3.1—3.2列代数式表示数量关系 代数式的值-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

3.1—3.2列代数式表示数量关系 代数式的值 一、列代数式表示数量关系 1.单项式、多项式、整式的概念及联系和区别： 单项式：由数与字母的乘积组成的式子，单独一个数或一个字母也是单项式。 多项式：几个单项式的和组成多项式。 整式：单项式和多项式统称整式。 2.代数式的构建： 掌握列代数式的基本方法，抓住“和、差、积、商”等关键词，准确表达数量关系。例如，购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数为(2a+3b)元。 3.同类项与合并同类项： 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项。所有常数项也都是同类项。 合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 二、代数式的值 代数式的值是将代数式中的字母用具体的数代替后，按照代数式的运算规则计算出的结果。例如，代数式3a+2b，当a=2，b=3时，代数式的值为3×2+2×3=12。 巩固课内例1:用代数式表示数 1．下面的选项中，能用表示的是（    ） A． B． C． D． 2．用字母表示数： （1）若表示正方体的棱长，则正方体的体积是 ； （2）小明每年从零花钱中拿出元捐给希望工程，五年下来小明共捐款 元． 3．用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： ； (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 巩固课内例2:说出代数式的意义 1．下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 2．体育委员带500元去买体育用品，已知一个足球元，一个篮球元，则式子表示的实际意义为 ． 3．说出下列代数式的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例3:用代数式表示式子 1．小明今年a岁，妈妈的年龄比小明年龄的2倍还大8岁，妈妈今年（     ）岁． A． B． C． D． 2．“a与b两数的和与差的积”可以用代数式表示成 ． 3．李老师到体育用品商店为学校购买篮球，篮球单价为元，买10个以上（不包括10个）按八五折优惠，请用式子表示： (1)购买6个篮球应付多少钱？ (2)购买20个篮球应付多少钱？ (3)购买个篮球应付多少钱？ 巩固课内例4:行程问题 1．在自贸港旅游公路自行车联赛中，有一段坡路，小澹骑自行车下坡的速度为，上坡的速度为，则他在这段路上坡和下坡的平均速度是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．轮船在静水中的速度是a千米/小时，水流速度是b千米/小时，轮船顺流航行90千米所需要的时间是 小时． 3．（1）填空：甲、乙两地相距，李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时；后因天气原因，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度是 ． （2）天中，李明的长跑路程累计达到，刘伟的长跑路程累计为，李明和刘伟平均每天各跑多少米？若刘伟的累计长跑路程多于李明，则平均每天刘伟比李明多跑多少米？ 巩固课内例5:反比例关系 1．下面每个选项中的两种量成反比例关系的是（    ） A．速度一定，路程和时间 B．长方形的面积一定，长方形的长与宽 C．圆柱的高一定，体积和底面积 D．被减数一定，减数和差 2．下表中a和b是两种相关联的量． a 6 4 b x 100 当 时，a和b成反比例． 3．某运输队要为灾区运送一批数灾物资．如果要一次把所有的物资全部送到，每辆车的载重量与所需车的数是见下表： 载重量/吨 2.5 4 5 10 数量/辆 40 25 20 10 (1)这批救灾物资共有_________吨； (2)每辆车的载重量与所需车的数量成反比例关系吗？为什么？ 巩固课内例6:已知未知数，求代数式的值 1．当时，代数式的值为（    ） A．7 B． C． D． 2．填空题． （1）当时，代数式的值是 ； （2）当时，代数式的值是 ． 3．已知． (1)若，求； (2)若，求； (3)求的值． 巩固课内例7:用代数式表示周长——跑道问题 1．如图①是某校操场实物图，图②是操场示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成（跑道宽度忽略不计，用线段和曲线表示跑道），每两条跑道之间的距离是相等的，活动小组对学校操场最内圈长为400米的跑道进行规划设计，测得最内圈两端半圆弧的半径R为36米（取3），若最外圈跑道与最内圈跑道之间的距离为a米，则最外圈跑道周长可以用含 a 的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 2．如图①是某校操场实物图，图②是操场示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的，活动小组对学校操场跑道最内圈长为米的跑道进行规划设计，且最内圈两端半圆弧的半径为米（取）． （1）当米时，则两条直的跑道的总长度是 米； （2）在活动中发现最外沿跑道周长随跑道宽度（距最内圈的距离）的变化而变化，若表示跑道宽度，则最外沿跑道周长可表示为 米， 3．如图1是某学校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为．如图2是体育组设计了“铁饼投郑”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地．    (1)用含，的代数式表示跑道的周长为______（结果保留）； (2)用含，，的代数式表示两项比赛场地的总面积（图2中阴影部分面积的和）； (3)当，，时，求的值（取3）． 巩固课内例8:用代数式表示面积——三角尺问题 1．一块等腰直角三角尺的形状和尺寸如图所示，直角边的边长为a，圆孔的半径为r．阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．一块等腰直角三角尺的形状和尺寸如图所示，直角边的边长为a，圆孔的半径为r．阴影部分的面积是 ；当，时，面积是 ． 3．如图，一个直角三角尺的直角边分别为和，中间去掉一个半径为的圆． (1)用含、、的代数式表示这个三角尺的面积，________； (2)当，，时，求这个三角尺的面积．（结果保留） 类型一、代数式的定义 1．在式子：10，中，代数式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列式子：，，，，，中，是代数式的有 个． 3．下列各式，哪些是代数式？ （1）；                （2）；                （3）；         （4）0；                    （5）；                            （6）； （7）；            （8）；                    （9）；     （10）；    （11）；        （12）． 类型二、代数式的书写 1．下列含有字母的式子中，书写规范的是（   ） A． B． C． D． 2．，，，，，中，其中符合书写要求的代数式的个数为 ． 3．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 类型三、列代数式 1．一块长方形菜地的面积是x平方米，它的宽是40米，周长是（   ）米 A． B． C． D． 2．某校组织“爱心捐款”活动，九年级（1）班学生共捐款1260元，其中23名女生人均捐款元，则该班男生共捐款 元（用含有的代数式表示）． 3．列式表示： (1)棱长为的正方体的表面积； (2)每件元的上衣，降价后的售价； (3)一辆汽车的行驶速度是行驶的路程． 类型一、工程问题 1．一位作家先用m天写完了一部小说的上集，又用n天写完下集，这部小说（上、下集）共120万字，这位作家平均每天的写作量（单位：万字）为（  ） A． B． C． D． 2．某段铁路由甲工程队单独铺设需要a天完成，由乙工程队单独铺设需要b天完成，若这段铁路总长度为，则乙工程队比甲工程队每天多铺设铁路 （列代数式表示）． 3．生产劳动情境·高速公路修建 今年河南将确保安罗高速罗山至豫鄂省界段等个项目年内建成通车，全省高速公路通车总里程将达到公里以上．今年，河南还将打通堵点断点、完善路网功能，有序推进个高速公路内通外联项目．已知从地到地修公路，原计划每天修米，那么天可以修完，实际比计划提前天完成． (1)从地到地的路程是多少米？ (2)实际每天修多少米？ (3)如果用表示每天修的路程，表示修完这条路所用的时间，则用式子表示与之间的关系，与成什么比例关系？ 类型二、数字问题 1．一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字是百位上的数字的倍，个位上的数字比百位上的数字少，这个三位数用含有的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 2．一个三位数的个位上的数字为 ，十位上的数字为 ，百位上的数字为 ，用含 ，，的代数式表示这个三位数是 ． 3．整式加减的应用：一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b（a、b 均为整数）． (1)用含 a、b 的整式表示这个两位数； (2)将这个两位数的十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数，用含 a、b 的整式表示新两位数； (3)求原两位数与新两位数的和，并说明这个和能被11整除． 类型三、单循环比赛问题 1．n支球队进行单循环比赛，每两队之间都比赛一场，总的比赛场数是多少？（    ） A． B． C． D． 2．现有n支球队进行单循环比赛，每两个队之间都比赛一场，则总的场数是 （用含n的式子表示） 3．阅读下列材料并填空：在体育比赛中，我们常常会遇到计算比赛场次的问题，这时我们可以借助数线段的方法来计算．比如在一个小组中有4个队，进行单循环比赛，我们要计算总的比赛场次，我们就设这四个队分别为 A、B、C、D，并把它们标在同一条线段上，如下图： 因为单循环比赛就是每两个队之间都要比赛一场，这就相当于，在上述图形中四个点连接线段，按一定规律得到的线段有： ，，………………3 条 ，……………………2 条 …………………………1 条 总的线段条数是， 所以可知4个队进行单循环比赛共比赛6场． (1)类比上述想法，若一个小组有6个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是 ． (2)类比上述想法，若一个小组有n个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是 ． (3)我们知道2018年世界杯共有32支代表队参加比赛，共分成8个小组，每组4个代表队，第一阶段每个小组进行单循环比赛．则第一阶段共需要进行 场比赛． (4)若分成m个小组，每个小组有n个队，第一阶段每个小组进行单循环比赛．则第一阶段共需要进行 场比赛． 类型一、代数式中数的规律 1．观察下列一组数：根据其中的排列规律，则第n个数应该是（    ） A． B． C． D． 2．观察下列单项式；，根据你发现的规律，写出第7个式子是 ； 3．已知公式：． (1)_____； (2)求；（写出计算过程） (3)观察下列图形：图1中共有正方形1个，图2中共有正方形5个，图3中共有正方形_____个，图4中共有正方形______个，图100中共有正方形______个． 类型二、代数式中图形的规律 1．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第n个图形需要多少块黑色瓷砖（   ） A． B． C． D． 2．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第8个图案中有 个涂有阴影的小正方形，第n个图案中有 个阴影小正方形（用含有n的代数式表示）． 3．【观察思考】 【规律发现】 （1）观察各图案中灰色菱形和白色菱形的个数，绘制表格如下． 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 第6个图案 … 灰色菱形个数 1 2 5 8 13 b … 白色菱形个数 0 2 4 8 a 18 … 小菱形总个数 1 4 9 16 25 c … 填空：表格中，________，________，________． （2）请写出第n个图案中灰色菱形，白色菱形各有几个． 【规律应用】 （3）某小区计划用边长为1米的菱形砖铺设一块菱形区域，该菱形区域边长为45米，若按以上规律图案进行设计，则需要购买的灰色菱形砖，白色菱形砖各多少块？ 类型三、阴影面积问题 1．如图，大正方形面积为40，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是（   ） A．20 B．24 C．32 D．16 2．两个正方形如图摆放，大正方形的边长是6，小正方形边长是3，两阴影部分的面积分别为，则两阴影部分的面积差为 ． 3．学校办公楼前有一长为m，宽为n的长方形空地（如图），在中心位置留出一个直径为a的圆形区域建一个喷泉，两边是长为b，宽为a的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． (1)用代数式表示阴影部分的面积；（结果保留） (2)当，，，时，阴影部分的面积是多少？（取3） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1—3.2列代数式表示数量关系 代数式的值 一、列代数式表示数量关系 1.单项式、多项式、整式的概念及联系和区别： 单项式：由数与字母的乘积组成的式子，单独一个数或一个字母也是单项式。 多项式：几个单项式的和组成多项式。 整式：单项式和多项式统称整式。 2.代数式的构建： 掌握列代数式的基本方法，抓住“和、差、积、商”等关键词，准确表达数量关系。例如，购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数为(2a+3b)元。 3.同类项与合并同类项： 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项。所有常数项也都是同类项。 合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 二、代数式的值 代数式的值是将代数式中的字母用具体的数代替后，按照代数式的运算规则计算出的结果。例如，代数式3a+2b，当a=2，b=3时，代数式的值为3×2+2×3=12。 巩固课内例1:用代数式表示数 1．下面的选项中，能用表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，根据代数式的意义，逐项列出代数式即可判断． 【详解】解：A、线段长度表示为，故不符合题意； B、最大长方形面积为，故不符合题意； C、长方体的体积为，故不符合题意； D、长方形周长为：，符合题意， 故选：D． 2．用字母表示数： （1）若表示正方体的棱长，则正方体的体积是 ； （2）小明每年从零花钱中拿出元捐给希望工程，五年下来小明共捐款 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式即可得出答案； （2）用每年拿出的钱数乘以年即可得出答案． 【详解】解：（1）若表示正方体的棱长，则正方体的体积是， 故答案为：； （2）小明每年从零花钱中拿出元捐给希望工程，五年下来小明共捐款， 故答案为：． 3．用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： ； (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)， (5) (6) 【分析】（）根据加法结合律用字母表示出即可求解； （）根据乘法结合律用字母表示出即可求解； （）根据乘法对加法的分配律用字母表示出即可求解； （）用长方形的长除以计算出长方形的宽，再根据长方形的周长和面积公式即可解答； （）根据题意，可以用相应的代数式表示它的周长； （）先求出平行四边形的高，然后利用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：加法结合律：， 故答案为：； （2）解：乘法结合律：， 故答案为：； （3）解：乘法对加法的分配律：， 故答案为：； （4）解：长方形的宽是：， 周长是：， 面积是：， 故答案为：，； （5）解：梯形的面积为：， 故答案为：； （6）解：该边上的高是， 则这个平行四边形的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用字母表示运算定律，长方形周长和面积公式，列代数式，平行四边形的面积公式，解题的关键是熟练掌握相关内容． 巩固课内例2:说出代数式的意义 1．下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序． 根据代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．数字与字母乘法中，乘号可以省略． 【详解】解：代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．故A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 2．体育委员带500元去买体育用品，已知一个足球元，一个篮球元，则式子表示的实际意义为 ． 【答案】体育委员买了3个足球、2个篮球后，剩余的钱数 【分析】本题主要考查了列代数式，根据题意表示出各项的意义是本题的关键．本题需先根据买一个足球a元，一个篮球b元的条件，得出和的意义，最后得出正确答案即可． 【详解】解：∵买一个足球a元，一个篮球b元， ∴表示买了3个足球的钱数，表示买了2个篮球的钱数， ∴代数式表示体育委员买了3个足球、2个篮球后，剩余的钱数． 故答案为：体育委员买了3个足球、2个篮球后，剩余的钱数． 3．说出下列代数式的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的2倍与的3倍的和 (2)m与n的差的3倍 (3)a的平方与1的和 (4)a的3倍与b的5倍的商 【分析】本题考查了用代数式表示数量关系； （1）根据运算符号和运算顺序可得答案； （2）根据运算符号和运算顺序可得答案； （3）根据运算符号和运算顺序可得答案； （4）根据运算符号和运算顺序可得答案． 【详解】（1）解：表示的2倍与的3倍的和； （2）表示m与n的差的3倍； （3）表示a的平方与1的和； （4）表示a的3倍与b的5倍的商． 巩固课内例3:用代数式表示式子 1．小明今年a岁，妈妈的年龄比小明年龄的2倍还大8岁，妈妈今年（     ）岁． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，根据两人年龄关系的描述列式即可． 【详解】解：小明今年a岁，妈妈的年龄比小明年龄的2倍还大8岁， 则妈妈今年的年龄为：岁， 故选B． 2．“a与b两数的和与差的积”可以用代数式表示成 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握列代数式的方法是解题关键．先列出与两数的和为，差为，再列出它们的乘积即可得． 【详解】解：“与两数的和与差的积”可以用代数式表示成， 故答案为：． 3．李老师到体育用品商店为学校购买篮球，篮球单价为元，买10个以上（不包括10个）按八五折优惠，请用式子表示： (1)购买6个篮球应付多少钱？ (2)购买20个篮球应付多少钱？ (3)购买个篮球应付多少钱？ 【答案】(1) (2) (3)当购买篮球不超过10个时，即时，应付元；当购买篮球超过10个时，即时，应付元 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 对于（1），根据单价乘以数量可得答案； 对于（2），根据超过10个按八五折优惠，再结合单价乘以数量得出答案； 对于（3），分两种情况讨论得出代数式即可. 【详解】（1）解：购买6个篮球应付元； （2）解；， 所以，购买20个篮球应付元； （3）解：当购买篮球不超过10个时，即时，应付元； 当购买篮球超过10个时，即时，应付元. 巩固课内例4:行程问题 1．在自贸港旅游公路自行车联赛中，有一段坡路，小澹骑自行车下坡的速度为，上坡的速度为，则他在这段路上坡和下坡的平均速度是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查了列代数式，设坡路单程距离为，则总路程为，分别表示出下坡时间和上坡时间，进而得到总时间，再用总路程除以总时间即可求出平均速度，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设坡路单程距离为，则总路程为， ∴下坡时间为，上坡时间为， ∴总时间为， ∴平均速度， 故选：． 2．轮船在静水中的速度是a千米/小时，水流速度是b千米/小时，轮船顺流航行90千米所需要的时间是 小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式（分式），由顺流时间=顺流路程÷顺流速度，而顺流速度=静水速度+水流速度列式即可． 【详解】解：依题意得：（小时）． 故答案为：． 3．（1）填空：甲、乙两地相距，李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时；后因天气原因，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度是 ． （2）天中，李明的长跑路程累计达到，刘伟的长跑路程累计为，李明和刘伟平均每天各跑多少米？若刘伟的累计长跑路程多于李明，则平均每天刘伟比李明多跑多少米？ 【答案】（1）；（2）李明平均每天跑，刘伟平均每天跑，平均每天刘伟比李明多跑 【分析】本题主要考查了列代数式的知识，解决本题的关键是理解题意． （1）公交车的速度等于甲乙两地的路程除以公交车行驶所需时间，即可求解． （2）李明和刘伟平均每天跑步的距离等于总路程除以总时间，根据刘伟的累计长跑路程多于李明，然后做差即可求解平均每天刘伟比李明多跑多少米． 【详解】解：（1）根据题意，得公交车的速度是； 故答案为： （2）天中，李明的长跑路程累计达到，刘伟的长跑路程累计为， 李明平均每天跑， 刘伟平均每天跑， 平均每天刘伟比李明多跑． 巩固课内例5:反比例关系 1．下面每个选项中的两种量成反比例关系的是（    ） A．速度一定，路程和时间 B．长方形的面积一定，长方形的长与宽 C．圆柱的高一定，体积和底面积 D．被减数一定，减数和差 【答案】B 【分析】本题考查了反比例关系，根据反比例的定义，两种量的乘积一定时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足乘积为定值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、速度一定时，路程速度时间，路程与时间的比值为定值（速度），故路程和时间成正比例关系，不符合反比例，不符合题意； 、长方形面积一定时，面积长宽，长与宽的乘积为定值，故长和宽成反比例关系，符合条件，符合题意； 、圆柱高一定时，体积底面积高，体积与底面积的比值为定值（高），故体积和底面积成正比例关系，不符合反比例，不符合题意； 、被减数一定时，被减数减数差，减数与差的和为定值，但乘积不固定，故二者不成反比例关系，不符合题意； 故选：． 2．下表中a和b是两种相关联的量． a 6 4 b x 100 当 时，a和b成反比例． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例的定义，掌握若a和b成反比例，就是a和b的积为定值是解题关键．由表格和反比例的定义可知，即可求出x的值． 【详解】解：由a和b成反比例可知， 所以． 故答案为：． 3．某运输队要为灾区运送一批数灾物资．如果要一次把所有的物资全部送到，每辆车的载重量与所需车的数是见下表： 载重量/吨 2.5 4 5 10 数量/辆 40 25 20 10 (1)这批救灾物资共有_________吨； (2)每辆车的载重量与所需车的数量成反比例关系吗？为什么？ 【答案】(1)100 (2)成反比例关系，理由见解析 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，列代数式，解题的关键是掌握总重量等于车载重量乘以数量，正确的列出算式． （1）根据总重量等于车载重量乘以数量； （2）根据两个变量的乘积为定值，得到车辆的载重量和所需车辆的数量成反比． 【详解】（1）解：这批救灾物资共有吨， 故答案为：100； （2）解：成反比例关系． 原因：因为载质量与数量的乘积等于100为定值． 巩固课内例6:已知未知数，求代数式的值 1．当时，代数式的值为（    ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，正确进行计算求值是解题的关键． 直接将代入计算求值即可． 【详解】解：将代入可得：． 故选C． 2．填空题． （1）当时，代数式的值是 ； （2）当时，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求代数式的值，解题的关键是代入计算． （1）把代入代数式，计算即可； （2）把代入计算即可． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：． （2）当时，， 故答案为：． 3．已知． (1)若，求； (2)若，求； (3)求的值． 【答案】(1)8或2 (2)8 (3)或 【分析】考查了代数式求值，有理数的加减法以及绝对值，熟练掌握运算法则及绝对值的代数意义是解本题的关键． （1）根据题意，利用绝对值的代数意义求出与y的值，代入原式计算即可得到结果； （2）根据题意，利用绝对值的代数意义求出与y的值，代入原式计算即可得到结果； （3）根据题意，利用绝对值的代数意义求出与y的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴或，或， 当时，或， 此时或， 即的值为：8或2； （2）解：∵，， ∴或，或， 当，或， 此时或， 即的值为：8； （3）解：∵，， ∴或，或， ①，时，； ②，时，； ③，时，； ④，时，， 综上：的值为或． 巩固课内例7:用代数式表示周长——跑道问题 1．如图①是某校操场实物图，图②是操场示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成（跑道宽度忽略不计，用线段和曲线表示跑道），每两条跑道之间的距离是相等的，活动小组对学校操场最内圈长为400米的跑道进行规划设计，测得最内圈两端半圆弧的半径R为36米（取3），若最外圈跑道与最内圈跑道之间的距离为a米，则最外圈跑道周长可以用含 a 的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆的周长公式、列代数式，已知式子的值求代数式的值，根据周长的意义：直道长度加上弯道长为400米计算即可得出，因为最外圈跑道与最内圈跑道之间的距离为a米，所以，即可作答． 【详解】解：依题意，设直道长度为， 则， ∵最外圈跑道与最内圈跑道之间的距离为a米， ∴， ∴最外圈跑道周长可以用含 a 的代数式表示为， 故选：A 2．如图①是某校操场实物图，图②是操场示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的，活动小组对学校操场跑道最内圈长为米的跑道进行规划设计，且最内圈两端半圆弧的半径为米（取）． （1）当米时，则两条直的跑道的总长度是 米； （2）在活动中发现最外沿跑道周长随跑道宽度（距最内圈的距离）的变化而变化，若表示跑道宽度，则最外沿跑道周长可表示为 米， 【答案】 【分析】本题考查了列代数式的问题，关键利用圆的周长公式来解答． （1）根据图形结合圆的周长公式解答； （2）先表示出直道的长度，再表示出两个半圆形跑道的长度，最后相加并化简； 【详解】解：（1）两端半圆形跑道的总长度为（米）， 直道的总长度为（米）， 故答案为：； （2）跑道周长， 故答案为：． 3．如图1是某学校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为．如图2是体育组设计了“铁饼投郑”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地．    (1)用含，的代数式表示跑道的周长为______（结果保留）； (2)用含，，的代数式表示两项比赛场地的总面积（图2中阴影部分面积的和）； (3)当，，时，求的值（取3）． 【答案】(1) (2) (3)的值是 【分析】（1）根据题意，校操场最内侧的跑道长两端直道长两端半圆形的弯道长，即可求解； （2）两项比赛场地的总面积圆的面积四边形阴影面积圆的面积长方形面积的一半三角形的面积，即可求解， （3）代入，即可求解． 本题主要考查了列代数式，等式的性质22，整式的加减运算，代数式求值，含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握圆的周长公式、圆的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：， （2）解：． （3）解：将，，代入，得． 答：的值是． 巩固课内例8:用代数式表示面积——三角尺问题 1．一块等腰直角三角尺的形状和尺寸如图所示，直角边的边长为a，圆孔的半径为r．阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，根据阴影部分面积等于三角形的面积减去圆孔的面积即可解答． 【详解】解：阴影部分的面积是． 故选：A 2．一块等腰直角三角尺的形状和尺寸如图所示，直角边的边长为a，圆孔的半径为r．阴影部分的面积是 ；当，时，面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，利用直角三角形的面积减去圆的面积即可得；直接把，代入进行计算即可得，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，阴影部分的面积为：， 当，时，阴影部分的面积为：， 故答案为：，． 3．如图，一个直角三角尺的直角边分别为和，中间去掉一个半径为的圆． (1)用含、、的代数式表示这个三角尺的面积，________； (2)当，，时，求这个三角尺的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值，熟练掌握图形中的面积关系是解题关键． （1）根据三角尺的面积等于直角三角形的面积减去中间圆的面积即可得； （2）将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：因为三角尺的面积等于直角三角形的面积减去中间圆的面积， 所以， 故答案为：． （2）解：当，，时， ， 答：这个三角尺的面积为． 类型一、代数式的定义 1．在式子：10，中，代数式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是代数式的定义，判断每个式子是否为代数式．代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，不含等号或不等号．根据代数式的定义逐个判断即可． 【详解】解：10， 10，，，是代数式； 故选：B． 2．下列式子：，，，，，中，是代数式的有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了代数式的识别，掌握代数式的定义进行判定即可求解． 代数式：用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式，由此即可求解． 【详解】解：代数式有：， 其中是等式，不是代数式， ∴代数式有5个， 故答案为：5． 3．下列各式，哪些是代数式？ （1）；                （2）；                （3）；         （4）0；                    （5）；                            （6）； （7）；            （8）；                    （9）；     （10）；    （11）；        （12）． 【答案】（1）、（4）、（5）、（7）、（9）、（10）、（11） 【分析】根据代数式的概念解答即可． 【详解】解：（1）；（4）0；（5）；（7）；（9）；（10）；（11）；是代数式． （2）；是等式，不是代数式； （3）；（6）；（8）；是不等式，不是代数式； （12），带单位，不是代数式； （1）、（4）、（5）、（7）、（9）、（10）、（11）是代数式． 【点睛】此题考查代数式问题，解题的关键是掌握代数式的定义解答．用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 类型二、代数式的书写 1．下列含有字母的式子中，书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了代数式，正确把握代数式的书写要求是解题关键．直接利用代数式的书写形式，进而分析得出答案． 【详解】A、应该为：，故此选项错误； B、应该为：，故此选项错误； C、，正确； D、应该为：，故此选项错误． 故选：C． 2．，，，，，中，其中符合书写要求的代数式的个数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．解题关键是掌握代数式的书写要求．根据代数式的书写要求分别进行判断即可． 【详解】解：用字母表示数的式子中，符合书写要求的有：，，，共3个， 应该写成或，应该写成， 应该写成中， 故答案为：． 3．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)/ (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写．根据代数式的书写规范将各题进行改正即可． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为； 故答案为：． （4）解：应写为； 故答案为：． 类型三、列代数式 1．一块长方形菜地的面积是x平方米，它的宽是40米，周长是（   ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了长方形的面积和周长，列代数式，掌握长方形的面积和周长公式是解题关键． 根据长方形面积长宽，得出长是米，再根据长方形周长（长宽），即可列式求解． 【详解】解：一块长方形菜地的面积是x平方米，它的宽是40米， 则它的长是米， 则周长是米， 故选：C． 2．某校组织“爱心捐款”活动，九年级（1）班学生共捐款1260元，其中23名女生人均捐款元，则该班男生共捐款 元（用含有的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】此题考查了列出代数式，解题的关键是找到题目中的等量关系．根据题意列出代数式即可求解． 【详解】解：由题意可知，男生捐款金额总的金额女生捐款金额， 所以男生捐款金额为：． 故答案为：． 3．列式表示： (1)棱长为的正方体的表面积； (2)每件元的上衣，降价后的售价； (3)一辆汽车的行驶速度是行驶的路程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （1）先表示一个正方形的面积，然后乘以6即可得到正方体的表面积； （2）降价即为原来的，则利用原价乘以即可得到售价； （3）利用路程速度时间求解即可． 【详解】（1）解：棱长为的正方体的表面积为平方厘米； （2）解：每件元的上衣，降价后的售价为（元）； （3）解：一辆汽车的行驶速度是行驶的路程为千米． 类型一、工程问题 1．一位作家先用m天写完了一部小说的上集，又用n天写完下集，这部小说（上、下集）共120万字，这位作家平均每天的写作量（单位：万字）为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 用这部小说总的字数除以写作用的总天数，即可得到答案． 【详解】解：这位作家平均每天的写作量为万字． 故选：B． 2．某段铁路由甲工程队单独铺设需要a天完成，由乙工程队单独铺设需要b天完成，若这段铁路总长度为，则乙工程队比甲工程队每天多铺设铁路 （列代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查列代数式．根据题意先表示出甲，乙两个工程队的工作效率，再作差即可． 【详解】解：根据题意：乙工程队比甲工程队每天多铺设铁路：， 故答案为：． 3．生产劳动情境·高速公路修建 今年河南将确保安罗高速罗山至豫鄂省界段等个项目年内建成通车，全省高速公路通车总里程将达到公里以上．今年，河南还将打通堵点断点、完善路网功能，有序推进个高速公路内通外联项目．已知从地到地修公路，原计划每天修米，那么天可以修完，实际比计划提前天完成． (1)从地到地的路程是多少米？ (2)实际每天修多少米？ (3)如果用表示每天修的路程，表示修完这条路所用的时间，则用式子表示与之间的关系，与成什么比例关系？ 【答案】(1)米 (2)米 (3)，与成反比例关系 【分析】（）根据工作量工作效率工作时间计算即可； （）根据工作效率工作量工作时间列式即可； （）根据工作效率工作时间工作量可得与之间的关系，进而根据反比例关系的定义可得与的比例关系； 本题考查了有理数的乘法运算的实际应用，列代数式，反比例关系，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：（米）， 答：从地到地的路程是米； （2）解：， 答：实际每天修米； （3）解：由题意得，， ∴与成反比例关系． 类型二、数字问题 1．一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字是百位上的数字的倍，个位上的数字比百位上的数字少，这个三位数用含有的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据题意，分别用表示三位数的各个位上的数字，再按数位组合成代数式并化简即可，依据题意，正确得出十位上和个位上的数字是解题关键． 【详解】解：∵百位数字为，对应数值为，十位数字是百位的倍，即，对应数值为，个位数字比百位少，即，对应数值为， ∴这个三位数为， 故选：． 2．一个三位数的个位上的数字为 ，十位上的数字为 ，百位上的数字为 ，用含 ，，的代数式表示这个三位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式，解题的关键是根据数字的表示方法来写出代数式． 根据百位上的数字乘以，十位上的数字乘以，个位上数字乘以，然后把得到的数加起来，即为所表示的三位数． 【详解】解：这个三位数是． 故答案为：． 3．整式加减的应用：一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b（a、b 均为整数）． (1)用含 a、b 的整式表示这个两位数； (2)将这个两位数的十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数，用含 a、b 的整式表示新两位数； (3)求原两位数与新两位数的和，并说明这个和能被11整除． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式，解题关键是掌握列代数式． （1）用含 a、b 的整式表示这个两位数； （2）用含 a、b 的整式表示新两位数； （3）先计算原两位数与新两位数的和，化简后说明这个和能被11整除． 【详解】（1）解：∵一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b（a、b 均为整数）， ∴这个两位数为； （2）将这个两位数的十位数字与个位数字对调， 得到一个新的两位数为； （3）原两位数与新两位数的和为： ， 因为a、b 均为整数， 所以是的整数倍， 所以这个和能被11整除． 类型三、单循环比赛问题 1．n支球队进行单循环比赛，每两队之间都比赛一场，总的比赛场数是多少？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列代数式，解题的关键是读懂题意，明确单循环赛制的含义． n支球队进行单循环比赛，每个球队与其他队比赛场，进而求解即可． 【详解】解：n支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为． 故选：B． 2．现有n支球队进行单循环比赛，每两个队之间都比赛一场，则总的场数是 （用含n的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式；根据单循环比赛的特点，进行计算即可得答案． 【详解】解：支球队举行单循环比赛， 每支球队比赛场， 每两支球队之间都比赛一场， 支球队比赛； 故答案为：． 3．阅读下列材料并填空：在体育比赛中，我们常常会遇到计算比赛场次的问题，这时我们可以借助数线段的方法来计算．比如在一个小组中有4个队，进行单循环比赛，我们要计算总的比赛场次，我们就设这四个队分别为 A、B、C、D，并把它们标在同一条线段上，如下图： 因为单循环比赛就是每两个队之间都要比赛一场，这就相当于，在上述图形中四个点连接线段，按一定规律得到的线段有： ，，………………3 条 ，……………………2 条 …………………………1 条 总的线段条数是， 所以可知4个队进行单循环比赛共比赛6场． (1)类比上述想法，若一个小组有6个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是 ． (2)类比上述想法，若一个小组有n个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是 ． (3)我们知道2018年世界杯共有32支代表队参加比赛，共分成8个小组，每组4个代表队，第一阶段每个小组进行单循环比赛．则第一阶段共需要进行 场比赛． (4)若分成m个小组，每个小组有n个队，第一阶段每个小组进行单循环比赛．则第一阶段共需要进行 场比赛． 【答案】(1)15 (2) (3)48 (4) 【分析】本题考查了列代数式，理解题目中得到的规律是解题关键． （1）根据题目中得到的规律列式计算即可； （2）根据题目中得到的规律列式计算即可； （3）根据题目中得到的规律求出每组4个代表队需要比赛场，再求出8个小组共需要比赛场次即可； （4）根据题目中得到的规律求出每个小组有n个队，需要比赛场，再求出m个小组共需要比赛场次即可； 【详解】（1）解：（场）， 故答案为：15； （2）解：（场）， 故答案为： （3）解：每组4个代表队需要比赛场， 则8个小组共需要比赛场， 故答案为：48； （4）解：每个小组有n个队，需要比赛（场）， 则m个小组共需要比赛场， 故答案为： 类型一、代数式中数的规律 1．观察下列一组数：根据其中的排列规律，则第n个数应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数字变化类规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出分子、分母的规律． 本题分别归纳出该组数字分子、分母的规律，进行作答，即可求解． 【详解】解：∵第1个数是， 第2个数是， 第3个数是， ……， ∴第个数是， 故选：B； 2．观察下列单项式；，根据你发现的规律，写出第7个式子是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式表示，整式的数字变化规律， 先确定代数式的系数为，再确定字母的指数，即可得出答案. 【详解】解：由， 可知，，，， ∴第7个式子是. 故答案为：. 3．已知公式：． (1)_____； (2)求；（写出计算过程） (3)观察下列图形：图1中共有正方形1个，图2中共有正方形5个，图3中共有正方形_____个，图4中共有正方形______个，图100中共有正方形______个． 【答案】(1) (2)； (3)14；30；338350． 【分析】本题主要考查了乘方的应用，图形变化类，通过观察归纳出各图形的正方形个数所符合的规律是解题的关键，同时，也考查了代数运算的能力． （1）直接使用给定的公式来计算从1到10的所有整数的平方和． （2）通过计算从1到60的所有整数的平方和，减去从1到32的所有整数的平方和来即可． （3）观察图形规律，找出图n中正方形的数量，然后将代入公式中计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：根据图形，图1中有1个正方形，可以表示为 ； 图2中有5个正方形，可以表示为 ； 图3中有 个正方形； 图4中有 个正方形； 因此，图n中有正方形的数量为 ． 图100中正方形的数量为： 故答案为：14；30；338350． 类型二、代数式中图形的规律 1．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第n个图形需要多少块黑色瓷砖（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形得出一般规律是解题关键．观察已知图形发现，第n个图形需要块黑色瓷砖，即可得解． 【详解】解：由图形可知，第1个图形需要黑色瓷砖块， 第2个图形需要黑色瓷砖块， 第3个图形需要黑色瓷砖块， …… 观察发现，第n个图形需要块黑色瓷砖， 故选：C 2．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第8个图案中有 个涂有阴影的小正方形，第n个图案中有 个阴影小正方形（用含有n的代数式表示）． 【答案】 26 【分析】本题考查了用代数式表示图形的规律，掌握知识点是解题的关键． 观察可知，后一个图案比前一个图案多3个涂有阴影的小正方形，然后写出第8个，第n个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可得， 第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为， … 第8个图案涂有阴影的小正方形的个数为， … 第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为． 故答案为：26，． 3．【观察思考】 【规律发现】 （1）观察各图案中灰色菱形和白色菱形的个数，绘制表格如下． 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 第6个图案 … 灰色菱形个数 1 2 5 8 13 b … 白色菱形个数 0 2 4 8 a 18 … 小菱形总个数 1 4 9 16 25 c … 填空：表格中，________，________，________． （2）请写出第n个图案中灰色菱形，白色菱形各有几个． 【规律应用】 （3）某小区计划用边长为1米的菱形砖铺设一块菱形区域，该菱形区域边长为45米，若按以上规律图案进行设计，则需要购买的灰色菱形砖，白色菱形砖各多少块？ 【答案】（1）12，18，36（2）当n为奇数时，第n个图案中灰色菱形的个数为个，白色菱形的个数为个；当n为偶数时，第n个图案中灰色菱形和白色菱形的个数都是个（3）需要购买1013块灰色菱形砖，1012块白色菱形砖 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现灰色和白色菱形砖块数的变化规律是解题的关键． （1）根据所给图形，发现灰色，白色及小菱形总个数的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； 第2个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； 第3个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； 第4个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； …， 所以当n为奇数时，第n个图案中灰色菱形的个数为个，白色菱形的个数为个； 当n为偶数时，第n个图案中灰色菱形和白色菱形的个数都是个， 第n个图形中小菱形的总个数为个． 当时，； 当时，，． 故答案为：12，18，36． （2）由（1）知， 当n为奇数时，第n个图案中灰色菱形的个数为个，白色菱形的个数为个；当n为偶数时，第n个图案中灰色菱形和白色菱形的个数都是个． （3）由（1）知，当时，，， 所以需要购买1013块灰色菱形砖，1012块白色菱形砖． 类型三、阴影面积问题 1．如图，大正方形面积为40，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是（   ） A．20 B．24 C．32 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查整式加减与图形面积，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，由题意可知，然后阴影部分的面积为，进而问题可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，由题意可知， ∴； 故选D． 2．两个正方形如图摆放，大正方形的边长是6，小正方形边长是3，两阴影部分的面积分别为，则两阴影部分的面积差为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了整式的加减，设空白部分的面积为，根据题意列出关系式，相减即可求出的值．将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键． 【详解】解：设空白部分的面积为． 根据题意， 得，， 则， 所以两阴影部分的面积差为27． 故答案为：27． 3．学校办公楼前有一长为m，宽为n的长方形空地（如图），在中心位置留出一个直径为a的圆形区域建一个喷泉，两边是长为b，宽为a的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． (1)用代数式表示阴影部分的面积；（结果保留） (2)当，，，时，阴影部分的面积是多少？（取3） 【答案】(1) (2)1437 【分析】题目主要考查列代数式及求代数式的值，根据图形列出相应代数式是解题关键． （1）根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去圆及两个小长方形的面积即可； （2）将已知值代入（1）中代数式即可． 【详解】（1）解：根据题意得，圆的半径为， ∴； （2）解：当，，，，取3时， ， ∴阴影部分的面积是1437． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$