1.3集合的基本运算讲义（3知识点+12题型）-2025-2026学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.3 集合的基本运算 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 并集 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B={x|x∈A，或x∈B} 图形语言 性质 A∪B=B∪A，A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=A⇔B⊆A，A⊆A∪B 注意点： (1)A∪B仍是一个集合. (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性. 知识点2 交集 文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B={x|x∈A，且x∈B} 图形语言 性质 A∩B=B∩A，A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 注意点： (1)A∩B仍是一个集合. (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B=∅. 知识点3 全集与补集 1.全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 U 2.补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU=∅，∁U∅=U； (3)∁U(∁UA)=A； (4)A∪(∁UA)=U；A∩(∁UA)=∅ 注意点： (1)“全集”不是固定不变的，是可以随着具体问题的改变而改变的. (2)补集是集合的一种运算，求集合A的补集时需要首先明确全集，且保证集合A是全集U的子集，当全集U不同时，得到的A的补集也不同，因此补集和全集是相互依存、不可分割的. (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 思路方法总结 1.并集运算的关注点 (1)若集合中元素个数有限，求并集时可直接根据并集的定义求解. (2)若集合是无限连续的数集，可利用数轴分析求解，要注意端点应为实心点还是空心点. 2.交集运算的关注点 (1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法. (2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示. 3.两种求补集的方法 (1)若所给的集合是用列举法表示的，则从全集中去掉集合A中元素后的剩余元素组成的集合即为所求补集，也可以采用Venn图求解. (2)若所给的集合是用描述法表示的，我们需要明确该集合具体表示的是什么，如果是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍. 4.交、并、补集的综合运算 (1)进行集合的交、并、补运算时，要首先明确题目中包含哪些运算，再依据各自的定义，并结合集合的表示形式，选择用Venn图法或数轴法来求解. (2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算. (3)从上面的例题我们可以得到以下两个结论：①(∁AB)∩(∁AC)=∁A(B∪C)，②∁A(B∩C)=(∁AB)∪(∁AC)，同学们可以用Venn图验证上面的结论. 5.由集合的运算结果求参数范围的一般步骤 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系. (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组). (3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围. 6.由集合的补集求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限，可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个，一般利用数轴分析法求解. 典例·举一反三 题型一 并集的概念及运算 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以. 故选：B. 2．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：C. 3．已知集合,则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过解不等式化简集合，再求两集合的并集. 【详解】由，得，∴，； 由，得，∴，. 所以或． 故选：A. 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，再结合集合的并集即可求解. 【详解】由 又，所以可得集合，则，故C正确. 故选：C. 5．设集合，则 . 【答案】 【分析】根据集合间的并集运算求解即可. 【详解】，. 故答案为：. 题型二 已知并集结果求参数 6．已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即. 故选：D 7．已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程先确定集合的元素，由，，逐一验证所有可能符合情况即可. 【详解】方程的两根为或 ，. 可能为 (1)    时，，符合 (2)    时，，符合 (3)    时，，符合 综上，实数m组成的集合为 故选：D 8．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系得结论. 【详解】，所以， 故选：A 9．设集合，，，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】解方程求集合，再由并集结果，讨论、分别求出对应参数值，即可得. 【详解】由题设，又，则. 所以，显然不可能有， 当时，若，此时， 若，此时， 当时，有， 综上，. 故答案为： 10．已知集合，若，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据，即，可得实数的取值范围. 【详解】根据，可得， 即，故实数的取值范围为. 故答案为： 题型三 交集的概念及运算 11．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集运算可求解. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A 12．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用绝对值的几何意义，先求出集合，再根据交集的定义求解即得. 【详解】由， 则， 故选：C． 13．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，再根据交集的定义求解即可. 【详解】解：因为，， 所以． 故选：B． 14．设集合，，则 ． 【答案】 【分析】将两集合的交集问题转化为两直线的交点问题求解即可. 【详解】依题意，集合和集合都是点集，其中，集合表示在直线上的点，集合表示在直线上的点，因此集合和集合的交集元素为直线和直线的交点坐标. 联立，解得，得. 故答案为：. 15．若或，则 ． 【答案】 【分析】根据集合交集的定义求解即可. 【详解】由可知，集合包含所有的偶数， 因为为偶数，又或， 所以集合中的元素都为奇数，所以. 故答案为： 题型四 已知交集的结果求参数 16．已知集合，，且满足，则实数的取值范围为（   ）. A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】先由得到，再分类讨论，利用根与系数的关系进行求解. 【详解】，， 当时，，即； 当时，利用韦达定理得到，解得； 当时，利用韦达定理得到，无解； 当时， 根据韦达定理得到 ，解得 ； 综上，实数a的取值范围是. 故选：A. 17．已知集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系可得，再分与时解不等式可得. 【详解】由条件得，又因为， 所以，即有． 当，有，解得：； 当，有，解得：． 综上，实数的取值范围为：． 故选：C． 18．已知集合，，若，则实数的值是 . 【答案】0或1或 【分析】由题可知，则或即可求解. 【详解】由题易得，，， 或，或. 故答案为：0或1或. 19．设集合或，．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据交集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】由，知． ①当时，满足，则，得； ②当时，则或，解得或． 综上所述，实数的取值范围为或. 故答案为：或. 20．已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要分为空集和非空集两种情况，根据子集的定义来确定实数的取值范围； （2）先求解集合，再根据来确定实数的取值范围. 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 题型五 补集的概念及运算 21．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程化简集合，再利用补集的定义进行求解即可. 【详解】全集， 则 故选：A. 22．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出不等式后可得，再利用补集定义计算即可得. 【详解】由可得，则， 则. 故选：B. 23．已知全集，若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】由题意，若集合，则. 故选：C. 24．已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用补集的运算进行求解. 【详解】因为，集合， 则集合或. 故选：A. 25．已知集合，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据并集合的运算可得； （2）由补集的运算可得. 【详解】（1）由已知，， 得； （2）由，， 得或. 题型六 已知补集的结果求参数 26．设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【详解】由题知， 由，得． 故选：C 27．已知集合，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据补集的定义及集合的特性计算即可. 【详解】因为集合，，又， 所以,解得或. 当时，集合A互异性不成立舍去； 当时，符合题意； 所以. 故选：C. 28．设全集，集合，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据补集定义求出集合A，然后由韦达定理可得. 【详解】因为，，所以， 所以和是方程的两根，故，经检验满足题意. 故答案为：4 29．设，，若，则实数 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根，结合补集定义即可求解. 【详解】由得，解得或， ，可得, 故， 故答案为： 30．已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）求得集合，由分类讨论可得值； （2）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值． 【详解】（1）若，可得，因为，所以． 当，则；当，则；当，． 综上，可得实数a组成的集合为． （2）因为，， 且，，所以，，所以， 解得，解，得或，所以， 所以，所以，解得． 题型七 交并补的综合运算 31．已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定全集，再根据集合的运算，确定集合. 【详解】由条件可知，，且， 所以. 故选：B 32．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意先求出，再结合集合的交集运算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D． 33．已知全集，集合，，，若，则所有子集的个数为 ． 【答案】 【分析】利用，求出，再求出全集，结合集合的运算得到，进而得到子集个数. 【详解】因为，，且， 则或，且，，解得． 则集合，， 又， 所以，，则， 所以的子集的个数为． 故答案为：. 34．已知集合，求： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）先求集合，根据集合的交集和并集运算即可求解； （2）根据集合的补集和交集运算即可求解. 【详解】（1）由题意有， 所以， ； （2）所以， 或， 所以， 35．已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 【答案】(1) (2) 【分析】分别求出集合，，利用集合交、并、补的运算求解即可. 【详解】（1）由题意得，，， ， 所以， ． （2）由题意得，，， 所以， ． 题型八 已知交并补的结果求参数 36．已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得的取值范围. 【详解】因为集合， 所以， 由于， 所以. 故选：A. 37．已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 38．设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出集合，根据可得出实数的取值范围. 【详解】因为全集，集合，则， 因为集合，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 39．设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 40．设集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再根据集合关系讨论求参数即可； （2）由，分和两种情况讨论求参数即可； 【详解】（1）因为，所以． 当时，，解得； 当时，解得． 综上所述，的取值范围为． （2）由题意，需分和两种情形进行讨论： 当时，由（1）得； 当时，因为，所以解得，或无解． 综上所述，的取值范围为． 题型九 Venn图的应用 41．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的运算即可表示出阴影部分，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】，且， 则， 阴影部分表示的集合是在集合中去掉的元素， 则阴影部分表示的集合为. 故选：D 42．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合韦恩图的表示方法，利用集合的运算法则，结合选项，即可求解. 【详解】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素且， 所以阴影部分可表示为或或. 故选：D. 43．设全集为，非空真子集满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由集合之间的基本关系或者Venn图可得 【详解】由，可知；由，得． A（×）由题意可知，集合都是集合的子集，但是它们两个的关系无法确定． B（√）由，可知． C（√）由和，知，又因为集合是全集的非空真子集，故． D（√）由和，知，所以． 一题多解  多方法解题 A（×）根据题意，可画出如下符合题意的Venn图，由图可知，． B（√）C（√）D（√）由题可知，且．集合间的关系不确定，可分和两种情况，但不论哪种情况，结合Venn图均可得，． 故选：BCD 44．设全集为，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合运算列出表达式. 【详解】依题意，阴影部分不在集合中，也不在集合中，因此不在集合中， 则阴影部分表示为，A正确，BCD错误. 故选：A 45．如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合交集内部的公共部分，求解即可. 【详解】根据题意可知阴影部分为集合的外部与集合交集内部的公共部分， 即， 故选：C 题型十 容斥原理 46．某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可. 【详解】设集合参加足球队的学生， 集合参加排球队的学生， 集合参加游泳队的学生， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 47．某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集运算求解即可. 【详解】设仅第一天开车人数为 ，仅第二天开车人数为 ，两天都开车人数为 ， 则由图知 ， ， 两式相减得 ， . 故选：C. 48．有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有 人． 【答案】2 【分析】若同时去过的有人，根据已知及容斥原理列方程求解即可. 【详解】若同时去过的有人，则，可得. 故答案为：2 49．1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 3 【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为，列出方程计算即可． 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 50．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 题型十一 集合运算的综合题型 51．已知全集，集合，. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据补集的运算法则即可求解； （2）根据集合的包含关系，解不等式组即可求解； （3）由可得，分和两种情况讨论实数的取值范围，最后综合讨论结果即可求解. 【详解】（1）∵全集，集合， ∴或. （2）∵，，， ∴，解得，即实数的取值范围为. （3）∵，∴. 当，即时，，符合题意； 当时，，解得. 综上，，即实数的取值范围为. 52．设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3)． 【分析】（1）由集合的交并补运算即可求解； （2）由题意得，进一步列不等式即可求解； （3）由题意得，对是否是空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以． 方法一  因为或，或， 所以或． 方法二  或． （2）因为，所以， 又，所以解得， 所以的取值范围是． （3）因为，所以（，分为与两种情况讨论）． 若，则，可得，满足； 若，要使，则不等式组无解． 综上，的取值范围是． 53．已知集合，，． (1)若，求，； (2)请从①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据两集合交集、并集、补集的概念进行运算即可； （2）若选①：计算，分析交集为空集的条件列不等式求解a的范围. 若选②：分析交集非空的条件列不等式求解a的范围. 【详解】（1）时，，， 又，，所以， 故，． （2）若选①，因为，，所以， 又，，所以，解得， 即实数的取值范围为． 若选②，，， 作出数轴如图，由，知，解得， 则实数的取值范围为． 54．设全集为，集合或，. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在（1）；（2）；（3）这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）由题意可知，阴影部分表示的集合是，通过集合运算解决即可； （2）选择（1）（2）（3），均可得，这里注意集合为空集这种情况，再通过子集之间的包含关系求解即可. 【详解】（1）全集为，集合或， 当时，， 或， 图中阴影部分表示的集合或. （2）选择（1）（2）（3）均得到， 当时，，解得； 当时，或 解得或， 综上，实数的取值范围是. 55．已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，，，， (3)能， 【分析】（1）先求出集合，再根据并集，补集的定义求解即可； （2）由题设可得是非空集合，且是的真子集，进而求解即可； （3）由题设可得，进而分和讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， ， 所以，． （2）当时，， 又因为，所以， 因为（是非空集合，且是的真子集），， 所以这样的集合共有6个：，，，，，． （3）能，由，可得， 若，此时由，可得； 若，由（1）知， ① 当时，，即， 此时，不是的一个子集，舍去； ② 当时，，即， 此时，此时是的一个子集； ③ 当时，，即， 此时，此时是的一个子集． 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为． 题型十二 集合的新定义题型 56．设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（    ） A．P B． C． D．M 【答案】A 【分析】根据题目当中给出的定义，画出韦恩图，进行集合的运算即可. 【详解】当时，由韦恩图知，为下图中的阴影部分，则显然为P．    当时，， 则 故选：A． 57．对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 【答案】或 【分析】根据条件中的新定义，先求和，再求. 【详解】，，． 故答案为：或 58．设有序集合对满足：，，记，分别表示集合中的元素个数，则符合条件，的有序集合对有 对． 【答案】44 【分析】根据题意转化为对Card，进行分类讨论即可． 【详解】由条件可知，，， 当，时，不成立； 当，时，则，， 所以，，符合条件的有1对； 当，时，则，， 集合中另一个元素从剩下的6个数中再选1个，所以有6对； 当，时，则5，， 集合中另外的元素从剩下的6个数中再选2个，所以有15对； 当，时，，，矛盾； 剩下几种情况，由对称性和前面类似， 所以共有对， 故答案为：44. 59．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定的韦恩图理解新定义，再利用集合的交集、并集、补集及对称差集进行求解. 【详解】对于，，故A正确； 对于B，因为， 是偶数，所以，故B正确； 对于C，，，故正确； 对于D，，， 则，故D错误. 故选：ABC. 60．设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 【答案】ABD 【分析】对于A，设，，根据运算可验证，，；对于B，易得时，；对于CD，可举特例说明； 【详解】对于A，设，，其中，，，， 则，，，； ，，，； ， ，，．综上，为封闭集，故A正确； 对于B，若为封闭集，则对任意，，，取，得，即，故B正确； 对于C，取封闭集，当时，满足条件，但，不是封闭集，故C错误． 对于D，取，，不为封闭集，故D正确； 故选：ABD. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 集合的基本运算 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 并集 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B={x|x∈A，或x∈B} 图形语言 性质 A∪B=B∪A，A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=A⇔B⊆A，A⊆A∪B 注意点： (1)A∪B仍是一个集合. (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性. 知识点2 交集 文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B={x|x∈A，且x∈B} 图形语言 性质 A∩B=B∩A，A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 注意点： (1)A∩B仍是一个集合. (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B=∅. 知识点3 全集与补集 1.全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 U 2.补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU=∅，∁U∅=U； (3)∁U(∁UA)=A； (4)A∪(∁UA)=U；A∩(∁UA)=∅ 注意点： (1)“全集”不是固定不变的，是可以随着具体问题的改变而改变的. (2)补集是集合的一种运算，求集合A的补集时需要首先明确全集，且保证集合A是全集U的子集，当全集U不同时，得到的A的补集也不同，因此补集和全集是相互依存、不可分割的. (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 思路方法总结 1.并集运算的关注点 (1)若集合中元素个数有限，求并集时可直接根据并集的定义求解. (2)若集合是无限连续的数集，可利用数轴分析求解，要注意端点应为实心点还是空心点. 2.交集运算的关注点 (1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法. (2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示. 3.两种求补集的方法 (1)若所给的集合是用列举法表示的，则从全集中去掉集合A中元素后的剩余元素组成的集合即为所求补集，也可以采用Venn图求解. (2)若所给的集合是用描述法表示的，我们需要明确该集合具体表示的是什么，如果是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍. 4.交、并、补集的综合运算 (1)进行集合的交、并、补运算时，要首先明确题目中包含哪些运算，再依据各自的定义，并结合集合的表示形式，选择用Venn图法或数轴法来求解. (2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算. (3)从上面的例题我们可以得到以下两个结论：①(∁AB)∩(∁AC)=∁A(B∪C)，②∁A(B∩C)=(∁AB)∪(∁AC)，同学们可以用Venn图验证上面的结论. 5.由集合的运算结果求参数范围的一般步骤 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系. (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组). (3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围. 6.由集合的补集求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限，可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个，一般利用数轴分析法求解. 典例·举一反三 题型一 并集的概念及运算 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合,则（   ） A．或 B． C． D． 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．设集合，则 . 题型二 已知并集结果求参数 6．已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．设集合，，，则实数的取值集合为 . 10．已知集合，若，则实数的取值范围为 题型三 交集的概念及运算 11．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 12．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．设集合，，则 ． 15．若或，则 ． 题型四 已知交集的结果求参数 16．已知集合，，且满足，则实数的取值范围为（   ）. A．或 B． C．或 D． 17．已知集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．已知集合，，若，则实数的值是 . 19．设集合或，．若，则实数的取值范围是 ． 20．已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 题型五 补集的概念及运算 21．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 22．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 23．已知全集，若集合，则（   ） A． B． C． D． 24．已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 25．已知集合，． (1)求； (2)求． 题型六 已知补集的结果求参数 26．设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 27．已知集合，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．设全集，集合，若，则 ． 29．设，，若，则实数 . 30．已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 题型七 交并补的综合运算 31．已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 32．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 33．已知全集，集合，，，若，则所有子集的个数为 ． 34．已知集合，求： (1)； (2)． 35．已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 题型八 已知交并补的结果求参数 36．已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 37．已知或，，若，则m的取值范围是 . 38．设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 39．设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 40．设集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 题型九 Venn图的应用 41．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 42．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 43．设全集为，非空真子集满足：，则（    ） A． B． C． D． 44．设全集为，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 45．如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 题型十 容斥原理 46．某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 47．某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 48．有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有 人． 49．1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 50．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 题型十一 集合运算的综合题型 51．已知全集，集合，. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 52．设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 53．已知集合，，． (1)若，求，； (2)请从①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 54．设全集为，集合或，. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在（1）；（2）；（3）这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 55．已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 题型十二 集合的新定义题型 56．设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（    ） A．P B． C． D．M 57．对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 58．设有序集合对满足：，，记，分别表示集合中的元素个数，则符合条件，的有序集合对有 对． 59．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 60．设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$