范围的两个端点的函数值求出，最后求出y的取值范围即可. 18．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求的值，并画出它的图象； （2）如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围． 【答案】（1）解：由 是二次函数，且当 时，y随x的增大而增大，得 ， 解得： 或 （舍去）； 二次函数的解析式为 ， 如图所示： （2）解：点 是此二次函数的图象上一点， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时，n取最大值， ， ∴当 时， ． 【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax&#178;的图象；二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【分析】(1)根据二次函数的次数是2，可得方程 ，根据二次函数性质当时，随的增大而增大．可得 ，可得出答案K=-3； (2)求当时，；当时，，然后关键二次函数的性质即可得出n的取值范围. 19．二次函数y=ax2 (a≠0)的图象的一部分如图所示，点A的坐标为(0，1)． （1）利用图象的轴对称性将y=ax2的图象补画完整． （2）以OA为边向右作等边三角形OAP．若点P落在抛物线y=ax2上，求a的值． 【答案】（1）解：如图， （2）解：如图，过点P作PM⊥OA于点M， ∵A（0，1）， ∴OA=1， ∵△OAP是等边三角形， ∴OP=OA=1，OM=， ∴MP=， ∴P(，)， ∵点P在抛物线y=ax2 上， ∴a=， ∴a=. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的性质；二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称性画出函数的图象即可； （2）过点P作PM⊥OA于点M，利用等边三角形的性质和勾股定理求出OM和PM的长，从而得出点P的坐标，再把点P的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值即可. 20．如图所示，在平面直角坐标系中，是抛物线上的一个动点，且点位于第一象限内.轴于点，点的坐标为，直线AB交轴于点，点与点关于轴对称，直线与AB相交于点，连结BD.设线段AE的长为m，△BDE的面积为. （1）当时，求的值. （2）求关于的函数表达式. 【答案】（1）解：当时，AE=，即点A的横坐标为， 当x=时， =1， ∴A（，1）， ∵B（0，2） ∴OB=2，则BE=BO-OE=2-1=1， ∴BE=OE， ∵轴 ， ∴AE∥x轴， ∴AE为△BOC的中位线， ∴OC=2AE=2， ∵ 点与点关于轴对称 ， ∴DO=OC=2， ∴△BDE的面积S=×2×1=. （2）解：如图1，当0＜m＜2时， ∵AE∥x轴， ∴△ABE∽△CBO， ∵点与点关于轴对称 ， ∴△BDO≌△BCO， ∴△ABE∽△DBO， ∴， ∴BE·DO=AE·BO=2m， ∴△BDE的面积S=×BE·DO=m， 如图2，当m＞2时，同①得△BDE的面积S=×BE·DO=AE·BO=m， 综上可知：； 【知识点】轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;的图象 【解析】【分析】（1）先求出A的坐标，易得BE=OE，可知AE为△BOC的中位线，可得OC=2AE=2，利用对称性求出DO的长，根据S=×BE·DO即可求解； （2）分两种情况：当0＜m＜2时和当m＞2时，据此分别画出图形，利用三角形的面积公式求解即可. B抓核心 三大题型提升练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A夯基础 四大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1二次函数Y=ax2的图像 1.要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． 2.要点诠释：与抛物线开口大小的关系 （1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称. （2）越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴； 越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴. 题型1 二次函数y=ax2的图象的认识 例1．抛物线，，，的图象开口最大的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】．在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，的图象，正确的是(　　) A． B． C． D． 【变式1-2】．二次函数 的图象是（　　） A．线段 B．直线 C．抛物线 D．双曲线 【变式1-3】．函数y=ax2与y=-ax+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 知识点2 二次函数Y=ax2的性质 要点诠释： 二次函数y=ax2的核心性质由其系数a决定，开口方向、对称轴及单调性均与a的正负相关。a>0开口向上，a<0开口向下；对称轴y轴；a>0,x>0时，y随x增大而增大，x<0时，y随x增大而减小；a<0,x>0时，y随x增大而减小， x<0时，y随x增大而增大。 题型2 画二次函数图象 例2．在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=x2，y=-x2的图象． 解：列表． x …… -2 -1 0 1 2 …… y=x2 …… 　 　 　 　 　 …… y=x2 …… 　 　 　 　 　 …… y=-x2 …… 　 　 　 　 　 …… 描点、连线，画出图象． （1）完成上述表格，在图中画出其余两个函数的图象． （2）由图中的三个函数图象，请总结二次函数y=ax2(a≠0)的表达式中a的值与它的图象有什么关系． 【变式2-1】．在如图直角坐标系中，用描点法画出下列函数的图象． ①y=x2． ②y=x2 （1）列表： x …… -2 -1 0 1 2 …… y=x2 …… 　 　 　 　 　 　 　 …… y=x2 …… 　 　 　 　 　 　 　 …… （2）描点，并用光滑曲线顺次连结各点． 【变式2-2】．给出下列命题及函数y=x，y=x2和y= 的图像： ①如果 ＞a＞a2，那么0＜a＜1； ②如果a2＞a＞ ，那么a＞1； ③如果 ＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0； ④如果a2＞ ＞a，那么a＜﹣1． A．正确的命题是①② B．错误的命题是②③④ C．正确的命题是①④ D．错误的命题只有③ 【变式2-3】．已知二次函数 ， 解答下列问题： （1）根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分 (直接在网格中作图即可). （2）判断点 是否在这个函数图象上， 说明理由. （3）求当 时对应的函数图象上的点的坐标. 题型3 二次函数的性质 例3．已知，二次函数的图象上有三个点，，，则有（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】．已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】．已知是关于x的二次函数. (1)求满足条件的k的值； (2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？ (3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？ . 【变式3-3】．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大. （1）求的值； （2）如果点是此二次函数的图象上一点，若，那么n的取值范围为　 　. 题型4二次函数的解析式 例4．写出一个开口向上，顶点是坐标原点的二次函数的解析式：　 　. 【变式4-1】．已知抛物线过点，两点，则下列关系式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】．分别求出符合下列条件的抛物线y=ax2的解析式： （1）经过点(-3，2)； （2）与y= x2开口大小相同，方向相反. 【变式4-3】．如图，在平面直角坐标系中，两条开口向上的抛物线所对应的函数表达式分别为y=(2a2-1)x2与y=ax2若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍，则a的值为　 　 。 题型5二次函数y=ax2与几何图形性质的计算 例5．如图，正方形的边长为2，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=x2与y=-x2的图象，则阴影部分的面积是　 　 【变式5-1】． 如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E（0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是（　　） A．3 B． C． D．5 【变式5-2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．过点且与轴平行的直线交抛物线于两点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】．已知，二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为　 　. 题型6二次函数y=ax2与几何题型的公共点问题 例6．如图，若抛物线y=ax2(a≠0)与四条直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点(包括边界及顶点)，则a的取值范围为　 　 【变式6-1】．如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，若正方形ABCO的边长为，且边OC与y轴的负半轴的夹角为15° ，则a的值是 　 　． 【变式6-2】．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上，直线y＝﹣1与y轴交于点H． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线y＝﹣1交于点M，求证：PF＝PM； （3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标． 【变式6-3】．已知，如图，直线l经过A（4，0）和B （0，4）两点，它与抛物线y＝ax2在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为4，求a的值． 题型7二次函数y=ax2与几何综合问题 例7．如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点. （1）求A，B两点的坐标. （2）观察图象，直接写出当时的取值范围. 【变式7-1】．已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)． （1）求这个函数的解析式； （2）画出函数的图象，写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标； （3）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-2】．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作y轴的平行线交二次函数的图象于点B． （1）点B的纵坐标为　 　（用含m的代数式表示）； （2）当点A落在二次函数的图象上时，求m的值； （3）当时，若．求m的值； （4）当线段的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【变式7-3】．已知 是二次函数，且当x>0时，y随着x的增大而增大. （1）求k的值； （2）求顶点坐标和对称轴. 例8．已知函数 是关于x的二次函数.求： （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【变式8-1】．已知函数 是关于x的二次函数. （1）求m的值. （2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？ （3）当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【变式8-2】．已知点A（2，a）在抛物线y=x2上 在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由． （1）求A点的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由． 一、（选择题。每小题3分，共24分） 1．抛物线与相同的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是轴 C．有最低点 D．对称轴是轴 2．已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．如图，⊙O被抛物线y=x2所截的弦长AB=4，则⊙O的半径为（　　）． A．2 B．2 C． D．4 4．下列关于二次函数y=x2的图象的说法中错误的是(　　) A．图象是一条在x轴下方(除顶点外)的抛物线 B．图象的顶点是这条抛物线的最高点 C．图象的对称轴是y轴 D．(1．)和(-1，)这两个点都在其图象上 5．下列关于函数的性质叙述中，错误的是（　　）. A．对称轴是轴 B．顶点是原点 C．当时，随的增大而增大 D．有最大值 6．函数与在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 7．已知二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大，则m的值为（　　） A． B． C． D．2 8．已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2)与边长x(cm)的函数图象可表示为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．抛物线的顶点坐标是　 　. 10．若均在二次函数图象上，则　 　（填“>”“=”“<”）． 11．已知二次函数y=x2，则它的图象上到x轴、y轴距离相等的点有　 　 12．有下列四个二次函数：①y=x2；②y=-2x2；③y=x2；④y=3x2．其中图象开口向下的是　 　，开口最大的是　 　，开口最小的是　 　(填序号) 13．已知 ， 为抛物线 （ ）上任意两点，其中 ．若对于 ，都有 ，则a的取值范围是　 　． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 函数表达式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=6x2 　 　 　 y=-4x2 　 　 　 y=x2 　 　 　 15． 在同一坐标系内，画出函数y=2x2和y=2（x-1）2+1的图象，并说出它们的相同点和不同点． 16．根据下列条件求a的取值范围： （1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大； （2）函数y＝(3a-2)x2有最大值； （3）函数的图象是开口向上的抛物线． 17．已知二次函数y=x2，当-1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值． 小王的解答过程如下： 解：当x=-1时，y=1； 当x=2时，y=4． 所以函数y的最小值为1，最大值为4． 小王的解答过程正确吗?如果不正确，写出正确的解答过程． 18．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求的值，并画出它的图象； （2）如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围．19．二次函数y=ax2 (a≠0)的图象的一部分如图所示，点A的坐标为(0，1)． （1）利用图象的轴对称性将y=ax2的图象补画完整． （2）以OA为边向右作等边三角形OAP．若点P落在抛物线y=ax2上，求a的值． 20．如图所示，在平面直角坐标系中，是抛物线上的一个动点，且点位于第一象限内.轴于点，点的坐标为，直线AB交轴于点，点与点关于轴对称，直线与AB相交于点，连结BD.设线段AE的长为m，△BDE的面积为. （1）当时，求的值. （2）求关于的函数表达式. 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