高考预测练(27、28)数列的概念及其表示、等差数列-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备(课时作业)

高考预测练(二十七) 数列的概念及其表示 1.(2025·苏州吴江中学校考)下列说法中正 确的是 ( ) A.如果一个数列不是递增数列,那么它一 定是递减数列 B.数列1,0,-1,-2与-2,-1,0,1是相 同的数列 C.数列 n+1n 的第k项为1+1k D.数列0,2,4,6,…可记为{2n} 2.(2025·东北三省三校联合模拟)已知数列 {an}满足a1=3,an+1=an+4 an+1+4,则 an= ( ) A.2n+1 B.2n C.4n2-1 D.4n+1 3.(2025·山东临沂一模)设数列{an}的前n 项和为Sn,且Sn+nan=1,当满足Sn>0.99 时,n的最小值为 ( ) A.49 B.50 C.99 D.100 4.(2025·安徽马鞍山第一次教学质量监测) 已知数列{an}的通项公式为an= n-3 2n-17 ,前 n项和为Sn,则Sn 取得最小值时n 的值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 5.图1是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角 形分别以它的每一边向外作正方形而得到. 图二是第1代“勾股树”,重复图2的作法, 得到图3为第2代“勾股树”,以此类推,已 知最大的正方形面积为1,则第n代“勾股 树”所有正方形的个数与面积的和分别为 ( ) A.2n-1;n B.2n-1;n+1 C.2n-1-1;n D.2n-1-1;n+1 6.已知数列{an}的通项公式为an= 1 2n-15 ,其 最大项和最小项的值分别为 ( ) A.1,-17 B.0 ,-17 C.17 ,-17 D.1 ,-111 7.已知数列{an}的通项公式为an=2n-2023 n(n∈N*),则当an 最小时,n= ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —642— 高考预测练 8.(2025·山东潍坊模拟)已知数列{an}的前n 项和为Sn,若a1=2,an+1-2an+anan+1= 0,则 ( ) A.a3= 9 7 B.数列 1-1an 为等比数列 C.an+1<an D.S10> 23 2- 1 210 9.(多选)数列1,2,1,2,…的通项公式可能为 ( ) A.an= 3+(-1)n 2 B.an= 3+(-1)n+1 2 C.an= 3+cosnπ 2 D.an= 3+sin2n+12 π 2 10.(多选)已知数列{an}满足:an= (3-a)n-3,n≤7 an-6,n>7 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (n∈N*),且数列{an}是递增数列,则实数 a的可能取值是 ( ) A.2 B.94 C.114 D.3 11.(预测)(2025·湖北八市联考)已知△ABC 的面积为1,取△ABC各边的中点A1,B1, C1 作△A1B1C1,然后取△A1B1C1 各边的 中点A2,B2,C2 作△A2B2C2,……,依此方 法一直继续下去.记△AnBnCn(n∈N*)的 面积为an,数列{an}的前n项和为Sn,则 ( ) A.数列{2nan}为常数列 B.数列{2nan}为递增数列 C.数列 Snn 为递减数列 D.数列 Snn 为递增数列 12.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=an+1 -an,则a2022= . 13.已知数列{an}的前n项和Sn=3n-2(n 为正整数),则此数列的通 项 公 式an= . 14.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍 之数五十”的推论,主要用于解释中国传统 文化中的太极衍生原理,数列中的每一项, 都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两 仪数量总和,是中华传统文化中隐藏的世 界数学史上第一道数列题,其前10项依次 是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则第11 项是 ? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —742— 班级: 姓名: 高考预测练(二十八) 等差数列 1.(2024·新课标全国Ⅱ卷)记Sn 为等差数列 {an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5= 5,则S10= . 2.在等差数列{an}中,若a3+a9=26,则a3+ 3a7= ( ) A.13 B.26 C.39 D.52 3.已知数列{an}满足a1= 7 4 ,2an+1-an=-1, 则当an>0时,n的最大值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.7 4.(2025·新疆巴音郭楞校考)在等差数列 {an}中,a3+a11=40,则a4-a5+a6+a7+ a8-a9+a10的值为 ( ) A.84 B.72 C.60 D.48 5.(2025·河北秦皇岛一模)设等差数列{an} 的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+ a8+a9= ( ) A.63 B.45 C.36 D.27 6.(2025·江苏南京六校联合体学情调研)设 等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=63 +S3,a3+a12=12,则{an}的公差为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2025·山西临汾二模)记Sn 为等差数列 {an}的前n项和,公差d>0,且a2020·a2021 <0,则Sn 取得最小值时n 为 ( ) A.2021 B.4039 C.2020 D.4040 8.(多选)已知在数列{an}中,a1=1,an+1= an an+1 (n∈N+),则下列结论正确的是 ( ) A.{an}是等差数列 B.{an}是递增数列 C.1an 是等差数列 D.1an 是递增数列 9.在数列{an}中,a1=4,且 an+1-2 n+1 - an-2 n = 2.则数列{an}的通项公式为 . 10.(2025·湖北十堰高二联考)设数列{an}的 前n项和为Sn,点 n,Snn (n∈N*)均在函 数y=2x-3的图象上,则数列{an}的通项 公式an= . 11.(2025·湖北七市(州)联合统一调研)我们 知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点 成中心对称图形的充要条件是函数y= f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广 为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成 中心对称图形的充要条件是函数y=f(x +a)-b为奇函数.已知数列{an}满足a1 =0,|an+1-an|=2,n∈N*,当a2026= 4050时,令f(x)= ∑ 2205 n=1 x+an+1 x+an ,若函数y =f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称 图形,则 a b-1= . 12.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1且 当n≥2时,2Sn=(n+1)an-2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn= 2 (n+1)an ,求{bn} 的前n项和Tn. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —842— 高考预测练 记t=2cosB,则2b+c=t+1t ,t∈(2,3) 由对勾函数可知,y=t+1t 在(2,3)单调递增, 所以32 2 <y< 43 3 ,即2b+c的取值范围为 32 2 ,43 3 . 14.解:(1)利用正弦定理由a+2ccosA=2b可得sinA+ 2sinCcosA=2sinB, 又在△ABC中,易知A+B+C=π,可得A+C=π-B, 所以sin(A+C)=sin(π-B)=sinB; 即sinA+2sinCcosA=2sin(A+C)=2sinAcosC+ 2cosAsinC, 可得sinA=2sinAcosC,显 然sinA≠0,所 以1= 2cosC, 所以cosC=12 ,又C∈(0,π),可得C=π3 ; (2)由余弦定理可得cosC=a 2+b2+c2 2ab = 1 2 , 代入c= 7b整理可得a2-ab-6b2=0, 解得a=3b或a=-2b(舍); 所以△ABC的面积为S=12absinC=3 3 ,解得b=2, 所以a=6; 设BC边的高为h,则S=12h ·|BC|=12ah=3 3 ,可 得h= 3, 即BC边的高为 3. 高考预测练(二十六) 1.C |z|=|-1-i|,则|z|= (-1)2+(-1)2= 2,故 选C. 2.D 因为(1+2i)(1-3i)=7-i,所以在复平面内,复数 (1+2i)(1-3i)对应的点的坐标为(7,-1),位于第四象 限.故选D. 3.D z=(1+2i)(2-i)=4+3i,􀭵z=4-3i,故选D. 4.D 由题意z=1-i2+2i= 1 2 · (1-i) 2 (1+i)(1-i)= 1-2i+i2 4 = -i2 ,所以􀭵z=12i. 故选D. 5.C 由a+i1-i= (a+i)(1+i) (1-i)(1+i)= a-1+(a+1)i 2 为纯虚数得 a-1=0, a+1≠0, 解得a=1, 故“a=1”是“复数a+i1-i (a∈R)为纯虚数”的充要条件.故 选C. 6.D 因为z= 4(1-i)3 = 4-2i(1-i)= 2 1+i= 2(1-i) (1+i)(1-i) =-(1-i)=-1+i, 所以􀭵z=-1-i,所以z+􀭵z=-1+i-1-i=-2. 故选D. 7.D z=3+2i1-i= (3+2i)(1+i) (1-i)(1+i)= 1 2+ 5 2i , 􀭵z=12- 5 2i , 复数z=3+2i1-i 的共轭复数在复平面内所对应的点位于第 四象限, 故选D. 8.A 由z(3+i)=3+i2023,i2023=i3,得 z=3+i 3 3+i= (3-i)(3-i) (3+i)(3-i)= 9-6i+i2 10 = 4 5- 3 5i , 所以|z|= 45 2 + -35 2 =1. 故选A. 9.B z= (a+i)(1-i) (1+i)(1-i)= a+1 2 + 1-a 2 i ,所 以a+1 2 = 2×1-a2 , 解得a=13. 故选B. 10.AC A.根据共轭复数的定义,本选项正确;B.取z1=1, z2=i,满足|z1|=|z2|,但z1≠z2,故本选项错误;C.设 z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,由z1=z2,得a+bi= c+di,即a=c,b=d,所以a2+b2=c2+d2,即|z1|=|z2|, 故本选项正确;D.取z1=2,z2=1+ 3i,则z1-z2=1- 3i,|z1-z2|=2=|z1|,此时z1≠0且z2≠2z1,故D不 正确.故选AC. 11.AD |z-z0|=2表示复平面内的点(x,y)与点(1,-1) 之间的距离为定值2,可知z在复平面内对应的点的轨 迹是以(1,-1)为圆心,2为半径的圆,故 A项正确;由 复数模的几何意义,可知|z-z0|+|z-z0|=2表示复 平面内的点(x,y)到点(1,-1)和(1,1)的距离之和为2, 而2=|z0-z0|,不满足椭圆的定义,故B项不正确;由 复数模的几何意义,可知|z-z0|-|z-z0|=1表示复 平面内的点(x,y)到点(1,-1)与(1,1)的距离之差为1, 又2=|z0-z0|,所以|z-z0|-|z-z0|=1表示的z在 复平面内对应的点的轨迹是双曲线的一支,故C项不正 确;z+12 (z0+z0)=|z-z0|可化为|z+1|=|z-z0|, 表示复平面内的点(x,y)到点(-1,0)和(1,-1)的距离 相等,因此方程 z+12 (z0+z0)=|z-z0|表示的z在 复平面内对应的点的轨迹是(-1,0)和(1,-1)连线段 的垂直平分线,故D项正确.故选AD. 12.答案:-1 解析:z=1+bi1+i = (1+bi)(1-i) (1+i)(1-i)= 1+bi-i-bi2 2 = (1+b)+(b-1)i 2 ∈R ,所以 1+b=0 b-1≠0 ,所以b=-1. 13.D 设z=x+yi(x,y∈R),则x2+y2=14 ,z-eiπ=x+ yi-cosπ-isinπ=x+1+yi,所以|z-eiπ|=|x+1+yi|= (x+1)2+y2= (x+1)2+14-x 2= 2x+54 ,因 为 x2+y2=14 ,所以-12≤x≤ 1 2 ,所以|z-eiπ|的最大值 为 2×12+ 5 4= 3 2. 故选D. 高考预测练(二十七) 1.C 数列可为常数数列,A错误;一个递减,一个递增,不 是相同数列,B错误;当n=k时,ak= k+1 k =1+ 1 k ,C正 确;数列中的第一项不能用an=2n表示,D错误.故选C. 2.C 因为an+1=an+4 an+1+4, 所以 an+1+1= an+1+2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —353— 所以数列{an+1}是以 a1+1=2为首项,2为公差的等 差数列, 所以 an+1=2+2(n-1)=2n,故an=4n2-1.故选C. 3.D 因为Sn+nan=1,所以a1= 1 2 ,当n≥2时,Sn-1+ (n-1)an-1=1,所以(n+1)an=(n-1)an-1,即 an an-1 = n-1 n+1 ,则an= an an-1 × an-1 an-2 × an-2 an-3 ×…× a3 a2 × a2 a1 ×a1 =n-1n+1× n-2 n × n-3 n-1× … × 35 × 2 4 × 1 3 × 1 2 = 1 n(n+1) ,n=1也满足上式,故an= 1 n(n+1) ,n∈N*,Sn =1-nan=1- 1 n+1 ,由Sn=1- 1 n+1>0.99 ,解得n> 99,故所求n的最小值为100.故选D. 4.C 令an= n-3 2n-17≥0 ,解得n≤3或n>172 ,当n≤3时, an≥0,当4≤n≤8时,an<0,当n≥9时,an>0,又a1= 2 15 ,a2= 1 13 ,an=0,a4=- 1 9 ,…,a8=-5,a9=3,所以Sn 取得最小值时n 的值为8.故选C. 5.D 第一代“勾股数”中正方形的个数为1+2=3,面积和 为2, 第二代“勾股数”中正方形的个数为1+2+22=7,面积和 为3, 第三代“勾股数”中正方形的个数为1+2+22+23=15, 面积和为4, … 第n代“勾股数”中正方形的个数为1+2+…+2n=2n+1 -1,面积和为n+1, 故选D. 6.A 因为n∈N*,所以当1≤n≤3时,an= 1 2n-15 <0,且 单调递减; 当n≥4时,an= 1 2n-15 >0,且单调递减,且a1= 1 2-15= -113 , 所以最小项为a3= 1 8-15=- 1 7 ,最大项为a4= 1 16-15=1. 故选A. 7.C 数列{an}中,an=2n-2023n,则an+1-an=2n- 2023,而210<2023<211, 于是当n≤10时,an+1-an<0,即an+1<an,当n≥11 时,an+1-an>0,即an+1>an, 因此当n∈N*,n≤11时,数列{an}单调递减,当n≥11 时,数列{an}单调递增, 所以当且仅当n=11时,an 最小. 故选C. 8.BCD 由题意知an≠0. 由an+1-2an+anan+1=0, 可得1 an - 2an+1 +1=0, 即2 1- 1an+1 =1-1an, 则数列 1-1an 是首项和公比均为12的等比数列,故B 正确; 由上面分析知1-1an = 12 n ,则an= 2n 2n-1 ,则a3= 8 7 , 故A错误; 由an=1+ 1 2n-1 ,可得数列{an}递减,故C正确; S10=10+ 1 2-1+ 1 22-1 +…+ 1 210-1 >10+1+1 22 +…+ 1 210 =11+ 1 4× 1-129 1-12 =232- 1 210 .故D正确. 故选BCD. 9.ACD 当n为奇数时,an= 3-1 2 =1 ,当n为偶数时,an= 3+1 2 =2 ,故A中通项公式正确;当n为奇数时,an= 3+1 2 =2,当n为偶数时an= 3-1 2 =1 ,故B中通项公式不正 确;当n为奇数时,an= 3-1 2 =1 ,当n为偶数时,an= 3+1 2 =2,故C中通项公式正确;当n为奇数时,an= 3-1 2 =1 , 当n为偶数时,an= 3+1 2 =2 ,故 D中通项公式正确.故 选ACD. 10.BC 因为an=f(n)= (3-a)n-3,n≤7 an-6,n>7 ,n∈N*,{an} 是递增数列, 所以必有 3-a>0 a>1 (3-a)×7-3<a8-6 , 即: a<3 a>1 a>2或a<-9 ,解得:2<a<3.故选BC. 11.C 依题意,各次作得的三角形都相似,相邻两次作得的 三角形的相似比为1 2 ,则an+1= 1 4an ,a1= 1 4 ,因此数列 {an}是 首 项、公 比 都 为 1 4 的 等 比 数 列,an= 1 4n ,Sn= 1 4 1-14n 1-14 =13 1-14n .2nan=12n,数列{2nan}是递减 的等比 数 列,A、B 错 误; Sn n = 1 3n 1- 14n , Sn+1 n+1 Sn n = 1 3(n+1) 1- 14n+1 1 3n 1-14n = n (4n+1-1) (n+1)(4n+1-4) ,n(4n+1-1)- (n+1)(4n+1-4)=3n+4-4n+1=3n+4-(1+3)n+1 =3n+4-(1+3C1n+1+9C2n+1+…)<3n+4-(1+ 3C1n+1)=0,即0<n(4n+1-1)<(n+1)(4n+1-4),则 n(4n+1-1) (n+1)(4n+1-4) <1,因此 Sn+1 n+1< Sn n ,则数列 Sn n 为递 减数列,C正确,D错误.故选C. 12.答案:-2 解析:因为an+2=an+1-an,则an+3=an+2-an+1, 两式相加得an+3=-an,则an+6=-an+3=an, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —453— 所以数列{an}的周期为6, 所以a2022=a336×6+6=a6=-a3=-(a2-a1)=-2. 13.答案: 1,n=1 2·3n-1,n≥2,n∈N* 解析:因为数列{an}的前n项和Sn=3n-2(n为正整数), 当n=1时,a1=S1=3-2=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2) =2·3n-1, a1=1不满足an=2·3n-1. 所以,an= 1,n=1 2·3n-1,n≥2,n∈N* . 14.答案:60 解析:观察此数列可知,当n为偶数时,an= n2 2 ,当n为 奇数时,an= n2-1 2 ,所以a11= 121-1 2 =60. 高考预测练(二十八) 1.答案:95 解 析:因 为 数 列 an 为 等 差 数 列,则 由 题 意 得 a1+2d+a1+3d=7 3(a1+d)+a1+4d=5 ,解得 a1=-4d=3 , 则S10=10a1+ 10×9 2 d=10× (-4)+45×3=95. 2.D 因为{an}是等差数列,所以a3+a9=2a6=26,解得a6 =13,所以a3+3a7=a3+a7+2a7=2(a5+a7)=4a6= 52.故选D. 3.B 因为a1= 7 4 ,2an+1-2an=-1,所以an+1-an=- 1 2 , 所以数列{an}是首项为a1= 7 4 ,公差为-12 的等差数列, 所以an= 7 4- 1 2 (n-1)=-12n+ 9 4. 令an>0,可得- 1 2n+ 9 4>0 ,解得n<92. 因为n∈N*,所以n≤4,所以n的最大值为4. 故选B. 4.C 在等差数列{an}中,a3+a11=2a7=40,可得a7=20, 所以,a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10=(a4+a10)-(a5+ a9)+(a6+a7+a8)=3a7=60. 故选C. 5.B 由等差数列的性质知S3,S6-S3,S9-S6 成等差数 列,即9,27,S9-S6 成等差数列,∴S9-S6=45,∴a7+ a8+a9=45,故选B. 6.B 设等差数列{an}的公差为d,因为S12=63+S3,a3+ a12=12,所以 12a1+ 12×11 2 d=63+ 3a1+3×22 d , a1+2d+a1+11d=12, 解 得d=2,a1=-7.故选B. 7.C 因为公差d>0,所以a2020<a2021,又a2020a2021<0, 所以a2020<0,a2021>0,所以前2020项的和S2020为Sn 的最小值,故Sn 取得最小值时n=2020.故选C. 8.CD 由an+1= an an+1 (n∈N+)可得 1 an+1 =1an +1(n∈ N+),所以 1 an 是以公差为1的等差数列,故CD正确, 1 an =1+(n-1)×1=n⇒an= 1 n ,故{an}不是等差数列, 而且{an}为单调递减数列,故AB错误, 故选CD. 9.答案:an=2n2+2 解析:因为a1=4,所以 a1-2 1 =4-2=2 , 又因为 an+1-2 n+1 - an-2 n =2 , 所以 an-2 n 是以2为首项,以2公差的等差数列, 所以 an-2 n =2+ (n-1)×2=2n, 则an=2n2+2. 10.答案:4n-5 解析:依题意得Sn n =2n-3 ,即Sn=2n2-3n, 所以数列{an}为等差数列,且a1=S1=-1,a2=S2-S1 =3, 设其公差为d,则d=4, 所以an=4n-5{n∈N*}. 11.答案:-1 解析:因为a1=0,an+1-an=2或an+1-an=-2, 又a2026=(a2026-a2025)+(a2025-a2024)+…+(a2- a1)+a1=4050, 所以设2025个差中有x个2和y个-2, 故 2(x-y)=4050, x+y=2025, ,所以x=2025,y=0, 即数列{an}的前2026项成等差数列,且公差为d=2. f(x)= ∑ 2025 n=1 x+an+1 x+an = x+a1+d x+a1 + x+a2+d x+a2 + … + x+a2025+d x+a2025 = dx+a1 + dx+a2 +…+ dx+a2025 +2025, 令h(x)=f(x-a1013)-2025= d x+a1-a1013 + d x+a2-a1013 +…+ dx+a2025-a1013 , 即h(x)= dx-1012d+ … + dx-d+ d x + d x+d+ … + dx+1012d , 则 h(-x)= d-x-1012d+ … + d-x-d+ d -x+ d -x+d+ …+ d-x+1012d = - dx+1012d - … - dx+d - d x - d x-d - … - dx-1012d=-h (x), 所以y=h(x)为奇函数,结合题设易知a=-a1013= -2024,b=2025,故 ab-1=-1. 12.解:(1)因为当n≥2时,2Sn=(n+1)an-2,且a1=1, 若n=2,则2S2=2(1+a2)=3a2-2,解得a2=4, 若n≥3,则2Sn-1=nan-1-2, 两式相 减 可 得:2an=(n+1)an-nan-1,整 理 得 an n = an-1 n-1 , 即 an n = an-1 n-1= …= a2 2=2 ,可得an=2n; 可知n=1不符合上式,n=2符合上式, 所以an= 1,n=1 2n,n≥2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —553— (2)由(1)可得:bn= 2 (n+1)an = 1,n=1 1 n(n+1)= 1 n- 1 n+1 ,n≥2 , 当n=1时,则Tn=b1=1; 当n≥2时,则Tn=b1+b2+b3+…+bn=1+ 12-13 + 13-14 +…+ 1n- 1n+1 =32- 1n+1; 可知n=1符合上式,所以Tn= 3 2- 1 n+1. 高考预测练(二十九) 1.B 由{an}是等比数列,得a3·a5=a24=49,解得a4= ±7,当a4=-7时,a4+a6=-7-7q2=70,所以q2= -11<0,故舍去,当a4=7时,a4+a6=7+7q2=70,所以 q2=9,即a8=a4·q4=567.故选B. 2.A 由于a2,a10是方程x2-6x+4=0的两根, 所以a2+a10=6>0,a2·a10=4⇒a26=4, 由于a6=a2q4,a10=a6q4,所以a6为正数, 所以a6=2.所以 a3a9 a6 = a26 a6 =a6=2. 故选A. 3.B 等差数列{an},设公差为d,因为a1,a3,a6 成等比 数列, 故(a3)2=a1·a6,∴(a1+2d)2=a1·(a1+5d), 又因为公差不为0,a1=4d,所以a3=6d,a6=9d, 则这个等比数列的公比是3 2. 故选B. 4.C 因为{an}为等比数列,所以a2,a4,a6 为等比数列,且 a2,a4,a6同号.若a4=3,则由a24=a2a6可得a6=9,故甲 是乙的充分条件;若a6=9,则由a24=a2a6 及a4>0可得 a4=3,故甲是乙的必要条件.故甲是乙的充要条件.故 选C. 5.C 在正项等比数列{an}中,a5a9=a1a13=36,所以a5+ 4a9≥2 a5·4a9=24, 当且仅当a5=4a9即a5=12,a9=3时,等号成立,即a5+ 4a9的最小值是24. 故选C. 6.D 第一种挖掉的三角形边长为2×12=1 ,共1个,面积 为1× 34×12 = 34; 第二种挖掉的三角形边长为1×12= 1 2 ,共3个,面积为 3× 34× 12 2 =3 316, 第三种挖掉的三角形边长为1 2× 1 2= 1 4 ,共9个, 面积为9× 34× 14 2 =9 364, 故被挖去的三角形面积之和是 3 4+ 3 3 16+ 9 3 64= 37 3 64 . 故选D 7.A 设S4=x(x≠0),则S8=4x, 因为{an}为等比数列,所以S4,S8-S4,S12-S8,S16- S12仍成等比数列. 易知 S8-S4 S4 =4x-xx =3 , 所以 S12-S8=3(S8-S4)=9x S16-S12=3(S12-S8)=27x ⇒ S12=13xS16=40x , 故 S16 S4+S8 = 40xx+4x=8. 故选A. 8.C 由题意可得所有项之和S奇 +S偶 是所有偶数项之和 S偶 的4倍,所以,S奇+S偶=4S偶,故S偶=13S奇 , 设等比数列{an}的公比为q,设该等比数列共有2k(k∈ N*)项, 则S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇 =13S奇 ,所以,q=13 , 因为a32=a1a2a3=64,可得a2=4,因此,a1= a2 q=12. 故选C. 9.BCD 由2(n+1)an-nan+1=0(n∈N*)可得 an+1 n+1= 2 an n (n∈N*),所以数列 ann 为等比数列,且公比为2, 故A错误,C正确, an n =4×2 n-1⇒an=n·2n+1,由于{n},{2n}均为单调递 增的数列,且 各 项 均 为 正 数,所 以{an}为 递 增 数 列,B 正确, an 2n+1 =n,设 an 2n+1 的前n项和为Tn,则Tn=n 2+n 2 ,D 正确, 故选BCD. 10.答案:-2n-1 解析:Sn=2an+1①,当n=1时,a1=2a1+1,解得a1= -1, 当n≥2时,Sn-1=2an-1+1②, ①-②得,Sn-Sn-1=2an+1-2an-1-1, 即an=2an-2an-1,所以an=2an-1, {an}是首项为-1,公比是2的等比数列,故an=-1× 2n-1=-2n-1. 11.答案:450 解析:在 等 比 数 列 {an}中,公 比 q = 2,则 有 a2+a4+…+a100 a1+a3+…+a99 =q=2, 而a1+a3+…+a99=150,于是得a2+a4+…+a100 =300, 所以数列{an}的前100项和S100=(a1+a3+…+a99) +(a2+a4+…+a100)=150+300=450. 12.答案:32 解析:因 为 a2n-1,a2n,a2n+1成 等 差 数 列,a2n,a2n+1, a2n+2成等比数列, 所以a1,a2,a3 成等差数列,a2,a3,a4 成等比数列,a3, a4,a4成等差数列,a4,a5,a6成等比数列,a5,a6,a7 成等 差数列,a6,a7,a8成等比数列, 所以可得{an}的前8项为0,2,4,8,12,18,24,32. 13.解:(1)an+1= an 2-an 两边取倒数得,1 an+1 = 2-an an =2an -1, 即 1 an+1 -1=2an -2=2 1an-1 , 又1 a1 -1=2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —653—