第3章 第5节 指数、指数函数-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

f(x)=(x+a)ln2x-12x+1 为偶函数,则y=x+a也应为奇 函数,所以a=0,故选B. 优解:因为f(x)=(x+a)ln2x-12x+1 为偶函数,f(-1)= (a-1)ln3,f(1)=(a+1)ln13=- (a+1)ln3,所以(a -1)ln3=-(a+1)ln3,解得a=0,故选B. 3.答案:1 -13 解析:因 为 f(x+2)= - 1f(x) ,所 以 f(x+4)= - 1f(x+2)=f (x),所以函数y=f(x)的周期T=4. f(17)=f(4×4+1)=f(1)=1. f(20)=f(4×4+4)=f(4)=f(2+2) =- 1f(2)=- 1 2×2-1=- 1 3. 4.B 由f(x)=f(2-x)得f(x)的图象关于直线x=1对 称.又f(x)是偶函数,故函数f(x)的周期是2,f(x)在区 间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数.故 选B. 第四节 幂函数与二次函数 基础知识必备 2. -∞,-b2a -b2a,+∞ -∞,-b2a -b2a ,+∞ b=0 -b2a,4ac-b 2 4a 考点知能突破 针对训练 1.AD 因为幂函数y=xα 的图象过点(2,8),所以2α=8, 解得α=3,所以y=x3.函数y=x3的图象过原点,所以A 选项中说法正确;函数y=x3是奇函数,所以B选项中说 法错误;函数y=x3 在 R上递增,所以C选项中说法错 误;函数y=x3值域为R,所以D选项中说法正确. 2.A 因为二次函数f(x)=ax2+bx+5的图象的对称轴 是直线x=1,所以-b2a=1 ①. 又f(-1)=a-b+5= 11,所以a-b=6 ②.联立①②,解得a=2,b=-4,所以 a+b=-2,故选A. 3.D 当a=0时,f(x)为减函数,不符合题意;当a≠0时,函 数f(x)=ax2-2x+3的图象的对称轴为x=1a ,要使 f(x)在区间[1,3]上为增函数,则 a<0, 1 a≥3 或 a>0, 1 a≤1 , 解得 a≥1.故选D. 第五节 指数、指数函数 基础知识必备 1.(1)根式 2.(1) n am 1n am 没有意义 (2)①ar+s ②ars ③arbr 3.(2)上方 (0,+∞) 单调递增 单调递减 y=1 0< y<1 y>1 y>1 0<y<1 考点知能突破 针对训练 1.解:(1)原式=1+14× 4 9 1 2 - 1100 1 2 =1+14× 2 3- 1 10=1+ 1 6- 1 10= 16 15. (2)原式= (a3b2a 1 3b 2 3) 1 2 ab2a- 1 3b 1 3 =a 3 2+ 1 6-1+ 1 3b1+ 1 3-2- 1 3=ab . 2.D 由f(x)=ax-b的图象可以观察出函数f(x)=ax-b在 定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=ax-b的图 象是在f(x)=ax 的基础上向左平移得到的,所以b<0. 故选D. 3.C 设t=x2+2x-1,则y= 12 t .因为0<12<1 ,所以 y= 12 t 为关于t的减函数.因为t=(x+1)2-2≥-2, 所以0<y= 12 t ≤ 12 -2 =4,故所求函数的值域为 (0,4].故选C. 4.C 因为x>0时,1<bx,所以b>1.因为x>0时,bx< ax,所以x>0时,ab x >1,所以ab >1 ,所以a>b.所以 1<b<a.故选C. 5.答案:{x|x>4或x<0} 解析:因为f(x)为偶函数, 当x<0时,-x>0,则f(x)=f(-x)=2-x-4. 所以f(x)= 2x-4,x≥0, 2-x-4,x<0. 当f(x-2)>0时,有 x-2≥0, 2x-2-4>0 或 x-2<0,2-x+2-4>0, 解得x>4或x<0. 所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}. 第六节 对数、对数函数 基础知识必备 1.logaN 2.(1)①N (3)①logaM+logaN ②logaM-logaN 3.(0,+∞) (1,0) 增函数 减函数 4.y=x 考点知能突破 针对训练 1.答案:0 解析:原式=3+2×0-3×1+3×0=0. 2.A 由题意,a>0且a≠1,所以函数g(x)=lgax 单调递 减,故排除B、D; 对于A、C,由函数f(x)=1ax 的图象可知0<a<1,对于函 数g(x)=lgax ,g(1)=lga<0,故A正确,C错误. 3.C 由题意得a>0且a≠1,故必有a2+1>2a,又loga(a2 +1)<loga2a<0,所以0<a<1,且2a>1,所以a> 1 2. 故 a的取值范围是 12 ,1 .故选C. 4.BCD f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)], 由 x-2>0, 6-x>0 得函数的定义域为(2,6).令t=(x-2)· (6-x),因为二次函数t=(x-2)(6-x)=-x2+8x-12 在(2,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,且当x=4时, t=4,所以t=(x-2)(6-x)∈(0,4].又函数y=lnt在 t∈(0,4]上 单 调 递 增,所 以 由 复 合 函 数 的 单 调 性 可 得 f(x)在(2,4)上单调递增,在[4,6)上单调递减,故A错 误.因为t∈(0,4],所以y=lnt∈(-∞,2ln2],即f(x)∈ (-∞,2ln2],所以f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2,无 最小值,故B、C正确.因为f(4-x)=ln(4-x-2)+ln(6 -4+x)=ln(2-x)+ln(2+x),f(4+x)=ln(4+x- 2)+ln(6-4-x)=ln(2+x)+ln(2-x),所以f(4-x) =f(4+x),所以f(x)的图象关于直线x=4对称,故D 正确.故选BCD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —303— 第五节 指数、指数函数 1.根式的概念及性质 (1)概念:式子na叫做 ,其中n叫 做根指数,a叫做被开方数. (2)性质:(na)n=a(a使na有意义);当n为 奇数时,nan=a,当n 为偶数时, n an=|a| = a,a≥0, -a,a<0. 2.分数指数幂 (1)规定:正数的正分数指数幂的意义是 a m n = (a>0,m,n∈N*,且n>1); 正数的负分数指数幂的意义是a- m n = (a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指 数幂等于0;0的负分数指数幂 . (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras= (a>0,r,s∈Q); ②(ar)s= (a>0,r,s∈Q); ③(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的定义、图象与性质 (1)定义:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指 数函数,其中指数x是自变量,函数的定义 域是R,a是底数. (2)指数函数的图象与性质 函数 y=ax(a>0,且a≠1) 图象 a>1 0<a<1 图象 特征 在x轴 ,过定点(0,1) 当x逐渐增大时, 图象逐渐上升 当x逐渐增大 时,图象逐渐 下降 性 质 定义域 R 值域 单调性 函数值 变化规 律 当x=0时, 当x<0时, ; 当x>0时, 当x<0时, ; 当x>0时, 指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性 质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1 与0<a<1(两种情况)来研究. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 指数幂的化简与求值 (1)计 算:- 32 -2 + -278 -23 + (0.002)- 1 2= . (2)化简4a 2 3·b- 1 3÷ -23a -13b 2 3 的结果为 . (3)计算:279 0.5 +0.1-2+ 21027 -23 -3π0 +3748= . (4)已知x 1 2 +x- 1 2 =3,则x2+x-2+3= . 【解析】 (1)原式=- 23 2 + -32 3􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 -23 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 26 名师大课堂 艺术生必备·数学 + 1500 -12 =-49+ 4 9+10 5=10 5. (2)原 式 = 4÷ -23 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 a 2 3- - 1 3 b- 1 3- 2 3 = -6ab-1=-6ab . (3)原式= 259 1 2 + 1 0.12 + 6427 -23 -3+3748 =53+100+ 9 16-3+ 37 48=100. (4)由x 1 2+x- 1 2=3,得x+x-1+2=9, 所以x+x-1=7,所以x2+x-2+2=49, 所以x2+x-2=47,所以x2+x-2+3=50. 【答案】 (1)10 5 (2)-6ab (3)100 (4)50 [针对训练] 1.化简下列各式: (1)235 0 +2-2× 214 -12 -(0.01)0.5; (2) a 3b2 3 ab2 (a 1 4b 1 2)4a- 1 3b 1 3 (a>0,b>0). 指数函数的图象及应用 (1)函数f(x)=21-x的大致图象为 ( ) (2)若函数y=|3x-1|在(-∞,k]上单调 递减,则k的取值范围为 . 【解析】 (1)函数f(x)=21-x=2× 12 x , 单调递减且过点(0,2),选项A中的图象符 合要求. (2)函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x 的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴 下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的, 函数图象如图所示. 由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以 k的取值范围为(-∞,0]. 【答案】 (1)A (2)(-∞,0] 应用指数函数图象的3个技巧 (1)画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图 象,应 抓 住 三 个 关 键 点:(1,a),(0, 1),-1,1a . (2)已知函数解析式判断其图象一般是取 特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若 不满足则排除. (3)对于有关指数型函数的图象问题,一般 是从最基本的指数函数的图象入手,通过 平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底 数a与1的大小关系不确定时应注意分类 讨论. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 27 第三章 函数及其应用 [针对训练] 2.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b 为常数,则下列结论正确的是 ( ) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 指数函数的性质及应用 角度一 比较指数幂的大小 已知a= 12 2 3 ,b=2- 4 3,c= 12 1 3 ,则下 列关系式中正确的是 ( ) A.c<a<b B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 【解析】 把b化简为b= 12 4 3 ,而函数y= 1 2 x 在R上为减函数,又43> 2 3> 1 3 ,所以 1 2 4 3 < 12 2 3 < 12 1 3 ,即b<a<c. 【答案】 B 比较指数幂大小的常用方法 一是单调性法,不同底的指数函数化同底 后就可以应用指数函数的单调性比较大 小,所以能够化同底的尽可能化同底. 二是取中间值法,不同底、不同指数的指数 函数比较大小时,先与中间值(特别是0, 1)比较大小,然后得出大小关系. 三是图解法,根据指数函数的特征,在同一 平面直角坐标系中作出它们的函数图象, 借助图象比较大小. 角度二 解简单的指数方程或不等式 不等式 1 2 x2+ax < 12 2x+a-2 恒成立,则 a的取值范围是 . 【解析】 由题意,y= 12 x 是减函数, 因为 1 2 x2+ax < 12 2x+a-2 恒成立, 所以x2+ax>2x+a-2恒成立, 所以x2+(a-2)x-a+2>0恒成立, 所以Δ=(a-2)2-4(-a+2)<0, 即(a-2)(a-2+4)<0, 即(a-2)(a+2)<0, 解得-2<a<2,即a的取值范围是(-2,2). 【答案】 (-2,2) 解简单的指数方程或不等式问题时,应利 用指数函数的单调性转化为一般方程或不 等式求解.要特别注意底数a的取值范围, 并在必要时进行分类讨论. 角度三 研究指数型函数的性质 (1)函数f(x)= 12 -x2+2x+1 的单调递 减区间为 . (2)已知函数f(x)=2|2x-m|(m 为常数),若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则m 的 取值范围是 . 【解析】 (1)设u=-x2+2x+1,因为y= 1 2 u 在 R 上为减函数,所以函数f(x)= 1 2 -x2+2x+1 的减区间即为函数u=-x2+ 2x+1的增区间.又u=-x2+2x+1的增 区间为(-∞,1], 所以函数f(x)的减区间为(-∞,1]. (2)令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间 m 2 ,+∞􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 上单调递增,在区间 -∞,m2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 上 单调递减.而y=2t 为 R上的增函数,所以 要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调 递增,则有m 2≤2 ,即m≤4,所以m 的取值范 围是(-∞,4]. 【答案】 (1)(-∞,1] (2)(-∞,4] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 28 名师大课堂 艺术生必备·数学 求指数型复合函数的单调区间和值域的方法 (1)形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数求 值域时,要借助换元法:令u=f(x),先求 出u=f(x)的值域,再利用y=au 的单调 性求出y=af(x)的值域. (2)形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数单 调性的判断,首先确定定义域D,再分两种 情况讨论:当a>1时,若f(x)在区间(m, n)上(其中(m,n)⊆D)具有单调性,则函 数y=af(x)在区间(m,n)上的单调性与 f(x)在区间(m,n)上的单调性相同;当0 <a<1时,若f(x)在区间(m,n)上(其中 (m,n)⊆D)具有单调性,则函数y=af(x) 在区间(m,n)上的单调性与f(x)在区间 (m,n)上的单调性相反. [针对训练] 3.函数y= 12 x2+2x-1 的值域是 ( ) A.(-∞,4) B.(0,+∞) C.(0,4] D.[4,+∞) 4.已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),当x>0时, 1<bx<ax,则 ( ) A.0<b<a<1 B.0<a<b<1 C.1<b<a D.1<a<b 5.若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0), 则不等式f(x-2)>0的解集为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第六节 对数、对数函数 1.对数的概念 如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做 以a 为底N 的对数,记作x= ,其 中a叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质: ①alogaN= ; ②loga b=b(a>0,且a≠1). (2)换底公式: logab= logcb logca (a,c均大于0且不等于1,b>0). (3)对数的运算性质: 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: ①loga(M·N)= ; ②loga M N= ; ③logaMn=nlogaM(n∈R). 3.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域: 值域:R 过定点 当x>1时,y>0 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0 当0<x<1时,y>0 在(0,+ ∞)上 是 在(0,+∞)上是 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 29 第三章 函数及其应用