22.1.3二次函数y=a(x-h)²的图象性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元教学分层优化练 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22.1.3二次函数y=a(x-h)²的图象性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 二次函数y=a(x-h)²的图像 （1） a>0 ，开口向上 a<0,开口向下； （2） 对称轴是直线x=h,顶点坐标（h,k） （3）二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 要点诠释： 二次函数平移与旋转与系数a的关系：平移（上下或左右）a不变，绕顶点旋转180°（沿x轴翻折）a变成原数的相反数。 题型1 二次函数y=a（x-p）2的图象的识别 例1．下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图像和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．依据二次函数顶点式的性质，从开口方向和顶点坐标两个角度分析逐项判断即可 ． 【详解】解：函数， ， 抛物线开口向下， 选项A、B不符合题意， 抛物线的顶点坐标为（即顶点在x轴上，且横坐标为），选项C、D的抛物线开口向下，而选项C的抛物线顶点在x的负半轴上；选项D的抛物线顶点在x轴正半轴， 符合条件的是选项C， 故答案为：C． 【变式1-1】．二次函数的图象的对称轴是（   ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数顶点式的对称轴为直线成为解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质求解即可． 【详解】解：对于二次函数，其形式符合顶点式，其中， 所以，函数的对称轴为直线． 故选D． 【变式1-2】．抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在x轴上 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图像性质特点是解题的关键． 比较两个抛物线的开口方向、对称轴、形状大小及顶点位置，逐一判断选项． 【详解】解：先分别对这两个抛物线进行分析，再进行选项判断： 抛物线 开口方向：二次项系数，开口向上. 对称轴：由顶点式可知对称轴为直线. 顶点：顶点坐标为，位于轴上. 形状大小：由决定. 抛物线 开口方向：二次项系数，开口向下. 对称轴：由顶点式可知对称轴为直线. 顶点：顶点坐标为，位于轴上. 形状大小：由决定. 分别对选项进行判断. A：开口方向相反，不同. B：对称轴分别为和，不同. C：分别为和，形状大小不同. D：两顶点和均在轴上，相同. 故答案为：D. 【变式1-3】．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 知识点2 二次函数y=a(x-h)²的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 要点诠释： 二次函数y=a（x-p）2的核心性质由其系数a、p决定,a>0开口向上，a<0开口向下,对称轴直线x=p；a>0,x>p时，y随x增大而增大，x<p时，y随x增大而减小；a<0,x>p时，y随x增大而减小，x<0时，y随x增大而增大。 题型2 二次函数y=a（x-p）2的性质 例2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，利用性质直接判断图象即可 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，顶点坐标为，顶点坐标位于轴上 故选：D ． 【变式2-1】．下列抛物线中，对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质、y=ax²+k的图象和性质、y=a（x-h）²的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线，故符合题意； B、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； C、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； D、抛物线的对称轴为直线，故不符合题意； 故选：A． 【变式2-2】．点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可． 【详解】解：， ， 解得：或 (舍去)， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ， 当时，有最大值，， 当时，有最小值， ， ∴函数的最大值与最小值的差为， 故选：D． 【变式2-3】．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的图象、y=a（x-h）²的图象和性质、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得到的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：从一次函数的图象开始： A、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象一致， 故A图象正确，符合题意； B、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故B图象错误，不符合题意； C、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴右侧，与选项图象不一致， 故C图象错误，不符合题意； D、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故D图象错误，不符合题意； 故选：A． 题型3 二次函数y=a（x-p）2的增减性 例3．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】此题考查了二次函数的性质．把点的坐标代入函数解析式求出，，即可得到答案． 【详解】解；∵点和点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：C 【变式3-1】．已知二次函数的图象，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据题意可得函数图像的对称轴为直线，开口向上的二次函数，根据题意，求解即可. 【详解】根据题意可得函数图像的对称轴为直线，开口向上的二次函数， 在对称轴的右边随的增大而增大，则， 故选：D． 【变式3-2】．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，当时，函数图象的点到对称轴的距离越远，函数值越大，当时，函数图象的点到对称轴的距离越远，函数值越小． 先求得函数图象的开口方向和对称轴，再根据各点离对称轴的距离大小即可判断． 【详解】解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 【变式3-3】．已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵三点都在二次函数的图象上， ∴到对称轴的距离最远，在对称轴上， ∴． 故选：B． 题型4 二次函数y=a（x-p）2的平移 例4．二次函数的图像是由抛物线向 平移 个单位长度得到的；此函数图像开口向 ，对称轴是 ，当 时，y有最 值，是 ． 【答案】 右 4 下 直线 4 大 0 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数的最值， 根据左加右减的平移规律可知如何平移，根据题目中的函数解析式，可以写出它们的开口方向、对称轴和是否有最高点或最低点，本题得以解决． 【详解】解：二次函数的图像是由抛物线向右平移4个单位长度得到的；此函数图像开口向下，对称轴是直线，当时，y有最大值，是0． 故答案为：右；4；下；直线；4；大；0． 【变式4-1】．在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．先求出平移后的解析式，再求顶点坐标即可． 【详解】解：函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数解析式为， ∴顶点为：， 故答案为：． 【变式4-2】．抛物线与抛物线的关系： 若h＞0，抛物线向 平移h个单位就得到抛物线； 若h＜0，，抛物线向 平移|h|个单位就得到抛物线 【答案】 右 左 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【详解】若h＞0，抛物线向右平移h个单位就得到抛物线； 若h＜0，，抛物线向左平移|h|个单位就得到抛物线． 【变式4-3】．抛物线的图象相当于把抛物线的图象 （h＞0）或 （h＜0）平移 个单位． 【答案】 向右 向左 |h| 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【解析】略 题型5二次函数y=a（x-p）2的图像的最值 例5 ..如图，已知二次函数的图象顶点在轴上，且，与一次函数的图象交于轴上一点和另一交点. 求抛物线的解析式； 点为线段上一点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点，请求出线段的最大值. 【答案】(1) ；（2）线段的最大值为. 【分析】（1）根据题意首先计算A、B点的坐标，设出二次函数的解析式，代入求出参数即可. （2）根据题意设F点的横坐标为m,再结合抛物线和一次函数的解析式即可表示F、D的纵坐标，所以可得DF的长度，使用配方法求解出最大值即可. 【详解】解：，二次函数与一次函数的图象交于轴上一点， 点为，点为. 二次函数的图象顶点在轴上. 设二次函数解析式为. 把点代入得， . 抛物线的解析式为，即. 设点坐标为，点坐标为. . 当时，即，解得. 点为线段上一点, . 当时，线段的最大值为. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键在于利用配方法求解抛物线的最大值，这是二次函数求解最大值的常用方法,必须熟练掌握. 【变式5-1】．已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． 【答案】 0 6或1/1或6 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 【变式5-2】．已知二次函数，当时有最大值，且此函数的图象经过点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大． 【答案】当x＜2时，y随x的增大而增大． 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【详解】试题分析：根据当x=2时函数有最大值，可得h=2，再把点（1，﹣3）代入函数解析式求得a值，即可求得函数解析式，根据函数的性质直接写出函数y随x的增大而增大时x的取值范围即可． 试题解析： 根据题意得y=a（x﹣2）2， 把（1，﹣3）代入得a=﹣3， 所以二次函数解析式为y=﹣3（x﹣2）2， 因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下， 所以当x＜2时，y随x的增大而增大． 【变式5-3】已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为 ． 【答案】1或6 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，分，，三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵当时，函数有最大值， ①当时，则：当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ②当时，则当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ③当时，则：当时，函数有最大值为：，不符合题意； 故答案为：1或6． 题型6二次函数y=a（x-p）2的图像的实际问题 例6．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，建立如图所示的平面直角坐标系，使抛物线的顶点落在轴上，桥洞底部左边端点落在轴上，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是 米． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意可得抛物线的顶点的坐标为，点坐标为，设抛物线的函数解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把代入求出的值，进而即可求解，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点的坐标为，点坐标为， 设抛物线的函数解析式为，把代入得，， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 把代入得，， ∴桥洞离水面的高是米， 故答案为：． 【变式6-1】．【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究． 项目背景：无人机灌溉能高效精准供水，减少浪费，助力农业现代化． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，设无人机控制中心为点，两个喷水口分别为点，且点在同一条水平直线上，．如图2，以为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷水口点和点到点的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）求点所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置，如图3，要使宽度为的田埂（高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应下降的高度． （3）如图4，在直线上再增加2个喷水口和，在左侧，在右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，求此时喷洒水覆盖区域宽度的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²的图象和性质、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过题干建立的平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷水口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的函数表达式为，将代入求解即可； （2）以无人机控制中心为原点建立平面直角坐标系，且明确喷水抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为且关于y轴对称，设点的坐标为． 将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒水覆盖区域宽度． 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机喷水口距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， ∴所在抛物线表达式为， ∵无人机高度为， ∴点P的纵坐标为， 把代入中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长． 【变式6-2】．赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． 【答案】(1) (2)存在， (3)能正常通过，理由见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】主要考查了二次函数的应用，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）先求得，可设二次函数的表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小．求出直线的解析式，即可解决问题； （3）先求出水面宽度：，再由船高2.5米，水面, 桥拱。可得船顶高度：，桥拱在(船半宽)处的高度：，再比较求解即可． 【详解】（1）解：水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． ， 可设二次函数的表达式为， 将代入得，，解得：， 二次函数的表达式为 （2）解：存在，理由如下： 如图，由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小． 由题意得， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为． 抛物线的对称轴， 将代入，得， ； （3）解：水面离桥拱顶点的高度为7米，即水面。 将代入得： ， ， 水面宽度：， 船高2.5米，水面, 桥拱。 船顶高度：， 桥拱在(船半宽)处的高度：， ，且， 游船能正常通过， 【变式6-3】．如图①是某大型文化主题乐园中的过山车项目实景图．过山车的一部分轨道，可以各看成一段抛物线，以为原点，竖直方向为轴，水平方向为轴建立平面直角坐标系，其图象如图②所示，其中米，米（轨道厚度忽略不计）． (1)求左侧过山车轨道所在抛物线的函数表达式； (2)在轨道距离地面4.5米处有两个点和（点在点的左侧），当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了5米至点，又进入下坡段．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长． 【答案】(1) (2)的长为15米 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数图像的平移，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由题意知，，设抛物线的函数解析式为，把代入，求解值，进而可得抛物线解析式； （2）由题意知，当时，，解得，，即，，得出，由抛物线的形状与抛物线完全相同，，则抛物线可以看作是由抛物线向右平移11个单位长度得到的，即可求解； 【详解】（1）解：由题意知，，， 设抛物线的函数表达式为． 把的坐标代入，得，解得， 左侧过山车轨道所在抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意知，， 当时，， 解得，． ，． ． 抛物线的形状与抛物线完全相同． ， 抛物线可以看作是由抛物线向右平移11个单位长度得到的． ． ，即的长为15米． 题型7二次函数y=a（x-p）2的图像与几何图形综合 例7．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求m的值． (3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)1或 (3)点P的坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²的图象和性质、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键时将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解. 利用轴上的点坐标为，轴上的点坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式； 把时，代入抛物线的表达式求出； 把点关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点，利用直线与对称轴的交点求法即可得到点的坐标. 【详解】（1）解：对于，当时，；当时， ． 抛物线的顶点为， ．又抛物线经过点， ，解得， 抛物线对应的函数解析式为， （2）点在抛物线上， ，解得， 的值为1或． （3）如图，设点B关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点P． 点的坐标为，对称轴是直线， ，则直线的函数解析式为． 联立解得 故点P的坐标为． 【变式7-1】．如图，正三角形的边长为1，动点D从点B开始沿边向点C移动，过点D作边的垂线，交于G，连接． (1)随着点D的移动，随之而变化的量有_________（至少写三个）； (2)请你用函数表示上述变化过程中某两个变量之间的关系，并利用函数的有关知识分析变化的规律． 【答案】(1)见解析 (2)答案不唯一，见解析 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查等边三角形的性质，常量与变量，二次函数的性质等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）答案不唯一比如线段，线段，线段； （2）根据特殊三角形两边之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：变量有线段的长，线段的长，线段的长，线段的长，线段的长，线段的长，的面积，的面积，的面积，的面积，的度数，的度数，的度数，的度数． （2）解：答案不唯一，例如选取线段的长与的面积两个变量． 设线段的长为x，的面积为y，则自变量x的取值范围为， 在中，的长度为，斜边的长度为， 根据勾股定理可得． 所以面积函数的表达式为， 由二次函数的性质可知变化规律为：面积y随线段x的增大而减小． 【变式7-2】．已知抛物线W：y=x²-4x+2的顶点为A，与x轴交于点B、C． （1）求∠ABC的正切值； （2）若点P是抛物线W上的一点，过P作直线PQ垂直x轴，将抛物线W关于直线PQ对称，得到抛物线Wˊ，设抛物线Wˊ的顶点Aˊ，问：是否存在这样的点P，使得△APAˊ为直角三角形？若存在，求出对称所得的抛物线Wˊ的表达式；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）. 【知识点】二次函数的对称、y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】（1）如图，设对称轴与x轴交点为D，令y=0，可求出A、B两点坐标，可得BD的长，把抛物线解析式变成顶点式可得顶点坐标，可得AD的长，根据正切的定义求出叫ABC的正切值即可；（2）如图，设P（a，a2-4a+2），对称轴x=a与AA′交于E，由（1）可知原抛物线对称轴为直线x=2，A点坐标为（2，-2），当a>2时，由抛物线W与W′关于x=a对称，且∠APA′=90°，可得△APA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可得PE=AE，即可求出a的值，进而可得A′点坐标，根据顶点式即可得抛物线W′的解析式；同理可求出当a<2时抛物线W′的解析式. 【详解】（1）如图，设对称轴与x轴交点为D， 令y=0，则x2-4x+2=0， 解得x1=2-，x2=2+， ∴B点坐标为（2-，0），C点坐标为（2+，0）， ∵y=x2-4x+2=(x-2)2-2， ∴顶点坐标为（2，-2），对称轴为直线x=2， ∴D点坐标为（2，0）， ∴BD=，AD=2， ∴tan∠ABC===. （2）如图，设P（a，a2-4a+2），对称轴x=a与AA′交于E， ①当a>2时，A（2，-2），E（a，-2）， ∵抛物线W与抛物线W′关于直线x=a对称，∠APA′=90°， ∴△APA′是等腰直角三角形， ∴PE=AE，即a2-4a+2-(-2)=a-2， 解得：a1=2(舍去)，a2=3， ∴AE=3-2=1， ∴A′点的横坐标为3+1=4， ∴A′坐标为（4，-2）， ∴抛物线W′的解析式为y=(x-4)2-2. ②如图，当a<2时，同理，PE=AE， ∴a2-4a+2-(-2)=2-a， 解得a1=2(舍去)，a2=1， ∴AE=2-1=1， ∴A′点的横坐标为1-1=0， ∴A′点坐标为（0，-2）， ∴抛物线W′的解析式为y=x2-2. 综上所述：抛物线W′的解析式为y=(x-4)2-2或y=x2-2. 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点及等腰直角三角形的性质，根据题意设出P点的坐标，由等腰直角三角形的性质得出PE=AE是解答此题的关键． 【变式7-3】．已知二次函数的图象如图所示，求的面积．   【答案】1 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积． 【详解】解：∵二次函数 ∴顶点 ∵点在图像上且在轴上，即时的坐标 ∴ ∴ ∴的面积 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键． 例8．已知二次函数（h是常数），且． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【答案】(1)函数的最大值为0； (2)h的值是4或． 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0； （2）解：∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是4或． 【变式8-1】．已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． 【答案】h的值为8或2 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．根据二次函数的性质，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，顶点坐标为，， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∵当时，与其对应的函数的最大值是， ∴在对称轴的同侧． ①当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． ②当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． 综上所述，h的值为8或2． 【变式8-2】．已知二次函数． (1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值； (2)若点，位于对称轴右侧的抛物线上，且，试比较与的大小关系； (3)抛物线可以由抛物线平移得到吗？如果可以，请写出平移的方法；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)开口向上，对称轴是直线，顶点坐标，当该函数有最小值0 (2) (3)可以，抛物线可以由抛物线向左平移10个单位得到 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】（1）根据二次函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的增减性解答即可； （3）根据平移的原则上“加下减左加右减”即可得出． 【详解】（1）二次函数的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标，当该函数有最小值0； （2）∵抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴； （3）∵抛物线和抛物线的二次项系数相同， ∴抛物线可以由抛物线平移得到． ∵， ∴抛物线可以由抛物线向左平移10个单位得到． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质和平移规律是解答本题的关键． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．