专题02 集合的运算（3知识点+9考点+1易错点）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册《阶梯册》考点训练

专题02 集合的运算 知识点一、交并补集的概念及表示 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．补集 （1）全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. （2）补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2）， 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 知识点二、并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 知识点三、容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 考点01 并集的运算 1．已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A．64 B．63 C．6 D．65 2．已知集合，则的整数元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 考点02 交集的运算 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 10．设集合，，则 ． 考点03 补集的运算 11．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 12．设全集，集合，则中元素的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 14．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 考点04 交并补的混合运算 15．已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 16．设集合，，为整数集，则（   ） A． B． C． D． 17．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 18．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 19．（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 20．已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 考点05 由交、并、补集的运算结果求参数 21．已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 23．设集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 24．集合，. (1)若只有一个整数，求实数的取值范围； (2)若，且，求实数的取值范围. 25．已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 考点06 由交、并、补集的运算结果求集合 26．已知集合，，若，，则满足条件的集合共有（   ） A．2个 B．3.个 C．4个 D．5个 27．已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 28．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 29．设集合，，则满足且的集合有 个 30．已知，若，则的值为 ． 考点07 Venn图的应用 31．（多选）设全集为，非空真子集满足：，则（    ） A． B． C． D． 32．已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（    ） A． B． C． D． 33．已知全集，若，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 34．（多选）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 35．（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 考点08 容斥原理的应用 36．某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．某兴趣班共30人，其中15人喜爱乒乓球运动，10人喜爱羽毛球运动，12人喜爱乒乓球但不喜爱羽毛球运动，则对这两项运动都不喜爱的人数为 38．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 考点09 集合运算的新定义 39．设设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 40．定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 41．定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ； 42．定义集合运算 ，其中 U 为全集.已知全集 ，集合 ，.求：的结果（其中 ）. 易错01 忽略了小集合可以是空集 1．已知集合 .若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C．或 D． 2．，，，已知，，求a的值及m的取值范围． 刷基础 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知全集，集合，，则（    ） A．集合的子集有7个 B． C．中的元素个数为7 D． 4．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 5．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，若，则实数a的取值是（   ） A．或 B．2或 C．2或或0 D．或或0 7．已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（   ） A．4 B．10 C．11 D．12 8．若集合，集合，则等于（   ） A． B． C． D． 9．（多选）设全集，集合，若，则（    ） A． B． C．的真子集个数为32 D． 10．有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有 人． 11．已知集合，，若，则实数的值是 . 12．已知集合，集合. (1)若，求a的取值范围； (2)已知，求a的值. 刷能力 1．（多选）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（多选）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 3．设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（    ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 4．已知集合，，只有一个元素，则实数m的取值范围是 ． 5．已知集合，，若，则的取值集合是 ． 6．已知非空集合满足以下四个条件： ①； ②； ③中的元素个数不是中的元素； ④中的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数是 ． 7．设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 8．已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 刷期中期末真题 1．（2024·25高一上·广东汕头·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·25高三下·甘肃庆阳·期中）已知集合，则集合的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．（2025·吉林·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·25高一下·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 5．（2024·25高一下·湖南衡阳·期末）若集合，，且，则的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（2023·24高一上·广东江门·期中）已知，． (1)求、、． (2)设且，求集合. 7．（2024·25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 8．（2024·25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知全集，集合，，． (1)求，； (2)若，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 集合的运算 知识点一、交并补集的概念及表示 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．补集 （1）全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. （2）补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2）， 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 知识点二、并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 知识点三、容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 考点01 并集的运算 1．已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A．64 B．63 C．6 D．65 【答案】B 【详解】由， 则，共个元素， 所以集合的真子集个数为. 故选：B. 2．已知集合，则的整数元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由题意得，则， 所以的整数元素为，共6个. 故选：B. 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，，所以. 故选：B. 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵， 由并集的含义得. 故选：B. 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 又，所以可得集合，则，故C正确. 故选：C. 考点02 交集的运算 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，又， 所以． 故选：B 7．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 故选：D. 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，所以， 则. 故选：C. 9．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，可解得， ， ，可解得，又，， . 故选：A． 10．设集合，，则 ． 【答案】 【详解】依题意，集合和集合都是点集，其中，集合表示在直线上的点，集合表示在直线上的点，因此集合和集合的交集元素为直线和直线的交点坐标. 联立，解得，得. 故答案为：. 考点03 补集的运算 11．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵集合，， . 故选：C. 12．设全集，集合，则中元素的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】根据题给条件：可知，所以 即. 集合 则，元素个数为4. 故选：B. 13．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D 14．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 考点04 交并补的混合运算 15．已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 16．设集合，，为整数集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为整数集， 又， 且， 且， 所以, 故选：A. 17．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，所以，所以． 故选：B． 18．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，则，可得. 故选：C. 19．（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】集合，集合， 对于A选项：，故A正确； 对于B选项：，故B错误； 对于C、D选项：，，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 20．已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，，， ， 所以， ． （2）由题意得，，， 所以， ． 考点05 由交、并、补集的运算结果求参数 21．已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且， 所以，解得，即. 故选：D 22．已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)，或 (2)或 【详解】（1）或，则， ，当时，， 所以； 又或，所以或. （2）若，则. 当时，，即； 当时，则或，解得或. 综上，的取值范围为或. 23．设集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以． 当时，，解得； 当时，解得． 综上所述，的取值范围为． （2）由题意，需分和两种情形进行讨论： 当时，由（1）得； 当时，因为，所以解得，或无解． 综上所述，的取值范围为． 24．集合，. (1)若只有一个整数，求实数的取值范围； (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）只有一个整数，又包含不止一个整数， ，且， ， 可得实数的取值范围是. （2）由，可得. ①若，此时，解得 ②若，此时需满足，此时不等式无解. 综上可知. 25．已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）若，可得，因为，所以． 当，则；当，则；当，． 综上，可得实数a组成的集合为． （2）因为，， 且，，所以，，所以， 解得，解，得或，所以， 所以，所以，解得． 考点06 由交、并、补集的运算结果求集合 26．已知集合，，若，，则满足条件的集合共有（   ） A．2个 B．3.个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】因为集合，， 且，，所以满足， 则集合有，，，，共4个. 故选：C 27．已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，观察选项只有选项符合题意， 故选：C 28．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，故， 故选：A 29．设集合，，则满足且的集合有 个 【答案】12 【详解】因为且，，． 中一定含有4或5或4、5．当 中含有一个元素时，或，共2个； 当中含有两个元素时，，，，，，共5个； 当中含有三个元素时，，，，，共4个； 当中含有四个元素时，，共1个． 所以满足条件的集合有个． 故答案为：12 30．已知，若，则的值为 ． 【答案】或 【详解】因为，所以，又， 所以或， 解得或或， 当时，集合、均不满足集合元素的互异性，故舍去； 当或时，经检验均符合题意； 综上可得或 故答案为：或 考点07 Venn图的应用 31．（多选）设全集为，非空真子集满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，可知；由，得． A（×）由题意可知，集合都是集合的子集，但是它们两个的关系无法确定． B（√）由，可知． C（√）由和，知，又因为集合是全集的非空真子集，故． D（√）由和，知，所以． 一题多解  多方法解题 A（×）根据题意，可画出如下符合题意的Venn图，由图可知，． B（√）C（√）D（√）由题可知，且．集合间的关系不确定，可分和两种情况，但不论哪种情况，结合Venn图均可得，． 故选：BCD 32．已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出Venn图，如图， 对于A，，故A错误； 对于B，与集合交集是空集， 若，则不是的子集，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，与集合交集是空集， 若，则不是的子集，故D错误； 故选：C. 33．已知全集，若，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】A 【详解】根据题意，画出Venn图如下图所示： 由图可知，且，即A正确； 显然，可得B错误，，C错误，，可知D错误. 故选：A 34．（多选）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于，，故A正确； 对于B，因为， 是偶数，所以，故B正确； 对于C，，，故正确； 对于D，，， 则，故D错误. 故选：ABC. 35．（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，画出韦恩图如图． 对于选项A，结合韦恩图可知，当时A错误； 对于选项B，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，，即，故B正确； 对于选项C，由德摩根公式可知，故C正确； 对于选项D，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，当时，D错误． 故选：BC． 考点08 容斥原理的应用 36．某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】设集合参加足球队的学生， 集合参加排球队的学生， 集合参加游泳队的学生， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 37．某兴趣班共30人，其中15人喜爱乒乓球运动，10人喜爱羽毛球运动，12人喜爱乒乓球但不喜爱羽毛球运动，则对这两项运动都不喜爱的人数为 【答案】8 【详解】设喜爱乒乓球运动的同学，喜欢羽毛球运动的同学， 用表示集合中的元素个数，则，，， 因， 故对这两项运动都不喜爱的人数为. 故答案为：8. 38．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 考点09 集合运算的新定义 39．设设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， 又且， 所以或， 故选：B 40．定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 【答案】 【详解】因为，则， 又因为，故， 所以，集合有个元素，故集合的真子集个数. 故答案为：. 41．定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ； 【答案】/ 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是. 故答案为：. 42．定义集合运算 ，其中 U 为全集.已知全集 ，集合 ，.求：的结果（其中 ）. 【答案】 【详解】根据定义，. 由德摩根公式的推广形式得：， 因为， 所以 所以，. 因为，所以. 易错01 忽略了小集合可以是空集 1．已知集合 .若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 2．，，，已知，，求a的值及m的取值范围． 【答案】或；或． 【详解】由解得或，所以， ∵，∴ 由，得． 所以或， 所以或，所以或． 又由得，，所以可能为，，， 当时，只需，解得； 当为单元集时，只需，解得. 时，不符合题意；时，不符合题意； 当时，则，解得； 所以或 综上得：或；或． 刷基础 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合表示奇数组成的集合， 又，所以. 故选：B 2．已知集合，，，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意得到中的元素为2的倍数，中的元素为3的倍数，中的元素为6的倍数， 所以，，， 所以，，所以；，， 故选项A，C，D正确；，例如，但，故选项B错误. 故选：B. 3．已知全集，集合，，则（    ） A．集合的子集有7个 B． C．中的元素个数为7 D． 【答案】D 【详解】 分析可知中的元素为自然数，且为自然数，故考虑哪些自然数能使也为自然数． 因为，所以． 对于A，因为集合，所以中的元素个数为3，所以的子集个数为，所以A错误； 对于B，由，，得，而是一个集合，所以，所以B错误； 对于C，由，得中的元素个数为5，所以C错误； 对于D，由，，得，因为，所以，所以D正确. 故选：D. 4．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 5．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则，由，且，则，所以． 故选：D. 6．已知集合，，若，则实数a的取值是（   ） A．或 B．2或 C．2或或0 D．或或0 【答案】D 【详解】解方程，得或，所以， 又，所以集合B是集合A的子集． 集合A的子集有，，，，显然集合最多有一个元素， 所以a的可能取值有、、0． 故选：D 7．已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（   ） A．4 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【详解】解法1 ：由题意知，满足要求的S可能为 ， 则符合条件的集合S的个数为12． 解法2：由题意，集合，若，则， 此时集合S的个数为， 所以当时，可得集合S的个数为． 故选：D. 8．若集合，集合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得， 所以，又， 所以. 故选：C 9．（多选）设全集，集合，若，则（    ） A． B． C．的真子集个数为32 D． 【答案】AD 【详解】由题意知，作出Venn图，如图． 由图可知，故A正确，B错误； 集合的真子集个数为，C错误； ，故，D正确. 故选：AD 10．有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有 人． 【答案】2 【详解】若同时去过的有人，则，可得. 故答案为：2 11．已知集合，，若，则实数的值是 . 【答案】0或1或 【详解】由题易得，，， 或，或. 故答案为：0或1或. 12．已知集合，集合. (1)若，求a的取值范围； (2)已知，求a的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知：， 因为，所以,解得. （2）由，得或，即或. 当时，矛盾； 当时，，成立. 综上，. 刷能力 1．（多选）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，无解， 所以若，则，故D错误. 故选：ABC. 2．（多选）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 3．设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（    ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】A 【详解】由已知得， 故，化简得. 当时，，，，； 当时，，，，； 当时，，； 当时，，. 综上，满足条件的有序数对共有12对. 故选：A. 4．已知集合，，只有一个元素，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因只有一个元素，则在上只有1个解. . 若判别式等于0，则或. 当时，易得方程解为，不满足题意； 当时，方程解为，满足题意. 若判别式大于0，得或. 由韦达定理，两根之积为2，两根之和为，要使方程在上只有1个解， 则满足题意，且. 综上实数m的取值范围是. 故答案为： 5．已知集合，，若，则的取值集合是 ． 【答案】 【详解】因为，则， 若，可得或， 当，则集合，，符合题意； 当，则集合，，符合题意； 若，可得，不满足互异性，不符合题意； 综上所述：的取值集合是. 故答案为：. 6．已知非空集合满足以下四个条件： ①； ②； ③中的元素个数不是中的元素； ④中的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数是 ． 【答案】10 【详解】当集合中有1个元素时，集合中有5个元素，，，所以，此时，有序集合对为1个； 当集合中有2个元素时，集合中有4个元素，，，所以，此时，，，，共四种情况，对应的，，，，有序集合对为4个； 当集合中有3个元素时，集合中也有3个元素，，，不符合题意； 当集合中有4个元素时，集合中有2个元素，，，故，，此时，，，，共四种情况，对应的，，，，有序集合对为4个； 当集合中有5个元素时，集合中有1个元素，此时，故，此时，有序集合对为1个． 综上，满足题意的有序集合对共有（个）． 故答案为：10 7．设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3)． 【详解】（1）因为，所以，又， 所以． 方法一  因为或，或， 所以或． 方法二  或． （2）因为，所以， 又，所以解得， 所以的取值范围是． （3）因为，所以（，分为与两种情况讨论）． 若，则，可得，满足； 若，要使，则不等式组无解． 综上，的取值范围是． 8．已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，，，则， 所以，则. （2）因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，，即实数的取值范围是. 刷期中期末真题 1．（2024·25高一上·广东汕头·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得. 故选：B 2．（2024·25高三下·甘肃庆阳·期中）已知集合，则集合的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】因为，可得，解得， 则，所以，其子集个数为. 故选：C. 3．（2025·吉林·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 可得：， ， ， 故选：A． 4．（2024·25高一下·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 又，，所以， 又， 所以， 故选：D. 5．（2024·25高一下·湖南衡阳·期末）若集合，，且，则的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AB 【详解】若集合，， 则由集合中元素的互异性可知，， 即， 又， 则或或或，即， 所以的值可以是，对比选项可知只有AB正确. 故选：AB. 6．（2023·24高一上·广东江门·期中）已知，． (1)求、、． (2)设且，求集合. 【答案】(1)，，． (2)或 【详解】（1）因为，， 所以，，； （2）因为，， 所以或. 7．（2024·25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，所以，，， 所以. （2）当时，，满足，所以成立； 当时，，可得且且， 得，且，且， 因为满足，所以， 所以或，得或或（舍去）， 所以或； 综上，或或； 8．（2024·25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知全集，集合，，． (1)求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1),或 (2) 【详解】（1）因为集合，， 所以； 可得或，或; 因此或. （2）因为， 当时，即时，，此时满足，满足题意； 当时，即时， 若，则或， 解得或，可得； 综上可得，实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$