精品解析：河南省平顶山市宝丰县五校联盟2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

宝丰县五校联盟2025-2026学年第一学期期前考试卷 九年级数学 注意事项： 1．版权所有，严禁上传、盗印，依法必究． 2．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 3．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 2. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的2倍 B. 不变 C. 扩大到原来的4倍 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．根据分式的基本性质解答即可， 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式变为， ∴分式的值不变． 故选：B． 3. 下列判断错误的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A. 由，移项得：，即该选项正确，不符合题意； B. 由，由不等式的性质可得，即该选项正确，不符合题意； C. m的值不确定，无法由，得，即该选项错误，符合题意； D. 由，得，即该选项正确，不符合题意． 故选C． 4. 为双减赋能，某校开展劳动实践课程，协助工人测量公园假山两点A、B之间的距离.如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，找到和的中点D、E，测得的长为，则假山两点A、B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵点D、E分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 5. 如图，在中，分别平分，那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等角对等边，结合平行四边形的性质求得是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 故选：B． 6. 正十边形的外角和的度数为（　　） A. 1440° B. 720° C. 360° D. 180° 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的外角和定理即可得到结果； 【详解】因为多边形的外角和是． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，准确记忆是解题的关键． 7. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：由图象可得：当时，， ∴不等式的解集为， 故选：A． 8. 我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（ ） A. 12尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】C 【解析】 【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺和秋千的上端的端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解． 【详解】解：设绳索有x尺长， 则， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9. 已知不等式的负整数解是关于x的方程的解，则a的值为（　　） A. ﹣3 B. ﹣2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后取x的负整数解代入方程，化为关于a的一元一次方程，解方程即可得出a的值． 【详解】解：解不等式得， 故满足不等式的负整数解为， 将代入方程，得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解，将x的值解出再代入方程得出关于a的方程是关键． 10. 如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接、两点，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是．再根据面积差可得答案． 【详解】解：连接，过点作于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 的边上的高与的边上的高相等， ， ， 同理：， ， ，， ， 故阴影部分的面积为． 故选：B． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 若代数式的值为零，则x的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，需分子为零且分母不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵代数式的值为零， ∴且， 解可得或， 当时，，故舍去， ∴， 故答案为：． 12. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________． 【答案】如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 【解析】 【详解】解：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件， 那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题. 因此，“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形”. 故答案为：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 13. 如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点P，边的垂直平分线交于点N，交于点Q．若，则的度数为__________． 【答案】##108度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题关键．由线段垂直平分线的性质得，从而，由三角形内角和求出即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知不等式组的解集为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出、的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， 解不等式①： ， ， ， 解不等式②： ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 15. 如图, 四边形是平行四边形，，，点在上， ，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，若动点同时出发，相遇时停止运动，在第_______时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：点在上，且在点的右边，点在上，四边形为平行四边形；点在上，且在点的左边，点在上，四边形为平行四边形；画出图形进行解答即可求解，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 设运动时，有两种情况： 如图，点在上，且在点的右边，点在上，四边形为平行四边形， 则， ∴， 解得； 如图，点在上，且在点的左边，点在上，四边形为平行四边形， 则， ∴， 解得； 综上，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）解不等式组： （2）分解因式：． （3）解分式方程： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分解因式，解分式方程，正确计算是解题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式； （3）先去分母，变为整式方程，求出解后进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 由①得． 由②得， ， ， ， 原不等式组的解集为． 【小问2详解】 解：原式． 【小问3详解】 解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的解， 故方程的解为． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 18. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形． （1）作∠A的平分线交BC于点E．（用尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法） （2）在（1）中，若AD=6，EC=2，求平行四边形ABCD的周长． 【答案】(1)详见解析；（2）20． 【解析】 【详解】试题分析：（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AD，AB于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，两弧交于一点O，作射线AO，交BC于点E；（2）根据在平行四边形ABCD中，AD∥CB，∠DAE=∠BEA，由（1）知，∠DAE=∠BAE，∠BEA=∠BAE，得到AB=EB，在平行四边形ABCD中，BC=AD=6，由EC=2，所以EB=BC﹣EC=6﹣2=4=AB，所以平行四边形ABCD的周长为：2×（6+4）=20． 试题解析：解：（1）如图所示： （2）∵在平行四边形ABCD中，AD∥CB， ∴∠DAE=∠BEA， 由（1）知，∠DAE=∠BAE， ∴∠BEA=∠BAE， ∴AB=EB， 在平行四边形ABCD中，BC=AD=6， ∵EC=2， ∴EB=BC﹣EC=6﹣2=4=AB， ∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+4）=20． 考点：作已知角的角平分线；平行四边形的性质；等腰三角形的判定． 19. 下图均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图、并保留作图痕迹． （1）在图1中，将向上平移，使点与点重合，画出； （2）在图2中，画出，使与关于点成中心对称； （3）在图3中，画出将绕点顺时针旋转得到的． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据平移规则，画出即可； （2）根据成中心对称的性质，画出即可； （3）根据旋转的性质，画出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查图形的变换．熟练掌握平移的性质，成中心对称的性质，旋转的性质是解题的关键． 20. 如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，交于点F，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：是等边三角形，理由如下： 理由：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线的判定和性质等内容，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用平行线的性质，证明，然后利用三个角相等的三角形是等边三角形即可解答； （2）连接，证明是线段的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，最后根据角平分线和平行证明是等腰三角形即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 21. 随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐，“六一儿童节”前夕，某玩具商店用2400元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，于是又用6300元购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的2倍，且单价比第一批贵10元． （1）第一批小型无人机的单价是多少元？ （2）若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使全部售完后利润不少于3000元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】（1）第一批小型无人机的单价为32元 （2）销售单价至少为52元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设第一批小型无人机的单价为x元，则第二批小型无人机的单价为元，根据第二批小型无人机的数量是第一批的2倍，列出方程，解方程即可； （2）设销售单价为y元，根据全部售完后利润不少于3000元，列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设第一批小型无人机的单价为x元，则第二批小型无人机的单价为元， 根据题意，得：， 解方程，得， 经检验是分式方程的解， 答：第一批小型无人机的单价为32元． 【小问2详解】 解：∵，， ∴第一批购进小型无人机75架，第二批购进小型无人机150架， 设销售单价为y元， 由题意，得， 解方程，得． 答：销售单价至少为52元． 22. 如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． （1）连接，当经过边的中点D时，求证：； （2）当t为多少时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得到，由线段中点的定义得到，由此即可证明； （2）当当点F在线段上时，则，当点F在线段延长线上时，则，再根据平行四边形的性质得到，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， 当点F在线段上时，则， 当点F在线段延长线上时，则， ∵， ∴以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴或， 解得或， ∴当或时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，熟知平行四边形对边相等是解题的关键． 23. 如图，已知四边形是平行四边形，，，点P是对角线所在直线上的一个动点，将线段绕点C顺时针旋转得到，点P的对应点为点Q，连接和，直线和直线相交于点 M， （1）如图1，当点P是对角线的中点时，直线和直线所夹的锐角为______度； （2）如图2，当点P在的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的判断并说明理由； （3）点P在直线上运动的过程中，当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）60 （2） 结论仍然成立，理由如下： 如图2，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故（1）中的结论仍然成立； （3）12或6 【解析】 【分析】（1）先证得和是等边三角形，可得，由点是对角线的中点，可得，，由旋转得，，推出，即点在边上，再证得，得出，根据三角形内角和定理即可求得答案； （2）同理可证得，得出，根据三角形内角和定理即可求得答案； （3）分三种情况：当点在的延长线上，时，当点在的延长线上，时，当点在线段上时，分别求得的长即可． 【小问1详解】 解：如图1， 四边形是平行四边形，， ，， ，， ， 和是等边三角形， ， 由旋转得，， ，即点在边上， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当点在的延长线上，时，如图3， 是等边三角形， ， ， ， ， ； 当点在的延长线上，时，如图4， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； 当点在线段上时，如图5， 由（1）知， ， 是钝角三角形，不符合题意； 综上，当为直角三角形时，的长为12或6． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，运用分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝丰县五校联盟2025-2026学年第一学期期前考试卷 九年级数学 注意事项： 1．版权所有，严禁上传、盗印，依法必究． 2．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 3．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的2倍 B. 不变 C. 扩大到原来的4倍 D. 缩小到原来的 3. 下列判断错误的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 4. 为双减赋能，某校开展劳动实践课程，协助工人测量公园假山两点A、B之间的距离.如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，找到和的中点D、E，测得的长为，则假山两点A、B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，分别平分，那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对 6. 正十边形的外角和的度数为（　　） A. 1440° B. 720° C. 360° D. 180° 7. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（ ） A. 12尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 9. 已知不等式的负整数解是关于x的方程的解，则a的值为（　　） A. ﹣3 B. ﹣2 C. 2 D. 3 10. 如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 若代数式的值为零，则x的值为_______． 12. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________． 13. 如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点P，边的垂直平分线交于点N，交于点Q．若，则的度数为__________． 14. 已知不等式组的解集为，则的值为_______． 15. 如图, 四边形是平行四边形，，，点在上， ，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，若动点同时出发，相遇时停止运动，在第_______时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）解不等式组： （2）分解因式：． （3）解分式方程： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形． （1）作∠A的平分线交BC于点E．（用尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法） （2）在（1）中，若AD=6，EC=2，求平行四边形ABCD的周长． 19. 下图均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图、并保留作图痕迹． （1）在图1中，将向上平移，使点与点重合，画出； （2）在图2中，画出，使与关于点成中心对称； （3）在图3中，画出将绕点顺时针旋转得到的． 20. 如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，交于点F，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 21. 随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐，“六一儿童节”前夕，某玩具商店用2400元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，于是又用6300元购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的2倍，且单价比第一批贵10元． （1）第一批小型无人机的单价是多少元？ （2）若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使全部售完后利润不少于3000元，那么销售单价至少为多少元？ 22. 如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． （1）连接，当经过边的中点D时，求证：； （2）当t为多少时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形？ 23. 如图，已知四边形是平行四边形，，，点P是对角线所在直线上的一个动点，将线段绕点C顺时针旋转得到，点P的对应点为点Q，连接和，直线和直线相交于点 M， （1）如图1，当点P是对角线的中点时，直线和直线所夹的锐角为______度； （2）如图2，当点P在的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的判断并说明理由； （3）点P在直线上运动的过程中，当为直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $