1.2集合间的基本关系讲义（2知识点+6题型）-2025-2026学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.2 集合间的基本关系 1.2 集合间的基本关系 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 子集 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2.子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，即A⊆B，且B⊆A⇔A=B. 知识点2 真子集 1.真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 性质 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)空集是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅A； (3)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC 注意点： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}. 思路方法总结 1.判断集合间关系的常用方法 2.集合的子集的两个注意点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身. (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏. 3.由集合间的关系求参数范围 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值. (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集. 典例·举一反三 题型一 判断集合的包含关系 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集包含关系得到答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由元素、集合间的关系可解. 【详解】对于A，应为；对于B，应为； 对于 C，空集是任何集合的子集，故； 对于D，是点集，是数集，故说法错误． 故选：C. 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【答案】A 【分析】根据，再利用是整数，是奇数即可判断集合间的关系. 【详解】∵， 是整数，是奇数，∴. 故选：A． 4．用“”，“”，“⫋”，“⫌”或“=”填空    （1）5                      （2）            （3）Z N                    （4）Z Q （5）              （6） 【答案】 = ⫌ ⫋ ⫌ = 【分析】根据元素和集合，集合与集合之间的关系进行填空即可 【详解】（1）；（2）；（3）⫌；（4）⫋； （5）⫌；（6） 故答案为：，=，⫌，⫋，⫌，= 5．若，，并有以下7个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③④⑥⑦. 【分析】根据条件，利用元素与集合、集合与集合间的关系的判断方法，逐一对各个命题分析判断，即可求解. 【详解】因为，所以，又，若作为一个元素并不在A中，故①正确；③，④正确； 又任何一个集合都是它本身的子集，空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集， 所以②，⑥正确， 又，所以⑤错误，显然⑦正确， 故答案为：①②③④⑥⑦. 题型二 求（真）子集的个数 6．设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】D 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 7．已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】根据题意写出集合，再由子集和真子集的定义即可解得. 【详解】方法一：的含义是有的都有，有的都有，但不能等于． 因为集合，， 所以集合可为，共7个． 方法二：集合中有2个元素，中有5个元素，则集合可以是集合的任意一个真子集与集合并集组成， 所以满足的集合有（个）． 故选：B． 8．已知a为给定实数，那么集合的非空子集的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．不确定 【答案】B 【分析】根据判别式判断集合中元素个数，进而确定集合非空子集个数. 【详解】由，则集合有2个元素， 所以的非空子集个数为个. 故选：B 9．若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】D 【分析】分类讨论和时，的可能取值，得出集合，即可求出集合的真子集. 【详解】集合，集合， 若，则或；若，则或1， ∴， ∴的真子集的个数为. 故选：D. 10．已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．16 B．15 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据题意先求集合，进而得集合元素个数，利用子集个数公式即可求解. 【详解】因为，， 所以或或或， 故， 即集合中含有4个元素，所以集合的子集个数为． 故选：A. 题型三 空集的概念及性质应用 11．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用元素与集合、集合与集合之间的关系及相等集合的概念逐一判断. 【详解】对于A，不是的元素，故A错误； 对于B，“”不能用于表示元素与集合的关系，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故，故C正确． 对于D，表示是无限集，而中只有元素1，2，，故D错误． 故选：C. 12．关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 13．若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 14．已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 15．已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【详解】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. 题型四 根据包含关系求参数 16．已知集合，，若，则x的值可以是（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】依次由、和排除ACD，接着令检验是否符合题意即可得解. 【详解】由题意得，排除C； 由，得，排除A； 由，得，排除D； 令，可得，，符合，故B正确. 故选：B． 17．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 18．（多选）设集合，，若，则实数a的值可以为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】BCD 【分析】解二次方程化简集合A，由知，按照和两种情况分类求解即可. 【详解】由十字相乘法可得，所以或，即． 当时，B可能为，也可能不为． B是方程的解集，求解时需对B中元素个数进行分类讨论． 当时，，此时满足； 当时，因为，所以． 又，所以或，解得或1． 综上可知，a的值为或1或0． 故选：BCD 19．已知集合，，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据集合间的关系列不等式，可得解. 【详解】由已知，，且， 得，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 20．已知集合，，且，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合的基本关系得出不等式组计算即可. 【详解】由于，在数轴上表示A，B，如图， 可得解得 所以的取值范围是． 题型五 根据集合相等求参数 21．已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合相等列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：C 22．已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互异性即可求得结果. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得，所以， 故选：A 23．已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据方程的解是任意实数，即可得求解. 【详解】，即关于的方程的解是任意实数， 则所以所以. 故选：B. 24．已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】由两集合相等及分式的分母不为0可求出n，再利用集合相等和互异性求m，代入计算即可. 【详解】因为，，所以，故，所以解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故答案为： 25．设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 【答案】，或， 【分析】根据集合相等列方程组求解，然后根据集合的定义检验． 【详解】由集合相等的概念可知， 或， 解得：或或， 因为当，时， 集合中，集合中，都不符合集合中元素的互异性， 所以，或，． 题型六 包含关系的综合应用 26．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 27．已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 【答案】(1)，，，，， (2) 【分析】（1）根据集合间的包含关系可直接写出符合题意的集合； （2）对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以． 又，故． 由已知得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为,,,,,． （2）当时，是的一个子集， 此时对于方程，有，所以． 当时，因为，所以当时，，即， 此时，因为，所以不是的子集； 同理，当时，，也不是的子集； 当时，，也不是的子集． 综上，满足条件的的取值范围是． 28．已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分两种情况进行分类讨论，列出不等式即可求得结果. （2）将问题转化为方程至少有一个根，分两种情况进行分类讨论，求得结果. 【详解】（1）当时，，即，符合题意； 当时，，解得：. 综上所述，实数k的取值范围为. （2）集合A最少有一个真子集，则集合中至少有一个元素， 当时，，即，符合题意； 当时，，解得：且. 综上所述，实数k的取值范围为. 29．已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【详解】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 30．已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据判别式求解出结果； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【详解】（1）因为有实根， 所以，解得， 所以. （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 31．设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 32．已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 集合间的基本关系 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 子集 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2.子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，即A⊆B，且B⊆A⇔A=B. 知识点2 真子集 1.真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 性质 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)空集是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅A； (3)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC 注意点： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}. 思路方法总结 1.判断集合间关系的常用方法 2.集合的子集的两个注意点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身. (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏. 3.由集合间的关系求参数范围 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值. (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集. 典例·举一反三 题型一 判断集合的包含关系 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 4．用“”，“”，“⫋”，“⫌”或“=”填空    （1）5                      （2）            （3）Z N                    （4）Z Q （5）              （6） 5．若，，并有以下7个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 其中正确的有 （填序号）． 题型二 求（真）子集的个数 6．设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 7．已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 8．已知a为给定实数，那么集合的非空子集的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．不确定 9．若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 10．已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．16 B．15 C．4 D．8 题型三 空集的概念及性质应用 11．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 13．若集合，则实数a的值的集合为 ． 14．已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 15．已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围；(2)当、满足什么条件时，集合为空集. 题型四 根据包含关系求参数 16．已知集合，，若，则x的值可以是（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 17．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（多选）设集合，，若，则实数a的值可以为（    ） A． B．1 C．0 D． 19．已知集合，，若，则的取值范围为 ． 20．已知集合，，且，求实数的取值范围． 题型五 根据集合相等求参数 21．已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 23．已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．已知，，若集合，则的值为 ． 25．设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 题型六 包含关系的综合应用 26．已知集合，且. (1)求的值；(2)写出集合的所有真子集. 27．已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 28．已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 29．已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 30．已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 31．设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 32．已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$