第2章 第1节 不等式性质与基本不等式-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

第一节 不等式性质与基本不等式 1.两个实数比较大小的依据 (1)a-b>0⇔a>b. (2)a-b=0⇔a=b. (3)a-b<0⇔a<b. 2.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b⇔b<a. (2)传递性:a>b,b>c⇒ . (3)可加性:a>b⇒a+c b+c; a>b,c>d⇒a+c b+d. (4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc, a>b>0,c>d>0⇒ac>bd. (5)可乘方:a>b>0⇒an bn(n∈ N,n≥1). (6)可开方:a>b>0⇒na>nb(n∈N,n≥2). 3.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件: . (2)等号成立的条件:当且仅当 . 基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab≤ a+b2 2 (a,b∈R,当且仅当a=b 时取等号). (2)a+b≥2 ab(a>0,b>0,当且仅当a= b时取等号). 4.利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0,则: (1)如果xy等于定值p,那么当且仅当x= y时,x+y 有最小值 (简记:积定 和最小); (2)如果x+y等于定值q,那么当且仅当x =y时,xy 有最大值 (简记:和 定积最大). 三个重要的结论 (1)a 2+b2 2 ≥ a+b 2 2 . (2)ba+ a b≥2 (ab>0). (3) 21 a+ 1 b ≤ ab≤a+b2 ≤ a2+b2 2 (a>0,b >0). 学习笔记: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6 比较大小与不等式的性质 (1)(特值法)设a,b∈R,则“a>b”是 “a|a|>b|b|”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结 论:①ad>bc;②ad+ b c<0 ;③a-c>b-d; ④a(d-c)>b(d-c).其中成立的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 (1)当b<0时,显 然 有a>b⇔ a|a|>b|b|;当b=0时,显然有a>b⇔a|a| >b|b|; 当b>0时,由a>b有|a|>|b|, 所以a>b⇔a|a|>b|b|. 综上可知a>b⇔a|a|>b|b|,故选C. (2)因为a>0>b,c<d<0,所以ad<0,bc >0,所以ad<bc,故①错误. 因为0>b>-a,所以a>-b>0, 因为c<d<0,所以-c>-d>0, 所以a(-c)>(-b)(-d), 所以ac+bd<0, 所以a d+ b c= ac+bd cd <0 ,故②正确. 因为c<d,所以-c>-d, 因为a>b, 所以a+(-c)>b+(-d), 即a-c>b-d,故③正确. 因为a>b,d-c>0,所以a(d-c)>b(d-c), 故④正确.故选C. 【答案】 (1)C (2)C 运用不等式的性质判断命题真假的策略 (1)要注意不等式成立的条件,不要弱化条 件,尤其是不能凭想当然随意捏造性质. (2)也可采用特殊值法进行排除,注意取值 一定要遵循如下原则:一是满足题设条件; 二是取值要简单,便于验证计算. [针对训练] 1.(多选)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题 正确的是 ( ) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ab>0,bc-ad>0,则ca- d b>0 C.若a>b,c>d,则a-d>b-c D.若a>b,c>d>0,则ad> b c 利用基本不等式求最值 角度一 配凑法求最值 (1)已知x>54 ,则f(x)=4x-2+ 1 4x-5 的最小值为 . (2)已知0<x<1,则x(3-2x)的最大值为 . 【解析】 (1)因为x>54 ,所以4x-5>0, 所以 f(x)=4x-2+ 14x-5=4x-5+ 1 4x-5+3≥2 1+3=5. 当且 仅 当4x-5= 14x-5 ,即 x=32 时 取 等号. (2)x(3-2x)=12 ·2x(3-2x)≤12 · 2x+3-2x2 2 =98 , 当且仅当2x=3-2x,即x=34 时取等号. 【答案】 (1)5 (2)98 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 第二章 不等式 配凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼 系数、凑常数是关键,利用配凑法求解最值 应注意以下几个方面的问题: (1)配凑的技巧,以整式为基础,注意利用 系数的变化以及等式中常数的调整,做到 等价变形. (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值 为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式 的前提. 角度二 常数代换法求最值 (2025·东北三省四市教研联考)若a>0,b >0,a+b=2,则1a+ 2 b 的最小值为 . 【解析】 解法一:1a+ 2 b= 1 2 1a+2b (a+ b)=12 1+ba+2ab +2 ≥12 3+2 ba×2ab =12 (3+2 2), 当且仅当b a= 2a b , 即a=2 2-2,b=4-2 2时,等号成立. 解法二:1 a+ 2 b= 1 a+ a+b b = a+b 2a + a+b b = 1 2+ b 2a+ a b+1≥ 3 2+2 b 2a× a b= 3+2 2 2 , 当且仅当b 2a= a b ,即a=2 2-2,b=4-2 2时,等号成立. 【答案】 32+ 2 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1; (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相 乘或相除,进而构造和或积的形式; (4)利用基本不等式求解最值. [针对训练] 2.已知函数f(x)= 22x-1+x x<12 ,则 ( ) A.f(x)有最小值52 B.f(x)有最小值-32 C.f(x)有最大值-12 D.f(x)有最大值-32 3.已知x>0,y>0且x+y=5,则 1x+1+ 1 y+2 的最小值为 . 基本不等式的实际应用 某国营企业集团公司现有员工1000 名,平均每人每年创造利润10万元.为了激 发内部活力,增强企业竞争力,集团公司董 事会决定优化产业结构,调整出x(x∈N*) 名员工从事第三产业;调整后,他们平均每 人每年创造利润10a-3x500 万元(a>0), 剩余的员工平均每人每年创造的利润可以 提高0.2x%. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低 于原来1000名员工创造的年总利润,则最 多调整出多少名员工从事第三产业? (2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的 年总利润始终不高于剩余员工创造的年总 利润,则实数a的取值范围是多少? 【解】 (1)由题意,得10(1000-x)(1+ 0.2x%)≥10×1000, 整理得x2-500x≤0, 解得0≤x≤500. 又x>0,x∈N*, 所以0<x≤500,x∈N*, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 名师大课堂 艺术生必备·数学 所以最多调整出500名员工从事第三产业. (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 10a-3x500 x万元,从事原来产业的员工创造 的年总利润为10(1000-x)1+ x500 万元. 则 由 题 意 知,当 0<x≤500 时,恒 有 10a-3x500 x≤101000-x 1+ x500 , 整理得a≤ x250+ 1000 x +1 在0<x≤500时 恒成立. 因为 x 250+ 1000 x ≥2 x 250 ·1000 x =4 , 当且仅当 x 250= 1000 x , 即x=500时等号成立, 所以a≤5. 又因为a>0, 所以0<a≤5, 所以a的取值范围是(0,5]. 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题建立函数的解析式,再利 用基本不等式求得函数的最值; (2)设变量时一般要把求最大值或最小值 的变量定义为函数; (3)解应用题时,一定要注意变量的实际意 义及其取值范围; (4)在应用基本不等式求函数最值时,若等 号取不到,可利用函数的单调性求解. [针对训练] 4.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积 为162m2 的三级污水处理池,平面图如图 所示,水池的深度为1m.如果水池四周墙 的建造费用为400元/m2,中间两道隔墙的 建造费用为248元/m2,池底建造费用为 80元/m2,水池的所有墙的厚度忽略不计, 则最低总造价为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二节 二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二 次方程的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx +c(a>0)的 图象 一元二次方 程ax2+bx +c=0(a>0) 的根 有两个相 异实数根 x1,x2 (x1<x2) 有两个相 等实数根 x1=x2= -b2a 没有实 数根 续表 ax2+bx+c >0(a>0) 的解集 ax2+bx+c <0(a>0) 的解集 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9 第二章 不等式 参考答案与解析 内文讲解 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合 基础知识必备 1.(1)确定性 互异性 无序性 (2)属于 不属于 ∈ ∉ (3)列举法 描述法 图示法 2.A⊆B A⫋B 子集 3.且 且 A∩B 或 或 A∪B 不属于 ∉ ∁UA 考点知能突破 针对训练 1.C 因为{1,a+b,a}= 0,ba ,b ,a≠0,所以a+b=0,则 b a =-1 ,所以a=-1,b=1.所以b-a=2. 2.(1)D 由题意知,对于集合 M,当n为偶数时,设n=2k(k ∈Z),则x=k+1(k∈Z);当n为奇数时, 设n=2k+1(k∈Z),则x=k+1+12 (k∈Z). 所以N⊆M. (2)BD A􀱋B={z|z=x2-y2,x∈A,y∈B}={1,0,2}, 故A􀱋B 中有3个元素,其真子集的个数为23-1=7,故 C错误,D正确. 当x= 2,y= 2时,z=0,故A错误. x可取两个值,y可取两个值,z=(x+y)×(x-y)共有4 个算式,分别为:(2+1)×(2-1),(3+1)×(3-1),(3+ 2)×(3-2),(2+2)×(2-2),故B正确. 3.D 由题可得 B={-1,0,1},所以 A∩B={0,1},故 选D. 4.D 因为A∪B=A,所以B⊆A,即m∈A,得m2≥4,解得 m≥2或m≤-2. 第二节 常用逻辑用语 基础知识必备 1.充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充 分也不必要 2.(1)∀ (2)∃ 考点知能突破 针对训练 1.(1)B (2)ABC 2.D 3.答案:(1)C (2)3 解析:(1)选C.命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”⇔“∀x∈ [1,3],x2≤a”⇔9≤a.则a≥10是命题“∀x∈[1,3], x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C. (2)由x2-x-6>0,解得x<-2或x>3. 因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件, 所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集, 即a≥3,故a的最小值为3. 第二章 不等式 第一节 不等式性质与基本不等式 基础知识必备 2.(2)a>c (3)> > (5)> 3.(1)a>0,b>0 (2)a=b 4.(1)2 p (2)q 2 4 考点知能突破 针对训练 1.BC 2.D 因为x<12 , 所以1 2-x>0 ,f(x)= 22x-1+x= 1 x-12 +x-12+ 1 2 =- 11 2-x + 12-x +12≤-2+12=-32, 当且仅当 1 1 2-x =12-x ,即x=-12 时取等号,故f(x) 有最大值-32. 故选D. 3.答案:12 解析:令x+1=m,y+2=n, 因为x>0,y>0, 所以m>0,n>0, 则m+n=x+1+y+2=8, 可以 1 x+1+ 1 y+2= 1 m + 1 n = 1m +1n ×18(m+n)= 1 8 nm +mn +2 ≥18·(2 1+2)=12. 当且仅当n m = m n , 即m=n=4时等号成立. 所以 1 x+1+ 1 y+2 的最小值为1 2. 4.答案:38880元 解析:设污水处理池的宽为x(x>0)m,则长为162x m , 则总造价y=400× 2x+2×162x +248×2x+80×162 =1296x+1296×100x +12960=1296× x+ 100 x + 12960≥1296×2 x×100x +12960=38880. 当且仅当x=100x (x>0),即x=10时,等号成立. 故当长为16.2m,宽为10m时,总造价最低,为38880元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —103—