高考预测练(31、32)基本立体图形、空间点、直线、平面区间的位置关系-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备(课时作业)

高考预测练(三十一) 基本立体图形 1.(2024·全国甲卷(理))已知圆台甲、乙的上 底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台 的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆 台甲与乙的体积之比为 . 2.已知在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是AB,BB1,B1C1 的中点,则过这三点 的截面图的形状是 ( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 3.光岳楼位于山东聊城古城中央,主体结构建 于明洪武七年(1374年),它是迄今为止全 国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼 阁之一,享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉. 光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台,如图 所示,该墩台上底面边长约为32m,下底面 边长约为34.5m,高约为9m,则该墩台的 斜高约为(参考数据:1321≈36.35) ( ) A.9.1m B.10.9m C.11.2m D.12.1m 4.铜钱又称方孔钱,是古代钱币最常见的一 种.如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”, 由一个圆和一个正方形组成,若绕旋转轴 (虚线)旋转一周,形成的几何体是 ( ) A.一个球 B.一个球挖去一个圆柱 C.一个圆柱 D.一个球挖去一个正方体 5.如图,用斜二测画法画一 个水平放置的平面图形是 一个边长为1的正方形, 则原图形的形状是( ) A B C D 6.如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为 4m2,互相平行的两个侧面的距离为2m, 则这个六棱柱的体积为 ( ) A.3m3 B.6m3 C.12m3 D.以上都不对 7.如果一个正四棱锥的底面边长为6,高为3, 那么它的侧面积为 ( ) A.36 B.36 2 C.72 D.72 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —352— 班级: 姓名: 8.(2025·山东高三校联考)盖碗是由茶碗、茶 盖、茶船三件套组成,盖碗又称“三才碗”,蕴 含了古代哲人讲的“天盖之,地栽之,人育 之”的道理.如图是乾隆时期的山水人物方 盖碗的茶盖和茶碗,近似看作两个正四棱台 的组合体,其中茶碗上底面的边长为6cm, 下底面边长为3cm,高为5.4cm,则1L (1000cm3)茶水至少可以喝(不足一碗算一 碗) ( ) A.7碗 B.8碗 C.9碗 D.10碗 9.已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为 2,母线与下底面所成的角为π3 ,则该圆台的 表面积为 ( ) A.5π B.6π C.11π D.12π 10.已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形, 则该圆锥的侧面积与表面积的比值是 ( ) A.2- 2 B.2-1 C.2+1 D.2+ 2 11.一个圆柱形容器的底面半径为4cm,高为 8cm,将该圆柱注满水,然后将一个半径为 4cm的实心球缓慢放入该容器内,当球沉 到容器底部时,留在圆柱形容器内的水的 体积为 ( ) A.3203πcm 3 B.1283πcm 3 C.803πcm 3 D.643πcm 3 12.如图是一个实心金属几何体 的直观图,它的中间部分是 高l为6124 的圆柱,上、下两端 均是半径r为2的半球,若 将该实心金属几何体在熔炉 中高温熔化(不考虑过程中的原料损失), 熔成一个实心球,则该球的直径为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 13.已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1 和2,母线长为3,则该圆台的高为 . 14.如图所示的几何体是一棱长为4cm的正 方体,若在其中一个面的中心位置上,挖一 个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的洞, 则挖洞后几何体的表面积是 cm2. (π取3.14) 15.已知△ABC 中,∠C=π2 ,∠A=π6 ,BC= 1,将△ABC绕AC 所在的直线旋转一周, 则所得旋转体的表面积是 . 16.已知底面半径为4,高为8的圆锥,用一个 平行于底面的平面去截该圆锥得到高相等 的两个几何体,则截得圆台的体积为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —452— 高考预测练 高考预测练(三十二) 空间点、直线、平面区间的位置关系 1.(2024·天津高考真题)若m,n为两条不同 的直线,α为一个平面,则下列结论中正确 的是 ( ) A.若m∥α,n⊂α,则m∥n B.若m∥α,n∥α,则m∥n C.若m∥α,n⊥α,则m⊥n D.若m∥α,n⊥α,则m 与n 相交 2.(2025·江西4月适应性考试)已知m,n是 两条不同的直线,α,β是两个不同的平面, 则m∥α的一个充分条件是 ( ) A.m∥n,n∥α B.m∥β,α∥β C.m⊥n,n⊥α,m⊄α D.m∩n=A,n∥α,m⊄α 3.已知空间中点A,B,直线l,平面α,若A∈l, B∈l,A∉α,B∈α,则下列结论正确的是 ( ) A.l∥α B.l与α相交 C.l⊂α D.以上都有可能 4.如图,在正方体 AB- CD-A1B1C1D1 中, M、N 分 别 为 棱 C1D1、C1C的中点,有 以下四个结论:①直 线 AM 与C1C 是 相 交直线;②直线 AM 与BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线;④ 直线 AM 与DD1 是异面直线.其中正确的结论 为 ( ) A.③④ B.①② C.①③ D.②④ 5.在棱长为1的正四面体ABCD 中,直线AD 与BC 是 ( ) A.平行直线 B.相交直线 C.异面直线 D.无法判断位置关系 6.空间的4个平面最多能将空间分成 个区域. ( ) A.13 B.14 C.15 D.16 7.(多选)下列说法中正确的是 ( ) A.若直线l与平面α不平行,则l与α相交 B.直线l在平面α外,则直线l上不可能有 两个点在平面α内 C.如果直线l上有两个点到平面α 的距离 相等,则直线l与平面α平行 D.如果a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b, 则AC,BD,是异面直线 8.(多选)下面四个命题中,正确的为 ( ) A.相交于同一点的三条直线在同一平面内 B.△ABC 在平面α 外,其三边延长线分别 和α交于P,Q,R,则P,Q,R 一定共线 C.一个角的两边所在直线分别平行于另一 个角的两边所在直线,则这两角相等 D.在三维空间中,三个平面最多把空间分 成八部分 9.如图所示,在正方体AB- CD-A1B1C1D1 中,点 P 为边A1C1 上的动点,则下 列直线中,始终与直线BP 异面的是 . ①DD1 ②AC ③AD1 ④B1C 10.已知平面α,β和直线a,b,且a∥b,a⊂α, b⊂β,则α与β的位置关系是 ; 11.在图中,G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶 点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN 是异面直线的图形有 (填上所有 正确答案的序号). 12.已知a、b是异面直线,直线c∥直线a,则 直线c与直线b的位置关系是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —552— 班级: 姓名: 则bn=an+1=3n,可得log3(an+bn)=log3(3n-1+3n)= log3(4·3n-1)=n+log34-1, 所以Sn= n(n+1) 2 + (log34-1)n. (2)由(1)可 知cn=log3b2n-1=log332n-1=2n-1,则 1 cncn+1 = 1(2n-1)(2n+1)= 1 2 12n-1- 12n+1 , 所以数列 1cncn+1 的前n项和为12 1-13+13-15+ …+ 12n-1- 1 2n+1 =12 1- 12n+1 = n2n+1. 高考预测练(三十一) 1.答案:64 解析:两圆台的上、下底面积对应相等,则两圆台的体积 之比为高之比,根据母线与半径的关系可得甲与乙的体 积之比为 4(r2-r1)2-(r2-r1)2 9(r2-r1)2-(r2-r1)2 = 3 8 = 64. 2.D 分别取D1C1、D1D、AD 的中点H、M、N,连接GH、 HM、MN, ∵在正方体 ABCD􀆼A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是AB, BB1,B1C1的中点, ∴HG∥EN,HM∥EF,FG∥MN, ∴六边形EFGHMN 是过E,F,G 这三点的截面图, ∴过这三点的截面图的形状是六边形. 故选D. 3.A 如图所示,设该正四棱台为ABCD􀆼A1B1C1D1,上下 底面中心分别为O1,O, 分别取BC,B1C1的中点E,F,连接OO1,O1F,OE,EF, 在平面OO1FE 内,作FH⊥OE 交OE 于H, 则OO1=9,OE= 1 2AB=17.25 ,O1F= 1 2A1B1=16 , 显然四边形OO1FH 是矩形,则FH=OO1=9,OH=O1F =16, 所以EH=OE-OH=1.25=54 , 在直角△FHE 中,EF= FH2+EH2= 92+ 54 2 = 1321 4 ≈ 36.35 4 ≈9.1 , 即该墩台的斜高约为9.1m. 故选A. 4.B 圆及其内部旋转一周后所得几何体为球, 而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱, 故题设中的平面图形绕旋转轴(虚线)旋转一周,形成的 几何体为一个球挖去一个圆柱,故选B. 5.A 在直观图中,其一条对角线在y轴上且长度为 2, 所以在原图形中其中一条对角线必在y 轴上,且长度为 2 2,故选A. 6.B 设六棱柱的底面边长为a,高为h. 则2ah=4,ah=2,a=2 3 =2 33 ,故h= 3, V=6×12× 2 3 3 × 2 3 3 × 3 2× 3=6. 故选B. 7.B 如图所示,连接AC,BD 交于点O,取BC的中点E,分 别连接SO,SE,OE, 因为四棱锥S􀆼ABCD 为正四棱锥,所以SO⊥底面 AB- CD,且SO=3, 在等腰△SBC中,E 为BC 的中点,所以SE⊥BC,即SE 为正四棱锥的斜高, 在直 角△SOE 中,OE=12AB=3 ,SO=3,可 得SE= SO2+OE2=3 2, 所以正四棱锥S􀆼ABCD 的侧面积为S=12×4×6×3 2 =36 2. 故选B. 8.C 由条件可得,茶碗的上底面面积S1=6×6=36cm2, 茶碗的下底面面积S2=3×3=9cm2,茶碗高h=5.4cm, 则茶碗的体积V=13 (S1+S2+ S1·S2)h= 1 3 (36+9 + 36×9)×5.4=113.4cm3,所 以1000÷113.4≈ 8.81,即1L(1000cm3)茶水至少可以喝9碗.故选C. 9.C 由题意,得上底面面积为π×12=π,下底面面积为π ×22=4π, 由图形可得BD=AF=1,FC=AC-AF=2-1=1, 母线与下底面所成的角为π 3 ,故CD= FC cosπ3 =2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —953— 故圆台的母线长为2,所以侧面积为12× (2π+4π)×2 =6π, 所以该圆台的表面积为π+4π+6π=11π. 故选C. 10.A 由 题 意 可 得 轴 截 面 △ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形,设该圆锥的底面圆的半 径为r,则其母线长为 2r, 从而该圆锥的侧面积S1= 1 2×2πr× 2r= 2πr 2.