精品解析：吉林省长春市力旺实验初级中学2025--2026学年九年级上学期开学考试数学试题

力旺实验中学2025—2026学年度上学期九年级 数学学科开学检测 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列图象不能表示为的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义及图象，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应的关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：由图象可知，C的图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系； A，B，D的图象满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系． 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点的平移，掌握平移规律是关键． 根据平面直角坐标系中点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，即可解题． 【详解】解：点向右平移3个单位长度，横坐标需加3，即，纵坐标2保持不变， ∴平移后的点坐标为， 故选：B． 3. 如图，E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用平行线的判定方法及平行四边形的判定可得出答案． 【详解】解：A、， ， 又， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴， 不能判断四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D、∵， ， 又， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，在平行四边形中，平分，，，则的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，先由平行四边形的性质得，，再证，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 下列选项中，矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 每条对角线平分一组对角 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 根据矩形和菱形的性质逐项分析即可． 【详解】A．每条对角线平分一组对角是菱形具有，但矩形不具有的性质，故该选项不符合题意； B．对角线互相垂直是菱形的性质，矩形不具有，故该选项不符合题意； C．对角线相等是矩形的性质，菱形不具有，故该选项符合题意； D．对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，故该选项不符合题意． 故选：C． 7. 某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，找出降价后的盈利与销售量是解题的关键． 根据题意，设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克，由此列式即可求解． 【详解】解：已知原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，每千克降价元，那么每天可多售出， 设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克， ∴， 故选：B ． 8. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解一元一次不等式，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得到关于的一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次方程根与判别式的关系，解题的关键是列出方程求解即可．根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【详解】由题意可知，， 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得，，即实数的值为． 故答案为：． 11. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握整体代入法求代数式的值的方法是解题的关键．将代入，得出，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴将代入， 得：， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 13. 如图，在中，点，分别在，上，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为：． 14. 如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点，是边上一点（不与重合），于，连接，①是等腰直角三角形；②当为中点时，；③当平分时，的周长为；④周长的最小值为；正确的是______（填写序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①由正方形的性质得到，然后结合即可判断①；②勾股定理求出，当为中点时，，然后利用勾股定理求出，进而可判断②；③首先根据角平分线的性质求出，设，然后勾股定理表示出，然后求出，进而可判断③；④根据题意得到当时，即点E和点C重合时，的周长最小，此时，进而可判断④． 【详解】解：①∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形，故①正确； ②∵正方形的边长为2 ∴ ∴ ∴ 当为中点时， ∴ ∴ ∴ ∴，故②正确； ③当平分时， ∵， ∴ 设 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴的周长为，故③正确； ④∵的周长 ∴当最小时，的周长最小 ∴当时，即点E和点C重合时，的周长最小 ∴此时 ∴的周长的最小值为，故④正确． 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 16. 如图，的对角线、相交于点．求证：是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理逆定理，熟练掌握菱形的几种判定定理是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 17. 如图，在中，，为上一点，连接交于点，． （1）求的值； （2）当时，求的长度． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例，即可得出结论； （2）利用得到，再利用对应边成比例，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 某超市购进一种商品，2022年商品每件的进价为125元，随着生产成本的降低，商品2024年每件的进价为80元．求这种商品每件进价的年平均下降率． 【答案】这种商品每件进价的年平均下降率为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． 设这种商品每件进价的年平均下降率为x，根据商品2022年每件的进价为125元，经过两次降价后，2024年每件的进价为80元列出方程求解即可． 【详解】解：设这种商品每件进价的年平均下降率为x， 根据题意得， 解得或（舍去） 答：这种商品每件进价的年平均下降率为． 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，画出的中点； （2）在图2中，在上画点，使； （3）在图3中，点在上，将线段沿方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段；再在上画点，使． 【答案】（1）如图所示，点即为所求； （2）如图所示，点即为所求； （3） 如图所示，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）取格点E，F，连接交于点D即为所求； （2）取格点D，F，连接交于点E即为所求； （3）首先根据平移的性质画出线段，然后取格点D，连接并延长交于点Q即为所求． 【小问1详解】 由网格得，四边形是矩形，，是矩形的对角线 ∴点D是的中点； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了平移作图，格点作图，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集为______； 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象下方时自变量的取值范围为或． ∴不等式的解集为或． 21. 某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量（升）和时间（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度（摄氏度）和（分钟）的关系：． （1）求与的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求分式的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值即可求出自变量的取值范围； （2）根据（1）所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为， 把，代入， 得， ∴， ∴关于的函数解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解；由（1）可得当时，， ∴加满水时，， ∴． 答：当水加满时，储水机内水的温度为． 22. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103～104页的部分内容． 如图1，画并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现，恰好是的一半，下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线． 求证：． 【定理证明】小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点，使，连接、…，结合图①帮助小明完成直角三角形的性质；“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】如图②，已知，点、分别为、的中点，，．则的长为______． 【拓展提高】如图③，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，点到四边形四个顶点的距离均为，则的值为______． 【答案】定理证明： 证明：∵是斜边上的中线 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是矩形 ∴ ∴； 定理应用：5； 拓展提高： 【解析】 【分析】定理证明：根据题意证明出平行四边形是矩形，得到，即可得到； 定理应用：如图所示，连接，，根据直角三角形斜边中线的性质得到，，由三线合一得到，，然后利用勾股定理求解即可； 拓展提高：连接，取的中点，连接，，得到，设，则，求出的长，由勾股定理可得出答案． 【详解】定理证明：略 定理应用：如图所示，连接， ∵ ∴点、分别为、的中点， ∴， ∴ ∵点为的中点， ∴， ∴； 拓展提高：如图，连接，取的中点，连接， 由以上可知， 则点到四边形四个顶点的距离均为，即， 设，则， ， ， ， ， ， ， ∴点到四边形四个顶点的距离． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 23. 如图，正方形的边长为4，点为边上的一点，，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿射线运动，连接、、，设点运动的时间为秒（）． （1）用含的代数式表示的长度； （2）当为中点时，求的长度； （3）当时，求的值； （4）当为直角三角形时，直接写出的值； 【答案】（1）当时，；当时， （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）首先表示出，然后求出当点P和点C重合时，，然后分两种情况求解即可； （2）根据题意求出，，然后利用勾股定理求解即可； （3）如图所示，在延长线上取点F，使，证明出，得到，，证明出，得到，然后利用勾股定理求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论，然后分别利用相似三角形和全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿射线运动， ∴， ∴当点P和点C重合时， ∴， ∴当时，；当时，； 【小问2详解】 解：当为中点时， ∵，， ∴ ∵ ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，在延长线上取点F，使， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图所示，当时， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 ∴； 如图所示，当时， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当为直角三角形时，或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 在平面直角坐标系中，直线：（，为常数）经过点、，点在直线上且横坐标为，将点向右平移个单位得到点，将点关于轴对称得到点，以、为邻边作平行四边形． （1）求该直线的表达式； （2）若平行四边形的面积为，求的值； （3）当直线与平行四边形有交点（不含顶点）时，求的取值范围； （4）当直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）且 （4）或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）首先表示出，，得到，表示出，得到，然后根据平行四边形的面积为列方程求解即可； （）首先表示出，然后求出当点在直线上时，，然后结合图象求解即可； （）如图所示，当直线经过中点时，延长交直线于点，证明出，得到直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形，然后表示出，然后代入求出；如图所示，当直线经过中点时，延长交直线于点，同理求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线：（，为常数）经过点、， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵点在直线上且横坐标为， ∴ ∵将点向右平移个单位得到点， ∴ ∴ ∵将点关于轴对称得到点， ∴ ∴ ∵平行四边形的面积为， ∴ 解得或； 【小问3详解】 解：如图所示，当点在直线上时， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 如图所示，当时，直线与平行四边形没有交点（不含顶点）， 如图所示，当时，直线与平行四边形有交点（不含顶点）， ∵点关于轴对称得到点， ∴当时，平行四边形不存在， 综上所述，当直线与平行四边形有交点（不含顶点）时，的取值范围为且； 【小问4详解】 解：如图所示，当直线经过中点A时，延长交直线于点B ∴ ∵ ∴， ∴ ∴直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形， ∵点A是中点，， ∴，即 ∴ ∴； 如图所示，当直线经过中点时，延长交直线于点 同理可证， ∴直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形， ∵点是中点，， ∴，即 ∴ ∴ 综上所述，当直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 力旺实验中学2025—2026学年度上学期九年级 数学学科开学检测 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列图象不能表示为的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，平分，，，则的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 5. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 下列选项中，矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 每条对角线平分一组对角 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 7. 某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 函数的自变量的取值范围是______． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为________． 11. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为_______． 12. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限． 13. 如图，在中，点，分别在，上，，若，则__________． 14. 如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点，是边上一点（不与重合），于，连接，①是等腰直角三角形；②当为中点时，；③当平分时，的周长为；④周长的最小值为；正确的是______（填写序号）． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 如图，的对角线、相交于点．求证：是菱形． 17. 如图，在中，，为上一点，连接交于点，． （1）求的值； （2）当时，求的长度． 18. 某超市购进一种商品，2022年商品每件的进价为125元，随着生产成本的降低，商品2024年每件的进价为80元．求这种商品每件进价的年平均下降率． 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，画出的中点； （2）在图2中，在上画点，使； （3）在图3中，点在上，将线段沿方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段；再在上画点，使． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集为______； 21. 某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量（升）和时间（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度（摄氏度）和（分钟）的关系：． （1）求与的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度． 22. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103～104页的部分内容． 如图1，画并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现，恰好是的一半，下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线． 求证：． 【定理证明】小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点，使，连接、…，结合图①帮助小明完成直角三角形的性质；“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】如图②，已知，点、分别为、的中点，，．则的长为______． 【拓展提高】如图③，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，点到四边形四个顶点的距离均为，则的值为______． 23. 如图，正方形的边长为4，点为边上的一点，，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿射线运动，连接、、，设点运动的时间为秒（）． （1）用含的代数式表示的长度； （2）当为中点时，求的长度； （3）当时，求的值； （4）当为直角三角形时，直接写出的值； 24. 在平面直角坐标系中，直线：（，为常数）经过点、，点在直线上且横坐标为，将点向右平移个单位得到点，将点关于轴对称得到点，以、为邻边作平行四边形． （1）求该直线的表达式； （2）若平行四边形的面积为，求的值； （3）当直线与平行四边形有交点（不含顶点）时，求的取值范围； （4）当直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $