22..1.1二次函数（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版数学九年级上册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22..1.1二次函数（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1、二次函数的定义 定义：形如y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 题型1 二次函数的识别 例1．下列函数中，为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识点是解题的关键； 一般地，形如(其中)的函数是二次函数，据此逐项分析判断即可． 【详解】A. 是一次函数，故本选项不符合题意； B. 展开后为，是二次函数，故本选项符合题意； C. ，未明确，若则不是二次函数，故本选项不符合题意； D. 是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】．下列函数中，表示二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐个判断即可，熟记二次函数的定义是解本题的关键． 【详解】A、，是一次函数，不符合题意； B、，是二次函数，符合题意； C、，自变量在分母上，不是二次函数，不符合题意； D、，是三次函数，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A．关系式为：，故A错误； B．关系式为：，故B错误； C．关系式为：，故C错误； D．关系式为：，故D正确． 故选：D． 【变式1-3】．在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】识别一次函数、二次函数的识别 【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，由图ⅰ可知时，，将代入各项函数解析式中求解并判断，即可解题． 【详解】解：由图ⅰ可知时，， 时，，，， 选项A、C、D不是与的函数关系式，不符合题意； 时，， 选项B是与的函数关系式， 故选：B． 知识点2. 二次函数的一般形式 1.一般形式：y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数） 2.要点诠释： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 题型2 二次函数的一般形式 例2．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 故选：B. 【变式2-1】．函数的二次项系数是（　） A．4 B． C．3 D．1 【答案】A 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的标准形式为（其中a、b、c是常数，且），其中为二次项的系数，据此可得答案． 【详解】解：函数的二次项系数是4， 故选：A． 【变式2-2】．已知是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义，可得关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-3】．二次函数的常数项为 ． 【答案】 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】解：二次函数的常数项为， 故答案为：． 知识点3、二次函数定义的应用 1.判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等. 2.求解二次函数的值的思维方法 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值. 3. 要点诠释： 应用一次函数定义解决有关问题时一要注意二次项系数不为0，二要注意二次项指数必须是2 题型3 根据二次函数的定义求字母的值或取值范围 例3．已知二次函数，其二次项系数是 ． 【答案】2 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查二次函数的基本概念，解题的关键是掌握中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 根据二次函数一般式的定义求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数是2， 故答案为：2． 【变式3-1】．若函数是二次函数，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 根据二次函数的定义解答即可．一般地，形如是二次函数． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， 解得． 故答案为：2． 【变式3-2】.知是二次函数，则实数 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式3-3】．若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1)，函数的表达式是 (2)二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义，二次函数一般式是关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由①得，，由②得， ∴，函数的表达式是． （2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 知识点4、列二次函数关系 1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 要点诠释： （1）明确题目中的已知量、未知量及变量间的基本关系，识别等量关系。 设定自变量和因变量，注意单位统一。 （2）建立函数关系式  （3）将实际问题转化为数学模型，通过等量关系列出二次函数表达式 对于几何问题，常结合勾股定理、三角形面积公式等工具推导。 题型4 列二次函数关系式 例4．设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 【答案】(1)、、 (2)关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 【知识点】列二次函数关系式、二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆柱的体积公式． （1）根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式； （2）根据二次函数的定义进行解答． 【详解】（1）解： 圆柱的底面半径为，底面周长为， ； 又圆柱的高为，底面半径为，圆柱的体积为， ． 设圆柱的高为，底面周长为，圆柱的体积为， ． 综上所述，关于、关于、关于的函数关系式分别是：、、． （2）解：根据二次函数的定义知，关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 【变式4-1】．．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、列二次函数关系式 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 【变式4-2】．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？ （2）完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 （3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？ 【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3） 【知识点】图形类规律探索、列二次函数关系式 【分析】（1）首先，观查每个图形的特点，算出每一个图形中的小圆圈数，据此推过推算即可得到第5个图中小圆圈的个数； （2）直接将（1）算出的结果填入下列表格即可； （3）接下来通过对表格进行分析，即可得到每一个图形的小圆圈数与该图形一条边上的小圆圈数之间的关系． 【详解】（1）观查每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个， 第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个， 第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个， 第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个， 由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个； （2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示， 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61 （3）结合（1）（2）可知，与之间的函数关系为： 首尾相加得 ． 【点睛】本题主要考查根据图形和数字寻找规律的知识.解决此类找规律的题目一般从特殊的数据入手，根据前后式子之间的异同推断出规律，再利用发现的规律解决相关问题． 【变式4-3】．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 【答案】（1）；（2） 【知识点】列二次函数关系式 【分析】（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可； （2）把（1）中的除以5即可得到． 【详解】解：（1） ； （2）． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据实际问题确定二次函数关系式，建立二次函数的数学模型来解决问题． 题型5 二次函数的含参问题 例5．已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【知识点】根据一次函数的定义求参数、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念，熟练掌握其概念并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）根据二次函数的概念得，且，求解即可； （2）根据一次函数的概念得且，，求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得，且， 解得 ∴时，该函数为二次函数； （2）解：依题意，当首项次数为1，且合并同类项后一次项系数不为零时， 且， 解得， 当首项系数为零时，， 解得和， 综上，，和时，该函数为一次函数． 【变式5-1】．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求自变量的值或函数值、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值的计算方法是解题的关键． （1）根据二次函数的定义可得，即可求解； （2）由（1）可得二次函数解析式，把代入计算即可． 【详解】（1）解：函数是二次函数， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∴当时，． 【变式5-2】．已知函数（为常数），求当为何值时，是的二次函数？ 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．根据二次函数的定义，最高指数是2且二次项系数不能等于0列式求解． 【详解】解：因为是的二次函数， 所以且， 由得， 解得， 又，即， 所以． 【变式5-3】．已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)判断点是否在该二次函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的点的坐标特征，熟练掌握函数的定义是解题的关键． （1）根据二次函数的定义得到，然后解之即可得到满足条件的m的值； （2）将代入函数关系式，求出y的值，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：函数解析式为：， 当时，， 点不在该二次函数图象上. 题型6实际问题中抽象二次函数关系式 例6．某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【答案】(1) (2)售价的取值范围是 (3)能，60元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、列二次函数关系式 【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可； （2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答； （3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为． （2）解：由题意，， 则，解得：， 要保证盈利 售价的取值范围是． （3）解：由， 则，解得：（舍去）或． 答：当定价为60元时，日销售利润为1600元． 【变式6-1】．要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． (1)的长为_____________（用含的代数式表示） (2)若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 (3)能否围成总面积为的两个长方形养鸡场？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能；的长为 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用、列二次函数关系式 【分析】（1）根据长方形的周长公式，表示出的长即可； （2）根据长方形面积公式求出S与的函数关系式即可； （3）根据“鸡场的总面积为”，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵篱笆总长为，鸡场的长为， ∴， 故答案为：． （2）解：， 答：S与的函数关系式为． （3）解：能围成总面积为的两个长方形养鸡场； 根据题意得：， 解得：，， ∵墙的长度， ∴， 解得：， ∴不符合题意舍去， ∴的长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程和不等式组的应用，列代数式，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，设出宽表示出长，根据数量关系，列出方程． 【变式6-2】．如图，中，，，，点从点出发，沿边以每秒个单位的速度向终点运动，过点作，交边（或边）于点，设点运动的时间为秒．    (1)用含的代数式表示线段的长为______． (2)当点与点重合时，求的值． (3)若的面积为，求与之间的函数关系式． (4)当线段把分成的两部分图形面积之比为：时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、列二次函数关系式、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）勾股定理求得，当与点重合时，则，进而勾股定理求得，根据路程除以速度，即可求解； （3）分，两种情况，根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解； （4）同（3）的方法，分2种情况讨论，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∴ 故答案为：． （2）解：在中，，，， ∴，； 当与点重合时，则 ∵，， ∴ 在中， ∴    （3）解：当时，，， ∴ 当时，在上，如图所示，    ∵中，，， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ （4）∵中，，，， ∴, ∴， 当时，点在上，当时， 解得：（负值舍去） 当时，则 解得：（舍去）或（舍去） 当时，在上， ∵， ∴ 依题意，时， 即 解得：或（舍去） 当， 解得：（舍去）或（舍去）    综上所述，或时，线段把分成的两部分图形面积之比为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，列代数式，分类讨论是解题的关键． 【变式6-3】．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接． (1)若四边形为菱形，则值为多少？ (2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 【答案】(1) (2) 【知识点】列二次函数关系式、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（）由且，得四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可； （）由直角三角形的性质可求，的长，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， 根据题意得：，，则， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形， 即，解得：； （2）解：，，，，， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ． 即 【点睛】本题主要考查了二次函数，菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 例7．随着国内疫情得到有效控制，某产品的销售市场逐渐回暖．某经销商与生产厂家签订了一份该产品的进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台．根据市场调研得知，一年内该产品的售价y（万元/台）与签约后的月份数x（1≤ x ≤12且为整数）满足关系式：   ．估计这一年实际每月的销售量p（台）与月份x之间存在如图所示的变化趋势． (1)求实际每月的销售量p（台）与签约后的月份数x之间的函数表达式； (2)求前4个月中，第几个月的利润为6万元？ (3)请估计这一年中签约后的第几个月实际销售利润W最高，最高为多少万元？ 【答案】(1) (2)第2月获利6万元 (3)这一年中签约后的第1个月实际销售利润W最高，最高为8.75万元 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、一次函数的规律探究问题、列二次函数关系式 【分析】（1）分段利用待定系数法求一次函数解析式当1≤x＜4，，过点(0，40)，（4，20）代入得，当4≤x≤12，，过点（4，20），（12，36），代入得解方程组即可； （2）设利润用w表示，根据每台利润（售价-进价）×销售台数列出w=（-0.05x+0.4-0.1）（-5x+40），然后求函数值即可； （3）根据销售利润=每台利润（售价-进价）×销售台数，得出销售利润w=，分段确定函数的最值，再比较即可． 【详解】（1）解：当1≤x＜4，，过点(0，40)，（4，20）代入得： ， 解得：， ∴， 当4≤x≤12，，过点（4，20），（12，36），代入得： ， 解得：， ， ∴， （2）解：设利润用w表示，w=（-0.05x+0.4-0.1）（-5x+40） 当x=1，w=（-0.05+0.4-0.1）（-5+40）=8.75， 当x=2，w=（-0.05×2+0.4-0.1）（-5×2+40）=6， 当x=3，w=（-0.05×3+0.4-0.1）（-5×3+40）=3.75， 当x=4，w=（-0.05×4+0.4-0.1）（-5×4+40）=2， 第2月获利5万元 （3）解：销售利润w=， 当x≥4时，w=0.2x+1.2，k=0.2＞0，w随x的增大而增大， 当x=12时，w=3.6（万元）， ∵3.6＜8.75， ∴这一年中签约后的第1个月实际销售利润W最高，最高为8.75万元， 【点睛】本题考查分段函数的解析式求法，函数图像获取信息与处理信息，待定系数法求函数解析式，销售利润=每台利润×台数，求函数值，函数的性质，掌握分段函数的解析式求法，函数图像获取信息与处理信息，待定系数法求函数解析式，销售利润=每台利润×台数，求函数值，函数的性质是解题的关键． 【变式7-1】．如图，在中，，，，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求： （1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，求线段PQ的长； （3）当t为何值时，？ 【答案】（1）；（2）；（3）当t为2或3时，． 【知识点】列二次函数关系式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由点P点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解即可； （2）当时，代入（1）中公式可得PC，CQ的长，再由勾股定理即可求出PQ； （3）结合（1）得到的关系式，代入条件，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）由条件可得：，， ∴， ∴，； （2）当时，，， ∴； （3）由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∴当t为2或3时，． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，方程思想是解决本题的关键． 【变式7-2】．下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为1，2，3，4，…，设边长为 的等边三角形由 个小等边三角形组成，按此规律推断与有怎样的关系． 【答案】S=n2(n⩾1) 【知识点】图形类规律探索、列二次函数关系式 【分析】根据题意先找到一般规律后，利用规律即可解决问题． 【详解】当n=1时，S=1； 当n=2时，S=4； 当n=3时，S=9； 当n=4时，S=16.…. 依此类推,总数S与边长n的关系式S=n2(n⩾1). 故答案为S=n2(n⩾1) 【点睛】此题考查函数关系式，规律型：图形的变化类，解题关键在于根据题意找出规律. 一、单选题(每小题3发，共24分) 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：A.不是二次函数，不合题意； B.