精品解析：重庆市广益中学校2025-2026学年上学期入学考试九年级数学试卷

重庆市初2023级九年级上期入学定时作业 数学试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 如果，那么下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形的对角线、相交于点，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若，则添加下列选项后不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知整式，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有10个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 10. 已知一个等腰三角形的底角度数是，则顶角的度数是___________． 11. 若，，则________． 12. 如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于的不等式的解集是______． 13. 如图，在中，D是的中点，，交于点E，连接．平分，交于点F．若，，则的长为________． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，则的长度为__________；过点A作于点E，过点A作于点F，连接，则的长度为__________． 15. 如果一个正整数可以分解成，其中、都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称为“友好数”，并把分解成的过程，称为“友好分解”．例如：是“友好数”，不是“友好数”．则最小的“友好数”为______；将一个“友好数”进行“友好分解”，即与之和记为与之差记为，若能被9整除，（为正整数），则符合要求的的值为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 16. 求不等式组：的所有整数解． 17. 某数学兴趣小组同学发现，任意一个（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．如图，在中，点D为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴ __________， 在和中， ∴ __________ （）， ∴__________， ∵， ∴__________． ∴四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 18. 如图，方格中每个小正方形的边长是1，各顶点坐标为，，． （1）在方格中画出关于y轴对称的图形； （2）在方格中画出绕原点O逆时针旋转后的图形，并直接写出的坐标； （3）若点D在y轴，且，则点D的坐标为________． 19. （1）先化简，再求值：，然后从中选择一个你认为合适的整数作为x的值代入求值． （2）解一元二次方程：． 20. 列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 21. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为． （1）直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的面积大于3时的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 22. 九龙大道上有、两家书店以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家书店都让利酬宾，其中书店所有商品按9折出售，书店对一次性购物中超过200元后的部分打8折． （1）以（单位：元）表示按原价所购商品的金额，，（单位：元）分别表示到、两家书店购物实际支付的金额，请写出，关于的函数解析式； （2）暑假期间如何选择这两家书店去购物更省钱？ 23. 阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 24. 已知是等边三角形，点为射线上一点，连接，将绕点沿顺时针旋转至，连接交直线于点． （1）如图1，点为的中点，，当时，求的长； （2）如图2，点在线段的延长线上，，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点在射线上，，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市初2023级九年级上期入学定时作业 数学试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念，在平面内，一个图形绕某个点旋转后，能够与原图形重合的图形为中心对称图形． 【详解】、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， 故选：． 2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 3. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．利用多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：因为多边形的内角和公式为， 所以， 解得， 所以这个多边形的边数是． 故选：B． 4. 如果，那么下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质1判断选项A，D，再根据不等式的基本性质2判断选项B，然后根据不等式的基本性质3判断选项C． 【详解】解：因为，根据不等式的基本性质1，可得，所以A正确，D不正确； 因为，根据不等式的基本性质2，可得，所以B不正确； 因为，根据不等式的基本性质3，可得，所以C不正确． 故选：A． 5. 如图，矩形的对角线、相交于点，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质，推出为等边三角形，进而得到，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选A． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式；根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根．将方程系数代入判别式公式，解不等式即可求出． 【详解】解：对于方程，其判别式为． 其中，，，代入得． 因为方程有两个不相等的实数根，所以，即． 解不等式： ， ， ， 因此，k的取值范围是， 故选：C． 7. 如图，若，则添加下列选项后不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，根据平行四边形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当，四边形是平行四边形， 当时，四边形是平行四边形，故A，B选项不符合题意； 当时，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； 当时，，四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选C． 