1.2 集合间的基本关系-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦集合间的基本关系核心知识点，从实数关系类比引入集合关系，系统梳理子集、真子集、空集的定义及区别联系，结合Venn图直观表达，通过实例判断集合相等与包含关系，最终落实到由集合关系求参数范围，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以核心素养为统领，通过类比实数关系培养数学抽象，借助Venn图与实例分析发展直观想象，参数问题分类讨论强化逻辑推理。设有自主评测、类题通法、变式探究等环节，课中助力教师突破重难点，课后分层练习帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

1．2　集合间的基本关系 ► 对应学生用书P5 学习目标　1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，提升数学抽象素养．(重点)　2.能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力，提升逻辑推理素养．(难点)　3.会由集合间的关系求相关参数的取值范围，并在具体情境中了解空集的含义，提升数学运算和数学抽象素养．(重点、难点)　4.掌握并能使用Venn图表达集合间的关系，提升直观想象素养．(重点) 　　　世间万物都是普遍联系的，集合既然可以包罗万物，那么集合与集合之间肯定存在一定的联系．我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5＝5，5<7，5>3，等等． 问题1　类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢. 提示：集合之间有相等关系和范围大小的关系． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P7～8，分析思考：“子集和真子集”的区别与联系． 提示：联系：真子集是子集的一种情况，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集；区别：子集可以相等，真子集不可以．真子集一定是子集，子集不一定是真子集． (2)请认真阅读教材P7～8，分析思考：任意两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定，如集合A＝{2，5}，B＝{1，2，3}，这两个集合就没有包含关系． (3)请认真阅读教材P8，分析思考：符号“∈”与符号“⊆”表达的含义相同吗？ 提示：不同．“∈”表示元素与集合之间的关系，如1∈N；“⊆”表示集合与集合之间的关系，如{1，2，3}⊆{4，3，2，1}；“∈”的左边是元素，右边是集合，“⊆”的两边均为集合． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)集合{0}是空集．(　　 ) (2)空集是任何集合的真子集．(　　 ) (3)若AB，则B中至少有一个元素不属于A.(　　 ) (4)若B⊆A，元素a∉A，则a∉B.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 　子集 　　　观察下面两个实例，回答问题： ①集合A＝{0，1，2}，B＝{0，1，2，3}； ②集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}． 问题2　两个实例中集合A中的元素都是集合B中的元素吗？ 提示：都是B中的元素． 问题3　两个实例中集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：实例①B中的元素0，1，2是A中元素，但3∉A. 实例②中集合B中的元素都是A中的元素． 1．Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B． 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 例1　指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{1，2，3}，B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}； (2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}； (3)A＝{x|1<x<6}，B＝{x|x－1<8}． 解：(1)∵B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}，∴B⊆A. (2)A，B两个集合都表示长方形构成的集合，故A＝B. (3)A＝{x|1<x<6}，B＝{x|x－1<8}， 则集合B＝{x|x<9}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. 类题通法 判断集合间关系的常用方法 【迁移运用】 1.能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　 ) 解析：选B.解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示． 　真子集与空集 　　　观察下面两个例子，回答问题： ①集合A＝{1，5，6}，B＝{5，6}； ②集合M＝{x∈R|x2－2x＋2＝0}． 问题4　实例①中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：不全是，1∈A，但1∉B；集合B中的元素都是集合A中的元素． 问题5　集合M中有多少个元素？ 提示：M中没有元素． 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 结论 (1)若AB且BC，则AC； (2)若A⊆B且A≠B，则AB 2.空集 (1)定义：把不含任何元素的集合叫做空集． (2)符号表示：∅． (3)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 角度一　确定集合的子集和真子集 例2　(链接教材：人教A版P8例1)(1)写出集合{1，2，3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集； (2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1，x，y∈N}，写出A的所有子集，并指出哪些是它的非空真子集． 解：(1)集合{1，2，3}的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．除了集合{1，2，3}本身之外，其他的子集都是它的真子集． (2)由题意得A＝{(0，1)，(1，0)}，所以A的子集有∅，{(0，1)}，{(1，0)}，{(0，1)，(1，0)}，其中集合A的非空真子集有{(0，1)}，{(1，0)}． 类题通法 （1）求有限集合的子集或真子集的思路 (2)求集合的子集的两个关注点 ①要注意两个特殊的子集:∅和自身. ②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏 【迁移运用】 2.满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个． 解析：由题意可得{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；含有五个元素：{1，2，3，4，5}．故满足题意的集合M共有7个． 答案：7 角度二　由集合间的关系求参数的值(范围) 例3　(1)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　 ) A．2 B．1 C． D．－1 解析：选B.因为A⊆B，所以a－2＝0或2a－2＝0. 若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意； 若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意； 综上所述，a＝1. (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 解：①若B＝∅，则m＋1>2m－1，所以m<2.②若B≠∅，且B⊆A，如图所示， 则解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|m≤3}． 变式探究　(1)(变条件)在本例(2)中，若把条件“B⊆A”改为“A⊆B”，解题过程有何变化？ 解：若A⊆B，则集合B一定不是空集，不用再讨论第①步． (2)(变条件)在本例(2)中，若把条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：①若B＝∅，则m＋1>2m－1，所以m<2. ②若B≠∅，且B⊆A，如图所示， 则解得即2≤m<3. 所以实数m的取值范围是{m|m<3}． 类题通法 应用集合关系求参数的四个步骤 1．下列关系中错误的是(　　) A．{1，2}⊆{1，2，3，4} B．1∈Z C．{(a，b)}⊆{a，b} D．{0，1}＝{1，0} 解析：选C.A、B、D显然正确；对于C，集合{(a，b)}为点集，含有一个元素(a，b)，集合{a，b}含有两个元素a，b，故C错误． 2．已知集合A＝，则A真子集的个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．7 解析：选A.由题设，A＝{x|－<x<，x∈N}＝{0，1}，∴A的真子集共有22－1＝3个． 3．已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，若集合B＝{－2，1}，则A与B的关系是________. 解析：x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)＝0，所以A＝{－2，1}，因为B＝{－2，1}，则A＝B. 答案：A＝B 4．若集合A＝{0，1，2，3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}，则集合B的所有子集的个数是________． 解析：由A＝{0，1，2，3}，得B＝{y|y＝x2－1，x∈A}＝{－1，0，3，8}，共4个元素，因此集合B的子集有24＝16个． 答案：16 正确理解空集，说明∅与0，{0}，{∅}之间的关系 (链接教材：人教A版P7～8) 名师点拨 空集是不含任何元素的集合，规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (1)特别提示：根据空集是任何集合的子集，在遇到根据“A⊆B”或“AB”判断集合A的情况时，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论． (2)∅与0，{0}，{∅}之间的关系 类别 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示“无”的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅不含任何元素；{0}含有一个元素0 ∅不含任何元素；{∅}含有一个元素∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}且∅∈{∅} [课后分层练(二)]　集合间的基本关系 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则(　　 ) A．A＝B B．A∩B＝∅ C．AB D．BA 解析：选D.∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴A≠B，A∩B＝{2，3}≠∅.又1∈A且1∉B，∴A不是B的子集． 2．已知集合 B＝{2，3，4，5}，C＝{－2，－1，4，5}，非空集合 A 满足A⊆B，A⊆C，则符合条件的集合 A 的个数为(　　 ) A．3 B．4 C．7 D．8 解析：选A.由题意知集合B＝{2，3，4，5}，C＝{－2，－1，4，5}，因为非空集合A满足A⊆B，A⊆C，所以集合A 可以为{4}或{5}或{4，5}，所以符合条件的集合A的个数为3. 3．已知集合M＝{y|y＝，x∈Z}，N＝{y|y＝x－1，x∈Z}，则集合M，N的关系是(　　 ) A．M＝N B．M⊆N C．M⊇N D．M∩N＝∅ 解析：选A.因为集合M＝{y|y＝，x∈Z}，集合N＝{y|y＝x－1，x∈Z}＝{y|y＝＝，x∈Z}，所以M＝N. 4．(2025·广东广州模拟)满足{x|x2＋2x－3＝0}⊆A{－3，－1，0，1，3}的集合A的个数为(　　 ) A．3 B．7 C．8 D．15 解析：选B.由x2＋2x－3＝0，整理可得(x＋3)＝0，解得x＝－3或x＝1，则⊆A{－3，－1，0，1，3}，设B＝，所以∁AB，可得23－1＝7. 5．设集合M＝{5，x2}，N＝{5x，5}．若M＝N，则实数x的值组成的集合为(　　 ) A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1} 解析：选C.由M＝N及集合M，N中的元素得x2＝5x，解得x＝0或x＝5.经检验，x＝0和x＝5时均能满足集合中元素的互异性，所以x＝0或x＝5.因此实数x的值组成的集合为{0，5}． 6．(多选)(学科融合)图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，则(　　 ) A．A为小说 B．B为文学作品 C．C为散文 D．D为叙事散文 解析：选AB. 由Venn图，得AB，CDB，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系，由“文学作品“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得 A 为“小说”，B 为“文学作品”，C为“叙事散文”，D为“散文”． 7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|＝1}，则A，B的关系是________． 解析：因为B＝{(x，y)|＝1}＝{(x，y)|y＝x，且y≠0}，所以BA. 答案：BA 8．若由a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，则a2 025＋b2 025的值为________． 解析：由已知可得a≠0， 因为两集合相等，所以或 所以或 经检验，a＝－1，b＝0满足条件， 所以a2 025＋b2 025＝－1. 答案：－1 9．(人教A必修一P8练习T1改编)集合{a，b，c}的所有子集有________，它的真子集有________________． 答案：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}　∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c} 10．判断下列集合间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{x∈N|x2＝1}； (2)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}； (3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}； (4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}． 解：(1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA. (2)因为Q中n∈Z，所以n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，所以P＝Q. (3)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}， B＝{x|2x－5≥0}＝{x|x≥}， 所以利用数轴判断A，B的关系． 如图所示，AB. (4)因为A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B. 【综合运用】 11．(人教A 必修一 P9习题1.2T5(2)改编)若集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>a}，满足A⊆B，则实数a的取值范围是(　　 ) A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2} 解析：选B.在数轴上表示出集合A，B(图略)，因为A⊆B，所以a≤1. 12．(多选)集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的取值可以是(　　 ) A．1 B． C．－1 D．－ 解析：选AD.由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a＝1时，满足题意．当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)＝0，可得a＝－. 13．(2025·天津模拟)已知集合A＝{x|ax2＋6x＋3＝0}，B＝. (1)若A⊆∅，求实数a的取值集合； (2)若A的子集有两个，求实数a的取值集合； (3)若1∈A且B⊆A，求实数b的取值集合． 解：(1)因为A⊆∅，所以A＝∅， 当a＝0时，则A＝，与题意矛盾， 当a≠0时，则Δ＝36－12a<0，解得a>3， 综上所述，实数a的取值集合为. (2)因为A的子集有两个，所以集合A中只有一个元素， 当a＝0时，则A＝，符合题意， 当a≠0时，则Δ＝36－12a＝0，解得a＝3， 综上所述，实数a的取值集合为. (3)因为1∈A， 所以a＋6＋3＝0，解得a＝－9， 所以A＝{x|－9x2＋6x＋3＝0}＝{－，1}， 当b＝0时，B＝∅⊆A， 当b≠0时，B＝， 因为B⊆A，所以－＝－或－＝1，解得b＝3或b＝－1， 综上所述，实数b的取值集合为. 【创新探索】 14．已知集合A＝{x|－1≤x≤a，a>－1且a∈R}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}．是否存在实数a，使得C⊆B？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：假设存在这样的实数a. 对于集合B，因为y＝2x－1，且x∈A，即－1≤x≤a， 所以－3≤y≤2a－1. 对于集合C，因为z＝x2，且x∈A， 所以当－1<a≤0时，a2≤z≤1；当0<a≤1时，0≤z≤1；当a>1时，0≤z≤a2. 当－1<a≤0时，要使C⊆B，则2a－1≥1，即a≥1，矛盾． 当0<a≤1时，要使C⊆B，则有2a－1≥1，即a＝1. 当a>1时，要使C⊆B，则有a2≤2a－1，即(a－1)2≤0，无解． 综上所述，存在a＝1，使得C⊆B. 学科网（北京）股份有限公司 $