河北省唐县第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

试卷第 1页，共 5页 唐县第一中学 2025--2026 学年高二 9 月开学考数学试题 命题人： 赵恒素 审题人：马瑞兰 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．在复平面内，复数 1 1 iz   ， 2 2 iz   ，则 1 2z z 对应的点的坐标是（ ） A．  3, 2 B．  1,0 C．  1, 3 D．  3, 3 2．已知向量 )1,(a  ， (2,3 5)b    ，且 ( )  b a / / b  ，则实数 （ ） A． 5 B． 10 C．5 D．10 3．已知向量 ,a b   满足 2, 1, 2a b a b        ，则a  在b  方向上的投影向量是（ ） A． 8 a r B． 4 a r C． 4 b r D． 2  b 4．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图 所示)， 45ABC  ， 1AB AD  ，DC BC ，则这块菜地的面积为（ ） A． 21 2  B． 22 C． 22 2  D． 1 2 2 2  5．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000人，并根 据所得数据制作了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、 学历、职业等方面的关系，要从这 10000人中再 用分层随机抽样的方法抽出100人做进一步调查， 则在[2500,3000)段应抽出（ ） A．25人 B．50人 C．100人 D．125人 6．一艘轮船以 18海里/时的速度沿北偏东40的方向直线航行，在行驶到某处时，该 轮船南偏东 20方向 10海里处有一灯塔，继续行驶 20分钟后，轮船与灯塔的距离为 （ ） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 7．底面半径为 3，侧面展开图的扇形圆心角为 2π3 的圆锥侧面积为（ ） 试卷第 2页，共 5页 A．9π B． 6π C． 4 3π D．3 3π 8．如图，在∆ABC 中，点 ,D E满足 2BC BD   ， 3CA CE   .若  ,DE xAB yAC x y  R    ， 则 x y （ ） A． 13 B． 1 2  C． 13 D． 1 2 9．已知 2cos( )cos( ) (0 ) 4 4 6 2          ,则 sin 2 等于 ( ) A． 2 3 B． 7 6 C． 34 6 D． 7 3 10．已知直三棱柱 1 1 1ABC ABC 的底面为直角三角形，且两直角边长分别为 1和2 3，此 三棱柱的高为 3，则该三棱柱的外接球的体积为( ) A． 83  B．163  C． 323  D． 643  二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分） 11．10件同类产品中，有 8件是正品，2件是次品，从中任意抽出 3件，与事件“1 件正品 2件次品”互斥而不对立的事件为（ ） A．恰有 1件次品 B．至多有 1件次品 C．至少有 1件次品 D．都是正品 12．已知点 P是∆ABC 的中线 BD上一点（不包含端点），且 AP xAB yAC     ，则下列 说法正确的是（ ） A． 2 1x y  B． xy的最大值为 19 C． 2 2x y 的最小值为 15 D． 1 2 x y  的最小值是 9 13．如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 1，则下列四个命题正确的是（ ） A．直线 BC与平面 1 1ABC D 所成的角等于 π4 B．点C到面 1 1ABC D 的距离为 22 C．两条异面直线 1DC和 1BC 所成的角为 π4 试卷第 3页，共 5页 D．二面角 1C BC D  的平面角的余弦值为 3 3 三、填空题（本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 14. 2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志 成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出 4名医生， 2名护士支援湖北，现从这 6人中任选 2人定点支援湖北某医院，则恰有 1名医生和 1名护士被选中的概率为 . 15. 先把函数   sin cosf x x x  的图象上所有点的横坐标变为原来的 2倍，纵坐标不变， 再把所得曲线向右平移 π 4个单位长度，得到函数  g x 的图象，求函数  g x 图象的对称 轴 ． 四、解答题（本题共 3小题，共 42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分）端午节,又称端阳节、龙舟节、天中节等,源于自然天象崇拜,由上古时代 祭龙演变而来.端午节与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日.某社区为丰富 居民业余生活,举办了关于端午节文化习俗的知识竞赛，比赛共分为两轮:在第一轮比 赛中,每位选手均需参加两关比赛,若其在两关比赛中均达标,则进入第二轮比赛.已知 在第一轮比赛中,选手A、 B第一关达标的概率分别为 45， 2 3；第二关达标的概率分别 是 3 4， 3 5， A、 B在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响. (1)分别求出A、 B进入第二轮比赛的概率； (2)若A、 B两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率. 试卷第 4页，共 5页 17．（15分）已知向量    sin ,2cos , 2 3cos ,cosa x x b x x  ，函数  f x a b   ． (1)求函数  f x 的周期T及对称中心； (2)将函数  f x 的图象向右平移 π6个单位长度，然后再向下平移 1个单位长度，最后使 图象上所有点的纵坐标变为原来的 1 2 倍，横坐标不变，得到函数  g x 的图象．当 π π, 4 6 x      时，   1 0 2 g x m   恒成立，求实数m的取值范围． 18．（15分）记∆ABC 的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，已知  cos 3 sinb c a C C   ，D 为边 BC上一点， 2 , 3BD DC AD  ． (1)求A； (2)若 AD平分 BAC ，求a． 试卷第 5页，共 5页 答案第 1页，共 1页 答案第 1页，共 2页 2025 年高二 9 月开学考数学试题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C A D A A D C 题号 11 12 13 答案 AD ACD ABD 14． 8 15 15． 7π 2 π 4 x k  ， Zk ， 16．(1) 3 5 ， 2 5 (2) 19 25 【详解】（1）由选手A、 B第一关达标的概率分别为 4 5 ， 2 3 ；第二关达标的概率分别是 3 4 ， 3 5 ， 记“A、 B进入第二轮比赛”分别为事件 1M 和事件 2M ， 则  1 4 3 3 5 4 5 P M    ，  2 2 3 2 3 5 5 P M    . 所以A、 B进入第二轮比赛的概率分别为 3 5 和 2 5 . （2）记“两人中至少有一人进入第二轮比赛”为事件 3M ， 则  3 3 2 191 1 1 5 5 25 P M                 . 所以两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率为 19 25 . 17．(1) πT  ，对称中心为  kπ π ,1 2 12 k      Z ；(2) 1m  ． 【详解】（1）   2 1 32cos 2 3sin cos cos2 1 3sin2 2 cos2 sin2 1 2 2 f x x x x x x x x               π2sin 2 1 6 x       ． πT  ， 令    π π π2 π , 6 2 12 kx k k x k      Z Z ． 对称中心为  kπ π ,1 2 12 k      Z ； （2）由（1）知，   π2sin 2 1 6 f x x       ， 由题意，   1 π π1 =sin 2 2 6 6 g x f x x                ， 答案第 2页，共 2页 当 π π, 4 6 x      时，  π 2π π 12 , , 1, 6 3 6 2 x g x               ，   1 0 2 g x m   恒成立   1 2 m g x   恒成立 max 1 1 1( ) 1 2 2 2 m g x      ． 1m  ． 18．(1) π 3 A  (2) 9 2 a  ． 【详解】（1）因为  cos 3 sinb c a C C   ， 由正弦定理得  sin sin sin cos 3 sinB C A C C   ， 则    sin sin sin cos 3 sinA C C A C C    ， 即 cos sinC sin 3 sin sinA C C A  ， 因为  0, πC ，所以sin 0C  ，所以 3 sin cos 1A A  ，即 π 1sin 6 2 A      ． 又因为  0, πA ，所以 π 3 A  ． （2）因为 AD平分 BAC ，所以 2 c BD b DC   ，即 2c b ， 由面积相等得 1 π 1 π 1 π3 2 sin 3 sin 2 sin 2 6 2 6 2 3 b b b b           ， 解得 3 3 2 b  ，所以 3 3c  ． 由余弦定理得   2 22 3 3 3 3 π 813 3 2 3 3 cos 2 2 3 4 a              ，所以 9 2 a  ．