若抛物线的开口下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 故选项A符合题意， 故选：A ． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为． 故选：B． 3．在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数增减性求参数、y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，二次函数图象的性质， 先根据一次函数图象的性质可知，可知抛物线的开口向下，再根据二次函数图象的性质可知其对称轴是，可得答案 【详解】解：∵一次函数中，y随着x的增大而减小， ∴， ∴抛物线的开口向下. ∵二次函数的对称轴是， ∴B符合题意. 故选：B 4．已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴； 故选B． 5．已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质“对于二次函数，开口向上，开口向下”，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示， ∴， ∴， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 6．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为( ) A.2或4 B.0或4 C.2或3 D.0或3 答案：B 解析：函数图象的对称轴为直线，开口向上. 2 当时，时，函数取得最小值1，即，解得或（舍去）； ②当时，时，函数取得最小值1，即，解得或（舍去）；③当时，时，函数取得最小值0，不符合题意.综上，或. 故选B. 7．对于二次函数的图象,下列说法不正确的是( ) A.开口向下 B.对称轴是直线 C.当时,y有最大值0 D.当时,y随x的增大而减小 答案：D 解析：二次函数, 该函数图象开口向下,故选项A正确,不符合题意； 对称轴是直线,故选项B正确,不符合题意； 顶点坐标为,故选项C正确,不符合题意； 当时,y随x的增大而增大,故选项D错误,符合题意； 故选：D. 8．已知二次函数，下列说法正确的是( ) A.图象的开口向上，顶点坐标为 B.当时，y取得最大值0 C.当时，y随x的增大而减小 D.图象的开口向下，对称轴为直线 答案：B 解析：抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值0. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．在函数中,当时,y随x的增大而___.(填“增大”或“减小”) 答案：增大 解析：函数，，抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大.故答案为增大. 10．若,,,为二次函数的图象上的三点,则a,b,c的大小关系是______.(用“<”连接) 答案： 解析：把,,分别代入, 得：,,. ∵, ∴. 故答案为：. 11．已知二次函数(h为常数),当时,函数的最大值为,则h的值为______. 答案：或7 解析：∵二次函数的图象开口向下,对称轴为, ∴当时,y随x的增大而增大,当时,y随x的增大而减小, ∴若,即时,则当时,函数y取最大值,即, 解得：或(舍去), 若,即,则当时,函数y取最大值0,不符合题意； 若,即时,则当时,函数y取最大值,即, 解得：(舍去)或, 综上,h的值为0或, 故答案为：或7. 12．已，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为______. 答案： 解析：把，，分别代入得 ，，， 所以. 故答案为. 13．已知二次函数，当x分别取，时，函数值相等，则当x取时，函数值为______. 答案：675 解析：二次函数，该函数图象开口向上，对称轴为直线，当x分别取，时，函数值相等，，，，当x取时，函数值为，故答案为675. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．在同一坐标系中画出下列函数的图象,观察抛物线,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性. (1);(2);(3) x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … … … … … … 答案：列表如下： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … -16 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 -16 … … -4 -1 0 -1 -4 -9 -16 -26 -36 … … -25 -16 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … 画图如下： ,开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0).当时,y随x增大而增大,当时,y随x的增大而减小.,开口向下,对称轴是直线,顶点坐标为(-2,0),当时,y随x的增大而增大,当时,y随x的增大而减小.,开口向下,对称轴是直线,顶点坐标为(1,0),当时,y随x的增大而增大,当时,y随x的增大而减小. 解析： 15).已知二次函数 ,当 时有最大值,且此函数的图象经过点 ,求此二次函数的关系式,并指出当 为何值时, 随 的增大而增大. 答案： 根据题意得 ,把 代入得 , 所以二次函数解析式为 , 因为抛物线的对称轴为直线 ,抛物线开口向下, 所以当 时, 随 的增大而增大. 16．已知二次函数，不画图象，回答下列问题. （1）确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. （2）当x取何值时，y有最大（小）值？最大（小）值是多少？ （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？ （4）抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ 答案：（1）对称轴是直线，顶点坐标为 （2）时，最大值是0 （3）时，y随x的增大而增大 （4）抛物线向右平移2个单位 解析：（1）抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为. （2）当时，y有最大值，最大值是0. （3）当时，y随x的增大而增大. （4）抛物线是由抛物线向右平移2个单位得到的. 17．已知点是抛物线上的一点，且点P在第一象限内. （1）当x为何值时，y随x的增大而减小. （2）过点P作轴交抛物线于另一点Q，若，试求的面积. 答案：（1）时，y随x的增大而减小 （2） 解析：（1）点在第一象限内，， 抛物线的开口向上. 又抛物线的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小. （2），抛物线所对应的函数关系式为，点P的坐标为.轴交抛物线于另一点Q， 由，解得或， 点Q的坐标为，， . 18．已知点是抛物线上的点，且点P在第一象限内. （1）求m的值； （2）过P点作轴交抛物线于点Q，若a的值为3，试求以P点、Q点及原点O为顶点的三角形的面积. 答案：解：（1）点是抛物线上的点， ，解得或， 点P在第一象限内，. （2）a的值为3，二次函数的解析式为， 点P纵坐标为3，轴， ，解得或， 点Q的坐标为，，. 19．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或或． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解： 直线过点， ， ， ， ， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； （2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 顶点坐标为， 对称轴为直线， 过点作于点， 在中，． ①当时，设， 在中， 解之得 ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得：， ， ； ③当时，， ，． 综上所述：点的坐标为或或或． 20 .如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）． （1）当的面积最大时，的大小为 ． （2）等边的边长为 ． 【答案】 【分析】（1）过点F作FD⊥BC于点D，由已知先证≌，得，，进可得∠FCD的度数，所以可求得FD，设等边△ABC的边长为a，则可把△ECF的面积表示出来，并求出面积的最大值，此时便可求得∠FEC的度数； （2）由图知△ECF的最大值，由（1）中计算知道它的面积的最大值，则两者相等，可求得等边△ABC的边长． 【详解】过F作，交BC的延长线于D，如图： 为等边三角形，为等边三角形， ，，， ， ≌， ，， ， ，， ， 设等边边长是a，则， ， 当时，有最大值为， (1)当的面积最大时，，即E是BC的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）当时，有最大值为， 由图可知最大值是， ，解得或边长，舍去， 等边的边长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形及二次函数知识，解题关键是证明由≌，用x的代数式表示的面积． C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 B抓核心 三大题型提升练 A夯基础 四大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22.1.3二次函数y=a(x-h)²的图象性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 二次函数y=a(x-h)²的图像 （1） a>0 ，开口向上 a<0,开口向下； （2） 对称轴是直线x=h,顶点坐标（h,k） （3）二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 要点诠释： 二次函数平移与旋转与系数a的关系：平移（上下或左右）a不变，绕顶点旋转180°（沿x轴翻折）a变成原数的相反数。 题型1 二次函数y=a（x-p）2的图象的识别 例1．下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】．二次函数的图象的对称轴是（   ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【变式1-2】．抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在x轴上 【变式1-3】．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 知识点2 二次函数y=a(x-h)²的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 要点诠释： 二次函数y=a（x-p）2的核心性质由其系数a、p决定,a>0开口向上，a<0开口向下,对称轴直线x=p；a>0,x>p时，y随x增大而增大，x<p时，y随x增大而减小；a<0,x>p时，y随x增大而减小，x<0时，y随x增大而增大。 题型2 二次函数y=a（x-p）2的性质 例2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．下列抛物线中，对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【变式2-3】．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型3 二次函数y=a（x-p）2的增减性 例3．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式3-1】．已知二次函数的图象，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】．已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 题型4 二次函数y=a（x-p）2的平移 例4．二次函数的图像是由抛物线向 平移 个单位长度得到的；此函数图像开口向 ，对称轴是 ，当 时，y有最 值，是 ． 【变式4-1】．在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为 ． 【变式4-2】．抛物线与抛物线的关系： 若h＞0，抛物线向 平移h个单位就得到抛物线； 若h＜0，，抛物线向 平移|h|个单位就得到抛物线 【变式4-3】．抛物线的图象相当于把抛物线的图象 （h＞0）或 （h＜0）平移 个单位． 题型5二次函数y=a（x-p）2的图像的最值 例5 ..如图，已知二次函数的图象顶点在轴上，且，与一次函数的图象交于轴上一点和另一交点. 求抛物线的解析式； 点为线段上一点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点，请求出线段的最大值. 【变式5-1】．已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． 【变式5-2】．已知二次函数，当时有最大值，且此函数的图象经过点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大． 【变式5-3】已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为 ． 题型6二次函数y=a（x-p）2的图像的实际问题 例6．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，建立如图所示的平面直角坐标系，使抛物线的顶点落在轴上，桥洞底部左边端点落在轴上，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是 米． 