第10章 第2节 二项式定理-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

[针对训练] 5.(2025·四川宜宾模拟)市教体局选派5名 专家到A,B,C 三所学校指导高三工作,要 求每所学校至少派一名专家,则不同的派法 种数是 ( ) A.90 B.150 C.240 D.300 6.(2025·湖北黄石第二中学模拟)某校举办 了“祖国,你好”的诗歌朗诵比赛,该校高三 年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生 中选派4名学生参加,要求甲、乙、丙这3名 同学中至少有1人参加,且当这3名同学都 参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么 选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为 ( ) A.720 B.768 C.810 D.816 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二节 二项式定理 1.二项式定理 二项式定理 (a+b)n=C0nan+C1nan-1b1+…+ Cknan-kbk+…+Cnnbn(n∈N*) 二项展开式 的通项公式 Tk+1=Cknan-kbk,它表示第 项 二项式系数 二项展开式中各项的系数Ckn(k =0,1,2,…,n) 2.二项式系数的性质 (1)当n是偶数时,Tn2+1项的二项式系数C n 2 n 最大;当n是奇数时,Tn+12 与Tn+12 +1项的二项 式系数C n-1 2 n 与C n+1 2 n 相等且最大. (2)(a+b)n 展开式的二项式系数和:C0n+ C1n+C2n+…+Cnn= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二项展开式的特定项(系数) 角度一 求解形如(a+b)n(n∈N*)的展开式 中与特定项相关的量 (2024·北京卷)在 x- x 4 的展开式 中,x3 的系数为 ( ) A.6 B.-6 C.12 D.-12 【解析】 解法一(公式法) (x- x)4 的展 开式的通项Tr+1=Cr4x4-r(- x)r=(-1)r Cr4x 4-r2(r=0,1,2,3,4).由4-r2=3 ,得r =2,所以(x- x)4 的展开式中x3 的系数 为(-1)2C24=6. 解法二(组合数法) (x- x)4 的展开式中 含x3 的项是由(x- x)(x- x)(x- x) (x- x)中任意取2个括号内的x 与剩余 的2个括号内的(- x)相乘得到的,所以 (x- x)4 的展开式中含x3 的项为C24x2· C22(- x)2=6x3,所以(x- x)4 的展开式 中x3 的系数为6. 【答案】 A 角度二 求解形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈ N*)的展开式中与特定项相关的量 (2025·江西南昌模拟)已知(x-1)(ax +1)6 的展开式中含x2 项的系数为0,则正 实数a= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 183 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 【解析】 (ax+1)6 的展开式中x2 项的系 数为C46a2,x项的系数为C56a,由(x-1)(ax +1)6 的展开式中含x2 项的系数为0,可得 -C46a2+C56a=0,因 为a 为 正 实 数,所 以 15a=6,所以a=25. 【答案】 25 角度三 求解形如(a+b+c)n(n∈N*)的展 开式中与特定项相关的量 (1)(x2-x+1)10的展开式中x3 项的系 数为 ( ) A.-210 B.210 C.30 D.-30 (2)(x2+x+y)5 的展开式中x5y2 的系数 为 ( ) A.10 B.20 C.30 D.60 【解析】 (1)(x2-x+1)10=[x2-(x-1)]10= C010(x2)10 - C110 (x2)9 (x - 1)+ … -C910x2(x-1)9+C1010(x-1)10, 所以含x3 项的系数为: -C910C89+C1010(-C710)=-210.故选A. (2)(x2+x+y)5 的展开式的通项为Tr+1= Cr5(x2+x)5-r·yr,令r=2,则 T3=C25(x2 +x)3y2,又(x2+x)3 的 展 开 式 的 通 项 为 Tk+1=Ck3(x2)3-k·xk=Ck3x6-k,令6-k=5, 则k=1,所以(x2+x+y)5 的 展 开 式 中, x5y2 的系数为C25C13=30,故选C. 【答案】 (1)A (2)C 1.对于几个多项式和的展开式中的特定项 (系数)问题,只需依据二项展开式的通 项,从每一项中分别得到特定的项,再求 和即可. 2.对于几个多项式积的展开式中的特定项 (系数)问题,一般都可以根据因式连乘 的规律,结合组合思想求解,但要注意适 当地运用分类的方法,以免重复或遗漏. 3.(a+b+c)n 的展开式中特定项的求解方法: [针对训练] 1.在 x-1x (2x-1)6 的展开式中,x3 的系数 是 .(用数字作答) 2. 3x- 1 2 3x 10 的展开式中所有的有理项为 . 3.(2025·安徽合肥检测)x-1x+1 5 的展 开式中的常数项为 . 二项式系数的性质或各项系数和 (1)(2025·安徽合肥模拟)已知(ax+ b)6 的展开式中,x4 的系数与x5 的系数分 别为135与-18,则(ax+b)6 的展开式中 所有项的系数之和为 ( ) A.-1 B.1 C.32 D.64 (2)(2020·浙江高考)二项展开式(1+2x)5 =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则 a4= ,a1+a3+a5= . (3)若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+ a4x4,则a1+a2+a3+a4= . 【解析】 (1)由二项展开式的通项公式可 知,x4 的系数为C26a4b2,x5 的系数为C16a5b, 则 C26a4b2=135, C16a5b=-18, 解得a+b=±2, 故(ax+b)6 的展开式中所有项的系数之和 为(a+b)6=64.故选D. (2)二项展开式的通项 Tr+1=Cr5(2x)r=Cr5·2rx', 所以a4=C45·24=80; a1+a3+a5=C15×2+C35×23+C55×25=10 +80+32=122. (3)令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=1. 令x=0,可得a0=1, 所以a1+a2+a3+a4=0. 【答案】 (1)D (2)80;122 (3)0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 184 名师大课堂 艺术生必备·数学 赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式,对于a, b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为 一些特殊的值,在使用赋值法时,令a,b等 于多少,应视具体情况而定,一般取1,-1 或0.有时也取其他值,如: (1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈ R)的式子,求其展开式的各项系数之和, 只需令x=1即可. (2)形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子,求其 展开式的各项系数之和,只需令x=y=1 即可. [针对训练] 4.(2025·内蒙古包头模拟)已知(2x-1)5= a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则|a0| +|a1|+…+|a5|= ( ) A.1 B.243 C.121 D.122 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第三节 随机事件的概率与古典概型 1.有限样本空间与随机事件 (1)样本点:随机试验的每个可能的基本 结果. (2)样本空间:全体样本点的集合,一般用Ω 表示. (3)有限样本空间:样本空间Ω={w1,w2, …,wn}. (4)随机事件(事件):样本空间Ω的子集. (5)基本事件:只包含一个样本点的事件. 2.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含 关系 如果事件A 发生,则 事件B , 这时称事 件 B 包 含 事件A(或称事件 A 包含于事件B) (或 ) 相等 关系 若B⊇A且 , 那么称事件 A 与事 件B 相等 续表 并事 件(和 事件) 若某事件发生 , 则称此事件为事件A 与事件B 的 并 事 件 (或和事件) (或 ) 交事 件(积 事件) 若某事件发生 ,则称此事件为 事件 A 与事件B 的 交事件(或积事件) (或 ) 互斥 事件 若A∩B 为 事件,那么称事件 A 与事件B 互斥 A∩B=⌀ 对立 事件 若A∩B 为 事件,A∪B为 , 那么称事件A 与事件 B互为对立事件 A∩B=⌀ 且A∪B=Ω 3.古典概型 (1)特点 ①有限性:样本空间的样本点 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 185 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 所以e=ca<2 , 又在△PF1F2中, ∠PF1F2+∠PF2F1=4∠PF1F2<180°, ∠PF1F2<45°, 所以c 2a=cos∠PF1F2> 2 2 , 即e=ca> 2 , 综上,2<e<2. 2.B 设P(x0,y0),M(0,b), 因为 x20 a2 +y 2 0 b2 =1,a2=b2+c2, 所以|PM|2=x20+(y0-b)2 =a2 1-y 2 0 b2 +(y0-b)2 =-c 2 b2 y0+ b3 c2 2 +b 4 c2 +a2+b2,-b≤y0≤b, 由题意知,当y0=-b时,|PM|2取得最大值, 所以-b 3 c2 ≤-b,可得a2≥2c2, 即e2≤12 ,则0<e≤ 22. 3.B 在△F1PF2中,由e= c a = 2c 2a= |F1F2| |PF1|-|PF2| = sin∠F1PF2 sin∠PF2F1-sin∠PF1F2 = 3 2 sin π3+θ -sinθ = 32 · 1 cos π6+θ . 因为e∈(62 ,3),所以cos(π6+θ )∈(12 ,2 2 ),所以π 6+θ ∈(π4 ,π 3 ), 所以θ的取值范围为(π12 ,π 6 ). 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第一节 两个计数原理、排列与组合 基础知识必备 1.(1)m+n (2)m×n 2.(1)一定的顺序 (2)①所有不同排列 Amn ②所有不同组合 Cmn (3)n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 1 n! Cmn+Cm-1n 考点知能突破 针对训练 1.B 分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路 径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径,由分 步乘法计数原理可知有6×3=18(条)可以选择的最短路 径,故选B. 2.D 解法一(分步法):由题意,先涂A 处共有5种涂法,再 涂B 处有4种涂法,然后涂C处,若C处与A 处所涂颜色 相同,则C处共有1种涂法,D 处有4种涂法;若C 处与 A 处所涂颜色不同,则C处有3种涂法,D处有3种涂法,由 此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4+3×3)=260(种). 解法二(分类法):第一类:涂四种不同颜色有A45=120(种) 涂法;第二类:涂三种不同颜色有2A35=2×60=120(种)涂 法;第三类:涂两种不同颜色有A25=20(种)涂法,综上可知不 同涂色方法有120+120+20=260(种).故选D. 3.A 除甲、乙外,其余5个人站成一行,有A55 种排法,这5 个人之间和两端共有6个位置,从中选2个排甲、乙,有 A26种排法,故不同的排法种数是A55A26=3600.故选A. 4.C 若一名学生只选物理和历史中的一门,则有C12C24= 12种组合;若一名学生物理和历史都选,则有C14=4种组 合,因此共有12+4=16种组合.故选C. 5.B 由题意可知,每所学校去的人数可以是1,1,3或2,2, 1,所以不同的派法种数是 C35+ C25C23 A22 A33=150. 6.B 分三种情况:①甲、乙、丙三名同学中都参加,不同的 朗诵顺序有C14A44=96种,其中甲、乙相邻的朗诵顺序有 C14A22A33=48种,所以甲、乙、丙三名同学都参加时,甲和 乙的朗诵顺序不能相邻的顺序有96-48=48(种);②甲、 乙、丙三 名 同 学 中 恰 有 一 人 参 加,不 同 的 朗 诵 顺 序 有 C34C13A44=288种;③甲、乙、丙三名同学中恰有两人参加, 不同的朗诵顺序有C24C23A44=432种.则选派的4名学生 不同的朗诵顺序有48+288+432=768(种).故选B. 第二节 二项式定理 基础知识必备 1.k+1 2.(2)2n 考点知能突破 针对训练 1.答案:-180 解析:由题意得,x-1x (2x-1)6 的展开式中含x3 的 项为xC46(2x)2(-1)4+ - 1 x C26·(2x)4(-1)2= -180x3,所以展开式中x3的系数为-180. 2.答案:454x 2,-638 ,45 256x -2 解析:二项展开式的通项为Tk+1=Ck10 - 1 2 k x 10-2k 3 ,由 题意10-2k 3 ∈Z ,且 0≤k≤10,k∈N.令10-2k3 = r(r∈Z),则10-2k=3r,k=5-32r ,因为k∈N,所以r应 为偶数.所以r可取2,0,-2,即k可取2,5,8,所以第3 项,第6项与第9项为有理项,它们分别为454x 2,-638 , 45 256x -2. 3.答案:11 解析:x-1x+1 5 = x-1x +1 5 , 展开式的通项Tk+1=Ck5 x- 1 x 5-k . 当k=5时,常数项为C55=1, 当k=3时,常数项为-C12C35=-20, 当k=1时,常数项为C45C24=30. 综上所述,常数项为1-20+30=11. 4.B 令x=1,得a5+a4+a3+a2+a1+a0=1①,令x= -1,得-a5+a4-a3+a2-a1+a0=-243②,①+②,得 2(a4+a2+a0)=-242,即a4+a2+a0=-121.①-②, 得2(a5+a3+a1)=244,即a5+a3+a1=122.所以|a0| +|a1|+…+|a5|=122+121=243. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —423—