8. 如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作的平行线交于点，交于点，设，则，由正方形的性质可得，，，，即得四边形为矩形，得到，，利用勾股定理可得，进而得到，由旋转的性质得，，再根据余角性质得到，可得，得到，即可得，得到，最后代入计算即可求解． 【详解】解：过点作的平行线交于点，交于点，如图， 设，则， ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ， ， 在中， ， ∴， ∵绕着点顺时针旋转交的延长线于点， ，， ，， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 9. 已知整式，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有10个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式恒等式的性质即不含项问题解答判断，利用求代数式的值方法，自然数的性质解答即可． 本题考查了整式恒等式的性质即不含项问题，代数式的值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，其中n，，，，，…，均为自然数． ①：由，得，，故，正确； ②：当且时，当或或或或 或或或或或共有10种组合，对应10个不同的整式，正确； ③：若为互不相同的自然数，且时，根据题意，最小自然数序列的和为，当时，和为；当时，最小和为， 故的最大值为63，③错误； 综上，正确的说法为①和②，共2个， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 10. 已知一个等腰三角形的底角度数是，则顶角的度数是___________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 已知给出了等腰三角形的底角等于，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求解，即可解题． 【详解】解：等腰三角形的底角度数是， 则顶角的度数是， 故答案为：80． 11. 若，，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，因式分解等知识，先提出公因式，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：12. 12. 如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解一次函数与一元一次不等式间的关系是解题的关键．从函数的角度看，就是寻求使的值大于的自变量的取值范围，即在两直线交点的左侧部分自变量的值是不等式的解集，由此即得答案． 【详解】根据图象得，当时，， 即关于的不等式的解集是． 故答案为：． 13. 如图，在中，D是的中点，，交于点E，连接．平分，交于点F．若，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是关键； 先得出，再利用中位线的性质求解即可． 【详解】解：平分，， ， 是的中点， ， ， ， ， 故答案为：4. 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，则的长度为__________；过点A作于点E，过点A作于点F，连接，则的长度为__________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，，，，，由勾股定理求出，由面积法求出，证明得出垂直平分，然后根据求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，，，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5；． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 15. 如果一个正整数可以分解成，其中、都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称为“友好数”，并把分解成的过程，称为“友好分解”．例如：是“友好数”，不是“友好数”．则最小的“友好数”为______；将一个“友好数”进行“友好分解”，即与之和记为与之差记为，若能被9整除，（为正整数），则符合要求的的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义、代数式，根据新定义求解即可． 【详解】解：（1）十位为时： 与的十位数字相同，个位数字之和为， 可能的组合为， 对应的乘积为， 故最小值为， 十位为及以上时，最小乘积均大于，故最小友好数为； （2）解：设的十位为，个位为，则， 依据题意：， 能被整除， （为正整数）， ， 由于是十位数字，则的取值范围是到，是个位数字，且也必须是个位数字，则的取值范围是到， ， ， 枚举的可能值， 当时，， 设，化简得， 因为是正整数，必须是的正约数， 当，， 当，， 当，， 当，， 当，（舍，）， 代入中，当时，， ， 同时，，且能被整除，满足条件， 此时：， ， 其他值不满足若被9整除或， 同理，当时， 无法同时满足被9整除和， 综上，当时，满足条件， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 16. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．利用解不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组的解集为． 所以该不等式组的所有整数解是，，． 17. 某数学兴趣小组同学发现，任意一个（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．如图，在中，点D为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴ __________， 在和中， ∴ __________ （）， ∴__________， ∵， ∴__________． ∴四边形是平行四边形． 【答案】（1） 如图所示： （2）①; ②; ③；④ 【解析】 【分析】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定， 对于（1），用尺规作，延长交射线于点E； 对于（2），根据中点的定义得，再根据“角边角”证明，可得，然后根据“内错角相等两直线平行”得，最后根据“一组对边平行且相等的四边形”得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 18. 如图，方格中每个小正方形的边长是1，各顶点坐标为，，． （1）在方格中画出关于y轴对称的图形； （2）在方格中画出绕原点O逆时针旋转后的图形，并直接写出的坐标； （3）若点D在y轴，且，则点D的坐标为________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图：即为所求， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，轴对称变换，垂直平分线的性质，写出直角坐标系中点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于y轴对称的图形即可； （2）根据旋转的性质即可画出绕原点O逆时针旋转后的图形，进而可以写出点的坐标； （3）根据垂直平分线的性质作出的垂直平分线与y轴的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，点D即为所求， ， 点D位于的垂直平分线上， ． 19. （1）先化简，再求值：，然后从中选择一个你认为合适的整数作为x的值代入求值． （2）解一元二次方程：． 【答案】（1），当时，原式；当时，原式；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值以及解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）根据分式混合运算法则，先化简分式，再选择合适的的值代入求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． 【详解】解：（1） ∵，x为整数，且， ∴当时，原式； 当时，原式； （2）， ， ， ， ， ， ． 20. 列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】（1）该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 （2）每天乙文创产品增加的数量是个 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可． 【小问1详解】 解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． 【小问2详解】 解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 21. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为． （1）直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的面积大于3时的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）； （2） 函数图象如图所示， 当时，随增大而增大；当时，随增大而减小； （3）当时，的面积大于3． 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数关系式，画一次函数图象，一次函数图象的性质． （1）根据题意，进行分类讨论，当点P在上时，当点P在上时，再根据三角形的面积公式结合相似三角形的判定和性质，即可解答； （2）根据（1）中所列表达式，取值描点连线作图，结合图象写出性质； （3）观察图象求出函数图象的交点坐标，根据交点结合图象根据函数值大小判断自变量取值范围． 【小问1详解】 解：∵， 当点P在上时，，则，， ∴， ， 即， 当点P在上时，，， ∴， ， 即， 综上：； 【小问2详解】 解：当时，，解得；当时，； 当时，，解得；当时，； 由图可知：当时，随增大而增大；当时，随增大而减小； 【小问3详解】 解：当时，，解得； 当时，，解得； 由图可知，当时，的面积大于3． 22. 九龙大道上有、两家书店以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家书店都让利酬宾，其中书店所有商品按9折出售，书店对一次性购物中超过200元后的部分打8折． （1）以（单位：元）表示按原价所购商品的金额，，（单位：元）分别表示到、两家书店购物实际支付的金额，请写出，关于的函数解析式； （2）暑假期间如何选择这两家书店去购物更省钱？ 【答案】（1）， （2）当时，去书店更省钱；当时，去两个书店一样省钱；当，去书店更省钱 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）根据折扣方式，分别列出函数解析式即可； （2）分别求出时的范围，即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ，即：； 【小问2详解】 当时，，去书店更省钱， 当，时，，解得：，去两个书店一样省钱； 时，，解得：，故当时，去书店更省钱； 时，，解得：，去书店更省钱； 综上：当时，去书店更省钱； 当时，去两个书店一样省钱； 当，去书店更省钱． 23. 阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②； （3）解：这个三角形为等边三角形． 理由如下： ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴这个三角形是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的分组分解方法，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可； （2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； ②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； （3）移项后分解因式，可得出，则可得出答案． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）略 24. 已知是等边三角形，点为射线上一点，连接，将绕点沿顺时针旋转至，连接交直线于点． （1）如图1，点为的中点，，当时，求的长； （2）如图2，点在线段的延长线上，，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点在射线上，，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2） 解：，证明如下： 如图，在上截取，连接， ， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，，，由勾股定理结合旋转的性质可得，求出，最后由勾股定理即可得解； （3）在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，结合线段的和差得出，即可得证； （3）分两种情况：当点在线段上时，过点作的平行线，延长交的平行线于，此时为等腰三角形，且；当点在线段的延长线上时，此时为等腰三角形，且，即此时点和点重合；分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形，， ∴，， ∵点为的中点， ∴，，， ∴， 由旋转的性质可得：， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵为等腰三角形时， ∴如图，当点在线段上时，过点作的平行线，延长交的平行线于，此时为等腰三角形，且， ， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 作于，则， ∴，， ∴， ∴； 如图，当点在线段的延长线上时，此时为等腰三角形，且，即此时点和点重合， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $