第11章 第1节 随机抽样-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

第一节 随机抽样 1.简单随机抽样 (1)定义:一般地,设一个总体含有 N(N 为 正整数)个个体,从中 抽取n(1≤n <N)个个体作为样本,如果抽取是放回的, 且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概 率都 ,就把这种抽样方法叫做放回 简单随机抽样.如果抽取是不放回的,且每次 抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到 的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做 不放回简单随机抽样,放回简单随机抽样和 不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样方法有两种——— 和 . 2.分层随机抽样 按一个或多个变量把总体划分成若干个子 总体,每个个体属于且仅属于一个子总体, 在每个子总体中独立地进行简单随机抽样, 再把所有子总体中抽取的样本合在一起作 为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽 样,每一个子总体称为层. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 简单随机抽样 (1)(一题多解)用简单随机抽样的方法 从含有10个个体的总体中,抽取一个样本 量为3的样本,其中某一个体a“第一次被 抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性 分别是 ( ) A.110 ,1 10 B. 3 10 ,1 5 C.15 ,3 10 D. 3 10 ,3 10 (2)为了加强全民爱眼意识,提高民族健康 素质,1996年,国家卫生部、国家教育部、团 中央等12个部委联合发出通知,将爱眼日 活动列为国家节日之一,并确定每年的6月 6日为“全国爱眼日”.某校高二(1)班有40 名学生,学号为01到40,现采用随机数表 法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日” 宣传活动.已知随机数表中第6行至第7行 的各数如下: 1622779439 4954435482 173793 2378 8735209643 8426349164 84 42175331 5724550688 77047447 67 2176335035 8392120676 若从随机数表第6行第9列的数开始向右 读,则抽取的第5名学生的学号是 ( ) A.17 B.23 C.35 D.37 【解析】 (1)解法一:在抽样过程中,个体a每 一次被抽中的的可能性是相等的;因为总体容 量为10,故个体a“第一次被抽到”的可能性与 “第二次被抽到”的可能性均为1 10. 故选A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 197 解法二:第一次被抽到,显然为1 10 ;第二次被 抽到,首先第一次不能被抽到,第二次才被 抽到,可能性为9 10× 1 9= 1 10. 故选A. (2)根据随机数表,抽取的5名学生的学号 分别为39,17,37,23,35,所以抽取的第5 名学生的学号为35.故选C. 【答案】 (1)A (2)C 应用简单随机抽样应注意的问题 (1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两 点:一是制签是否方便;二是号签是否易搅 匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小 时可用抽签法; (2)在使用随机数法时,如遇到三位数或四 位数,可从选择的随机数表中的某行某列 的数字计起,每三个或四个作为一个单位, 自左向右选取,有超过总体号码或出现重 复号码的数字舍去. [针对训练] 1.(2025·武汉市武昌区调研考试)已知某射 击运动员每次射击击中目标的概率都为 80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员 4次射击至少3次击中目标的概率:先由计 算器产生0到9之间取整数值的随机数,指 定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8, 9表示击中目标;再以每4个随机数为一 组,代表4次射击的结果.经随机模拟产生 了如下20组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 据此估计,该射击运动员4次射击至少3次 击中目标的概率为 . 分层随机抽样 (1)(一题多解)某电视台在因特网上就 观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加 调查的一共有20000人,其中各种态度对 应的人数如下表所示: 最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 4800 7200 6400 1600 电视台为了了解观众的具体想法和意见,打 算从中抽取100人进行详细的调查,为此要 进行分层随机抽样,那么在分层抽样时,每 类人中应抽取的人数分别为 ( ) A.25,25,25,25 B.48,72,64,16 C.20,40,30,10 D.24,36,32,8 (2)我校高一、高二、高三共有学生2400 名,为了了解同学们对“智慧课堂”的意见, 计划采用分层随机抽样的方法,从这2400 名学生中抽取一个容量为48的样本.若从 高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到 大排列的连续偶数,则我校高二年级的学生 人数为 . 【解析】 (1)解法一:因为抽样比为 10020000 = 1200 ,所以每类人中应抽取的人数分别为 4800× 1200=24 ,7200× 1200=36 ,6400× 1 200=32 ,1600× 1200=8. 故选D. 解法二:最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例 为4800∶7200∶6400∶1600=6∶9∶8∶2, 所 以 每 类 人 中 应 抽 取 的 人 数 分 别 为 6 6+9+8+2×100=24 , 9 6+9+8+2×100 =36, 86+9+8+2×100=32 , 2 6+9+8+2 ×100=8. (2)设从高一年级抽取的学生人数为2x,则 从高二、高三年级抽取的人数分别为2x+ 2,2x+4.由题意可得2x+(2x+2)+(2x+ 4)=48,所以x=7. 故高二年级抽取16人, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 198 名师大课堂 艺术生必备·数学 设我校高二年级的学生人数为 N, 再根据 48 2400= 16 N ,求得 N=800. 【答案】 (1)D (2)800 分层随机抽样的注意事项 (1)分层随机抽样中分多少层及如何分层 要视具体情况而定,总的原则是层内样本 的差异要小,两层之间的样本差异要大,且 互不重叠. (2)为了保证每个个体等可能入样,故所有 层中每个个体被抽到的可能性相同. (3)抽样比= 样本容量 总体容量 = 各层抽取的个体数 该层的个体数 . (4)在每层抽样时,应采用简单随机抽样的 方法进行抽样. [针对训练] 2.(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参 加体育运动的情况,用比例分配的分层随机 抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部 两层共抽取60名学生,已知该校初中部和 高中部分别有400名和200名学生,则不同 的抽样结果共有 ( ) A.C45400·C15200种 B.C20400·C40200种 C.C30400·C30200种 D.C40400·C20200种 3.某高中各年级男、女生人数统计如表: 高一 高二 高三 男生 592 563 520 女生 528 517 a 按年级分层随机抽样,若抽取该校学生80人 中,高二学生有27人,则表中a= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二节 用样本估计总体 1.统计图表 (1)频率分布直方图的画法步骤 ①求极差(即一组数据中 与 的差); ②决定 与 ; ③将数据 ; ④列 ; ⑤画 . (2)频率分布折线图和总体密度曲线 ①频率分布折线图:连接频率分布直方图中 各小长方形上端的 ,就得到频率分 布折线图; ②总体密度曲线:随着样本容量的增加,作 图时 增加, 减小,相应的 频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线, 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 2.样本的数字特征 (1)众数:一组数据中 的那个数据, 叫做这组数据的众数. (2)中位数:把n个数据按大小顺序排列,处 于 位置的一个数据(或最中间两个 数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数:把 称为a1,a2, …,an 这n 个数的平均数. (4)标准差与方差:设一组数据x1,x2,x3, …,xn 的平均数为􀭺x,则这组数据的标准差 和方差分别是 s= 1n [(x1-􀭵x)2+(x2-􀭵x)2+…+(xn-􀭵x)2], s2=1n [(x1-􀭵x)2+(x2-􀭵x)2+…+(xn-􀭵x)2]. 3.百分位数 如果将一组数据按从小到大排序,并计算相 应的累计百分位,那么某一百分位所对应数 据的值就称为这一百分位的百分位数,可表 示为一组n个观测值按数值大小排列.如, 处于p%位置的值称为第p 百分位数或 p%分位数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 199 第十一章 统计与统计案例 (2)用频率估计概率,可得从该市所有高三考生的理科数 学成绩中随机抽取1个,理科数学成绩位于[100,120)内 的概率为0.22+0.18=0.40=25 ,则随机变量Y 服从二 项分布B 3,25 ,故P(Y=k)=Ck3× 25 k × 35 3-k (k=0,1,2,3).所以P(Y=0)= 35 3 =27125 ;P(Y=1)= C13× 2 5× 3 5 2 =54125 ;P(Y=2)=C23× 2 5 2 ×35= 36 125 ;P(Y=3)= 25 3 = 8125. 所以Y 的分布列为 Y 0 1 2 3 P 27125 54 125 36 125 8 125 数学期望E(Y)=3×25= 6 5. (3)由(1)可知,μ=x=105,又σ=20,则μ-σ=105-20= 85,μ+σ=105+20=125,μ-2σ=105-2×20=65,μ+2σ =105+2×20=145,μ-3σ=105-3×20=45,μ+3σ= 105+3×20=165,芞以P(μ-σ<X<μ+σ)=P(85<X< 125)=0.05+0.14+0.22+0.18+0.08=0.67<0.6827, P(μ-2σ<X<μ+2σ)=P(65<X<145)=1-0.03- 0.01=0.96>0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=P(45<X <165)=1>0.9973,所以这套试卷得到好评. 第十一章 统计与统计案例 第一节 随机抽样 基础知识必备 1.(1)逐个 相等 (2)抽签法 随机数法 考点知能突破 针对训练 1.答案:0.75 解析:4次射击中有1次或2次击中目标的有:7140,1417,0371, 6011,7610,所以所求概率P=1-520= 15 20=0.75. 2.D 由题意,初中部和高中部学生人数之比为400200= 2 1 ,所 以抽取的60名学生中初中部应有60×23=40 (人),高中 部应有60×13=20 (人),所以不同的抽样结果共有C40400· C20200种,故选D. 3.答案:480 解析:由题意可得 80 592+563+520+528+517+a= 27 563+517 , 求得a=480. 第二节 用样本估计总体 基础知识必备 1.(1)最大值 最小值 组距 组数 分组 频率分布表 频率分布直方图 (2)中点 所分组数 组距 2.(1)出现次数最多 (2)最中间 (3) a1+a2+…+an n 考点知能突破 针对训练 1.答案:60 解析:由频率分布直方图得,2023年1月份,该院职工戴 口罩 购 物 次 数 不 低 于15的 职 工 所 占 频 率 为(0.05+ 0.01)×5=0.3,故2023年1月份,该院职工戴口罩购物 次数不低于15的职工人数约为0.3×200=60. 2.解:(1)填表如下: 成绩 [50,60) [60,70) [70,80)[80,90)[90,100) 频数 50 150 350 350 100 (2)平均数为55×0.05+65×0.15+75×0.35+85× 0.35+95×0.1=78, 方差s2=(-23)2×0.05+(-13)2×0.15+(-3)2× 0.35+72×0.35+172×0.1=101. (3)进入复赛选手的成绩为80+350- (380-100) 350 ×10= 82(分),所以初赛成绩为82分及其以上的选手均可进入 复赛. (说明:回答82分以上,或82分及其以上均可) 第三节 成对数据的统计分析 基础知识必备 3.(3)正相关 负相关 (4)1- Σ n i=1 (yi-̂yi)2 Σ n i=1 (yi-y)2 4.(1)频数表 a+b+c+d 考点知能突破 针对训练 1.C 由散点图可得两组数据均线性相关,且图①的线性回 归方程斜率为负,图②的线性回归方程斜率为正,则由散 点图可判断变量x与y 负相关,u与v 正相关.故选C. 2.解:(1)由题意,得􀭺x=38+48+58+68+78+886 =63 , 􀭵y=16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.86 =21.5 , b̂= ∑ 6 i=1 xiyi-6􀭺x􀭵y ∑ 6 i=1 x2i-6􀭺x2 =8440-6×63×21.525564-6×63×63≈0.2 , â=􀭵y-̂b􀭺x=21.5-0.2×63=8.9. 故所求线性回归方程为ŷ=0.2x+8.9. (2)由(1),知当x=98时,y=0.2×98+8.9=28.5. 所以估计该等级的中国小龙虾销售单价为28.5元. 3.解:(1)由已知,该校有女生400人,故12+m20+8= 400 560 , 得m=8,从而n=20+8+12+8=48. (2)作出2×2列联表如下: 超过1小时的人数 不超过1小时的人数 总计 男 20 8 28 女 12 8 20 合计 32 16 48 K2=48× (160-96)2 28×20×32×16= 24 35≈0.6857<3.841. 所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时 间是否超过1小时与性别有关. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —623—