是二次函数，符合题意； C.，当时，是二次函数，不合题意； D.是一次函数，符合题意. 故选：B. 2．函数的一次项系数是( ) A.2 B. C.3 D.1 答案：B 解析：函数的一次项系数为：. 故选：B. 3．已知函数是二次函数,则m的值为( ) A.-3 B.±3 C.3 D.± 答案：A 解析：∵函数是二次函数,∴,解得：. 故选A. 4．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：∵每次降价的百分率都是x， ∴两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是. 故选：B. 5．设，与x成正比例，与成正比例，则y与x的函数关系是( ) A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上均不正确 答案：C 解析：设，， 则， 所以y是关于x的二次函数， 故选：C. 6．某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋.经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋.已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）.则y与x，z与x满足的函数关系分别是( ) A.一次函数关系，一次函数关系 B.一次函数关系，二次函数关系 C.二次函数关系，二次函数关系 D.二次函数关系，一次函数关系 答案：B 解析：由题意得， y是x的一次函数。 ， z是x的二次函数. 故选：B. 7．下列具有二次函数关系的是( ) A.正方形的周长C与边长x B.速度不变时，路程s与时间t C.正方形的面积S与边长x D.三角形的高一定时，面积S与底边长x 答案：C 解析： 选项 分析 正误 A ，是一次函数. × B ，v不变，是一次函数. × C ，是二次函数. √ D ，h一定，是一次函数. × 8．某农产品市场经销一种成本为40元/千克的水产品.据市场分析，若按每千克50元销售，则一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.设销售单价为x（）元，月销售利润为y元，则y与x之间的函数关系式为( ) A. B. C. D. 答案：C 解析： 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知函数,当____________时,它是二次函数. 答案： 解析：∵是二次函数, ∴, ∴或(舍去). 故答案为：-1. 10．二次函数的二次项系数是______,一次项系数是______. 答案：/；3 解析：二次函数的二次项系数是,一次项系数是3, 故答案为：；3. 11．已知y与成正比例关系，并且当时，，则当时，y的值为 ． 【答案】-3 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，熟知正比例函数是解题的关键； 本题可先根据与成正比例关系设出函数表达式，再代入已知条件求出比例系数，最后将代入求出的值． 【详解】解：∵与成正比例关系， ∴设（为常数，）， 已知当时，，将其代入中， 可得：，即，解得 把代入中，得到， 当时，，则 故答案为：． 12．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式） 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 13．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 【答案】 二次 【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的关键． 先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可． 【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数． 故答案为：，二次． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．判断下列函数是不是二次函数．如果是二次函数，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是； (2)不是二次函数； (3)是二次函数，二次项系数是、一次项系数是3，常数项是； (4)不是二次函数． 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． （1）（2）（3）（4）根据二次函数定义进行解答即可． 【详解】（1）解：，是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是； （2）解：不是二次函数，是一次函数； （3）解：，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是3，常数项是； （4）解：不是二次函数． 15．若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可； （2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为3； （2）把代入函数解析式中得：， 当时，， ∴y的值为． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键． 16．某矩形的邻边长分别为和，假设每条边的长都增加时，矩形的面积增加． (1)与之间的关系式为______． (2)当该矩形每条边的长都增加，，时，矩形的面积各增加多少？ 【答案】(1) (2)当该矩形每条边的长都增加时，矩形的面积各增加 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式、矩形的面积公式，表示出新矩形的面积是解题的关键． （1）由题意可得，将该二次函数整理即可； （2）分别将代入，计算出对应的的值即可． 【详解】解：（1）由题意得， 整理得： 故答案为： （2）当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：当该矩形每条边的长都增加，，时，矩形的面积各增加． 17．已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的概念，掌握一次函数和二次函数的结构特征是解题关键． （1）根据二次函数的二次项系数不为0列方程求解即可； （2）根据一次函数的自变量系数不为0，次数为1，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当函数为二次函数时， 则， 即． （2）解：当函数为一次函数时， 则， 解得：． 18．如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． (1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】(1)； (2)围成面积为的花圃，的长为米 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用； （1）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式； （2）根据（1）的函数关系式，将代入其中，求出的值即可． 【详解】（1）解：依题意得，， ∴， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴，即，解得：， ∴x的取值范围是：； （2）当时，，解得：，， ∵， ∴，即， ∴要围成面积为的花圃，的长为米． 19．阅读下列内容，并解答问题． 我们知道，边形的对角线条数公式为．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程．整理，得，解得，． 不合题意，舍去， ，即该多边形是八边形． (1)若一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数是多少？ (2)A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线．”你认为A同学的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)这个多边形的边数是7 (2)A同学的说法不正确．理由见解析 【分析】本题考查多边形的对角线，一元二次方程的应用．本题中列式比较容易，主要是理解多边形的边数为正整数． （1）根据多边形的对角线公式列出方程求解即可； （2）根据多边形的对角线公式列出方程，根据所求得的解要为正整数分析即可． 【详解】（1）解：根据颗意，得． 整理，得， 解得． 不合题意，舍去 ，即这个多边形的边数是7． （2）解：A同学的说法不正确．理由如下： 当，即时，解得， ∴符合方程的正整数n不存在， ∴多边形的对角线不可能有10条，即A同学的说法不正确． 20． 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ）构成．已知，点分别在和上，且，设． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的边 上设置一排间距为的定位坐标（为坐标原点），计算机可根据点的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用含的代数式表示： 区块Ⅰ的面积   、 区块Ⅱ的面积 、 区块Ⅲ的面积 ． 任务2 拟定方案 为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式． 任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内的整数时，此时的点为最佳定位点，请直接写出所有的最佳定位点E的坐标． 【答案】（1）任务1：；；；任务2：或；任务3：有2个最佳定位点，分别为， 【分析】任务1：由题中数据，结合正方形性质及三角形面积公式代值求解即可得到答案； 任务2：由题意，分两种情况，作出图形，结合正方形性质及三角形面积公式代值求解即可得到答案； 任务3：由区域乙的面积为，结合任务2中所求区域乙的面积函数，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：任务1，如图所示： 正方形中，，， 区块Ⅰ的面积； ， ，，则区块Ⅱ的面积； 区块Ⅲ的面积; 故答案为：；；； 任务2，如图所示： 在正方形中，，， ， ， ， ， ； 当为中点时，是等腰三角形，且，此时； 综上所述，或； 任务3，由任务2可知或， 区域乙的面积为， ，且满足， ，则， ，即， 解得，或， 则或， ， ， 的结果为整数， 必须是偶数，则可取， 即有2个最佳定位点，分别为，． 【点睛】本题考查二次函数解应用题，涉及正方形性质、三角形面积、全等三角形的判定与性质、等腰三角形判定与性质、不规则图形面积的求法、配方法、解不等式等知识，读懂题意，数形结合表示出区域面积是解决问题的关键． B抓核心 三大题型提升练 A夯基础 四大题型提分练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22..1.1二次函数（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1、二次函数的定义 定义：形如y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 题型1 二次函数的识别 例1．下列函数中，为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．下列函数中，表示二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 【变式1-3】．在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（   ） A． B． C． D． 知识点2. 二次函数的一般形式 1.一般形式：y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数） 2.要点诠释： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 题型2 二次函数的一般形式 例2．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【变式2-1】．函数的二次项系数是（　） A．4 B． C．3 D．1 【变式2-2】．已知是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．二次函数的常数项为 ． 知识点3、二次函数定义的应用 1.判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等. 2.求解二次函数的值的思维方法 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值. 3. 要点诠释： 应用一次函数定义解决有关问题时一要注意二次项系数不为0，二要注意二次项指数必须是2 题型3 根据二次函数的定义求字母的值或取值范围 例3．已知二次函数，其二次项系数是 ． 【变式3-1】．若函数是二次函数，则的值为 ． 【变式3-2】.知是二次函数，则实数 ． 【变式3-3】．若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 知识点4、列二次函数关系 1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 要点诠释： （1）明确题目中的已知量、未知量及变量间的基本关系，识别等量关系。 设定自变量和因变量，注意单位统一。 （2）建立函数关系式  （3）将实际问题转化为数学模型，通过等量关系列出二次函数表达式 对于几何问题，常结合勾股定理、三角形面积公式等工具推导。 题型4 列二次函数关系式 例4．设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 【变式4-1】．．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【变式4-2】．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？ （2）完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 （3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？ 【变式4-3】．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 题型5 二次函数的含参问题 例5．已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 【变式5-1】．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【变式5-2】．已知函数（为常数），求当为何值时，是的二次函数？ 【变式5-3】．