集合间的基本关系讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第六讲：集合间的基本关系 知识再现：集合间的基本关系 （1）子集：若对，都有，则或. （2）真子集：若，但至少有一个，且，则或. （3）相等：若，且，则. （4）空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 题型一：集合间关系的判断 例1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空集中只有元素0，而无其余元素．(　　) (2)任何一个集合都有子集．(　　) (3)若A＝B，则A⊆B.(　　) (4)方程x2＋2＝0的解集为空集.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 例2：判断下列两个集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． [解]　(1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B. (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (4)解法一(特殊值法)：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M. 解法二(列举法)：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M. 例3（多选）下列关系式正确的是(　　) A．{1}⊆{1,2} B．{0}⊆{1,2} C．{2}⊆{1,2} D．1{1,2} [解析]∵0{1,2}，∴{0}⊆{1,2}不正确；根据子集的概念可知A，C正确；D显然正确． 答案：ACD 例4．若集合，，则(　　) A．M＝N B．N M C．MN D．M与N没有相同元素 [解析]　，.∵k∈Z,2k＋1为奇数，k＋2为整数，∴MN.故选C. 例5．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若AB，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2} [解析]　在数轴上表示出两个集合，因为AB，所以a≥2. 题型二：空集的性质 例6：已知集合，下列选项中均为A的元素的是（       ） （1）（2）（3）（4） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4） 集合有两个元素：和，故选：B 例7：.下列八个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.其中正确的个数________. 解析：正确的是③④⑥⑦，共有4个 例8：满足，且中的集合M的个数是（    ） A．16 B．24 C．28 D．30 解析：若时，则1、2、3可能属于，而5不属于，故集合共有种可能； 若时，则1、2、3可能属于，而4不属于，故集合共有种可能； 若时，则1、2、3可能属于，故集合共有种可能； 综上，集合M的个数是24. 故选：B 题型三：有限集合子集、真子集的个数问题 例9：(1)填写下表，并回答问题 原集合 子集 子集的个数 ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ 由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集个数呢？ (2)求满足⊆的集合M. [解]　(1) 原集合 子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {a} ∅，{a} 2 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． (2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． 例10：（1）已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m }，若集合M有4个子集，则实数m＝ (　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 （2）已知集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C，则满足条件的集合A的个数是________． 解析（1）根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2. （2）若集合A＝，满足A⊆B，A⊆C；若集合A≠，集合A可能是{a}，{b}，{a，b}．故集合A共4个． 题型四 ：利用集合间的关系求参数值(或范围) 例11：（1）已知集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|1－m<x≤2m－1}，且A⊆B，求实数m的取值范围． 2)已知集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|1－m<x≤2m－1}，且“B⊆A”，求m的取值范围． 解析（1）由A⊆B，将集合A，B分别表示在数轴上，如图所示，则 解得m≥4.故m的取值范围是{m|m≥4}． (2)由B⊆A，将集合A，B分别表示在数轴上，如图所示． ∵B⊆A，∴当B＝∅时，1－m≥2m－1，解得m≤； 当B≠∅时，有解得<m<. 综上可知，m的取值范围是. 例12：（1）已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若AB，求实数a的取值集合． （2)设集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|＝1}，若N⊆M，求m的取值集合． 解析：（1)结合数轴，∵AB，∴a≥4，故实数a的取值集合为{a|a≥4}． （2）集合.若N⊆M，则N＝{3}或或.于是当N＝{3}时，m＝；当时，m＝－2；当N＝∅时，m＝0.所以m的取值集合为. 课后基础练习 一、选择题 1．下列四个集合中，是空集的是(　　) A．{0} B．{x|x>8且x<5} C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4} [解析]　选项A、C、D都含有元素，而选项B中无元素，故选B. 2．若集合A满足A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析∵A⊆B，A⊆C，∴A中最多能含有0,2两个元素，∴A＝∅，{0}，{2}，{0,2}共4个． 3.已知集合，，，则A，B，C之间的关系是（       ） A．A=BC B．AB=C C．ABC D．BC=A 解：集合，，， 集合，，， 集合，，， 时，表示被6除余1的数；时，表示被3除余1的数；时，表示被3除余1的数；所以，故选：B． 二、填空题 4．集合A＝{2n＋1|n∈Z}，集合B＝{4k±1|k∈Z}，则A与B间的关系是________． [解析]　因为整数包括奇数与偶数，所以n＝2k或2k－1(k∈Z)，当n＝2k时，2n＋1＝4k＋1，当n＝2k－1时，2n＋1＝4k－1，故A＝B. 5.已知非空集合A满足：①A⊆{1,2,3,4}；②若x∈A，则5－x∈A，则满足上述要求的集合A的个数为________． [解析]　由题意知，满足题中要求的集合A可以是{1,4}，{2,3}，{1,2,3,4}，共3个． 6．定义集合A*B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B的子集个数是________． [解析]　在A*B中，x∈A，∴x可能取1,2,3,4,5. 又x∉B，∴x又不能取2,4,5. 因此x可能取值只有1和3，∴A*B＝{1,3}，其子集个数为4. 三、解答题 7．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B A，求a的值． [解]　∵BA，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a. ①当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.经检验，满足题意． ②当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，与元素互异性矛盾，故a＝1不合题意．综上所述，a＝－1或a＝2为所求． 8．已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}． (1)若∅M，求实数a的取值范围； (2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M⊆N，求实数a的取值范围． [解]　(1)由题意得，方程x2＋2x－a＝0有实数解， ∴Δ＝22－4×(－a)≥0，得a≥－1. (2)∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}， 又M⊆N， 当M＝∅时，即Δ＝22－4(－a)<0得a<－1，符合题意． 当M≠∅时，当Δ＝0时，即a＝－1时， 此时M＝{－1}，满足M⊆N，符合题意． 当Δ>0时，即a>－1时，M中有两个元素， 若M⊆N则M＝N，从而无解．综上，a的取值范围为{a|a≤－1}． 9．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列说法中正确的是(　　) A．对任意的a∈A，都有a∉B B．对任意的b∈B，都有b∉A C．存在a0，满足a0∈A，a0∉B D．不存在a0，满足a0∈A，a0∈B [解析]　A不是B的子集，也就是说A中存在某个元素不属于B，显然正是C选项要表达的．对于A和B选项，取A＝{1,2}，B＝{2,3}可否定，对于D选项，可存在a0∈A，a0∈B，但A不是B的子集，如A＝{1,3}，B＝{2,3}． 10．若B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是(　　) A．A∈B B．B∈A C．A⊆B D．B⊆A [解析]　因为B的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，所以A＝ {x|x⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，所以B∈A. 11．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________． [解析]　∵y＝(x－1)2－2≥－2，∴M＝{y|y≥－2}，∴NM. 12．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________． [解析]　∵B⊆A，∴B的可能情况有B≠∅和B＝∅两种． ①当B≠∅时， ∵B⊆A，∴或成立，解得a>3； ②当B＝∅时，由a>2a－1，得a<1. 综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}． 13．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1,2，b}． (1)是否存在实数a，使得对于任意的实数b，都有A⊆B？若存在，求出对应的a的值；若不存在，请说明理由． (2)若A⊆B成立，求出对应的实数对(a，b)． [解]　(1)由题意知，当且仅当集合A中的元素为1,2时，对于任意的实数b，都有A⊆B. 因为A＝{a－4，a＋4}， 所以或方程组均无解， 所以不存在实数a，使得对于任意的实数b，都有A⊆B. (2)由(1)知，若A⊆B， 则或或或解得或或或 所以所求实数对(a，b)为(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六讲：集合间的基本关系 知识再现：集合间的基本关系 （1）子集：若对，都有，则或. （2）真子集：若，但至少有一个，且，则或. （3）相等：若，且，则. （4）空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 题型一：集合间关系的判断 例1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空集中只有元素0，而无其余元素．(　　) (2)任何一个集合都有子集．(　　) (3)若A＝B，则A⊆B.(　　) (4)方程x2＋2＝0的解集为空集.(　　) 例2：判断下列两个集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 例3（多选）下列关系式正确的是(　　) A．{1}⊆{1,2} B．{0}⊆{1,2} C．{2}⊆{1,2} D．1{1,2} 例4．若集合，，则(　　) A．M＝N B．N M C．MN D．M与N没有相同元素 例5．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若AB，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2} 题型二：空集的性质 例6：已知集合，下列选项中均为A的元素的是（       ） （1）（2）（3）（4） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4） 例7：.下列八个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.其中正确的个数________. 例8：满足，且中的集合M的个数是（    ） A．16 B．24 C．28 D．30 题型三：有限集合子集、真子集的个数问题 例9：(1)填写下表，并回答问题 原集合 子集 子集的个数 ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ 由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集个数呢？ (2)求满足⊆的集合M. 例10：（1）已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m }，若集合M有4个子集，则实数m＝ (　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 （2）已知集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C，则满足条件的集合A的个数是________． 题型四 ：利用集合间的关系求参数值(或范围) 例11：（1）已知集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|1－m<x≤2m－1}，且A⊆B，求实数m的取值范围． （2)已知集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|1－m<x≤2m－1}，且“B⊆A”，求m的取值范围． 例12：（1）已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若AB，求实数a的取值集合． （2)设集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|＝1}，若N⊆M，求m的取值集合． 课后基础练习 一、选择题 1．下列四个集合中，是空集的是(　　) A．{0} B．{x|x>8且x<5} C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4} 2．若集合A满足A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 3.已知集合，，，则A，B，C之间的关系是（       ） A．A=BC B．AB=C C．ABC D．BC=A 二、填空题 4．集合A＝{2n＋1|n∈Z}，集合B＝{4k±1|k∈Z}，则A与B间的关系是________． 5.已知非空集合A满足：①A⊆{1,2,3,4}；②若x∈A，则5－x∈A，则满足上述要求的集合A的个数为________． 6．定义集合A*B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B的子集个数是________． 三、解答题 7．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B A，求a的值． 8．已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}． (1)若∅M，求实数a的取值范围； (2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M⊆N，求实数a的取值范围． 9．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列说法中正确的是(　　) A．对任意的a∈A，都有a∉B B．对任意的b∈B，都有b∉A C．存在a0，满足a0∈A，a0∉B D．不存在a0，满足a0∈A，a0∈B 10．若B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是(　　) A．A∈B B．B∈A C．A⊆B D．B⊆A 11．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________． 12．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________． 13．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1,2，b}． (1)是否存在实数a，使得对于任意的实数b，都有A⊆B？若存在，求出对应的a的值；若不存在，请说明理由． (2)若A⊆B成立，求出对应的实数对(a，b)． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$