高考预测练(23、24)平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积及其应用-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备(课时作业)

高考预测练(二十三) 平面向量基本定理及坐标表示 1.已知向量e1,e2 不共线,则列向量不可以作 为一组基底的是 ( ) A.e1+e2 和e1-e2 B.4e1-2e2 和6e1-3e2 C.2e1-e2 和e2 D.e1-e2 和2e2+e1 2.在△ABC 中,D 是边AB 一点,且 BD= 2AD,点E 是CD 的中点.设CA=a,CB → = b,则AE → = ( ) A.13a+ 1 6b B.- 1 3a+ 1 6b C.-23a+ 1 6b D.- 2 3a- 1 6b 3.(2025·广西校联考模拟预测)已知i和j 是两个正交单位向量,a=2i+3j,b=i+kj 且|a-b|= 2,则k= ( ) A.2或3 B.2或4 C.3或5 D.3或4 4.平行四边形ABCD 中,AB → =(3,7),AD → = (-2,3),则AC → 的坐标为 ( ) A.(1,5) B.(5,4) C.(1,10) D.(-2,7) 5.已知 O 为坐标原点,P1P → = -2PP2 →,若 P(1,2)、P2(2,-1),则与OP → 共线的单位向 量为 ( ) A.(3,-4) B.(3,-4)或(-3,4) C.35 ,-45 或 -35,45 D.35 ,-45 6.(2025·常州高三校联考阶段练习)已知a= (m,-2),b=(3,4),若a∥b,则 a-32b = ( ) A.20 B.15 C.10 D.5 7.已知向量a=(3,1),b=(0,-1),c= (k,3k),若a-kb与c共线,则k= ( ) A.2或-2 B.2或1 C.-2或0 D.0或2 8.(2025·广东校联考阶段练习)已知a=(1, 3),则与a同向的单位向量的坐标是 ( ) A.1 2 ,3 2 B. 32,12 C.-12 ,- 32 D.- 32,-12 9.(多选)如图所示,设 O 是平行四边形ABCD 的 两条对角线的交点,给 出列向量组,其中可作 为该平面内所有向量的基底的是 ( ) A.AD → 与BC → B.AC → 与BD → C.CA → 与DC → D.OD → 与OB → 10.(多选)(2025·江西赣州质量检测)向量 PA → =(k,12),PB → =(4,5),PC → =(10,k), 若A,B,C三点共线,则k的值可能为 ( ) A.2 B.-2 C.11 D.-11 11.如图,在△ABC 中,∠C =90°,且AC=BC=3,点 M 满 足BM → =2MA →,则 CM →·CB → = . 12.在平行四边形ABCD 中, 点E 满 足AC → =λAE → 且DE → =14AB → - 3 4AD →,则实数λ= . 13.已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b= (-2,1),则a-2b= . 14.已知向量a=(x,2),b=(-x,1),且|2a+b| = 26,则实数x= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —142— 班级: 姓名: 高考预测练(二十四) 平面向量的数量积及其应用 1.已知a·b=1,|a|=2,a,b的夹角为π3 ,则 |a-2b|= ( ) A.1 B.2 C.2 D.4 2.(2025·高三校联考阶段练习)已知平面向 量a、b满足|b|=2|a|=2,若a⊥(a+b),则 a与b的夹角为 ( ) A.π6 B. 5π 6 C. π 3 D. 2π 3 3.向量a=(1,2),b=(-2,-1),那么向量 a-b在a的投影向量为 ( ) A.95 ,18 5 B.15,25 C.65 ,12 5 D.-35,-65 4.已知向量a=(x,3),b=(12,x-5),若向量a,b 的夹角为钝角,则实数x的范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-4)∪(-4,1) D.(1,9)∪(9,+∞) 5.(2025·河南焦作统考质量检测)若向量a= (4,3-m),b=(1,m)的夹角为锐角,则实数 m 的范围是 ( ) A.-1,35 ∪ 35,4 B.(-1,4) C.-4,35 ∪ 35,1 D.(-4,1) 6.(多选)已知平面向量a=(1,x),b=(2x, 3-x),x∈R,则下列说法正确的是 ( ) A.若a∥b,则x=-32 或x=1 B.若(a+b)⊥a,则x=15 C.当x=3时,向量b在向量a 方向的投影 向量为 3 5 ,9 5 D.若x<0或x>5,则a与b夹角为钝角 7.已知非零向量a,b满足2|a|=3|b|,b⊥(2a- b),则向量a,b夹角的余弦值为 . 8.已知向量|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则 <a,b>= . 9.已知a= 12 ,1 ,b=(-2,8),若实数λ满足 (a-λb)⊥b,则λ= . 10.向量AB → =(2,1)在向量AC → =(0,12 )的投 影向量为λAC →,则|AB → +λAC → | . 11.已知向量a=(1,0),b=(1,- 3),若非零 向量c满足<c,a>=<c,b>,则|c-a|取最小 值时,c的坐标为 . 12.(2025·江西萍乡高一统考期末)已知向量 a=(1,6+k),b=(-7,k). (1)若k=0,试判断向量b与2a-b是否垂 直; (2)若向量a与b 的夹角为钝角,求实数k 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —242— 高考预测练 a+b = (3,sinθ +cosθ),所 以 |a +b| = 9+(sinθ+cosθ)2= 10+sin2θ≤ 11<5,C 选 项 正确; 若θ=π2 ,则a=(2,1),b=(1,0),所以a在b方向上的投 影向量为a·bb |b||b|=2b ,D选项正确.故选ACD. 10.答案:2 解析:如图所示,由题意知CE→=xCA→+32yCD →, 因为A,E,D 三点共线,所以x+32y=1 , 所以2x+3y=2. 故答案为:2. 11.C 依题意设OM→=m=(x3,y3),ON→=n=(x4,y4),则 OP→=p=λm+μn=(λx3+μx4,λy3+μy4),S(m,n)= |x3y4-x4y3|,S(m,p)=|x3(λy3+μy4)-(λx3+μx4)y3| =|μ||x3y4-x4y3|,S(n,p)=|x4(λy3+μy4)-(λx3+ μx4)y4|=|λ||x3y4-x4y3|,则 S(m,p)+S(n,p) S(m,n) =|λ| +|μ|.故选C. 高考预测练(二十三) 1.B A选项,设e1+e2=a(e1-e2),则 a=1 a=-1 ,无解,故 e1+e2和e1-e2是不共线的向量,可作为一组基底,A错 误;B选项,∵4e1-2e2= 2 3 6e1-3e2 ,∴4e-2e2和6e1 -3e2共线,不能作为一组基底,故B正确;C选项,设2e1 -e2=be2,则 2=0 b=-1 ,无解,故2e2-e2 和e2 不共线,故 可作为一组基底,C错误;D选项,设e1-e2=c(2e2+e1), 则 2c=-1 c=1 ,无解,e1-e2和2e2+e1不共线,可作为一组 基底,D错误.故选:B 2.C 如图, AE→=12AC → +12AD → =-12CA → +16AB → =- 12CA → + 1 6 (CB→-CA→)=-23a+ 1 6b ,故选:C. 3.B 因为i和j是正交单位向量,a=2i+3j=(2,3),b=i +kj=(1,k),可 得a-b=(1,3-k),所 以|a-b|= 1+(3-k)2= 2,解得k=2或k=4.故选:B. 4.C 根据向量加法的平行四边形法则AC→=AB→+AD→= (3,7)+(-2,3)=(1,10),故选C. 5.C 由P1P → =-2PP2 → 得P1P → +2PP2 → =0,即P1P2 → +PP2 → =0,P1P2 → =P2P →, OP2 → -OP1 → =OP→-OP2 →, OP→=2OP2 → -OP1 → =2(2,-1)-(1,2)=(3,-4), |OP→|= 32+(-4)2=5, 与OP→同向的单位向量为 OP → |OP→| = 35 ,-45 ,反向的单位 向量为 -35 ,4 5 .故选:C. 6.C 因为a∥b,所以:4m-(-2)×3=0⇒m=-32. 所 以:a-32b= - 3 2 ,-2 -32(3,4)=(-6,-8) 所以:a-32b =| (-6,-8)|=10. 故选:C. 7.D 由a=(3,1),b=(0,-1),则a-kb=(3,1+k), 因为a-kb与c共线,所以k(1+k)-3k=0,即k2-2k= 0,解得k=0或k=2. 故选:D 8.A 由题|a|=2,则与a同向的单位向量是 a|a| ,对应坐标 是 1 2 ,3 2 .故选:A. 9.BC A项中AD→与BC→共线,D项中OD→与OB→共线,B,C项 中两向量不共线,故选:BC. 10.BC 由已知可得BA→=PA→-PB→=(k,12)-(4,5)=(k-4, 7),CA→=PA→-PC→=(k,12)-(10,k)=(k-10,12-k). 因为A,B,C三点共线,所以BA→∥CA→, 所以(k-4)(12-k)-7(k-10)=0,整理得k2-9k-22 =0,解得k=-2或11.故选:BC. 11.答案:3 解析:先利用基底法求出CM→=13CB → +23CA →,再利用数 量积的运算法则即可得解. 因为∠C=90°,所以CB→·CA→=0, 因为BM→=2MA→,AC=BC=3, 所以CM→=CA→+AM→=CA→+13AB → =CA→+13 CB → -CA→ = 1 3CB → +23CA →, 则CM→·CB→= 13CB → +23CA → ·CB→=13|CB→|2=3. 故答案为:3. 12.答案:4 解析:根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理 分析可得结果.由题意可得:DE→=AE→-AD→=1λAC → - AD=1λ (AB→+AD→)-AD→, =1λAB → + 1λ-1 AD→=14AB→-34AD→,∴λ=4. 故答案为:4. 13.答案:(-4,0) 解析:首先计算出a,b,再进行线性运算即可. 因为a+b=(2,3),a-b=(-2,1), 两式相加得2a=(0,4),即a=(0,2),b=a+b-a=(2,1) 所以a-2b=(-4,0), 故答案为:(-4,0). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —943— 14.答案:±1 解析:由题意,得2a+b=(x,5),所以|2a+b|= x2+52 = 26,解得x±1. 故答案为:±1. 高考预测练(二十四) 1.C 因为a·b=1,|a|=2,a,b的夹角为π3 , 所以a·b=|a||b|cos<a,b>=2|b|cosπ3=1 , 解得|b|=1, |a - 2b| = (a-2b)2 = a2-4a·b+4b2 = 4-4×1+4×12=2, 故选:C. 2.D 因为|b|=2|a|=2,且a⊥(a+b),所以a·(a+b)= 0,即a2+a·b=0, 所以a·b=-a2=-1, 设a与b的夹角为θ,则cosθ= a ·b |a|·|b|= -1 2×1=- 1 2 , 因为0∈[0,π], 所以θ=2π3 ,即a与b的夹角为2π3. 故选:D. 3.A 因为a=(1,2),b=(-2,-1),所以a-b=(3,3),则 a-b在a 的投影向量的模为cos<a-b,a>·|a-b|= (a-b)·a |a| = 9 5 =9 55 , 则a-b在a 的投影向量为9 55 · a |a|= 9 5 ,18 5 . 故选:A. 4.C 由 题 意 得:a ·b<0 且 a 与 b 不 共 线,即 12x+3(x-5)<0 x(x-5)≠3×12 ,解得:x<1且x≠4, 所以实数x的范围是(-∞,-4)∪(-4,1), 故选:C. 5.A 因向量a=(4,3-m),b=(1,m)的夹角为锐角,则 a·b>0⇒m2-3m-4<0⇒-1<m<4, 且a,b不共线,即3-m≠4m⇒m≠35. 综上可知,-1<m<35 或3 5<m<4. 故选:A. 6.AC 对于A:若a∥b,则1×(3-x)=x×2x⇒2x2+x- 3=0,解得x=-32 或x=1,A正确; 对于B:a+b=(2x+1,3),若(a+b)⊥a,则a·b=0,即 (2x+1)×1+3×x=0,解得x=-15 ,所以B错误;对于 C:当x=3时a=(1,3),b=(6,0), 所以向量b 在 向 量a 方 向 的 投 影 向 量 为a ·b |a| · a |a|= 1×6 12+32 a=610a= 3 5 ,9 5 ,C正确;对于 D:当x=-32 时,a= 1,-32 ,b= -3,92 , 此时a与b的方向相反,此时a与b 夹角为π,D错误,故 选:AC. 7.答案:13 解析:因为2|a|=3|b|且a,b为非零向量,设|a|=3t(t> 0),则|b|=2t,又b⊥(2a-b),所以b· (2a-b)=0,则 2b·a-b2=0, 解得b·a=2t2, 设向 量a,b 的 夹 角 为θ,则cosθ= b ·a |b|·|a|= 2t2 3t×2t =13 , 即向量a,b夹角的余弦值为13. 故答案为:1 3 8.答案:2π3 解析:由|a+2b|=2可得(a+2b)2=4, 即(a)2+4a·b+4(b)2=4,即a·b=1, 所以cos<a,b>= a ·b |a||b|=- 1 2 ,又<a,b>∈[0,π], 所以<a,b>=2π3. 故答案为:2π 3. 9.答案:768 解析:a=(12 ,1),b=(-2,8),则a-λb= 12+2λ ,1-8λ , 由(a-λb)⊥b,所以-1-4λ+8-64λ=0,解得λ=768. 故答案为:7 68 10.答案:2 2 解析:因为AB→·AC→=12 ,|AC→|=12 所以向量AB→在向量AC→的投影向量为AB →·AC→ |AC→| · AC → |AC→| = 1 2 1 4 AC→=2AC→, 所以λ=2,所以AB→+λAC→=(2,1)+20,12 =(2,2), 所以|AB→+λAC→|= 22+22=2 2. 故答案为:2 2 11.答案: 3 4 ,- 34 解析:设c=(x,y), 则由<c,a>=<c,b>,得 c ·a |c|·|a|= c·b |c|·|b| ,所以c·a |a| =c ·b |b| , 所以 (x,y)·(1,0) 1 = (x,y)·(1,3) 2 ,即x=x- 3y2 ,化 得x=- 3y. 又c-a=(x-1,y), 所以|c-a|= (x-1)2+y2= 43 x- 3 4 2 +14. 当x=34 时,|c-a|取得最小值12 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —053— 此时y=- 34 ,即c= 3 4 ,- 34 . 故答案为: 3 4 ,- 34 . 12.解:(1)若k=0,则a=(1,6),b=(-7,0), 故2a-b=2(1,6)-(-7,0)=(9,12), ∴b·(2a-b)=-7×9+0×12=-63≠0,所以当k=0 时,向量b与2a-b不垂直; (2)由题意知,a·b=1×(-7)+k(6+k)=k2+6k-7,向 量a与b的夹角为钝角,∴k2+6k-7<0,解得-7<k<1, 当a与b反向时,有 1-7= 6+k k <0 ,解得k=-214 ,所以 向量a 与b 的 夹 角 为 钝 角 时,实 数k 的 取 值 范 围 是 -7,-214 ∪ -214,1 . 高考预测练(二十五) 1.B 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA, 将A=π3 ,a= 3,b=1,代入得3=12+c2-2acosπ3 , 则有c2-c-2=0,且c>0,解得c=2. 故选:B. 2.D 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc, 因为b-c=1,a= 7,所以c2+(c+1)2-c(c+1)=7, 即c2+c-6=0,解得c=2或c=-3(舍), 所以b=3,c=2,cosB=a 2+c2-b2 2ac = 7+4-9 2× 7×2 = 714. 故 选:D 3.C 因为△ABC中,AB=1,BC= 5,cosA=56 , 所以由余弦定理知,cosA=AB 2+AC2-BC2 2AB·AC , 即5 6= 1+AC2-5 2AC , 化简整理得3AC2-5AC-12=0, 解得AC=3或AC=-43 (舍去). 故选:C 4.B 在△ABC中,0<B<π,因为cosB=916 ,所以sinB= 1-cos2B= 1- 916 2 =5 716 , 则由正弦定理得b=sinBsinA ·a= 5 7 16 3 7 8 ×6=5.故选:B. 5.D 因为△ABC中,BC=4,AC=4 3,∠A=30°, 所以 BC sin∠A= AC sin∠B ,sin∠B=AC ·sin∠A BC = 4 3×12 4 = 32 , 因为AC>BC,可得∠B>∠A,即30°<∠B<180°, 所以∠B=60°或120°.故选:D. 6.A 由 asinA= b sinB ,得sinB=b ·sinA a = 2× 32 3 = 22 , 又a>b,A=π3 ,故B 只能为锐角,即B=π4 ,故该三角形 只有一解.故选:A. 7.ABD 易知A、B、C∈(0,π),A+B+C=180° 对于A,由正弦定理可知sinA=absinB= 6 3∈ 2 2 ,3 2 由正弦函数的图象与性质可得45°<A<60°或120°<A< 135°, 又a>b⇒A>B,则A有两个解,即A正确; 对于B,同sinB 或basinA= 2 3∈ 1 2 ,2 2 ⇒30°<B< 45°或135°<B<150°,又a<b⇒A<B,则B 有两个解,即 B正确;对 于 C,同 得sinC= cbsinB= 38 47sin50°< sin50°,且c<b⇒C<B⇒C<50°, 故C只有一解,即C错误;对于D,如图所示AD⊥BC,则 易知25sin23°<252<13<25 ,即此时有两解,即D正确. 故选:ABD. 8.答案:14 解析:如图所示,在△ABC 中,因为AB=3 6,∠ABC= π 4 ,∠ACB=π3 由正弦定理知 AC sinB= AB sinC ,可得AC 2 2 =3 6 3 2 ,解得AC=6, 在△ADC中,由AC=6,CD=10且∠ACD=2π3 , 由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos2π3= 196,所以AD=14. 故答案为:14. 9.答案: 97 解析:因为a=7,c=8,所以△ABC 的面积为12acsinB= 1 2×7×8sinB=16 3 ,解得sinB=4 37 , 又因为△ABC为锐角三角形,所以cosB= 1-sin2B= 1- 4 3 7 2 =17 , 由 余 弦 定 理 得 b = a2+c2-2accosB = 49+64-2×7×8×17= 97. 故答案为: 97. 10.答案:45 /0.8 解析:已知a=3,b=4,c=5, 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA 得,9=16+25-2×4 ×5cosA, 解得cosA=3240= 4 5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —153—