表 面积S2=S1+πr2=(2+1)πr2,故 S1 S2 = 2πr 2 (2+1)πr2 = 2- 2.故选A. 11.B 根据题意可知留在容器内水的体积为等于圆柱体积 减去实心球的体积,即V=π×42×8-43π×4 3=1283π cm3.故选B. 12.C 设实心球的半径为R,实心金属几何体的体积V= 4 3πr 3+πr2l=43π×8+π×4× 61 24= 125 6π. 因为4 3πR 3=1256π ,所 以 R=52 ,所 以 该 球 的 直 径 为 2R=5.故选C. 13.答案:2 2 解析:根据题意,作出圆台的图形,如图所示: 圆台上下底面的半径分别为1和2,母线长为3, 则圆台的高h= 9-1=2 2. 14.答案:102.28 解析:正方体的表面积为4×4×6=96(cm2),圆柱的侧 面积为2π×1×1=2π(cm2),则挖洞后几何体的表面积 为96+2π=102.28(cm2). 15.答案:3π 解析:因为∠C=π2 ,∠A= π6 ,BC=1,所 以 AB=2, AC= AB2-BC2= 3, 所以旋 转 体 是 底 面 半 径 为1,高 为 3,母 线 长 为2的 圆锥, 所以表面积为S=π×12+π×1×2=3π. 16.答案:112π3 /112 3π 解析:由题意可知,圆台的上底面恰好是过圆锥的高的 中点的截面, 故圆台的上底面半径为r=2,下底面半径为R=4,高为 h=4, 则圆台的体积为V=13πh (R2+r2+Rr)=43π× (42+ 22+4×2)=112π3 . 高考预测练(三十二) 1.C 若m∥α,n⊂α,则m,n平行或异面,故A错误.若m∥ α,n∥α,则m,n平行或异面或相交,故B错误.m∥α,n⊥ α,过m 作平面β,使得β∩α=s,因为 m⊂β,故 m∥s,而 s⊂α,故n⊥s,故m⊥n,故C正确.若m∥α,n⊥α,则m 与 n相交或异面,故D错误.故选C. 2.C 由m∥n,n∥α,可得m⊂α或m∥α,故A不符合题意; 由m∥β,α∥β,可得m⊂α或m∥α,故B不符合题意;由m ⊥n,n⊥α,m⊄α,可得m∥α,故C符合题意;由m∩n=A, n∥α,m⊄α,可得m,α相交或m∥α,故D不符合题意.故 选C. 3.B 因为A∈l,A∉α,所以l⊄α,又因为B∈l,B∈α,所以 l与α相交,故选B. 4.A ∵A、M、C1 三点共面,且在平面ABC1D1,但C∉平 面ABC1D1,C1∉AM,∴直线AM 与CC1是异面直线,故 ①错 误;因 为 M∈C1D1⊂平 面 ABC1D1,AB⊂平 面 ABC1D1,但 N∉平面 ABC1D1,B∉AM,所以直线 AM 与BN 也是异面直线,故②错误;因为B1∈B1C1⊂平面 B1BCC1,BN⊂平面B1BCC1,但M∉平面B1BCC1,B1∉ BN,所以直线BN 与MB1 是异面直线,故③正确;因为 A∈平面 A1ADD1,DD1⊂平 面 A1ADD1,但 M∉平 面 A1ADD1,A∉DD1,所以直线 AM 与DD1 是异面直线, 故④正确.故选A. 5.C 作出正四面体ABCD,如图, 因为BC⊂平面BCD,D∈平面BCD,D∉BC,A∉平面 BCD,所以AD 与BC 是异面直线.故选C. 6.C 一个平面把空间分成2部分,两个平面最多把空间分 面4部分,3个平面最多把空间分布8个部分,前三个平 面与第4个平面相交,最多有三条交线,这三条交线把第 四个平面,最多分成7部分,这里平面的每一部分就是第 四个平面与前三个平面分空间部分的截面,这个截面把 所在空间部分一分为二,这样所有空间部分的个数为8+ 7=15.故选C. 7.BD 若直线l与平面α 不平行,则l与α 相交或l⊂α,故 A错误;直线l在平面α 外,则直线l与平面α 平行或相 交,故直线l在平面α无交点或仅有1个交点,故B正确; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —063— 若直线l与平面α相交,直线l上仍存在两个在平面α 不 同侧的点到平面α的距离相等,则故C错误;如果a,b是 异面直线,A,B∈a,C,D∈b,则A,B,C,D 异面,则AC, BD 是异面直线,故D正确.故选BD. 8.BD 三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点,而这三条 直线不共面,A错误;△ABC 所在平面与平面α 相交,由 平面基本事实知,公共点P,Q,R 都在交线上,B正确;一 个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直 线,则这两角相等或互补,C错误;当三个平面互相平行 时,三个平面分空间成4部分;当两个平面平行,与第三 个都相交或三个平面相交于一条直线时,三个平面分空 间成6部分;当三个平面两两相交,有3条交线,且3条交 线平行时,三个平面分空间成7部分;当三个平面两两相 交,有3条交线,且3条交线交于一点时,三个平面分空间 成8部分,所以三个平面最多把空间分成8部分,D正确. 故选BD. 9.答案:② 解析:由正方体的性质易知当P 为A1C1 的中点时,此时 P∈B1D1,而DD1∥BB1,所以B,D,D1,B1共面,则BP、 DD1在 平 面 BDD1B1 上,故 ① 不 符 题 意;因 为AA1∥ CC1,即A,C,C1,A1共面,易知P∈平面ACC1A1,而B∉ 平面ACC1A1,P∈A1C1,P∉AC,故BP 与AC 异面,故 ②符合题 意;当 P、C1 重 合 时,易 知 AB∥D1C1,AB= D1C1,则四边形AB1C1D1是平行四边形,则此时AD1∥ BP,故③不符合题意;当P、C1 重合时,显然B1C,BP 相 交,故④不符合题意.故答案为:② 10.答案:α∥β或α与β相交 解析:由a∥b,a⊂α,b⊂β,得α∥β或α 与β 相交,如图 所示: 故答案为:α∥β或α与β相交. 11.答案:②④ 解析:对①,连接GM,∵G,M 为中点,∴GM∥AB,又 AB∥HN,∴GM∥HN,故直线 GH,MN 共面,故① 错误; 对②,G、H、N 三点共面,但 M∉面GHN,因此直线GH 与MN 异面,故②正确;对③,如图,连接GM,∵G,M 为 中点,∴GM∥AB,又 AB∥HN,∴GM∥HN,故直线 GH,MN 共面,故③错误; 对④,G、M、N 共面,但 H∉面GMN,∴GH 与MN 异 面.故④正确.故答案为:②④. 12.答案:相交或异面 解析:若c∥b,因为c∥a,则a∥b,与已知a、b是异面直 线矛盾,所以直线c与直线b不平行,则当直线c与直线 b在同一平面则相交,当直线c与直线b 不在同一平面 则异面,故答案为:相交或异面. 高考预测练(三十三) 1.C 如图, 连接AD1,CD1,AC, 因为E,F 分别为AD1,CD1的中点, 由三角形的中位线定理知EF∥AC,GH∥AC, 所以EF∥GH. 故选C 2.B ∵BC∥α,BC⊂平面ABC,平面ABC∩α=EF, ∴EF∥BC,∴AFAC= EF BC ,即 3 5+3= EF 4 ,∴EF=32. 故 选B. 3.B 因为AB∥平面α,AB⊂平面ABDC,平面ABDC∩平 面α=MN,所以AB∥MN.又M 是AC 的中点,所以MN 是梯形ABDC 的中位线,故 MN=12 (AB+CD)=5.故 选B. 4.A 由题意, ①a∥c,b∥c,故a∥b,故正确;②a∥γ,b∥γ,则a与b 有 可能平行、相交、异面,故错误;③a∥c,c∥a,则a∥α或 a⊂α,故错误;④a∥γ,a∥α;则γ与α可能平行或相交,故 错误;⑤a⊄α,b⊂α,a∥b,由线面平行的判定定理可得 a∥α,故正确.故选A. 5.D 因为 DB1∩平面 AB1C =B1,故 A错误;假设A1D1 ∥平面AB1C,因为在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中, A1D1∥AD,又 AD⊄ 平 面 AB1C,所 以 AD ∥ 平 面 AB1C,显然不成立,故 B错 误;与选项B同理可证C1D1 不满足题 意,故 C错 误;在 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1 中,A1B1∥DC且A1B1=DC,所以四边形A1B1CD 是平 行四边形,则A1D∥B1C,又A1D⊄平面AB1C,B1C⊂平 面AB1C,所以A1D 平面AB1C,故D正确.故选D. 6.D 如图1,满足a∥α,b⊂α,但a,b不平行,A错误; 图1 B错误,如图2,满足a∥α,b∥β,α∥β,但a,b不平行,B 错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —163—