已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)判断点是否在该二次函数图象上． 题型6实际问题中抽象二次函数关系式 例6．某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【变式6-1】．要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． (1)的长为_____________（用含的代数式表示） (2)若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 (3)能否围成总面积为的两个长方形养鸡场？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【变式6-2】．如图，中，，，，点从点出发，沿边以每秒个单位的速度向终点运动，过点作，交边（或边）于点，设点运动的时间为秒．    (1)用含的代数式表示线段的长为______． (2)当点与点重合时，求的值． (3)若的面积为，求与之间的函数关系式． (4)当线段把分成的两部分图形面积之比为：时，直接写出的值． 【变式6-3】．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接． (1)若四边形为菱形，则值为多少？ (2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 例7．随着国内疫情得到有效控制，某产品的销售市场逐渐回暖．某经销商与生产厂家签订了一份该产品的进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台．根据市场调研得知，一年内该产品的售价y（万元/台）与签约后的月份数x（1≤ x ≤12且为整数）满足关系式：   ．估计这一年实际每月的销售量p（台）与月份x之间存在如图所示的变化趋势． (1)求实际每月的销售量p（台）与签约后的月份数x之间的函数表达式； (2)求前4个月中，第几个月的利润为6万元？ (3)请估计这一年中签约后的第几个月实际销售利润W最高，最高为多少万元？ 【变式7-1】．如图，在中，，，，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求： （1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，求线段PQ的长； （3）当t为何值时，？ 【变式7-2】．下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为1，2，3，4，…，设边长为 的等边三角形由 个小等边三角形组成，按此规律推断与有怎样的关系． 一、单选题(每小题3发，共24分) 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A. B. C. D. 2．函数的一次项系数是( ) A.2 B. C.3 D.1 3．已知函数是二次函数,则m的值为( ) A.-3 B.±3 C.3 D.± 4．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是( ) A. B. C. D. 5．设，与x成正比例，与成正比例，则y与x的函数关系是( ) A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上均不正确 6．某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋.经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋.已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）.则y与x，z与x满足的函数关系分别是( ) A.一次函数关系，一次函数关系 B.一次函数关系，二次函数关系 C.二次函数关系，二次函数关系 D.二次函数关系，一次函数关系 7．下列具有二次函数关系的是( ) A.正方形的周长C与边长x B.速度不变时，路程s与时间t C.正方形的面积S与边长x D.三角形的高一定时，面积S与底边长x 8．某农产品市场经销一种成本为40元/千克的水产品.据市场分析，若按每千克50元销售，则一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.设销售单价为x（）元，月销售利润为y元，则y与x之间的函数关系式为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知函数,当____________时,它是二次函数. 11．已知y与成正比例关系，并且当时，，则当时，y的值为 ． 12．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式） 13．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．判断下列函数是不是二次函数．如果是二次函数，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． (4)． 15．若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 16．某矩形的邻边长分别为和，假设每条边的长都增加时，矩形的面积增加． (1)与之间的关系式为______． (2)当该矩形每条边的长都增加，，时，矩形的面积各增加多少？ 17．已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 18．如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． (1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 19．阅读下列内容，并解答问题． 我们知道，边形的对角线条数公式为．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程．整理，得，解得，． 不合题意，舍去， ，即该多边形是八边形． (1)若一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数是多少？ (2)A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线．”你认为A同学的说法正确吗？请说明理由． 20． 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ）构成．已知，点分别在和上，且，设． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的边 上设置一排间距为的定位坐标（为坐标原点），计算机可根据点的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用含的代数式表示： 区块Ⅰ的面积   、 区块Ⅱ的面积 、 区块Ⅲ的面积 ． 任务2 拟定方案 为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式． 任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内的整数时，此时的点为最佳定位点，请直接写出所有的最佳定位点E的坐标． B抓核心 三大题型提升练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A夯基础 四大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $$