精品解析： 陕西省西安市长安区兴国初级中学2025-2026学年上学期九年级开学考试数学试卷

2025－2026学年第一学期九年级数学收心考试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意： 根据化简后只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程，逐个判断即可． 【详解】A．，是一元二次方程，故本选项符合题意； B．，是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．，当时，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意； D．，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、不能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、不能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意； C、不能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、由对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，本选项符合题意； 故选：D 3. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0，配方后得到的方程是（　　） A. （x﹣3）2＝2 B. （x﹣3）2＝8 C. （x﹣3）2＝11 D. （x+3）2＝9 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法即可求出答案． 【详解】∵x2﹣6x﹣2＝0， ∴x2﹣6x＝2， ∴（x﹣3）2＝11， 故选：C． 【点睛】考查了配方法解方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 4. 如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（ ） A. （3，-3） B. （3，3） C. （－1，1） D. （－1，3） 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形的平移性质求解． 【详解】解：根据图形平移的性质，B′（1-2，2+1），即B′（-1，3）； 故选：D． 【点睛】本题主要考查图形平移的点坐标求解，掌握图形平移的性质是解题的关键． 5. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 6. 某校组织名学生去外地参观，现有两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆型客车比每辆型客车多坐人，单独选择型客车比单独选择型客车少租辆．设型客车每辆坐人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型客车每辆坐人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设型客车每辆坐人， 由题意得，， 故选：． 7. 如图，在中，在上，，，垂足为，为的中点，，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及中位线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵AC＝CF，CD⊥AF， ∴D是AF是中点， ∵BC＝10，CF＝AC＝6， ∴BF＝10−6＝4， ∵E是AB中点， ∴ED是△ABF的中位线， ∴ED＝BF＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的中位线，涉及三角形的中位线以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型． 8. 关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. 0 B. 2或3 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x－2=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：去分母得：， ∴， ∵关于x的方程有增根， ∴x－2=0， 解得：x＝2 ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查根据分式方程根的情况求参数的值．根据分式方程有增根求出x的值，并代入去分母后转化的整式方程中求m的值是解题的关键． 9. 如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　） A. ﹣2＜x＜﹣1 B. ﹣1＜x＜0 C. x＜﹣1 D. x＞﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数图象，写出在x轴上方且函数y=kx+b的函数值小于函数y=mx的函数值对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当x＞﹣2时，y＝kx+b＞0； 当x＜﹣1时，kx+b＜mx， 所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 10. 如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．连接，取的中点G，连结，，先证明为等腰直角三角形，得到，进而可知当时最小，利用直角三角形的性质求出的最小值即可得到答案． 【详解】解：连接，取的中点G，连结，， ，， ， ， ， ， ， 当时，取最小值，此时，的值也最小， ， ， ， ， 的最小值为， 此时，的最小值为． 故选C． 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 因式分解：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式和平方差公式化简即可得正确答案． 【详解】解：原式= 故答案为： 【点睛】本题考查的是因式分解相关知识点，根据提公因式法和平方差公式解题是关键． 12. 一元二次方程的解为：_______________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ，， 故答案为：，． 13. 八边形的内角和是_____________，它共有条_____________对角线． 【答案】 ①. ##1080度 ②. 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，对角线，熟练掌握各个运算公式是解题的关键． 根据多边形的内角和公式，对角线条数计算公式即可得到结果． 【详解】八边形的内角和是，它共有条对角线． 故答案为：，20 14. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，由题意可得，即得，，进而由旋转得为等边三角形，得到，即得，得到为等边三角形，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 15. 已知为的三边，且满足，则为_____________________三角形． 【答案】直角或等腰 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，先把所给等式因式分解得到，进而得到，据此利用勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或 即或 ∴为直角三角形或等腰三角形， 故答案为：直角或等腰． 16. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作EF//BC，分别交，于点，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ，即， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明． 17. 如图，中，，，，点D为边中点，点E为边上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理，特殊直角三角形的性质等内容．如图1，作，并在上截取，连接，构造得，根据垂线段最短可知：当时，取最小值，然后过点过点作于点，过点作于点，于点，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图1，作，并在上截取，连接， 由旋转得，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值， 如图2，过点作于点，过点作于点，于点， 则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，，， ∵，点D为边中点， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设 中，，则， ∴，， ∴，， ∵中，， ∴，， ∴， 解得：， 即：， ∴最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共9题，计69分） 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 19. （1）解方程：； （2）计算：； （3）解分式方程：． 【答案】（1），；（2）0；（3） 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，实数的混合运算，解分式方程，正确掌握解法是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程； （2）先计算绝对值，乘法，零次幂，再计算加减法； （3）去分母解整式方程，再检验即可． 【详解】解：（1） 或 ∴，； （2） ； （3） , 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把除法运算化为乘法运算，约分化简，然后把a的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21. 如图，，连接，请用尺规作图法，分别在，上求作E，F，连接，，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点E、F为所作． 【解析】 【分析】作的垂直平分线交于点，交于点，交于点，通过证明得到，则与互相垂直平分，则可判断是菱形． 【详解】解：是的垂直平分线 ， 在和中 与互相垂直平分 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟练掌握基本几何图形的性质是解题的关键． 22. 如图，在中，平分 ， ，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：平分， ，． ， ， ． ， 四边形是平行四边形．． ， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、等角对等边定理、角平分线的性质、菱形的判定，根据角平分线的性质可得，，进而可得，则可证得，可证得四边形是平行四边形，再根据等角对等边可得，进而可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】略 23. 某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ 【答案】（1）A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元 （2）该商店有5种进货方案 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程，并找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元，根据用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进A种商品a件，则购进B种商品件，根据商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，列出一元一次不等式组，解不等式组，求出正整数解，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元； 【小问2详解】 解：设购进A种商品a件，则购进B种商品件， 由题意得：， 解得： ， ∵a为正整数， ∴， 答：该商店有5种进货方案． 24. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE， （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴平行四边形AEBD是矩形； （2）当∠BAC=90°时，理由如下： ∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD=BD=CD， ∵由（1）得四边形AEBD是矩形， ∴矩形AEBD是正方形． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案； （2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查矩形和正方形的判定，等腰三角形“三线合一”的性质．掌握特殊四边形的判定方法是解题关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． （1）求直线的表达式． （2）若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）由待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可． 【小问1详解】 设直线的表达式为， ∵直线与直线，x轴分别交于点，， ∴解得 ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：存在. ∵与x轴交于点B， ∴. 设，， ①当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴解得 ∴； ②当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴ 解得 ∴. 综上所述，点D的坐标为或． 26. 在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点在的延长线上时，其他条件不变，连接．若，，请求的面积． 【答案】（1） （2） 解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图，连接，如图所示， ∴，为等边三角形， 在和中，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 设与交于点H， 同理可得， ∴， 又∵， ∴． （3）的面积为． 【解析】 【分析】（1）连接，延长交于H，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由，即可证明； （2）连接，与交于点，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由即可证明； （3）连接交于点O，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求的长及等边三角形的边长可得结论． 【小问1详解】 解：如图，连接，延长交于H，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴，都是等边三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证是等边三角形， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3中，当点P在的延长线上时，连接交于点O，连接，作于F，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∵，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期九年级数学收心考试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0，配方后得到的方程是（　　） A. （x﹣3）2＝2 B. （x﹣3）2＝8 C. （x﹣3）2＝11 D. （x+3）2＝9 4. 如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（ ） A. （3，-3） B. （3，3） C. （－1，1） D. （－1，3） 5. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 某校组织名学生去外地参观，现有两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆型客车比每辆型客车多坐人，单独选择型客车比单独选择型客车少租辆．设型客车每辆坐人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，在上，，，垂足为，为的中点，，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 8. 关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. 0 B. 2或3 C. 2 D. 3 9. 如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　） A. ﹣2＜x＜﹣1 B. ﹣1＜x＜0 C. x＜﹣1 D. x＞﹣1 10. 如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 因式分解：_____________． 12. 一元二次方程的解为：_______________． 13. 八边形的内角和是_____________，它共有条_____________对角线． 14. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为______． 15. 已知为的三边，且满足，则为_____________________三角形． 16. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作EF//BC，分别交，于点，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 17. 如图，中，，，，点D为边中点，点E为边上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（共9题，计69分） 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19. （1）解方程：； （2）计算：； （3）解分式方程：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，，连接，请用尺规作图法，分别在，上求作E，F，连接，，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 22. 如图，在中，平分 ， ，．求证：四边形是菱形． 23. 某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ 24. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE， （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． （1）求直线的表达式． （2）若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点在的延长线上时，其他条件不变，连接．若，，请求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $