第11章 第3节 成对数据的统计分析-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

第三节 成对数据的统计分析 1.两个变量的相关关系 (1)正相关:当一个变量的值增加时,另一个 变量的相应值也呈现增加的趋势,称这两个 变量正相关; (2)负相关:当一个变量的值增加时,另一个 变量的相应值呈现减少的趋势,称这两个变 量负相关; (3)线性相关:如果两个变量的取值呈现正 相关或负相关,而且散点落在一条直线附 近,称这两个变量线性相关. 2.经验回归方程 方程ŷ=̂bx+̂a是两个具有线性相关关系的 变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn, yn)的经验回归方程,其中â,̂b是待定参数. b̂= Σ n i=1 (xi-x)(yi-y) Σ n i=1 (xi-x)2 = Σ n i=1 xiyi-nxy Σ n i=1 x2i-nx2 â=􀭵y=̂b􀭺x 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 3.回归分析 (1)定义:对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的一种常用方法. (2)样本点的中心:对于一组具有线性相关 关系的数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn), 其中(x,y)称为样本点的中心. (3)样本相关系数:样本相关系数 r= Σ n i=1 (xi-x)(yi-y) Σ n i=1 (xi-x)2 Σ n i=1 (yi-y)2 当r>0时,表明两个变量 ; 当r<0时,表明两个变量 . 当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相 关程度越强; 当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相 关程度越弱. (4)决定系数:R2= 其中 Σ n i=1 (yi-̂yi)2 是残差平方和,其值越小, 则R2 越大(接近1),模型的拟合效果越好. 4.独立性检验 (1)列联表:列出两个分类变量的 , 称为列联表,假设有两个分类变量X 和Y, 它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2}, 其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表 y1 y2 总计 x1 a b a+b x2 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 构造一个随机变量χ 2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n= 为样本容量. (2)独立性检验: 当χ 2≥xα 时,推断 H0 不成立,即认为X 和 Y 不独立,该推断犯错误的概率不超过α; 当χ 2<xα 时,没有充分证据推断 H0 不成 立,可以认为X 和Y 独立. 利用χ 2的取值推断分类变量X和Y 是否独立 的方法称为χ 2独立性检验,简称独立性检验. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 202 名师大课堂 艺术生必备·数学 相关关系的判断 (2024·天津卷)下列图中,线性相关系 数最大的是 ( ) A B C D 【解析】 选项A中的散点有明显的从左下 角到右上角沿直线分布的趋势,且散点集中 在一条直线的附近,故选项 A中的线性相 关系数最大,故选A. 【答案】 A 判断相关关系的两种方法 (1)散点图法:如果所有的样本点都落在某 一函数的曲线附近,那么变量之间有相关 关系,如果所有的样本点都落在某一直线 附近,那么变量之间有线性相关关系. (2)相关系数法:利用相关系数判定,|r|越 趋近于1,相关性越强. [针对训练] 1.对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1, 2,…,10),得散点图如图①,对变量u,v有 观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图 如图②.由这两个散点图可以判断 ( ) A.变量x与y 正相关,u与v正相关 B.变量x与y 正相关,u与v负相关 C.变量x与y 负相关,u与v正相关 D.变量x与y 负相关,u与v负相关 回归分析 角度一 线性回归方程及其应用 (2025·福州市第一学期抽测)随着我国 中医学的发展,药用昆虫的使用相应愈来愈 多.每年春暖以后至寒冬前,昆虫大量活动与 繁殖,易于采集各种药用昆虫.已知一只药用 昆虫的产卵数y(单位:个)与一定范围内的 温度x(单位:℃)有关,于是科研人员在3月 份的31天中随机挑选了5天进行研究,现收 集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表: 日期 2日 7日 15日22日30日 温度x/℃ 10 11 13 12 8 产卵数y/个 23 25 30 26 16 科研人员确定的研究方案是:先从这5组数 据中任选2组,用剩下的3组数据建立y关 于x 的线性回归方程,再对被选取的2组数 据进行检验. (1)若选取的是3月2日与30日这2组的 数据,请根据3月7日、15日和22日这3组 的数据,求出y关于x 的线性回归方程; (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所 选出的检验数据的误差均不超过2个,则认 为得到的线性回归方程是可靠的,试问(1) 中所得的线性回归方程是否可靠? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 203 第十一章 统计与统计案例 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公 式分别为̂b= ∑ n i=1 (xi-􀭵x)(yi-􀭵y) ∑ n i=1 (xi-􀭵x)2 ,̂a=􀭵y-̂b􀭵x. 【解】 (1)由已知数据得􀭺x=12,􀭵y=27, ∑ 3 i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y)=5,∑ 3 i=1 (xi-􀭺x)2=2. 所以b̂= ∑ 3 i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ 3 i=1 (xi-􀭺x)2 =52 , â=􀭵y-52 􀭺x=27-52×12=-3. 所以y关于x的线性回归方程为ŷ=52x-3. (2)由(1)知,y 关于x 的线性回归方程为 ŷ=52x-3. 当x=10时,̂y=52×10-3=22 ,|22-23|<2, 当x=8时,̂y=52×8-3=17 ,|17-16|<2. 所以(1)中所得的线性回归方程ŷ=52x-3 是可靠的. 角度二 相关系数及其应用 某基地蔬菜大 棚采用无土栽培方式 种植各类蔬菜.过去 50周的资料显示,该 地周光照量X(单位:小时)都在30小时以 上,其中不足50小时的有5周,不低于50 小时且不超过70小时的有35周,超过70 小时的有10周.根据统计,该基地的西红柿 增加量y(千克)与使用某种液体肥料的质 量x(千克)之间的对应数据为如图所示的 折线图. 依据折线图计算相关系数r(精确到0.01), 并据此判断是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(若|r|>0.75,则线性相关程 度很高,可用线性回归模型拟合) 相关系数公式:r= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 ∑ n i=1 (yi-y)2 , 参考数据:0.3≈0.55,0.9≈0.95. 【解】 由已知数据可得x=2+4+5+6+85 =5,y=3+4+4+4+55 =4. 因为∑ 5 i=1 (xi-x)(yi-y)=(-3)×(-1)+0 +0+0+3×1=6,∑ 5 i=1 (xi-x)2 = (-3)2+(-1)2+02+12+32=2 5, ∑ 5 i=1 (yi-y)2= (-1)2+02+02+02+12=2, 所以相关系数r= ∑ 5 i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ 5 i=1 (xi-x)2 ∑ 5 i=1 (yi-y)2 = 6 2 5× 2 = 910≈0.95. 因为|r|>0.75, 所以可用线性回归模型拟合y与x 的关系. 一元线性回归模型应用要点 (1)建立经验回归方程的步骤 ①计算出x,y,x21+x22+…+x2n,x1y1+ x2y2+…+xnyn 的值; ②利用公式计算参数â,̂b; ③写出经验回归方程ŷ=̂bx+̂a. (2)经验回归方程的拟合效果,可以利用相 关系数判断,当|r|越接近于1时,两变量 的线性相关程度越强. [针对训练] 2.(2025·成都第一次诊断性检测)在2018年 俄罗斯世界杯期间,莫斯科的部分餐厅销售 了来自中国的小龙虾,这些小龙虾均标有等 级代码.为得到小龙虾等级代码数值x与销 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 204 名师大课堂 艺术生必备·数学 售单价y(单位:元)之间的关系,经统计得 到如下数据: 等级代 码数值x 38 48 58 68 78 88 销售单 价y/元 16.818.820.822.8 24 25.8 (1)已知销售单价y与等级代码数值x 之间 存在线性相关关系,求y关于x 的线性回归 方程(系数精确到0.1); (2)若莫斯科某餐厅销售的中国小龙虾的等 级代码数值为98,请估计该等级的中国小 龙虾销售单价为多少元? 参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2), …,(xn,yn),其回归直线ŷ=̂bx+̂a的斜率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为 b̂ = ∑ n i=1 xiyi-n􀭺x􀭵y ∑ n i=1 x2i-n􀭺x2 ,̂a=􀭵y-̂b􀭺x. 参考数据:∑ 6 i=1 xiyi=8440,∑ 6 i=1 x2i=25564. 独立性检验 (2024·全国甲卷(理))(12分)某工厂 进行生产线智能化升级改造.升级改造后, 从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150件进行检验,数据如下: 优级品 合格品 不合 格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表: 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品 的优级品率存在差异? 能否有99%的把握 认为 甲、乙 两 车 间 产 品 的 优 级 品 率 存 在 差异? (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p=0.5.设p 为升级改造后抽取的n 件产 品 的 优 级 品 率.如 果 p >p +1.65 p(1-p) n ,则认为该工厂产品的优级品率 提高了.根据抽取的150件产品的数据,能 否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产 品的优级品率提高了? (150≈12.247) 附:K2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,n=a +b+c+d. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.63510.828 【解】 (1)第1步:填写列联表 填写如下列联表: 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 第2步:作出完整的2×2列联表 则完整的2×2列联表如下: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 205 第十一章 统计与统计案例 优级品 非优级品 总计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 总计 96 54 150 第3步:根据公式求K2 K2=150× (26×30-70×24)2 96×54×50×100 =4.6875. 第4步:根据K2 的值判断 因为K2=4.6875>3.841,所以有95%的 把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在 差异;因为K2=4.6875<6.635,所以没有 99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品 率存在差异. (2)第1步:求出p 由题意可知p=96150=0.64 , 第2步:求出p+1.65 p (1-p) n 的值 又 p+1.65 p (1-p) n =0.5+1.65× 0.5×(1-0.5) 150 ≈0.5+1.65× 0.5 12.247≈0.57 , 第3步:由p 与p+1.65 p (1-p) n 的大小 关系判断 所以p>p+1.65 p (1-p) n ,所以能认为生 产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级 品率提高了. 1.比较几个分类变量有关联的可能性大小 的方法 (1)通过计算χ 2 的大小判断;χ 2 越大, 两变量有关联的可能性越大. (2)通过计算|ad-bc|的大小判断: |ad-bc|越大,两变量有关联的可能性 越大. 2.独立性检验的一般步骤 第一步:根据样本数据制成2×2列联表; 第二步:根据公式χ 2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 计算 x2 的 观测值; 第三步:比较观测值与临界值的大小关 系,作出推断. [针对训练] 3.(2025·长沙市统一模拟考试)为了解某校 学生参加社区服务的情况,采用按性别分层 抽样的方法进行调查,已知该校共有学生 960人,其中男生560人,从全校学生中抽 取了容量为n的样本,得到一周参加社区服 务时间的统计数据如下表: 超过1小时 不超过1小时 男 20 8 女 12 m (1)求m,n的值; (2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加 社区服务时间是否超过1小时与性别有关? 附: P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 206 名师大课堂 艺术生必备·数学 (2)用频率估计概率,可得从该市所有高三考生的理科数 学成绩中随机抽取1个,理科数学成绩位于[100,120)内 的概率为0.22+0.18=0.40=25 ,则随机变量Y 服从二 项分布B 3,25 ,故P(Y=k)=Ck3× 25 k × 35 3-k (k=0,1,2,3).所以P(Y=0)= 35 3 =27125 ;P(Y=1)= C13× 2 5× 3 5 2 =54125 ;P(Y=2)=C23× 2 5 2 ×35= 36 125 ;P(Y=3)= 25 3 = 8125. 所以Y 的分布列为 Y 0 1 2 3 P 27125 54 125 36 125 8 125 数学期望E(Y)=3×25= 6 5. (3)由(1)可知,μ=x=105,又σ=20,则μ-σ=105-20= 85,μ+σ=105+20=125,μ-2σ=105-2×20=65,μ+2σ =105+2×20=145,μ-3σ=105-3×20=45,μ+3σ= 105+3×20=165,芞以P(μ-σ<X<μ+σ)=P(85<X< 125)=0.05+0.14+0.22+0.18+0.08=0.67<0.6827, P(μ-2σ<X<μ+2σ)=P(65<X<145)=1-0.03- 0.01=0.96>0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=P(45<X <165)=1>0.9973,所以这套试卷得到好评. 第十一章 统计与统计案例 第一节 随机抽样 基础知识必备 1.(1)逐个 相等 (2)抽签法 随机数法 考点知能突破 针对训练 1.答案:0.75 解析:4次射击中有1次或2次击中目标的有:7140,1417,0371, 6011,7610,所以所求概率P=1-520= 15 20=0.75. 2.D 由题意,初中部和高中部学生人数之比为400200= 2 1 ,所 以抽取的60名学生中初中部应有60×23=40 (人),高中 部应有60×13=20 (人),所以不同的抽样结果共有C40400· C20200种,故选D. 3.答案:480 解析:由题意可得 80 592+563+520+528+517+a= 27 563+517 , 求得a=480. 第二节 用样本估计总体 基础知识必备 1.(1)最大值 最小值 组距 组数 分组 频率分布表 频率分布直方图 (2)中点 所分组数 组距 2.(1)出现次数最多 (2)最中间 (3) a1+a2+…+an n 考点知能突破 针对训练 1.答案:60 解析:由频率分布直方图得,2023年1月份,该院职工戴 口罩 购 物 次 数 不 低 于15的 职 工 所 占 频 率 为(0.05+ 0.01)×5=0.3,故2023年1月份,该院职工戴口罩购物 次数不低于15的职工人数约为0.3×200=60. 2.解:(1)填表如下: 成绩 [50,60) [60,70) [70,80)[80,90)[90,100) 频数 50 150 350 350 100 (2)平均数为55×0.05+65×0.15+75×0.35+85× 0.35+95×0.1=78, 方差s2=(-23)2×0.05+(-13)2×0.15+(-3)2× 0.35+72×0.35+172×0.1=101. (3)进入复赛选手的成绩为80+350- (380-100) 350 ×10= 82(分),所以初赛成绩为82分及其以上的选手均可进入 复赛. (说明:回答82分以上,或82分及其以上均可) 第三节 成对数据的统计分析 基础知识必备 3.(3)正相关 负相关 (4)1- Σ n i=1 (yi-̂yi)2 Σ n i=1 (yi-y)2 4.(1)频数表 a+b+c+d 考点知能突破 针对训练 1.C 由散点图可得两组数据均线性相关,且图①的线性回 归方程斜率为负,图②的线性回归方程斜率为正,则由散 点图可判断变量x与y 负相关,u与v 正相关.故选C. 2.解:(1)由题意,得􀭺x=38+48+58+68+78+886 =63 , 􀭵y=16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.86 =21.5 , b̂= ∑ 6 i=1 xiyi-6􀭺x􀭵y ∑ 6 i=1 x2i-6􀭺x2 =8440-6×63×21.525564-6×63×63≈0.2 , â=􀭵y-̂b􀭺x=21.5-0.2×63=8.9. 故所求线性回归方程为ŷ=0.2x+8.9. (2)由(1),知当x=98时,y=0.2×98+8.9=28.5. 所以估计该等级的中国小龙虾销售单价为28.5元. 3.解:(1)由已知,该校有女生400人,故12+m20+8= 400 560 , 得m=8,从而n=20+8+12+8=48. (2)作出2×2列联表如下: 超过1小时的人数 不超过1小时的人数 总计 男 20 8 28 女 12 8 20 合计 32 16 48 K2=48× (160-96)2 28×20×32×16= 24 35≈0.6857<3.841. 所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时 间是否超过1小时与性别有关. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —623—