【变式6-1】．【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究． 项目背景：无人机灌溉能高效精准供水，减少浪费，助力农业现代化． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，设无人机控制中心为点，两个喷水口分别为点，且点在同一条水平直线上，．如图2，以为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷水口点和点到点的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）求点所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置，如图3，要使宽度为的田埂（高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应下降的高度． （3）如图4，在直线上再增加2个喷水口和，在左侧，在右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，求此时喷洒水覆盖区域宽度的长． 【变式6-2】．赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． 【变式6-3】．如图①是某大型文化主题乐园中的过山车项目实景图．过山车的一部分轨道，可以各看成一段抛物线，以为原点，竖直方向为轴，水平方向为轴建立平面直角坐标系，其图象如图②所示，其中米，米（轨道厚度忽略不计）． (1)求左侧过山车轨道所在抛物线的函数表达式； (2)在轨道距离地面4.5米处有两个点和（点在点的左侧），当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了5米至点，又进入下坡段．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长． 题型7二次函数y=a（x-p）2的图像与几何图形综合 例7．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求m的值． (3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． 【变式7-1】．如图，正三角形的边长为1，动点D从点B开始沿边向点C移动，过点D作边的垂线，交于G，连接． (1)随着点D的移动，随之而变化的量有_________（至少写三个）； (2)请你用函数表示上述变化过程中某两个变量之间的关系，并利用函数的有关知识分析变化的规律． 【变式7-2】．已知抛物线W：y=x²-4x+2的顶点为A，与x轴交于点B、C． （1）求∠ABC的正切值； （2）若点P是抛物线W上的一点，过P作直线PQ垂直x轴，将抛物线W关于直线PQ对称，得到抛物线Wˊ，设抛物线Wˊ的顶点Aˊ，问：是否存在这样的点P，使得△APAˊ为直角三角形？若存在，求出对称所得的抛物线Wˊ的表达式；若不存在，请说明理由. 【变式7-3】．已知二次函数的图象如图所示，求的面积．   例8．已知二次函数（h是常数），且． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【变式8-1】．已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． 【变式8-2】．已知二次函数． (1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值； (2)若点，位于对称轴右侧的抛物线上，且，试比较与的大小关系； (3)抛物线可以由抛物线平移得到吗？如果可以，请写出平移的方法；如果不可以，请说明理由． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．若抛物线的开口下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为( ) A.2或4 B.0或4 C.2或3 D.0或3 7．对于二次函数的图象,下列说法不正确的是( ) A.开口向下 B.对称轴是直线 C.当时,y有最大值0 D.当时,y随x的增大而减小 8．已知二次函数，下列说法正确的是( ) A.图象的开口向上，顶点坐标为 B.当时，y取得最大值0 C.当时，y随x的增大而减小 D.图象的开口向下，对称轴为直线 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．在函数中,当时,y随x的增大而___.(填“增大”或“减小”) 10．若,,,为二次函数的图象上的三点,则a,b,c的大小关系是______.(用“<”连接) 11．已知二次函数(h为常数),当时,函数的最大值为,则h的值为______. 12．已，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为______. 13．已知二次函数，当x分别取，时，函数值相等，则当x取时，函数值为______. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．在同一坐标系中画出下列函数的图象,观察抛物线,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性. (1);(2);(3) x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … … … … … … 15).已知二次函数 ,当 时有最大值,且此函数的图象经过点 ,求此二次函数的关系式,并指出当 为何值时, 随 的增大而增大. 16．已知二次函数，不画图象，回答下列问题. （1）确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. （2）当x取何值时，y有最大（小）值？最大（小）值是多少？ （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？ （4）抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ 17．已知点是抛物线上的一点，且点P在第一象限内. （1）当x为何值时，y随x的增大而减小. （2）过点P作轴交抛物线于另一点Q，若，试求的面积. 18．已知点是抛物线上的点，且点P在第一象限内. （1）求m的值； （2）过P点作轴交抛物线于点Q，若a的值为3，试求以P点、Q点及原点O为顶点的三角形的面积. 19．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 20 .如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）． （1）当的面积最大时，的大小为 ． （2）等边的边长为 ． B抓核心 三大题型提升练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A夯基础 四大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $